MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegleb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegleb 24044
Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z 0 = (0g𝑅)
mdegval.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
mdegleb ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝐴,   𝑚,𝐼   0 ,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐵(,𝑚)   𝐷(𝑥,,𝑚)   𝑃(𝑥,,𝑚)   𝑅(,𝑚)   𝐹(,𝑚)   𝐺(,𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝐼(𝑥)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegleb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . . . . 5 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 mdegval.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 mdegval.a . . . . 5 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6 mdegval.h . . . . 5 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 24043 . . . 4 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
87adantr 466 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
98breq1d 4796 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺))
10 imassrn 5618 . . . 4 (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
112, 3mplrcl 19705 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐼 ∈ V)
1211adantr 466 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐼 ∈ V)
135, 6tdeglem1 24038 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ V → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
15 frn 6193 . . . . . 6 (𝐻:𝐴⟶ℕ0 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
17 nn0ssre 11498 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
18 ressxr 10285 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
1917, 18sstri 3761 . . . . 5 0 ⊆ ℝ*
2016, 19syl6ss 3764 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
2110, 20syl5ss 3763 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
22 supxrleub 12361 . . 3 (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺))
2321, 22sylancom 576 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺))
24 ffn 6185 . . . . 5 (𝐻:𝐴⟶ℕ0𝐻 Fn 𝐴)
2514, 24syl 17 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻 Fn 𝐴)
26 suppssdm 7459 . . . . 5 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
27 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
28 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹𝐵)
292, 27, 3, 5, 28mplelf 19648 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
30 fdm 6191 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅) → dom 𝐹 = 𝐴)
3129, 30syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → dom 𝐹 = 𝐴)
3226, 31syl5sseq 3802 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
33 breq1 4789 . . . . 5 (𝑦 = (𝐻𝑥) → (𝑦𝐺 ↔ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
3433ralima 6641 . . . 4 ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
3525, 32, 34syl2anc 573 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
36 ffn 6185 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅) → 𝐹 Fn 𝐴)
3729, 36syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐴)
38 ovex 6823 . . . . . . . . . 10 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
3938rabex 4946 . . . . . . . . 9 {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
415, 40syl5eqel 2854 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ V)
42 fvex 6342 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
434, 42eqeltri 2846 . . . . . . . 8 0 ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 0 ∈ V)
45 elsuppfn 7454 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 )))
46 fvex 6342 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑥) ∈ V
4746biantrur 520 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
48 eldifsn 4453 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
4947, 48bitr4i 267 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
5150anbi2d 614 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))))
5245, 51bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))))
5337, 41, 44, 52syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))))
5453imbi1d 330 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺)))
55 impexp 437 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺)))
56 con34b 305 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
57 simplr 752 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐺 ∈ ℝ*)
5814ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℕ0)
5919, 58sseldi 3750 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
60 xrltnle 10307 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑥) ∈ ℝ*) → (𝐺 < (𝐻𝑥) ↔ ¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
6157, 59, 60syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺 < (𝐻𝑥) ↔ ¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
6261bicomd 213 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺𝐺 < (𝐻𝑥)))
63 ianor 966 . . . . . . . . . . 11 (¬ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
6463, 48xchnxbir 322 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
65 orcom 859 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹𝑥) ∈ V))
6646notnoti 139 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ ¬ (𝐹𝑥) ∈ V
6766biorfi 924 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹𝑥) ∈ V))
68 nne 2947 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑥) = 0 )
6965, 67, 683bitr2i 288 . . . . . . . . . . 11 ((¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹𝑥) = 0 )
7069a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → ((¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
7164, 70syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
7262, 71imbi12d 333 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → ((¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) ↔ (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
7356, 72syl5bb 272 . . . . . . 7 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
7473pm5.74da 805 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))))
7555, 74syl5bb 272 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥𝐴 → (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))))
7654, 75bitrd 268 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥𝐴 → (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))))
7776ralbidv2 3133 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
7835, 77bitrd 268 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
799, 23, 783bitrd 294 1 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351  cdif 3720  wss 3723  {csn 4316   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250  cima 5252   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793   supp csupp 7446  𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109  supcsup 8502  cr 10137  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  cn 11222  0cn0 11494  Basecbs 16064  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309   mPoly cmpl 19568  fldccnfld 19961   mDeg cmdg 24033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-psr 19571  df-mpl 19573  df-cnfld 19962  df-mdeg 24035
This theorem is referenced by:  mdeglt  24045  mdegaddle  24054  mdegvscale  24055  mdegle0  24057  mdegmullem  24058  deg1leb  24075
  Copyright terms: Public domain W3C validator