Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | mbflimsup.2 |
. . 3
β’ πΊ = (π₯ β π΄ β¦ (lim supβ(π β π β¦ π΅))) |
2 | | mbflimsup.h |
. . . . . 6
β’ π» = (π β β β¦ sup((((π β π β¦ π΅) β (π[,)+β)) β© β*),
β*, < )) |
3 | | mbflimsup.1 |
. . . . . . . . 9
β’ π =
(β€β₯βπ) |
4 | 3 | fvexi 6861 |
. . . . . . . 8
β’ π β V |
5 | 4 | mptex 7178 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β¦ π΅) β V |
6 | 5 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π β π β¦ π΅) β V) |
7 | | uzssz 12791 |
. . . . . . . . 9
β’
(β€β₯βπ) β β€ |
8 | 3, 7 | eqsstri 3983 |
. . . . . . . 8
β’ π β
β€ |
9 | | zssre 12513 |
. . . . . . . 8
β’ β€
β β |
10 | 8, 9 | sstri 3958 |
. . . . . . 7
β’ π β
β |
11 | 10 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β π β β) |
12 | | mbflimsup.3 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β β€) |
13 | 3 | uzsup 13775 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β€ β sup(π, β*, < ) =
+β) |
14 | 12, 13 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (π β sup(π, β*, < ) =
+β) |
15 | 14 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β sup(π, β*, < ) =
+β) |
16 | 2, 6, 11, 15 | limsupval2 15369 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (lim supβ(π β π β¦ π΅)) = inf((π» β π), β*, <
)) |
17 | | imassrn 6029 |
. . . . . . 7
β’ (π» β π) β ran π» |
18 | 12 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β π β β€) |
19 | | mbflimsup.6 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ (π β π β§ π₯ β π΄)) β π΅ β β) |
20 | 19 | anass1rs 654 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β π΅ β β) |
21 | 20 | fmpttd 7068 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π β π β¦ π΅):πβΆβ) |
22 | | mbflimsup.4 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β β) |
23 | 22 | ltpnfd 13049 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (lim supβ(π β π β¦ π΅)) < +β) |
24 | 2, 3 | limsupgre 15370 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β β€ β§ (π β π β¦ π΅):πβΆβ β§ (lim supβ(π β π β¦ π΅)) < +β) β π»:ββΆβ) |
25 | 18, 21, 23, 24 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β π»:ββΆβ) |
26 | 25 | frnd 6681 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β ran π» β β) |
27 | 17, 26 | sstrid 3960 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π» β π) β β) |
28 | 25 | fdmd 6684 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β dom π» = β) |
29 | 28 | ineq1d 4176 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (dom π» β© π) = (β β© π)) |
30 | | sseqin2 4180 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β β (β
β© π) = π) |
31 | 10, 30 | mpbi 229 |
. . . . . . . . 9
β’ (β
β© π) = π |
32 | 29, 31 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (dom π» β© π) = π) |
33 | | uzid 12785 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β€ β π β
(β€β₯βπ)) |
34 | 12, 33 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β (β€β₯βπ)) |
35 | 34, 3 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β π) |
36 | 35 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β π β π) |
37 | 36 | ne0d 4300 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β π β β
) |
38 | 32, 37 | eqnetrd 3012 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (dom π» β© π) β β
) |
39 | | imadisj 6037 |
. . . . . . . 8
β’ ((π» β π) = β
β (dom π» β© π) = β
) |
40 | 39 | necon3bii 2997 |
. . . . . . 7
β’ ((π» β π) β β
β (dom π» β© π) β β
) |
41 | 38, 40 | sylibr 233 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π» β π) β β
) |
42 | 22 | leidd 11728 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (lim supβ(π β π β¦ π΅))) |
43 | 20 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β π΅ β
β*) |
44 | 43 | fmpttd 7068 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π β π β¦ π΅):πβΆβ*) |
45 | 22 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β
β*) |
46 | 2 | limsuple 15367 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β β β§ (π β π β¦ π΅):πβΆβ* β§ (lim
supβ(π β π β¦ π΅)) β β*) β ((lim
supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β βπ¦ β β (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (π»βπ¦))) |
47 | 11, 44, 45, 46 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β ((lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β βπ¦ β β (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (π»βπ¦))) |
48 | 42, 47 | mpbid 231 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β βπ¦ β β (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (π»βπ¦)) |
49 | | ssralv 4015 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β
(βπ¦ β β
(lim supβ(π β
π β¦ π΅)) β€ (π»βπ¦) β βπ¦ β π (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (π»βπ¦))) |
50 | 10, 48, 49 | mpsyl 68 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β βπ¦ β π (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (π»βπ¦)) |
51 | 2 | limsupgf 15364 |
. . . . . . . . . 10
β’ π»:ββΆβ* |
52 | | ffn 6673 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π»:ββΆβ* β
π» Fn
β) |
53 | 51, 52 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
β’ π» Fn β |
54 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π§ = (π»βπ¦) β ((lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ π§ β (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (π»βπ¦))) |
55 | 54 | ralima 7193 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π» Fn β β§ π β β) β
(βπ§ β (π» β π)(lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ π§ β βπ¦ β π (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (π»βπ¦))) |
56 | 53, 11, 55 | sylancr 588 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (βπ§ β (π» β π)(lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ π§ β βπ¦ β π (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (π»βπ¦))) |
57 | 50, 56 | mpbird 257 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β βπ§ β (π» β π)(lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ π§) |
58 | | breq1 5113 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ = (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β (π¦ β€ π§ β (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ π§)) |
59 | 58 | ralbidv 3175 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ = (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β (βπ§ β (π» β π)π¦ β€ π§ β βπ§ β (π» β π)(lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ π§)) |
60 | 59 | rspcev 3584 |
. . . . . . 7
β’ (((lim
supβ(π β π β¦ π΅)) β β β§ βπ§ β (π» β π)(lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ π§) β βπ¦ β β βπ§ β (π» β π)π¦ β€ π§) |
61 | 22, 57, 60 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β βπ¦ β β βπ§ β (π» β π)π¦ β€ π§) |
62 | | infxrre 13262 |
. . . . . 6
β’ (((π» β π) β β β§ (π» β π) β β
β§ βπ¦ β β βπ§ β (π» β π)π¦ β€ π§) β inf((π» β π), β*, < ) = inf((π» β π), β, < )) |
63 | 27, 41, 61, 62 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β inf((π» β π), β*, < ) = inf((π» β π), β, < )) |
64 | | df-ima 5651 |
. . . . . . 7
β’ (π» β π) = ran (π» βΎ π) |
65 | 25 | feqmptd 6915 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β π» = (π β β β¦ (π»βπ))) |
66 | 65 | reseq1d 5941 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π» βΎ π) = ((π β β β¦ (π»βπ)) βΎ π)) |
67 | | resmpt 5996 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β ((π β β β¦ (π»βπ)) βΎ π) = (π β π β¦ (π»βπ))) |
68 | 10, 67 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β β β¦ (π»βπ)) βΎ π) = (π β π β¦ (π»βπ)) |
69 | 66, 68 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π» βΎ π) = (π β π β¦ (π»βπ))) |
70 | 10 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π β π β β) |
71 | | ffvelcdm 7037 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π»:ββΆβ β§
π β β) β
(π»βπ) β β) |
72 | 25, 70, 71 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β (π»βπ) β β) |
73 | 72 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β (π»βπ) β
β*) |
74 | | simplll 774 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β π) |
75 | 3 | uztrn2 12789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β π β§ π β (β€β₯βπ)) β π β π) |
76 | 75 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β π β π) |
77 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β π₯ β π΄) |
78 | 74, 76, 77, 19 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β π΅ β β) |
79 | 78 | fmpttd 7068 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅):(β€β₯βπ)βΆβ) |
80 | 79 | frnd 6681 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅) β β) |
81 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β
(β€β₯βπ) β¦ π΅) = (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅) |
82 | 81, 78 | dmmptd 6651 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β dom (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅) = (β€β₯βπ)) |
83 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β π) β π β π) |
84 | 83, 3 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β π) β π β (β€β₯βπ)) |
85 | | eluzelz 12780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β β€) |
86 | 84, 85 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β π) β π β β€) |
87 | 86 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β π β β€) |
88 | | uzid 12785 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β€ β π β
(β€β₯βπ)) |
89 | | ne0i 4299 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (β€β₯βπ) β β
) |
90 | 87, 88, 89 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β (β€β₯βπ) β β
) |
91 | 82, 90 | eqnetrd 3012 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β dom (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅) β β
) |
92 | | dm0rn0 5885 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (dom
(π β
(β€β₯βπ) β¦ π΅) = β
β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅) = β
) |
93 | 92 | necon3bii 2997 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (dom
(π β
(β€β₯βπ) β¦ π΅) β β
β ran (π β
(β€β₯βπ) β¦ π΅) β β
) |
94 | 91, 93 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅) β β
) |
95 | 84 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β π β (β€β₯βπ)) |
96 | | uzss 12793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (β€β₯βπ) β
(β€β₯βπ)) |
97 | 95, 96 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β (β€β₯βπ) β
(β€β₯βπ)) |
98 | 97, 3 | sseqtrrdi 4000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β (β€β₯βπ) β π) |
99 | 72 | leidd 11728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β (π»βπ) β€ (π»βπ)) |
100 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β π β β) |
101 | 44 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β (π β π β¦ π΅):πβΆβ*) |
102 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β π β π) |
103 | 10, 102 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β π β β) |
104 | 2 | limsupgle 15366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β β β§ (π β π β¦ π΅):πβΆβ*) β§ π β β β§ (π»βπ) β β*) β ((π»βπ) β€ (π»βπ) β βπ β π (π β€ π β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ)))) |
105 | 100, 101,
103, 73, 104 | syl211anc 1377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β ((π»βπ) β€ (π»βπ) β βπ β π (π β€ π β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ)))) |
106 | 99, 105 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β βπ β π (π β€ π β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ))) |
107 | | ssralv 4015 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
((β€β₯βπ) β π β (βπ β π (π β€ π β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ)) β βπ β (β€β₯βπ)(π β€ π β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ)))) |
108 | 98, 106, 107 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β βπ β (β€β₯βπ)(π β€ π β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ))) |
109 | 98 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β
(β€β₯βπ) β π) |
110 | 109 | resmptd 5999 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β ((π β π β¦ π΅) βΎ
(β€β₯βπ)) = (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)) |
111 | 110 | fveq1d 6849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β (((π β π β¦ π΅) βΎ
(β€β₯βπ))βπ) = ((π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)βπ)) |
112 | | fvres 6866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (((π β π β¦ π΅) βΎ
(β€β₯βπ))βπ) = ((π β π β¦ π΅)βπ)) |
113 | 112 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β (((π β π β¦ π΅) βΎ
(β€β₯βπ))βπ) = ((π β π β¦ π΅)βπ)) |
114 | 111, 113 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β ((π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)βπ) = ((π β π β¦ π΅)βπ)) |
115 | 114 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β (((π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ) β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ))) |
116 | | eluzle 12783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β€ π) |
117 | 116 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β π β€ π) |
118 | | biimt 361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β€ π β (((π β π β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ) β (π β€ π β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ)))) |
119 | 117, 118 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β (((π β π β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ) β (π β€ π β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ)))) |
120 | 115, 119 | bitrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β (((π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ) β (π β€ π β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ)))) |
121 | 120 | ralbidva 3173 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β (βπ β (β€β₯βπ)((π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ) β βπ β (β€β₯βπ)(π β€ π β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ)))) |
122 | 108, 121 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β βπ β (β€β₯βπ)((π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ)) |
123 | | ffn 6673 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β
(β€β₯βπ) β¦ π΅):(β€β₯βπ)βΆβ β (π β
(β€β₯βπ) β¦ π΅) Fn (β€β₯βπ)) |
124 | | breq1 5113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π§ = ((π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)βπ) β (π§ β€ (π»βπ) β ((π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ))) |
125 | 124 | ralrn 7043 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β
(β€β₯βπ) β¦ π΅) Fn (β€β₯βπ) β (βπ§ β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)π§ β€ (π»βπ) β βπ β (β€β₯βπ)((π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ))) |
126 | 79, 123, 125 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β (βπ§ β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)π§ β€ (π»βπ) β βπ β (β€β₯βπ)((π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)βπ) β€ (π»βπ))) |
127 | 122, 126 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β βπ§ β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)π§ β€ (π»βπ)) |
128 | | brralrspcev 5170 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π»βπ) β β β§ βπ§ β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)π§ β€ (π»βπ)) β βπ¦ β β βπ§ β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)π§ β€ π¦) |
129 | 72, 127, 128 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β βπ¦ β β βπ§ β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)π§ β€ π¦) |
130 | 80, 94, 129 | suprcld 12125 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ) β
β) |
131 | 130 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ) β
β*) |
132 | 80 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ (π β π β§ π β€ π)) β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅) β β) |
133 | 94 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ (π β π β§ π β€ π)) β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅) β β
) |
134 | 129 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ (π β π β§ π β€ π)) β βπ¦ β β βπ§ β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)π§ β€ π¦) |
135 | 8 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β π β π β β€) |
136 | | eluz 12784 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β (π β
(β€β₯βπ) β π β€ π)) |
137 | 87, 135, 136 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β π) β (π β (β€β₯βπ) β π β€ π)) |
138 | 137 | biimprd 248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β π) β (π β€ π β π β (β€β₯βπ))) |
139 | 138 | impr 456 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ (π β π β§ π β€ π)) β π β (β€β₯βπ)) |
140 | 139, 114 | syldan 592 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ (π β π β§ π β€ π)) β ((π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)βπ) = ((π β π β¦ π΅)βπ)) |
141 | 79 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ (π β π β§ π β€ π)) β (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅):(β€β₯βπ)βΆβ) |
142 | 141, 123 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ (π β π β§ π β€ π)) β (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅) Fn (β€β₯βπ)) |
143 | | fnfvelrn 7036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β
(β€β₯βπ) β¦ π΅) Fn (β€β₯βπ) β§ π β (β€β₯βπ)) β ((π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)βπ) β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)) |
144 | 142, 139,
143 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ (π β π β§ π β€ π)) β ((π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)βπ) β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)) |
145 | 140, 144 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ (π β π β§ π β€ π)) β ((π β π β¦ π΅)βπ) β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)) |
146 | 132, 133,
134, 145 | suprubd 12124 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ (π β π β§ π β€ π)) β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )) |
147 | 146 | expr 458 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β§ π β π) β (π β€ π β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ))) |
148 | 147 | ralrimiva 3144 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β βπ β π (π β€ π β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ))) |
149 | 2 | limsupgle 15366 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β β β§ (π β π β¦ π΅):πβΆβ*) β§ π β β β§ sup(ran
(π β
(β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ) β
β*) β ((π»βπ) β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ) β βπ β π (π β€ π β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )))) |
150 | 100, 101,
103, 131, 149 | syl211anc 1377 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β ((π»βπ) β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ) β βπ β π (π β€ π β ((π β π β¦ π΅)βπ) β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )))) |
151 | 148, 150 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β (π»βπ) β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )) |
152 | | suprleub 12128 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((ran
(π β
(β€β₯βπ) β¦ π΅) β β β§ ran (π β
(β€β₯βπ) β¦ π΅) β β
β§ βπ¦ β β βπ§ β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)π§ β€ π¦) β§ (π»βπ) β β) β (sup(ran (π β
(β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ) β€ (π»βπ) β βπ§ β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)π§ β€ (π»βπ))) |
153 | 80, 94, 129, 72, 152 | syl31anc 1374 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β (sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ) β€ (π»βπ) β βπ§ β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)π§ β€ (π»βπ))) |
154 | 127, 153 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ) β€ (π»βπ)) |
155 | 73, 131, 151, 154 | xrletrid 13081 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β (π»βπ) = sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )) |
156 | 155 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π β π β¦ (π»βπ)) = (π β π β¦ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ))) |
157 | 69, 156 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π» βΎ π) = (π β π β¦ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ))) |
158 | 157 | rneqd 5898 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β ran (π» βΎ π) = ran (π β π β¦ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ))) |
159 | 64, 158 | eqtrid 2789 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π» β π) = ran (π β π β¦ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ))) |
160 | 159 | infeq1d 9420 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β inf((π» β π), β, < ) = inf(ran (π β π β¦ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )), β, <
)) |
161 | 16, 63, 160 | 3eqtrd 2781 |
. . . 4
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (lim supβ(π β π β¦ π΅)) = inf(ran (π β π β¦ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )), β, <
)) |
162 | 161 | mpteq2dva 5210 |
. . 3
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ (lim supβ(π β π β¦ π΅))) = (π₯ β π΄ β¦ inf(ran (π β π β¦ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )), β, <
))) |
163 | 1, 162 | eqtrid 2789 |
. 2
β’ (π β πΊ = (π₯ β π΄ β¦ inf(ran (π β π β¦ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )), β, <
))) |
164 | | eqid 2737 |
. . 3
β’ (π₯ β π΄ β¦ inf(ran (π β π β¦ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )), β, < )) =
(π₯ β π΄ β¦ inf(ran (π β π β¦ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )), β, <
)) |
165 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’
(β€β₯βπ) = (β€β₯βπ) |
166 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’ (π₯ β π΄ β¦ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )) = (π₯ β π΄ β¦ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )) |
167 | | simpll 766 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β π) |
168 | 75 | adantll 713 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β π β π) |
169 | | mbflimsup.5 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π) β (π₯ β π΄ β¦ π΅) β MblFn) |
170 | 167, 168,
169 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β (π₯ β π΄ β¦ π΅) β MblFn) |
171 | | simpll 766 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β π) β§ (π β (β€β₯βπ) β§ π₯ β π΄)) β π) |
172 | 75 | ad2ant2lr 747 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β π) β§ (π β (β€β₯βπ) β§ π₯ β π΄)) β π β π) |
173 | | simprr 772 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β π) β§ (π β (β€β₯βπ) β§ π₯ β π΄)) β π₯ β π΄) |
174 | 171, 172,
173, 19 | syl12anc 836 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β π) β§ (π β (β€β₯βπ) β§ π₯ β π΄)) β π΅ β β) |
175 | 78 | ralrimiva 3144 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β βπ β (β€β₯βπ)π΅ β β) |
176 | | breq1 5113 |
. . . . . . . . 9
β’ (π§ = π΅ β (π§ β€ π¦ β π΅ β€ π¦)) |
177 | 81, 176 | ralrnmptw 7049 |
. . . . . . . 8
β’
(βπ β
(β€β₯βπ)π΅ β β β (βπ§ β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)π§ β€ π¦ β βπ β (β€β₯βπ)π΅ β€ π¦)) |
178 | 175, 177 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β (βπ§ β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)π§ β€ π¦ β βπ β (β€β₯βπ)π΅ β€ π¦)) |
179 | 178 | rexbidv 3176 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β (βπ¦ β β βπ§ β ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅)π§ β€ π¦ β βπ¦ β β βπ β (β€β₯βπ)π΅ β€ π¦)) |
180 | 129, 179 | mpbid 231 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β βπ¦ β β βπ β (β€β₯βπ)π΅ β€ π¦) |
181 | 180 | an32s 651 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β π) β§ π₯ β π΄) β βπ¦ β β βπ β (β€β₯βπ)π΅ β€ π¦) |
182 | 165, 166,
86, 170, 174, 181 | mbfsup 25044 |
. . 3
β’ ((π β§ π β π) β (π₯ β π΄ β¦ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )) β
MblFn) |
183 | 130 | an32s 651 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β π) β§ π₯ β π΄) β sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ) β
β) |
184 | 183 | anasss 468 |
. . 3
β’ ((π β§ (π β π β§ π₯ β π΄)) β sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ) β
β) |
185 | 2 | limsuple 15367 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β β β§ (π β π β¦ π΅):πβΆβ* β§ (lim
supβ(π β π β¦ π΅)) β β*) β ((lim
supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β βπ β β (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (π»βπ))) |
186 | 11, 44, 45, 185 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β ((lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β βπ β β (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (π»βπ))) |
187 | 42, 186 | mpbid 231 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β βπ β β (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (π»βπ)) |
188 | | ssralv 4015 |
. . . . . 6
β’ (π β β β
(βπ β β
(lim supβ(π β
π β¦ π΅)) β€ (π»βπ) β βπ β π (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (π»βπ))) |
189 | 10, 187, 188 | mpsyl 68 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β βπ β π (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (π»βπ)) |
190 | 155 | breq2d 5122 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π₯ β π΄) β§ π β π) β ((lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (π»βπ) β (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ))) |
191 | 190 | ralbidva 3173 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (βπ β π (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ (π»βπ) β βπ β π (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ))) |
192 | 189, 191 | mpbid 231 |
. . . 4
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β βπ β π (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )) |
193 | | breq1 5113 |
. . . . . 6
β’ (π¦ = (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β (π¦ β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ) β (lim
supβ(π β π β¦ π΅)) β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ))) |
194 | 193 | ralbidv 3175 |
. . . . 5
β’ (π¦ = (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β (βπ β π π¦ β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ) β βπ β π (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < ))) |
195 | 194 | rspcev 3584 |
. . . 4
β’ (((lim
supβ(π β π β¦ π΅)) β β β§ βπ β π (lim supβ(π β π β¦ π΅)) β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )) β βπ¦ β β βπ β π π¦ β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )) |
196 | 22, 192, 195 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β βπ¦ β β βπ β π π¦ β€ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )) |
197 | 3, 164, 12, 182, 184, 196 | mbfinf 25045 |
. 2
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ inf(ran (π β π β¦ sup(ran (π β (β€β₯βπ) β¦ π΅), β, < )), β, < )) β
MblFn) |
198 | 163, 197 | eqeltrd 2838 |
1
β’ (π β πΊ β MblFn) |