Theorem r1suc 8883

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1suc	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Proof of Theorem r1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1sucg 8882	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
2		r1fnon 8880	. . . 4 ⊢ 𝑅1 Fn On
3		fndm 6201	. . . 4 ⊢ (𝑅1 Fn On → dom 𝑅1 = On)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ dom 𝑅1 = On
5	4	eqcomi 2808	. 2 ⊢ On = dom 𝑅1
6	1, 5	eleq2s 2896	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  𝒫 cpw 4349  dom cdm 5312  Oncon0 5941  suc csuc 5943   Fn wfn 6096  ‘cfv 6101  𝑅₁cr1 8875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-r1 8877

This theorem is referenced by:  r1sdom  8887  r1sssuc  8896  tz9.12lem3  8902  rankval2  8931  rankpwi  8936  dfac12lem2  9254  dfac12r  9256  ackbij2lem2  9350  ackbij2lem3  9351  wunr1om  9829  r1wunlim  9847  tskr1om  9877  inar1  9885  inatsk  9888  grur1a  9929  grothomex  9939  rankeq1o  32791  elhf2  32795  0hf  32797  aomclem1  38409