Theorem r1suc 9680

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1suc	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Proof of Theorem r1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1sucg 9679	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
2		r1fnon 9677	. . . 4 ⊢ 𝑅1 Fn On
3	2	fndmi 6594	. . 3 ⊢ dom 𝑅1 = On
4	3	eqcomi 2743	. 2 ⊢ On = dom 𝑅1
5	1, 4	eleq2s 2852	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  𝒫 cpw 4552  dom cdm 5622  Oncon0 6315  suc csuc 6317  ‘cfv 6490  𝑅₁cr1 9672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-r1 9674

This theorem is referenced by:  r1sdom  9684  r1sssuc  9693  tz9.12lem3  9699  rankval2  9728  rankpwi  9733  dfac12lem2  10053  dfac12r  10055  ackbij2lem2  10147  ackbij2lem3  10148  wunr1om  10628  r1wunlim  10646  tskr1om  10676  inar1  10684  inatsk  10687  grur1a  10728  grothomex  10738  r1wf  35201  rankval2b  35204  r1ssel  35212  rankeq1o  36314  elhf2  36318  0hf  36320  aomclem1  43238  grur1cld  44415