Theorem r1suc 9771

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1suc	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Proof of Theorem r1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1sucg 9770	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
2		r1fnon 9768	. . . 4 ⊢ 𝑅1 Fn On
3	2	fndmi 6653	. . 3 ⊢ dom 𝑅1 = On
4	3	eqcomi 2740	. 2 ⊢ On = dom 𝑅1
5	1, 4	eleq2s 2850	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  𝒫 cpw 4602  dom cdm 5676  Oncon0 6364  suc csuc 6366  ‘cfv 6543  𝑅₁cr1 9763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-r1 9765

This theorem is referenced by:  r1sdom  9775  r1sssuc  9784  tz9.12lem3  9790  rankval2  9819  rankpwi  9824  dfac12lem2  10145  dfac12r  10147  ackbij2lem2  10241  ackbij2lem3  10242  wunr1om  10720  r1wunlim  10738  tskr1om  10768  inar1  10776  inatsk  10779  grur1a  10820  grothomex  10830  rankeq1o  35612  elhf2  35616  0hf  35618  aomclem1  42258  grur1cld  43453