Theorem mdegleb 26221

Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
mdegleb	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝑚,𝐼   0 ,ℎ   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   ℎ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ℎ,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑚)   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(𝑥,ℎ,𝑚)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑚)   𝑅(ℎ,𝑚)   𝐹(ℎ,𝑚)   𝐺(ℎ,𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)   𝐼(𝑥)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegleb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		mdegval.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mdegval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6		mdegval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 26220	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
9	8	breq1d 5119	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺))
10		imassrn 6073	. . . 4 ⊢ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
11	5, 6	tdeglem1 26215	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
13	12	frnd 6714	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
14		nn0ssre 12503	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
15		ressxr 11248	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
16	14, 15	sstri 3946	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
17	13, 16	sstrdi 3949	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
18	10, 17	sstrid 3948	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
19		supxrleub 13347	. . 3 ⊢ (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ* ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺))
20	18, 19	sylancom 599	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺))
21	12	ffnd 6706	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻 Fn 𝐴)
22		suppssdm 8169	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
23		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ 𝐵)
25	2, 23, 3, 5, 24	mplelf 22147	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
26	22, 25	fssdm 6725	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
27		breq1 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐻‘𝑥) → (𝑦 ≤ 𝐺 ↔ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
28	27	ralima 7235	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
29	21, 26, 28	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
30	25	ffnd 6706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐴)
31	4	fvexi 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 0 ∈ V)
33		elsuppfng 8161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 )))
34	30, 24, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 )))
35		fvex 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
36	35	biantrur 539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
37		eldifsn 4753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
38	36, 37	bitr4i 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))
39	38	anbi2i 634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
40	34, 39	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))))
41	40	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺)))
42		impexp 455	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺)))
43		con34b 319	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
44		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ ℝ*)
45	12	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℕ0)
46	16, 45	sselid 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*)
47		xrltnle 11271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*) → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) ↔ ¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
48	44, 46, 47	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) ↔ ¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
49	48	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 ↔ 𝐺 < (𝐻‘𝑥)))
50		ianor 997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
51	50, 37	xchnxbir 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
52		orcom 883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V))
53	35	notnoti 144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V
54	53	biorfri 952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V))
55		nne 2962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 )
56	52, 54, 55	3bitr2i 302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
58	51, 57	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
59	49, 58	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) ↔ (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
60	43, 59	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
61	60	pm5.74da 815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))))
62	42, 61	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))))
63	41, 62	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))))
64	63	ralbidv2 3184	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
65	29, 64	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
66	9, 20, 65	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {crab 3416  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4589   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5660  ran crn 5662   “ cima 5664   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   supp csupp 8152   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  supcsup 9396  ℝcr 11094  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  Basecbs 17264  0_gc0g 17487   Σ_g cgsu 17488  ℂ_fldccnfld 21522   mPoly cmpl 22056   mDeg cmdg 26210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-cnfld 21523  df-psr 22059  df-mpl 22061  df-mdeg 26212

This theorem is referenced by:  mdeglt  26222  mdegaddle  26231  mdegvscale  26232  mdegle0  26234  mdegmullem  26235  deg1leb  26252