Theorem r1suc 9738

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1suc	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Proof of Theorem r1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1sucg 9737	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
2		r1fnon 9735	. . . 4 ⊢ 𝑅1 Fn On
3	2	fndmi 6639	. . 3 ⊢ dom 𝑅1 = On
4	3	eqcomi 2772	. 2 ⊢ On = dom 𝑅1
5	1, 4	eleq2s 2881	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  𝒫 cpw 4562  dom cdm 5661  Oncon0 6360  suc csuc 6362  ‘cfv 6536  𝑅₁cr1 9730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-r1 9732

This theorem is referenced by:  r1sdom  9742  r1sssuc  9751  tz9.12lem3  9757  rankval2  9786  rankpwi  9791  dfac12lem2  10124  dfac12r  10126  ackbij2lem2  10218  ackbij2lem3  10219  wunr1om  10699  r1wunlim  10717  tskr1om  10747  inar1  10755  inatsk  10758  grur1a  10799  grothomex  10809  r1wf  35489  rankval2b  35492  r1ssel  35501  rankeq1o  36663  elhf2  36667  0hf  36669  aomclem1  43801  grur1cld  44976