Theorem r1suc 9738

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1suc	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Proof of Theorem r1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1sucg 9737	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
2		r1fnon 9735	. . . 4 ⊢ 𝑅1 Fn On
3	2	fndmi 6637	. . 3 ⊢ dom 𝑅1 = On
4	3	eqcomi 2778	. 2 ⊢ On = dom 𝑅1
5	1, 4	eleq2s 2887	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  𝒫 cpw 4564  dom cdm 5659  Oncon0 6357  suc csuc 6359  ‘cfv 6533  𝑅₁cr1 9730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-r1 9732

This theorem is referenced by:  r1sdom  9742  r1sssuc  9751  tz9.12lem3  9757  rankval2  9786  rankpwi  9791  dfac12lem2  10124  dfac12r  10126  ackbij2lem2  10218  ackbij2lem3  10219  wunr1om  10700  r1wunlim  10718  tskr1om  10748  inar1  10756  inatsk  10759  grur1a  10800  grothomex  10810  r1wf  35428  rankval2b  35431  r1ssel  35439  rankeq1o  36558  elhf2  36562  0hf  36564  aomclem1  43666  grur1cld  44841