Theorem mdegleb 26391

Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
mdegleb	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝑚,𝐼   0 ,ℎ   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   ℎ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ℎ,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑚)   𝐵(ℎ, 𝑚)   𝐷(𝑥, ℎ, 𝑚)   𝑃(𝑥, ℎ, 𝑚)   𝑅(ℎ, 𝑚)   𝐹(ℎ, 𝑚)   𝐺(ℎ, 𝑚)   𝐻(ℎ, 𝑚)   𝐼(𝑥)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegleb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		mdegval.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mdegval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6		mdegval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 26390	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
9	8	breq1d 5112	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺))
10		imassrn 6200	. . . 4 ⊢ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
11	5, 6	tdeglem1 26385	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
13	12	frnd 6723	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
14		nn0ssre 12617	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
15		ressxr 11360	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
16	14, 15	sstri 3918	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
17	13, 16	sstrdi 3921	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
18	10, 17	sstrid 3920	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
19		supxrleub 13463	. . 3 ⊢ (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ* ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺))
20	18, 19	sylancom 600	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺))
21	12	ffnd 6715	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻 Fn 𝐴)
22		suppssdm 8201	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
23		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ 𝐵)
25	2, 23, 3, 5, 24	mplelf 22314	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
26	22, 25	fssdm 6734	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
27		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐻‘𝑥) → (𝑦 ≤ 𝐺 ↔ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
28	27	ralima 7247	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
29	21, 26, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
30	25	ffnd 6715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐴)
31	4	fvexi 6904	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → 0 ∈ V)
33		elsuppfng 8193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 )))
34	30, 24, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 )))
35		fvex 6903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
36	35	biantrur 540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
37		eldifsn 4744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
38	36, 37	bitr4i 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))
39	38	anbi2i 635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
40	34, 39	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))))
41	40	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺)))
42		impexp 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺)))
43		con34b 319	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
44		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ ℝ*)
45	12	ffvelcdmda 7089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℕ0)
46	16, 45	sselid 3907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*)
47		xrltnle 11383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*) → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) ↔ ¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
48	44, 46, 47	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) ↔ ¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺))
49	48	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 ↔ 𝐺 < (𝐻‘𝑥)))
50		ianor 997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
51	50, 37	xchnxbir 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ))
52		orcom 884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V))
53	35	notnoti 144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V
54	53	biorfri 953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V))
55		nne 2959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 )
56	52, 54, 55	3bitr2i 302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((¬ (𝐹‘𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
58	51, 57	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
59	49, 58	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((¬ (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) ↔ (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
60	43, 59	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
61	60	pm5.74da 816	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))))
62	42, 61	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))))
63	41, 62	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))))
64	63	ralbidv2 3181	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
65	29, 64	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
66	9, 20, 65	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺 < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652   “ cima 5654   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   supp csupp 8183   ↑_m cmap 8854  Fincfn 8980  supcsup 9439  ℝcr 11206  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   ≤ cle 11351  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613  Basecbs 17396  0_gc0g 17619   Σ_g cgsu 17620  ℂ_fldccnfld 21687   mPoly cmpl 22223   mDeg cmdg 26380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-ur 20417  df-ring 20470  df-cring 20471  df-cnfld 21688  df-psr 22226  df-mpl 22228  df-mdeg 26382

This theorem is used by:  mdeglt  26392  mdegaddle  26401  mdegvscale  26402  mdegle0  26404  mdegmullem  26405  deg1leb  26422