Theorem r1sssuc 9814

Description: A stage of the cumulative hierarchy of sets is included in its successor stage. JFM CLASSES1 Th. 39. (Contributed by FL, 20-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
r1sssuc	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘suc 𝐴))

Proof of Theorem r1sssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1tr 9807	. . 3 ⊢ Tr (𝑅1‘𝐴)
2		dftr4 5221	. . 3 ⊢ (Tr (𝑅1‘𝐴) ↔ (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
3	1, 2	mpbi 233	. 2 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)
4		r1suc 9801	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
5	3, 4	sseqtrrid 3956	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘suc 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  Tr wtr 5215  Oncon0 6377  suc csuc 6379  ‘cfv 6555  𝑅₁cr1 9790

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-r1 9792

This theorem is used by:  ackbij2lem3  10342  r1sssucd  44402