Theorem mdegleb 26375

Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
mdegleb	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝑚,𝐼   0 ,ℎ   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   ℎ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ℎ,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑚)   𝐵(ℎ, 𝑚)   𝐷(𝑥, ℎ, 𝑚)   𝑃(𝑥, ℎ, 𝑚)   𝑅(ℎ, 𝑚)   𝐹(ℎ, 𝑚)   𝐺(ℎ, 𝑚)   𝐻(ℎ, 𝑚)   𝐼(𝑥)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegleb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		mdegval.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mdegval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6		mdegval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 26374	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
9	8	breq1d 5113	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺))
10		imassrn 6196	. . . 4 ⊢ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
11	5, 6	tdeglem1 26369	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
13	12	frnd 6716	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
14		nn0ssre 12603	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
15		ressxr 11346	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
16	14, 15	sstri 3940	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
17	13, 16	sstrdi 3943	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
18	10, 17	sstrid 3942	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
19		supxrleub 13449	. . 3 ⊢ (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ* ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺))
20	18, 19	sylancom 600	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺))
21	12	ffnd 6708	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻 Fn 𝐴)
22		suppssdm 8187	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
23		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ 𝐵)
25	2, 23, 3, 5, 24	mplelf 22298	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
26	22, 25	fssdm 6727	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
27		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐻‘𝑥) → (𝑦 ≤ 𝐺 ↔ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
28	27	ralima 7241	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
29	21, 26, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
30	25	ffnd 6708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐴)
31	4	fvexi 6897	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 0 ∈ V)
33		elsuppfng 8179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 )))
34	30, 24, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 )))
35		fvex 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
36	35	biantrur 540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
37		eldifsn 4748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
38	36, 37	bitr4i 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))
39	38	anbi2i 635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
40	34, 39	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))))
41	40	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺)))
42		impexp 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺)))
43		con34b 319	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
44		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ ℝ*)
45	12	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℕ0)
46	16, 45	sselid 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*)
47		xrltnle 11369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*) → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) ↔ ¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
48	44, 46, 47	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) ↔ ¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
49	48	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 ↔ 𝐺 < (𝐻‘𝑥)))
50		ianor 997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
51	50, 37	xchnxbir 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
52		orcom 884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V))
53	35	notnoti 144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V
54	53	biorfri 953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V))
55		nne 2960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 )
56	52, 54, 55	3bitr2i 302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
58	51, 57	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
59	49, 58	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) ↔ (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
60	43, 59	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
61	60	pm5.74da 816	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))))
62	42, 61	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))))
63	41, 62	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))))
64	63	ralbidv2 3182	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
65	29, 64	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
66	9, 20, 65	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652   “ cima 5654   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   supp csupp 8170   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8966  supcsup 9425  ℝcr 11192  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  Basecbs 17380  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604  ℂ_fldccnfld 21671   mPoly cmpl 22207   mDeg cmdg 26364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454  df-cring 20455  df-cnfld 21672  df-psr 22210  df-mpl 22212  df-mdeg 26366

This theorem is used by:  mdeglt  26376  mdegaddle  26385  mdegvscale  26386  mdegle0  26388  mdegmullem  26389  deg1leb  26406