Theorem mdegleb 26189

Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
mdegleb	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝑚,𝐼   0 ,ℎ   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   ℎ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ℎ,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑚)   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(𝑥,ℎ,𝑚)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑚)   𝑅(ℎ,𝑚)   𝐹(ℎ,𝑚)   𝐺(ℎ,𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)   𝐼(𝑥)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegleb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		mdegval.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mdegval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6		mdegval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 26188	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
9	8	breq1d 5123	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺))
10		imassrn 6074	. . . 4 ⊢ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
11	5, 6	tdeglem1 26183	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
13	12	frnd 6715	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
14		nn0ssre 12507	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
15		ressxr 11252	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
16	14, 15	sstri 3954	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
17	13, 16	sstrdi 3957	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
18	10, 17	sstrid 3956	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
19		supxrleub 13351	. . 3 ⊢ (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ* ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺))
20	18, 19	sylancom 599	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺))
21	12	ffnd 6707	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻 Fn 𝐴)
22		suppssdm 8172	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
23		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ 𝐵)
25	2, 23, 3, 5, 24	mplelf 22115	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
26	22, 25	fssdm 6726	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
27		breq1 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐻‘𝑥) → (𝑦 ≤ 𝐺 ↔ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
28	27	ralima 7236	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
29	21, 26, 28	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
30	25	ffnd 6707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐴)
31	4	fvexi 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 0 ∈ V)
33		elsuppfng 8164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 )))
34	30, 24, 32, 33	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 )))
35		fvex 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
36	35	biantrur 539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
37		eldifsn 4758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
38	36, 37	bitr4i 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))
39	38	anbi2i 634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
40	34, 39	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))))
41	40	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺)))
42		impexp 455	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺)))
43		con34b 319	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
44		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ ℝ*)
45	12	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℕ0)
46	16, 45	sselid 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*)
47		xrltnle 11275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*) → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) ↔ ¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
48	44, 46, 47	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) ↔ ¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
49	48	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 ↔ 𝐺 < (𝐻‘𝑥)))
50		ianor 997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
51	50, 37	xchnxbir 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
52		orcom 883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V))
53	35	notnoti 144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V
54	53	biorfri 952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V))
55		nne 2968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 )
56	52, 54, 55	3bitr2i 302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
58	51, 57	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
59	49, 58	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) ↔ (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
60	43, 59	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
61	60	pm5.74da 815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))))
62	42, 61	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))))
63	41, 62	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))))
64	63	ralbidv2 3190	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
65	29, 64	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
66	9, 20, 65	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  {crab 3423  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4594   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ^◡ccnv 5661  ran crn 5663   “ cima 5665   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   supp csupp 8155   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942  supcsup 9399  ℝcr 11098  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268  0_gc0g 17491   Σ_g cgsu 17492  ℂ_fldccnfld 21490   mPoly cmpl 22024   mDeg cmdg 26178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-cnfld 21491  df-psr 22027  df-mpl 22029  df-mdeg 26180

This theorem is referenced by:  mdeglt  26190  mdegaddle  26199  mdegvscale  26200  mdegle0  26202  mdegmullem  26203  deg1leb  26220