Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegleb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegleb 24777
 Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z 0 = (0g𝑅)
mdegval.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
mdegleb ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝐴,   𝑚,𝐼   0 ,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐵(,𝑚)   𝐷(𝑥,,𝑚)   𝑃(𝑥,,𝑚)   𝑅(,𝑚)   𝐹(,𝑚)   𝐺(,𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝐼(𝑥)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegleb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . . . . 5 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 mdegval.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 mdegval.a . . . . 5 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6 mdegval.h . . . . 5 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 24776 . . . 4 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
87adantr 484 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
98breq1d 5046 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺))
10 imassrn 5917 . . . 4 (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
115, 6tdeglem1 24768 . . . . . . 7 𝐻:𝐴⟶ℕ0
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
1312frnd 6510 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
14 nn0ssre 11951 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
15 ressxr 10736 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
1614, 15sstri 3903 . . . . 5 0 ⊆ ℝ*
1713, 16sstrdi 3906 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
1810, 17sstrid 3905 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
19 supxrleub 12773 . . 3 (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺))
2018, 19sylancom 591 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺))
2112ffnd 6504 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻 Fn 𝐴)
22 suppssdm 7857 . . . . 5 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
23 eqid 2758 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹𝐵)
252, 23, 3, 5, 24mplelf 20776 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
2622, 25fssdm 6520 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
27 breq1 5039 . . . . 5 (𝑦 = (𝐻𝑥) → (𝑦𝐺 ↔ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
2827ralima 6998 . . . 4 ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
2921, 26, 28syl2anc 587 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
3025ffnd 6504 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐴)
314fvexi 6677 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 0 ∈ V)
33 elsuppfng 7850 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝐹𝐵0 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 )))
3430, 24, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 )))
35 fvex 6676 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑥) ∈ V
3635biantrur 534 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
37 eldifsn 4680 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
3836, 37bitr4i 281 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))
3938anbi2i 625 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
4034, 39bitrdi 290 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))))
4140imbi1d 345 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺)))
42 impexp 454 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺)))
43 con34b 319 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
44 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐺 ∈ ℝ*)
4512ffvelrnda 6848 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℕ0)
4616, 45sseldi 3892 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
47 xrltnle 10759 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑥) ∈ ℝ*) → (𝐺 < (𝐻𝑥) ↔ ¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
4844, 46, 47syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺 < (𝐻𝑥) ↔ ¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
4948bicomd 226 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺𝐺 < (𝐻𝑥)))
50 ianor 979 . . . . . . . . . . 11 (¬ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
5150, 37xchnxbir 336 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
52 orcom 867 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹𝑥) ∈ V))
5335notnoti 145 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ ¬ (𝐹𝑥) ∈ V
5453biorfi 936 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹𝑥) ∈ V))
55 nne 2955 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑥) = 0 )
5652, 54, 553bitr2i 302 . . . . . . . . . . 11 ((¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹𝑥) = 0 )
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → ((¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
5851, 57syl5bb 286 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
5949, 58imbi12d 348 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → ((¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) ↔ (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
6043, 59syl5bb 286 . . . . . . 7 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
6160pm5.74da 803 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))))
6242, 61syl5bb 286 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥𝐴 → (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))))
6341, 62bitrd 282 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥𝐴 → (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))))
6463ralbidv2 3124 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
6529, 64bitrd 282 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
669, 20, 653bitrd 308 1 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  {crab 3074  Vcvv 3409   ∖ cdif 3857   ⊆ wss 3860  {csn 4525   class class class wbr 5036   ↦ cmpt 5116  ◡ccnv 5527  ran crn 5529   “ cima 5531   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   supp csupp 7841   ↑m cmap 8422  Fincfn 8540  supcsup 8950  ℝcr 10587  ℝ*cxr 10725   < clt 10726   ≤ cle 10727  ℕcn 11687  ℕ0cn0 11947  Basecbs 16554  0gc0g 16784   Σg cgsu 16785  ℂfldccnfld 20179   mPoly cmpl 20681   mDeg cmdg 24763 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-submnd 18036  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-cring 19381  df-cnfld 20180  df-psr 20684  df-mpl 20686  df-mdeg 24765 This theorem is referenced by:  mdeglt  24778  mdegaddle  24787  mdegvscale  24788  mdegle0  24790  mdegmullem  24791  deg1leb  24808
 Copyright terms: Public domain W3C validator