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Theorem mbflimsup 23738
Description: The limit supremum of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflimsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbflimsup.2 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)))
mbflimsup.h 𝐻 = (𝑚 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛𝑍𝐵) “ (𝑚[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
mbflimsup.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbflimsup.4 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ)
mbflimsup.5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbflimsup.6 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbflimsup (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐵,𝑚   𝜑,𝑛,𝑥   𝑚,𝑀   𝑚,𝑛,𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem mbflimsup
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflimsup.2 . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)))
2 mbflimsup.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑚 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛𝑍𝐵) “ (𝑚[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3 mbflimsup.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
43fvexi 6393 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V
54mptex 6683 . . . . . . 7 (𝑛𝑍𝐵) ∈ V
65a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ∈ V)
7 uzssz 11911 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
83, 7eqsstri 3797 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℤ
9 zssre 11635 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ
108, 9sstri 3772 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℝ
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑍 ⊆ ℝ)
12 mbflimsup.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
133uzsup 12875 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1514adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
162, 6, 11, 15limsupval2 14510 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) = inf((𝐻𝑍), ℝ*, < ))
17 imassrn 5661 . . . . . . 7 (𝐻𝑍) ⊆ ran 𝐻
1812adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
19 mbflimsup.6 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2019anass1rs 645 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2120fmpttd 6579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
22 mbflimsup.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ)
2322ltpnfd 12160 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) < +∞)
242, 3limsupgre 14511 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) < +∞) → 𝐻:ℝ⟶ℝ)
2518, 21, 23, 24syl3anc 1490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐻:ℝ⟶ℝ)
2625frnd 6232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ran 𝐻 ⊆ ℝ)
2717, 26syl5ss 3774 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) ⊆ ℝ)
2825fdmd 6234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → dom 𝐻 = ℝ)
2928ineq1d 3977 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (dom 𝐻𝑍) = (ℝ ∩ 𝑍))
30 sseqin2 3981 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝑍) = 𝑍)
3110, 30mpbi 221 . . . . . . . . 9 (ℝ ∩ 𝑍) = 𝑍
3229, 31syl6eq 2815 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (dom 𝐻𝑍) = 𝑍)
33 uzid 11906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
3412, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
3534, 3syl6eleqr 2855 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀𝑍)
3635adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑍)
3736ne0d 4088 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑍 ≠ ∅)
3832, 37eqnetrd 3004 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (dom 𝐻𝑍) ≠ ∅)
39 imadisj 5668 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑍) = ∅ ↔ (dom 𝐻𝑍) = ∅)
4039necon3bii 2989 . . . . . . 7 ((𝐻𝑍) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐻𝑍) ≠ ∅)
4138, 40sylibr 225 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) ≠ ∅)
4222leidd 10852 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)))
4320rexrd 10347 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4443fmpttd 6579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ*)
4522rexrd 10347 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ*)
462limsuple 14508 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ⊆ ℝ ∧ (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ* ∧ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ*) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
4711, 44, 45, 46syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
4842, 47mpbid 223 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦))
49 ssralv 3828 . . . . . . . . 9 (𝑍 ⊆ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦) → ∀𝑦𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
5010, 48, 49mpsyl 68 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦))
512limsupgf 14505 . . . . . . . . . 10 𝐻:ℝ⟶ℝ*
52 ffn 6225 . . . . . . . . . 10 (𝐻:ℝ⟶ℝ*𝐻 Fn ℝ)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐻 Fn ℝ
54 breq2 4815 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐻𝑦) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧 ↔ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
5554ralima 6695 . . . . . . . . 9 ((𝐻 Fn ℝ ∧ 𝑍 ⊆ ℝ) → (∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)(lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
5653, 11, 55sylancr 581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)(lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
5750, 56mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)(lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧)
58 breq1 4814 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) → (𝑦𝑧 ↔ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧))
5958ralbidv 3133 . . . . . . . 8 (𝑦 = (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) → (∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)𝑦𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)(lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧))
6059rspcev 3462 . . . . . . 7 (((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)(lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)𝑦𝑧)
6122, 57, 60syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)𝑦𝑧)
62 infxrre 12373 . . . . . 6 (((𝐻𝑍) ⊆ ℝ ∧ (𝐻𝑍) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)𝑦𝑧) → inf((𝐻𝑍), ℝ*, < ) = inf((𝐻𝑍), ℝ, < ))
6327, 41, 61, 62syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → inf((𝐻𝑍), ℝ*, < ) = inf((𝐻𝑍), ℝ, < ))
64 df-ima 5292 . . . . . . 7 (𝐻𝑍) = ran (𝐻𝑍)
6525feqmptd 6442 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐻 = (𝑖 ∈ ℝ ↦ (𝐻𝑖)))
6665reseq1d 5566 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) = ((𝑖 ∈ ℝ ↦ (𝐻𝑖)) ↾ 𝑍))
67 resmpt 5628 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ⊆ ℝ → ((𝑖 ∈ ℝ ↦ (𝐻𝑖)) ↾ 𝑍) = (𝑖𝑍 ↦ (𝐻𝑖)))
6810, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℝ ↦ (𝐻𝑖)) ↾ 𝑍) = (𝑖𝑍 ↦ (𝐻𝑖))
6966, 68syl6eq 2815 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) = (𝑖𝑍 ↦ (𝐻𝑖)))
7010sseli 3759 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝑍𝑖 ∈ ℝ)
71 ffvelrn 6551 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐻:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝐻𝑖) ∈ ℝ)
7225, 70, 71syl2an 589 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐻𝑖) ∈ ℝ)
7372rexrd 10347 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐻𝑖) ∈ ℝ*)
74 simplll 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
753uztrn2 11909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑛𝑍)
7675adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑛𝑍)
77 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑥𝐴)
7874, 76, 77, 19syl12anc 865 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7978fmpttd 6579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵):(ℤ𝑖)⟶ℝ)
8079frnd 6232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
81 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)
8281, 78dmmptd 6204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → dom (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) = (ℤ𝑖))
83 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
8483, 3syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
85 eluzelz 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
8786adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
88 uzid 11906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ (ℤ𝑖))
89 ne0i 4087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (ℤ𝑖) → (ℤ𝑖) ≠ ∅)
9087, 88, 893syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (ℤ𝑖) ≠ ∅)
9182, 90eqnetrd 3004 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → dom (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅)
92 dm0rn0 5512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) = ∅)
9392necon3bii 2989 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅ ↔ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅)
9491, 93sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅)
9584adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
96 uzss 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
9897, 3syl6sseqr 3814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (ℤ𝑖) ⊆ 𝑍)
9972leidd 10852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐻𝑖) ≤ (𝐻𝑖))
10010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑍 ⊆ ℝ)
10144adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ*)
102 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
10310, 102sseldi 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℝ)
1042limsupgle 14507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ*) ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝐻𝑖) ∈ ℝ*) → ((𝐻𝑖) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
105100, 101, 103, 73, 104syl211anc 1495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ((𝐻𝑖) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
10699, 105mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
107 ssralv 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℤ𝑖) ⊆ 𝑍 → (∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
10898, 106, 107sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
10998adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (ℤ𝑖) ⊆ 𝑍)
110109resmptd 5631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑛𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑖)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵))
111110fveq1d 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑛𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑖))‘𝑘) = ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘))
112 fvres 6398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑖) → (((𝑛𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑖))‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
113112adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑛𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑖))‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
114111, 113eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
115114breq1d 4821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
116 eluzle 11904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑖) → 𝑖𝑘)
117116adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑖𝑘)
118 biimt 351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖𝑘 → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖) ↔ (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖) ↔ (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
120115, 119bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖) ↔ (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
121120ralbidva 3132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
122108, 121mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))
123 ffn 6225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵):(ℤ𝑖)⟶ℝ → (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) Fn (ℤ𝑖))
124 breq1 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) → (𝑧 ≤ (𝐻𝑖) ↔ ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
125124ralrn 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) Fn (ℤ𝑖) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
12679, 123, 1253syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
127122, 126mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖))
128 brralrspcev 4871 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐻𝑖) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦)
12972, 127, 128syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦)
130 suprcl 11241 . . . . . . . . . . . . 13 ((ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
13180, 94, 129, 130syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
132131rexrd 10347 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
13380adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
13494adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅)
135129adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦)
1368sseli 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
137 eluz 11905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑖) ↔ 𝑖𝑘))
13887, 136, 137syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑖) ↔ 𝑖𝑘))
139138biimprd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑖𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑖)))
140139impr 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑖))
141140, 114syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
14279adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵):(ℤ𝑖)⟶ℝ)
143142, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) Fn (ℤ𝑖))
144 fnfvelrn 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) Fn (ℤ𝑖) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵))
145143, 140, 144syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵))
146141, 145eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵))
147 suprub 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦) ∧ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
148133, 134, 135, 146, 147syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
149148expr 448 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
150149ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
1512limsupgle 14507 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ*) ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ*) → ((𝐻𝑖) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))))
152100, 101, 103, 132, 151syl211anc 1495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ((𝐻𝑖) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))))
153150, 152mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐻𝑖) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
154 suprleub 11247 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦) ∧ (𝐻𝑖) ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖)))
15580, 94, 129, 72, 154syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖)))
156127, 155mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ (𝐻𝑖))
15773, 132, 153, 156xrletrid 12193 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐻𝑖) = sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
158157mpteq2dva 4905 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑖𝑍 ↦ (𝐻𝑖)) = (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
15969, 158eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) = (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
160159rneqd 5523 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝐻𝑍) = ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
16164, 160syl5eq 2811 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) = ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
162161infeq1d 8594 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → inf((𝐻𝑍), ℝ, < ) = inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < ))
16316, 63, 1623eqtrd 2803 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) = inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < ))
164163mpteq2dva 4905 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < )))
1651, 164syl5eq 2811 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < )))
166 eqid 2765 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < )) = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < ))
167 eqid 2765 . . . 4 (ℤ𝑖) = (ℤ𝑖)
168 eqid 2765 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )) = (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
169 simpll 783 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
17075adantll 705 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑛𝑍)
171 mbflimsup.5 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
172169, 170, 171syl2anc 579 . . . 4 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
173 simpll 783 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝜑)
17475ad2ant2lr 754 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑛𝑍)
175 simprr 789 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥𝐴)
176173, 174, 175, 19syl12anc 865 . . . 4 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17778ralrimiva 3113 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵 ∈ ℝ)
178 breq1 4814 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧𝑦𝐵𝑦))
17981, 178ralrnmpt 6562 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
180177, 179syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
181180rexbidv 3199 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
182129, 181mpbid 223 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦)
183182an32s 642 . . . 4 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦)
184167, 168, 86, 172, 176, 183mbfsup 23736 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )) ∈ MblFn)
185131an32s 642 . . . 4 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
186185anasss 458 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑍𝑥𝐴)) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
1872limsuple 14508 . . . . . . . 8 ((𝑍 ⊆ ℝ ∧ (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ* ∧ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ*) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖)))
18811, 44, 45, 187syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖)))
18942, 188mpbid 223 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑖 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖))
190 ssralv 3828 . . . . . 6 (𝑍 ⊆ ℝ → (∀𝑖 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖) → ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖)))
19110, 189, 190mpsyl 68 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖))
192157breq2d 4823 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖) ↔ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
193192ralbidva 3132 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
194191, 193mpbid 223 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
195 breq1 4814 . . . . . 6 (𝑦 = (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) → (𝑦 ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ↔ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
196195ralbidv 3133 . . . . 5 (𝑦 = (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) → (∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ↔ ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
197196rspcev 3462 . . . 4 (((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
19822, 194, 197syl2anc 579 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
1993, 166, 12, 184, 186, 198mbfinf 23737 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < )) ∈ MblFn)
200165, 199eqeltrd 2844 1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cin 3733  wss 3734  c0 4081   class class class wbr 4811  cmpt 4890  dom cdm 5279  ran crn 5280  cres 5281  cima 5282   Fn wfn 6065  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  supcsup 8557  infcinf 8558  cr 10192  +∞cpnf 10329  *cxr 10331   < clt 10332  cle 10333  cz 11628  cuz 11891  [,)cico 12384  lim supclsp 14500  MblFncmbf 23686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cc 9514  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-disj 4780  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-omul 7773  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-acn 9023  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xadd 12152  df-ioo 12386  df-ioc 12387  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-limsup 14501  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-sum 14716  df-xmet 20026  df-met 20027  df-ovol 23536  df-vol 23537  df-mbf 23691
This theorem is referenced by:  mbflimlem  23739
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