MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegleb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegleb 26103
Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z 0 = (0g𝑅)
mdegval.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
mdegleb ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝐴,   𝑚,𝐼   0 ,   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑚)   𝐵(,𝑚)   𝐷(𝑥,,𝑚)   𝑃(𝑥,,𝑚)   𝑅(,𝑚)   𝐹(,𝑚)   𝐺(,𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝐼(𝑥)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegleb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . . . . 5 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 mdegval.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 mdegval.a . . . . 5 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6 mdegval.h . . . . 5 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 26102 . . . 4 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
87adantr 480 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
98breq1d 5153 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺))
10 imassrn 6089 . . . 4 (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
115, 6tdeglem1 26097 . . . . . . 7 𝐻:𝐴⟶ℕ0
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
1312frnd 6744 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
14 nn0ssre 12530 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
15 ressxr 11305 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
1614, 15sstri 3993 . . . . 5 0 ⊆ ℝ*
1713, 16sstrdi 3996 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
1810, 17sstrid 3995 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
19 supxrleub 13368 . . 3 (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺))
2018, 19sylancom 588 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺))
2112ffnd 6737 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻 Fn 𝐴)
22 suppssdm 8202 . . . . 5 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
23 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹𝐵)
252, 23, 3, 5, 24mplelf 22018 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
2622, 25fssdm 6755 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
27 breq1 5146 . . . . 5 (𝑦 = (𝐻𝑥) → (𝑦𝐺 ↔ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
2827ralima 7257 . . . 4 ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
2921, 26, 28syl2anc 584 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
3025ffnd 6737 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐴)
314fvexi 6920 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 0 ∈ V)
33 elsuppfng 8194 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝐹𝐵0 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 )))
3430, 24, 32, 33syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 )))
35 fvex 6919 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑥) ∈ V
3635biantrur 530 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
37 eldifsn 4786 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
3836, 37bitr4i 278 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))
3938anbi2i 623 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
4034, 39bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))))
4140imbi1d 341 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺)))
42 impexp 450 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺)))
43 con34b 316 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
44 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐺 ∈ ℝ*)
4512ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℕ0)
4616, 45sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
47 xrltnle 11328 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑥) ∈ ℝ*) → (𝐺 < (𝐻𝑥) ↔ ¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
4844, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺 < (𝐻𝑥) ↔ ¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
4948bicomd 223 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺𝐺 < (𝐻𝑥)))
50 ianor 984 . . . . . . . . . . 11 (¬ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
5150, 37xchnxbir 333 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
52 orcom 871 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹𝑥) ∈ V))
5335notnoti 143 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ ¬ (𝐹𝑥) ∈ V
5453biorfri 940 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹𝑥) ∈ V))
55 nne 2944 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑥) = 0 )
5652, 54, 553bitr2i 299 . . . . . . . . . . 11 ((¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹𝑥) = 0 )
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → ((¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
5851, 57bitrid 283 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
5949, 58imbi12d 344 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → ((¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) ↔ (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
6043, 59bitrid 283 . . . . . . 7 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
6160pm5.74da 804 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))))
6242, 61bitrid 283 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥𝐴 → (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))))
6341, 62bitrd 279 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥𝐴 → (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))))
6463ralbidv2 3174 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
6529, 64bitrd 279 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
669, 20, 653bitrd 305 1 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  ran crn 5686  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185  m cmap 8866  Fincfn 8985  supcsup 9480  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  fldccnfld 21364   mPoly cmpl 21926   mDeg cmdg 26092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-cnfld 21365  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-mdeg 26094
This theorem is referenced by:  mdeglt  26104  mdegaddle  26113  mdegvscale  26114  mdegle0  26116  mdegmullem  26117  deg1leb  26134
  Copyright terms: Public domain W3C validator