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Theorem mbflimsup 25183
Description: The limit supremum of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflimsup.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
mbflimsup.2 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)))
mbflimsup.h 𝐻 = (π‘š ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β€œ (π‘š[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
mbflimsup.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
mbflimsup.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ)
mbflimsup.5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
mbflimsup.6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbflimsup (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝐡,π‘š   πœ‘,𝑛,π‘₯   π‘š,𝑀   π‘š,𝑛,π‘₯,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐴(π‘š)   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝐻(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem mbflimsup
Dummy variables 𝑖 π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflimsup.2 . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)))
2 mbflimsup.h . . . . . 6 𝐻 = (π‘š ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β€œ (π‘š[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3 mbflimsup.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
43fvexi 6906 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V
54mptex 7225 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ V
65a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ V)
7 uzssz 12843 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
83, 7eqsstri 4017 . . . . . . . 8 𝑍 βŠ† β„€
9 zssre 12565 . . . . . . . 8 β„€ βŠ† ℝ
108, 9sstri 3992 . . . . . . 7 𝑍 βŠ† ℝ
1110a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
12 mbflimsup.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
133uzsup 13828 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„€ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1514adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
162, 6, 11, 15limsupval2 15424 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) = inf((𝐻 β€œ 𝑍), ℝ*, < ))
17 imassrn 6071 . . . . . . 7 (𝐻 β€œ 𝑍) βŠ† ran 𝐻
1812adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
19 mbflimsup.6 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2019anass1rs 654 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2120fmpttd 7115 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„)
22 mbflimsup.4 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ)
2322ltpnfd 13101 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) < +∞)
242, 3limsupgre 15425 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) < +∞) β†’ 𝐻:β„βŸΆβ„)
2518, 21, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐻:β„βŸΆβ„)
2625frnd 6726 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ran 𝐻 βŠ† ℝ)
2717, 26sstrid 3994 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐻 β€œ 𝑍) βŠ† ℝ)
2825fdmd 6729 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ dom 𝐻 = ℝ)
2928ineq1d 4212 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (dom 𝐻 ∩ 𝑍) = (ℝ ∩ 𝑍))
30 sseqin2 4216 . . . . . . . . . 10 (𝑍 βŠ† ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝑍) = 𝑍)
3110, 30mpbi 229 . . . . . . . . 9 (ℝ ∩ 𝑍) = 𝑍
3229, 31eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (dom 𝐻 ∩ 𝑍) = 𝑍)
33 uzid 12837 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3412, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3534, 3eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
3635adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
3736ne0d 4336 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
3832, 37eqnetrd 3009 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (dom 𝐻 ∩ 𝑍) β‰  βˆ…)
39 imadisj 6080 . . . . . . . 8 ((𝐻 β€œ 𝑍) = βˆ… ↔ (dom 𝐻 ∩ 𝑍) = βˆ…)
4039necon3bii 2994 . . . . . . 7 ((𝐻 β€œ 𝑍) β‰  βˆ… ↔ (dom 𝐻 ∩ 𝑍) β‰  βˆ…)
4138, 40sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐻 β€œ 𝑍) β‰  βˆ…)
4222leidd 11780 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)))
4320rexrd 11264 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
4443fmpttd 7115 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„*)
4522rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ*)
462limsuple 15422 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 βŠ† ℝ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„* ∧ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
4711, 44, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
4842, 47mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦))
49 ssralv 4051 . . . . . . . . 9 (𝑍 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
5010, 48, 49mpsyl 68 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦))
512limsupgf 15419 . . . . . . . . . 10 𝐻:β„βŸΆβ„*
52 ffn 6718 . . . . . . . . . 10 (𝐻:β„βŸΆβ„* β†’ 𝐻 Fn ℝ)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐻 Fn ℝ
54 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (π»β€˜π‘¦) β†’ ((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ 𝑧 ↔ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
5554ralima 7240 . . . . . . . . 9 ((𝐻 Fn ℝ ∧ 𝑍 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)(lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
5653, 11, 55sylancr 588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)(lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
5750, 56mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)(lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ 𝑧)
58 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ 𝑧))
5958ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑦 = (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)(lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ 𝑧))
6059rspcev 3613 . . . . . . 7 (((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)(lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ 𝑧) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)𝑦 ≀ 𝑧)
6122, 57, 60syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)𝑦 ≀ 𝑧)
62 infxrre 13315 . . . . . 6 (((𝐻 β€œ 𝑍) βŠ† ℝ ∧ (𝐻 β€œ 𝑍) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)𝑦 ≀ 𝑧) β†’ inf((𝐻 β€œ 𝑍), ℝ*, < ) = inf((𝐻 β€œ 𝑍), ℝ, < ))
6327, 41, 61, 62syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ inf((𝐻 β€œ 𝑍), ℝ*, < ) = inf((𝐻 β€œ 𝑍), ℝ, < ))
64 df-ima 5690 . . . . . . 7 (𝐻 β€œ 𝑍) = ran (𝐻 β†Ύ 𝑍)
6525feqmptd 6961 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐻 = (𝑖 ∈ ℝ ↦ (π»β€˜π‘–)))
6665reseq1d 5981 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑍) = ((𝑖 ∈ ℝ ↦ (π»β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑍))
67 resmpt 6038 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 βŠ† ℝ β†’ ((𝑖 ∈ ℝ ↦ (π»β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑍) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘–)))
6810, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℝ ↦ (π»β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑍) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘–))
6966, 68eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑍) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘–)))
7010sseli 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ 𝑍 β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
71 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐻:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘–) ∈ ℝ)
7225, 70, 71syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘–) ∈ ℝ)
7372rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
74 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ πœ‘)
753uztrn2 12841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
7675adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
77 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
7874, 76, 77, 19syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7978fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡):(β„€β‰₯β€˜π‘–)βŸΆβ„)
8079frnd 6726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
81 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) = (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)
8281, 78dmmptd 6696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ dom (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) = (β„€β‰₯β€˜π‘–))
83 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
8483, 3eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
85 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
8786adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
88 uzid 12837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ β„€ β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–))
89 ne0i 4335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) β‰  βˆ…)
9087, 88, 893syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) β‰  βˆ…)
9182, 90eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ dom (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) β‰  βˆ…)
92 dm0rn0 5925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) = βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) = βˆ…)
9392necon3bii 2994 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) β‰  βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) β‰  βˆ…)
9491, 93sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) β‰  βˆ…)
9584adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
96 uzss 12845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9897, 3sseqtrrdi 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) βŠ† 𝑍)
9972leidd 11780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘–) ≀ (π»β€˜π‘–))
10010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
10144adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„*)
102 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
10310, 102sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
1042limsupgle 15421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑍 βŠ† ℝ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„*) ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘–) ∈ ℝ*) β†’ ((π»β€˜π‘–) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))))
105100, 101, 103, 73, 104syl211anc 1377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π»β€˜π‘–) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))))
10699, 105mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–)))
107 ssralv 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β„€β‰₯β€˜π‘–) βŠ† 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))))
10898, 106, 107sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–)))
10998adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) βŠ† 𝑍)
110109resmptd 6041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) = (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡))
111110fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–))β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
112 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–))β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
113112adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–))β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
114111, 113eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
115114breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–)))
116 eluzle 12835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) β†’ 𝑖 ≀ π‘˜)
117116adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑖 ≀ π‘˜)
118 biimt 361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))))
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))))
120115, 119bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))))
121120ralbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))))
122108, 121mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))
123 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡):(β„€β‰₯β€˜π‘–)βŸΆβ„ β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘–))
124 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) β†’ (𝑧 ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–)))
125124ralrn 7090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–)))
12679, 123, 1253syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–)))
127122, 126mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ (π»β€˜π‘–))
128 brralrspcev 5209 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π»β€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ (π»β€˜π‘–)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦)
12972, 127, 128syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦)
13080, 94, 129suprcld 12177 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ∈ ℝ)
131130rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
13280adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
13394adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) β‰  βˆ…)
134129adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦)
1358sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
136 eluz 12836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↔ 𝑖 ≀ π‘˜))
13787, 135, 136syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↔ 𝑖 ≀ π‘˜))
138137biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)))
139138impr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–))
140139, 114syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
14179adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡):(β„€β‰₯β€˜π‘–)βŸΆβ„)
142141, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘–))
143 fnfvelrn 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘–) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡))
144142, 139, 143syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡))
145140, 144eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡))
146132, 133, 134, 145suprubd 12176 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))
147146expr 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
148147ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
1492limsupgle 15421 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑍 βŠ† ℝ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„*) ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ∈ ℝ*) β†’ ((π»β€˜π‘–) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))))
150100, 101, 103, 131, 149syl211anc 1377 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π»β€˜π‘–) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))))
151148, 150mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘–) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))
152 suprleub 12180 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) βŠ† ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦) ∧ (π»β€˜π‘–) ∈ ℝ) β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ (π»β€˜π‘–)))
15380, 94, 129, 72, 152syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ (π»β€˜π‘–)))
154127, 153mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ≀ (π»β€˜π‘–))
15573, 131, 151, 154xrletrid 13134 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘–) = sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))
156155mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘–)) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
15769, 156eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑍) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
158157rneqd 5938 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ran (𝐻 β†Ύ 𝑍) = ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
15964, 158eqtrid 2785 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐻 β€œ 𝑍) = ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
160159infeq1d 9472 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ inf((𝐻 β€œ 𝑍), ℝ, < ) = inf(ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )), ℝ, < ))
16116, 63, 1603eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) = inf(ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )), ℝ, < ))
162161mpteq2dva 5249 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ inf(ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )), ℝ, < )))
1631, 162eqtrid 2785 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ inf(ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )), ℝ, < )))
164 eqid 2733 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ inf(ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ inf(ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )), ℝ, < ))
165 eqid 2733 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘–)
166 eqid 2733 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))
167 simpll 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ πœ‘)
16875adantll 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
169 mbflimsup.5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
170167, 168, 169syl2anc 585 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
171 simpll 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ πœ‘)
17275ad2ant2lr 747 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
173 simprr 772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
174171, 172, 173, 19syl12anc 836 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
17578ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ∈ ℝ)
176 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐡 β†’ (𝑧 ≀ 𝑦 ↔ 𝐡 ≀ 𝑦))
17781, 176ralrnmptw 7096 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦))
178175, 177syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦))
179178rexbidv 3179 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦))
180129, 179mpbid 231 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦)
181180an32s 651 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦)
182165, 166, 86, 170, 174, 181mbfsup 25181 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )) ∈ MblFn)
183130an32s 651 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ∈ ℝ)
184183anasss 468 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ∈ ℝ)
1852limsuple 15422 . . . . . . . 8 ((𝑍 βŠ† ℝ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„* ∧ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ↔ βˆ€π‘– ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–)))
18611, 44, 45, 185syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ↔ βˆ€π‘– ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–)))
18742, 186mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘– ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–))
188 ssralv 4051 . . . . . 6 (𝑍 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘– ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–)))
18910, 187, 188mpsyl 68 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–))
190155breq2d 5161 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
191190ralbidva 3176 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
192189, 191mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))
193 breq1 5152 . . . . . 6 (𝑦 = (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) β†’ (𝑦 ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ↔ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
194193ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑦 = (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
195194rspcev 3613 . . . 4 (((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))
19622, 192, 195syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))
1973, 164, 12, 182, 184, 196mbfinf 25182 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ inf(ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )), ℝ, < )) ∈ MblFn)
198163, 197eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  infcinf 9436  β„cr 11109  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  [,)cico 13326  lim supclsp 15414  MblFncmbf 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136
This theorem is referenced by:  mbflimlem  25184
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