Theorem mdegleb 26437

Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
mdegleb	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝑚,𝐼   0 ,ℎ   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   ℎ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ℎ,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑚)   𝐵(ℎ, 𝑚)   𝐷(𝑥, ℎ, 𝑚)   𝑃(𝑥, ℎ, 𝑚)   𝑅(ℎ, 𝑚)   𝐹(ℎ, 𝑚)   𝐺(ℎ, 𝑚)   𝐻(ℎ, 𝑚)   𝐼(𝑥)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegleb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		mdegval.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mdegval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6		mdegval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 26436	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
9	8	breq1d 5118	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺))
10		imassrn 6216	. . . 4 ⊢ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
11	5, 6	tdeglem1 26431	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
13	12	frnd 6748	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
14		nn0ssre 12650	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
15		ressxr 11392	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
16	14, 15	sstri 3922	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
17	13, 16	sstrdi 3925	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
18	10, 17	sstrid 3924	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
19		supxrleub 13496	. . 3 ⊢ (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ* ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺))
20	18, 19	sylancom 600	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺))
21	12	ffnd 6740	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻 Fn 𝐴)
22		suppssdm 8232	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
23		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ 𝐵)
25	2, 23, 3, 5, 24	mplelf 22360	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
26	22, 25	fssdm 6759	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
27		breq1 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐻‘𝑥) → (𝑦 ≤ 𝐺 ↔ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
28	27	ralima 7274	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
29	21, 26, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
30	25	ffnd 6740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐴)
31	4	fvexi 6930	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 0 ∈ V)
33		elsuppfng 8224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 )))
34	30, 24, 32, 33	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 )))
35		fvex 6929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
36	35	biantrur 540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
37		eldifsn 4750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
38	36, 37	bitr4i 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))
39	38	anbi2i 635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
40	34, 39	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))))
41	40	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺)))
42		impexp 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺)))
43		con34b 319	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
44		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ ℝ*)
45	12	ffvelcdmda 7116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℕ0)
46	16, 45	sselid 3911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*)
47		xrltnle 11415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*) → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) ↔ ¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
48	44, 46, 47	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) ↔ ¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
49	48	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 ↔ 𝐺 < (𝐻‘𝑥)))
50		ianor 997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
51	50, 37	xchnxbir 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
52		orcom 884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V))
53	35	notnoti 144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V
54	53	biorfri 953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V))
55		nne 2963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 )
56	52, 54, 55	3bitr2i 302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
58	51, 57	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
59	49, 58	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) ↔ (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
60	43, 59	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
61	60	pm5.74da 816	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))))
62	42, 61	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))))
63	41, 62	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))))
64	63	ralbidv2 3185	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
65	29, 64	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
66	9, 20, 65	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5657  ran crn 5659   “ cima 5661   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   supp csupp 8214   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011  supcsup 9469  ℝcr 11238  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  Basecbs 17431  0_gc0g 17660   Σ_g cgsu 17661  ℂ_fldccnfld 21729   mPoly cmpl 22269   mDeg cmdg 26426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-cnfld 21730  df-psr 22272  df-mpl 22274  df-mdeg 26428

This theorem is used by:  mdeglt  26438  mdegaddle  26447  mdegvscale  26448  mdegle0  26450  mdegmullem  26451  deg1leb  26468