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Theorem mbflimsup 25030
Description: The limit supremum of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflimsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbflimsup.2 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)))
mbflimsup.h 𝐻 = (𝑚 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛𝑍𝐵) “ (𝑚[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
mbflimsup.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbflimsup.4 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ)
mbflimsup.5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbflimsup.6 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbflimsup (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐵,𝑚   𝜑,𝑛,𝑥   𝑚,𝑀   𝑚,𝑛,𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem mbflimsup
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflimsup.2 . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)))
2 mbflimsup.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑚 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛𝑍𝐵) “ (𝑚[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3 mbflimsup.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
43fvexi 6856 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V
54mptex 7173 . . . . . . 7 (𝑛𝑍𝐵) ∈ V
65a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ∈ V)
7 uzssz 12784 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
83, 7eqsstri 3978 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℤ
9 zssre 12506 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ
108, 9sstri 3953 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℝ
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑍 ⊆ ℝ)
12 mbflimsup.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
133uzsup 13768 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
162, 6, 11, 15limsupval2 15362 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) = inf((𝐻𝑍), ℝ*, < ))
17 imassrn 6024 . . . . . . 7 (𝐻𝑍) ⊆ ran 𝐻
1812adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
19 mbflimsup.6 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2019anass1rs 653 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2120fmpttd 7063 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
22 mbflimsup.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ)
2322ltpnfd 13042 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) < +∞)
242, 3limsupgre 15363 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) < +∞) → 𝐻:ℝ⟶ℝ)
2518, 21, 23, 24syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐻:ℝ⟶ℝ)
2625frnd 6676 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ran 𝐻 ⊆ ℝ)
2717, 26sstrid 3955 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) ⊆ ℝ)
2825fdmd 6679 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → dom 𝐻 = ℝ)
2928ineq1d 4171 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (dom 𝐻𝑍) = (ℝ ∩ 𝑍))
30 sseqin2 4175 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝑍) = 𝑍)
3110, 30mpbi 229 . . . . . . . . 9 (ℝ ∩ 𝑍) = 𝑍
3229, 31eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (dom 𝐻𝑍) = 𝑍)
33 uzid 12778 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
3412, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
3534, 3eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀𝑍)
3635adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑍)
3736ne0d 4295 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑍 ≠ ∅)
3832, 37eqnetrd 3011 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (dom 𝐻𝑍) ≠ ∅)
39 imadisj 6032 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑍) = ∅ ↔ (dom 𝐻𝑍) = ∅)
4039necon3bii 2996 . . . . . . 7 ((𝐻𝑍) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐻𝑍) ≠ ∅)
4138, 40sylibr 233 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) ≠ ∅)
4222leidd 11721 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)))
4320rexrd 11205 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4443fmpttd 7063 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ*)
4522rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ*)
462limsuple 15360 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ⊆ ℝ ∧ (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ* ∧ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ*) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
4711, 44, 45, 46syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
4842, 47mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦))
49 ssralv 4010 . . . . . . . . 9 (𝑍 ⊆ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦) → ∀𝑦𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
5010, 48, 49mpsyl 68 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦))
512limsupgf 15357 . . . . . . . . . 10 𝐻:ℝ⟶ℝ*
52 ffn 6668 . . . . . . . . . 10 (𝐻:ℝ⟶ℝ*𝐻 Fn ℝ)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐻 Fn ℝ
54 breq2 5109 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐻𝑦) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧 ↔ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
5554ralima 7188 . . . . . . . . 9 ((𝐻 Fn ℝ ∧ 𝑍 ⊆ ℝ) → (∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)(lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
5653, 11, 55sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)(lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
5750, 56mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)(lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧)
58 breq1 5108 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) → (𝑦𝑧 ↔ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧))
5958ralbidv 3174 . . . . . . . 8 (𝑦 = (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) → (∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)𝑦𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)(lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧))
6059rspcev 3581 . . . . . . 7 (((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)(lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)𝑦𝑧)
6122, 57, 60syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)𝑦𝑧)
62 infxrre 13255 . . . . . 6 (((𝐻𝑍) ⊆ ℝ ∧ (𝐻𝑍) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)𝑦𝑧) → inf((𝐻𝑍), ℝ*, < ) = inf((𝐻𝑍), ℝ, < ))
6327, 41, 61, 62syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → inf((𝐻𝑍), ℝ*, < ) = inf((𝐻𝑍), ℝ, < ))
64 df-ima 5646 . . . . . . 7 (𝐻𝑍) = ran (𝐻𝑍)
6525feqmptd 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐻 = (𝑖 ∈ ℝ ↦ (𝐻𝑖)))
6665reseq1d 5936 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) = ((𝑖 ∈ ℝ ↦ (𝐻𝑖)) ↾ 𝑍))
67 resmpt 5991 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ⊆ ℝ → ((𝑖 ∈ ℝ ↦ (𝐻𝑖)) ↾ 𝑍) = (𝑖𝑍 ↦ (𝐻𝑖)))
6810, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℝ ↦ (𝐻𝑖)) ↾ 𝑍) = (𝑖𝑍 ↦ (𝐻𝑖))
6966, 68eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) = (𝑖𝑍 ↦ (𝐻𝑖)))
7010sseli 3940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝑍𝑖 ∈ ℝ)
71 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐻:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝐻𝑖) ∈ ℝ)
7225, 70, 71syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐻𝑖) ∈ ℝ)
7372rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐻𝑖) ∈ ℝ*)
74 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
753uztrn2 12782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑛𝑍)
7675adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑛𝑍)
77 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑥𝐴)
7874, 76, 77, 19syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7978fmpttd 7063 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵):(ℤ𝑖)⟶ℝ)
8079frnd 6676 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
81 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)
8281, 78dmmptd 6646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → dom (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) = (ℤ𝑖))
83 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
8483, 3eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
85 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
8786adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
88 uzid 12778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ (ℤ𝑖))
89 ne0i 4294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (ℤ𝑖) → (ℤ𝑖) ≠ ∅)
9087, 88, 893syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (ℤ𝑖) ≠ ∅)
9182, 90eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → dom (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅)
92 dm0rn0 5880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) = ∅)
9392necon3bii 2996 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅ ↔ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅)
9491, 93sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅)
9584adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
96 uzss 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
9897, 3sseqtrrdi 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (ℤ𝑖) ⊆ 𝑍)
9972leidd 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐻𝑖) ≤ (𝐻𝑖))
10010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑍 ⊆ ℝ)
10144adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ*)
102 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
10310, 102sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℝ)
1042limsupgle 15359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ*) ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝐻𝑖) ∈ ℝ*) → ((𝐻𝑖) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
105100, 101, 103, 73, 104syl211anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ((𝐻𝑖) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
10699, 105mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
107 ssralv 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℤ𝑖) ⊆ 𝑍 → (∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
10898, 106, 107sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
10998adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (ℤ𝑖) ⊆ 𝑍)
110109resmptd 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑛𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑖)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵))
111110fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑛𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑖))‘𝑘) = ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘))
112 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑖) → (((𝑛𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑖))‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
113112adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑛𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑖))‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
114111, 113eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
115114breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
116 eluzle 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑖) → 𝑖𝑘)
117116adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑖𝑘)
118 biimt 360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖𝑘 → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖) ↔ (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖) ↔ (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
120115, 119bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖) ↔ (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
121120ralbidva 3172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
122108, 121mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))
123 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵):(ℤ𝑖)⟶ℝ → (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) Fn (ℤ𝑖))
124 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) → (𝑧 ≤ (𝐻𝑖) ↔ ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
125124ralrn 7038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) Fn (ℤ𝑖) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
12679, 123, 1253syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
127122, 126mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖))
128 brralrspcev 5165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐻𝑖) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦)
12972, 127, 128syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦)
13080, 94, 129suprcld 12118 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
131130rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
13280adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
13394adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅)
134129adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦)
1358sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
136 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑖) ↔ 𝑖𝑘))
13787, 135, 136syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑖) ↔ 𝑖𝑘))
138137biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑖𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑖)))
139138impr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑖))
140139, 114syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
14179adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵):(ℤ𝑖)⟶ℝ)
142141, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) Fn (ℤ𝑖))
143 fnfvelrn 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) Fn (ℤ𝑖) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵))
144142, 139, 143syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵))
145140, 144eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵))
146132, 133, 134, 145suprubd 12117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
147146expr 457 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
148147ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
1492limsupgle 15359 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ*) ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ*) → ((𝐻𝑖) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))))
150100, 101, 103, 131, 149syl211anc 1376 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ((𝐻𝑖) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))))
151148, 150mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐻𝑖) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
152 suprleub 12121 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦) ∧ (𝐻𝑖) ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖)))
15380, 94, 129, 72, 152syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖)))
154127, 153mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ (𝐻𝑖))
15573, 131, 151, 154xrletrid 13074 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐻𝑖) = sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
156155mpteq2dva 5205 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑖𝑍 ↦ (𝐻𝑖)) = (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
15769, 156eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) = (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
158157rneqd 5893 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝐻𝑍) = ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
15964, 158eqtrid 2788 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) = ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
160159infeq1d 9413 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → inf((𝐻𝑍), ℝ, < ) = inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < ))
16116, 63, 1603eqtrd 2780 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) = inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < ))
162161mpteq2dva 5205 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < )))
1631, 162eqtrid 2788 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < )))
164 eqid 2736 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < )) = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < ))
165 eqid 2736 . . . 4 (ℤ𝑖) = (ℤ𝑖)
166 eqid 2736 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )) = (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
167 simpll 765 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
16875adantll 712 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑛𝑍)
169 mbflimsup.5 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
170167, 168, 169syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
171 simpll 765 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝜑)
17275ad2ant2lr 746 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑛𝑍)
173 simprr 771 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥𝐴)
174171, 172, 173, 19syl12anc 835 . . . 4 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17578ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵 ∈ ℝ)
176 breq1 5108 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧𝑦𝐵𝑦))
17781, 176ralrnmptw 7044 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
178175, 177syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
179178rexbidv 3175 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
180129, 179mpbid 231 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦)
181180an32s 650 . . . 4 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦)
182165, 166, 86, 170, 174, 181mbfsup 25028 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )) ∈ MblFn)
183130an32s 650 . . . 4 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
184183anasss 467 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑍𝑥𝐴)) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
1852limsuple 15360 . . . . . . . 8 ((𝑍 ⊆ ℝ ∧ (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ* ∧ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ*) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖)))
18611, 44, 45, 185syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖)))
18742, 186mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑖 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖))
188 ssralv 4010 . . . . . 6 (𝑍 ⊆ ℝ → (∀𝑖 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖) → ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖)))
18910, 187, 188mpsyl 68 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖))
190155breq2d 5117 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖) ↔ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
191190ralbidva 3172 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
192189, 191mpbid 231 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
193 breq1 5108 . . . . . 6 (𝑦 = (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) → (𝑦 ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ↔ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
194193ralbidv 3174 . . . . 5 (𝑦 = (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) → (∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ↔ ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
195194rspcev 3581 . . . 4 (((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
19622, 192, 195syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
1973, 164, 12, 182, 184, 196mbfinf 25029 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < )) ∈ MblFn)
198163, 197eqeltrd 2838 1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  infcinf 9377  cr 11050  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cz 12499  cuz 12763  [,)cico 13266  lim supclsp 15352  MblFncmbf 24978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983
This theorem is referenced by:  mbflimlem  25031
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