MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegleb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdegleb 25574
Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mdegval.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mdegval.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
Assertion
Ref Expression
mdegleb ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐺 < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   π‘š,𝐼   0 ,β„Ž   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐻   β„Ž,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯, 0   β„Ž,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐡(β„Ž,π‘š)   𝐷(π‘₯,β„Ž,π‘š)   𝑃(π‘₯,β„Ž,π‘š)   𝑅(β„Ž,π‘š)   𝐹(β„Ž,π‘š)   𝐺(β„Ž,π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)   𝐼(π‘₯)   0 (π‘š)
Proof of Theorem mdegleb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . . . . 5 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 mdegval.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
5 mdegval.a . . . . 5 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
6 mdegval.h . . . . 5 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 25573 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
87adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
98breq1d 5158 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 𝐺 ↔ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≀ 𝐺))
10 imassrn 6069 . . . 4 (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ran 𝐻
115, 6tdeglem1 25565 . . . . . . 7 𝐻:π΄βŸΆβ„•0
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ 𝐻:π΄βŸΆβ„•0)
1312frnd 6723 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ ran 𝐻 βŠ† β„•0)
14 nn0ssre 12473 . . . . . 6 β„•0 βŠ† ℝ
15 ressxr 11255 . . . . . 6 ℝ βŠ† ℝ*
1614, 15sstri 3991 . . . . 5 β„•0 βŠ† ℝ*
1713, 16sstrdi 3994 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ ran 𝐻 βŠ† ℝ*)
1810, 17sstrid 3993 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ*)
19 supxrleub 13302 . . 3 (((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ* ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ (sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≀ 𝐺))
2018, 19sylancom 589 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ (sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≀ 𝐺))
2112ffnd 6716 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ 𝐻 Fn 𝐴)
22 suppssdm 8159 . . . . 5 (𝐹 supp 0 ) βŠ† dom 𝐹
23 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
24 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
252, 23, 3, 5, 24mplelf 21549 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π‘…))
2622, 25fssdm 6735 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴)
27 breq1 5151 . . . . 5 (𝑦 = (π»β€˜π‘₯) β†’ (𝑦 ≀ 𝐺 ↔ (π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺))
2827ralima 7237 . . . 4 ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 )(π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺))
2921, 26, 28syl2anc 585 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 )(π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺))
3025ffnd 6716 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
314fvexi 6903 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ 0 ∈ V)
33 elsuppfng 8152 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 )))
3430, 24, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 )))
35 fvex 6902 . . . . . . . . . 10 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
3635biantrur 532 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ V ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ))
37 eldifsn 4790 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– { 0 }) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ V ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ))
3836, 37bitr4i 278 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– { 0 }))
3938anbi2i 624 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– { 0 })))
4034, 39bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– { 0 }))))
4140imbi1d 342 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 ) β†’ (π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– { 0 })) β†’ (π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺)))
42 impexp 452 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– { 0 })) β†’ (π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– { 0 }) β†’ (π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺)))
43 con34b 316 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– { 0 }) β†’ (π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺) ↔ (Β¬ (π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺 β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– { 0 })))
44 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ ℝ*)
4512ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
4616, 45sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
47 xrltnle 11278 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ*) β†’ (𝐺 < (π»β€˜π‘₯) ↔ Β¬ (π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺))
4844, 46, 47syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐺 < (π»β€˜π‘₯) ↔ Β¬ (π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺))
4948bicomd 222 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ (π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺 ↔ 𝐺 < (π»β€˜π‘₯)))
50 ianor 981 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ V ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V ∨ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ))
5150, 37xchnxbir 333 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– { 0 }) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V ∨ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ))
52 orcom 869 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V ∨ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V))
5335notnoti 143 . . . . . . . . . . . . 13 Β¬ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
5453biorfi 938 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V))
55 nne 2945 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )
5652, 54, 553bitr2i 299 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V ∨ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V ∨ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ))
5851, 57bitrid 283 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– { 0 }) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ))
5949, 58imbi12d 345 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ (π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺 β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– { 0 })) ↔ (𝐺 < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )))
6043, 59bitrid 283 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– { 0 }) β†’ (π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺) ↔ (𝐺 < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )))
6160pm5.74da 803 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– { 0 }) β†’ (π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝐺 < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ))))
6242, 61bitrid 283 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– { 0 })) β†’ (π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝐺 < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ))))
6341, 62bitrd 279 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 ) β†’ (π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝐺 < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ))))
6463ralbidv2 3174 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 )(π»β€˜π‘₯) ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐺 < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )))
6529, 64bitrd 279 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐺 < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )))
669, 20, 653bitrd 305 1 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐺 < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   supp csupp 8143   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936  supcsup 9432  β„cr 11106  β„*cxr 11244   < clt 11245   ≀ cle 11246  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  Basecbs 17141  0gc0g 17382   Ξ£g cgsu 17383  β„‚fldccnfld 20937   mPoly cmpl 21451   mDeg cmdg 25560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-cnfld 20938  df-psr 21454  df-mpl 21456  df-mdeg 25562
This theorem is referenced by:  mdeglt  25575  mdegaddle  25584  mdegvscale  25585  mdegle0  25587  mdegmullem  25588  deg1leb  25605
  Copyright terms: Public domain W3C validator