MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1suc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1suc 9193
Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1suc (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))

Proof of Theorem r1suc
StepHypRef Expression
1 r1sucg 9192 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
2 r1fnon 9190 . . . 4 𝑅1 Fn On
3 fndm 6454 . . . 4 (𝑅1 Fn On → dom 𝑅1 = On)
42, 3ax-mp 5 . . 3 dom 𝑅1 = On
54eqcomi 2835 . 2 On = dom 𝑅1
61, 5eleq2s 2936 1 (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  𝒫 cpw 4542  dom cdm 5554  Oncon0 6190  suc csuc 6192   Fn wfn 6349  cfv 6354  𝑅1cr1 9185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-r1 9187
This theorem is referenced by:  r1sdom  9197  r1sssuc  9206  tz9.12lem3  9212  rankval2  9241  rankpwi  9246  dfac12lem2  9564  dfac12r  9566  ackbij2lem2  9656  ackbij2lem3  9657  wunr1om  10135  r1wunlim  10153  tskr1om  10183  inar1  10191  inatsk  10194  grur1a  10235  grothomex  10245  rankeq1o  33535  elhf2  33539  0hf  33541  aomclem1  39538  grur1cld  40452
  Copyright terms: Public domain W3C validator