MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflimsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbflimsup 25415
Description: The limit supremum of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflimsup.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
mbflimsup.2 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)))
mbflimsup.h 𝐻 = (π‘š ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β€œ (π‘š[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
mbflimsup.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
mbflimsup.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ)
mbflimsup.5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
mbflimsup.6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbflimsup (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝐡,π‘š   πœ‘,𝑛,π‘₯   π‘š,𝑀   π‘š,𝑛,π‘₯,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐴(π‘š)   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝐻(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem mbflimsup
Dummy variables 𝑖 π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflimsup.2 . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)))
2 mbflimsup.h . . . . . 6 𝐻 = (π‘š ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β€œ (π‘š[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3 mbflimsup.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
43fvexi 6904 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V
54mptex 7226 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ V
65a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ V)
7 uzssz 12847 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
83, 7eqsstri 4015 . . . . . . . 8 𝑍 βŠ† β„€
9 zssre 12569 . . . . . . . 8 β„€ βŠ† ℝ
108, 9sstri 3990 . . . . . . 7 𝑍 βŠ† ℝ
1110a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
12 mbflimsup.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
133uzsup 13832 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„€ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1514adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
162, 6, 11, 15limsupval2 15428 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) = inf((𝐻 β€œ 𝑍), ℝ*, < ))
17 imassrn 6069 . . . . . . 7 (𝐻 β€œ 𝑍) βŠ† ran 𝐻
1812adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
19 mbflimsup.6 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2019anass1rs 651 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2120fmpttd 7115 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„)
22 mbflimsup.4 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ)
2322ltpnfd 13105 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) < +∞)
242, 3limsupgre 15429 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) < +∞) β†’ 𝐻:β„βŸΆβ„)
2518, 21, 23, 24syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐻:β„βŸΆβ„)
2625frnd 6724 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ran 𝐻 βŠ† ℝ)
2717, 26sstrid 3992 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐻 β€œ 𝑍) βŠ† ℝ)
2825fdmd 6727 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ dom 𝐻 = ℝ)
2928ineq1d 4210 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (dom 𝐻 ∩ 𝑍) = (ℝ ∩ 𝑍))
30 sseqin2 4214 . . . . . . . . . 10 (𝑍 βŠ† ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝑍) = 𝑍)
3110, 30mpbi 229 . . . . . . . . 9 (ℝ ∩ 𝑍) = 𝑍
3229, 31eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (dom 𝐻 ∩ 𝑍) = 𝑍)
33 uzid 12841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3412, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3534, 3eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
3635adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
3736ne0d 4334 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
3832, 37eqnetrd 3006 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (dom 𝐻 ∩ 𝑍) β‰  βˆ…)
39 imadisj 6078 . . . . . . . 8 ((𝐻 β€œ 𝑍) = βˆ… ↔ (dom 𝐻 ∩ 𝑍) = βˆ…)
4039necon3bii 2991 . . . . . . 7 ((𝐻 β€œ 𝑍) β‰  βˆ… ↔ (dom 𝐻 ∩ 𝑍) β‰  βˆ…)
4138, 40sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐻 β€œ 𝑍) β‰  βˆ…)
4222leidd 11784 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)))
4320rexrd 11268 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
4443fmpttd 7115 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„*)
4522rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ*)
462limsuple 15426 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 βŠ† ℝ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„* ∧ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
4711, 44, 45, 46syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
4842, 47mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦))
49 ssralv 4049 . . . . . . . . 9 (𝑍 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
5010, 48, 49mpsyl 68 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦))
512limsupgf 15423 . . . . . . . . . 10 𝐻:β„βŸΆβ„*
52 ffn 6716 . . . . . . . . . 10 (𝐻:β„βŸΆβ„* β†’ 𝐻 Fn ℝ)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐻 Fn ℝ
54 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (π»β€˜π‘¦) β†’ ((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ 𝑧 ↔ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
5554ralima 7241 . . . . . . . . 9 ((𝐻 Fn ℝ ∧ 𝑍 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)(lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
5653, 11, 55sylancr 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)(lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
5750, 56mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)(lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ 𝑧)
58 breq1 5150 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ 𝑧))
5958ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑦 = (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)(lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ 𝑧))
6059rspcev 3611 . . . . . . 7 (((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)(lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ 𝑧) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)𝑦 ≀ 𝑧)
6122, 57, 60syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)𝑦 ≀ 𝑧)
62 infxrre 13319 . . . . . 6 (((𝐻 β€œ 𝑍) βŠ† ℝ ∧ (𝐻 β€œ 𝑍) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (𝐻 β€œ 𝑍)𝑦 ≀ 𝑧) β†’ inf((𝐻 β€œ 𝑍), ℝ*, < ) = inf((𝐻 β€œ 𝑍), ℝ, < ))
6327, 41, 61, 62syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ inf((𝐻 β€œ 𝑍), ℝ*, < ) = inf((𝐻 β€œ 𝑍), ℝ, < ))
64 df-ima 5688 . . . . . . 7 (𝐻 β€œ 𝑍) = ran (𝐻 β†Ύ 𝑍)
6525feqmptd 6959 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐻 = (𝑖 ∈ ℝ ↦ (π»β€˜π‘–)))
6665reseq1d 5979 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑍) = ((𝑖 ∈ ℝ ↦ (π»β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑍))
67 resmpt 6036 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 βŠ† ℝ β†’ ((𝑖 ∈ ℝ ↦ (π»β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑍) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘–)))
6810, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℝ ↦ (π»β€˜π‘–)) β†Ύ 𝑍) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘–))
6966, 68eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑍) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘–)))
7010sseli 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ 𝑍 β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
71 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐻:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘–) ∈ ℝ)
7225, 70, 71syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘–) ∈ ℝ)
7372rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
74 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ πœ‘)
753uztrn2 12845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
7675adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
77 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
7874, 76, 77, 19syl12anc 833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7978fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡):(β„€β‰₯β€˜π‘–)βŸΆβ„)
8079frnd 6724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
81 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) = (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)
8281, 78dmmptd 6694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ dom (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) = (β„€β‰₯β€˜π‘–))
83 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
8483, 3eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
85 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
8786adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
88 uzid 12841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ β„€ β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–))
89 ne0i 4333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) β‰  βˆ…)
9087, 88, 893syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) β‰  βˆ…)
9182, 90eqnetrd 3006 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ dom (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) β‰  βˆ…)
92 dm0rn0 5923 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) = βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) = βˆ…)
9392necon3bii 2991 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) β‰  βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) β‰  βˆ…)
9491, 93sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) β‰  βˆ…)
9584adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
96 uzss 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9897, 3sseqtrrdi 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) βŠ† 𝑍)
9972leidd 11784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘–) ≀ (π»β€˜π‘–))
10010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
10144adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„*)
102 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
10310, 102sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
1042limsupgle 15425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑍 βŠ† ℝ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„*) ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘–) ∈ ℝ*) β†’ ((π»β€˜π‘–) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))))
105100, 101, 103, 73, 104syl211anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π»β€˜π‘–) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))))
10699, 105mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–)))
107 ssralv 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β„€β‰₯β€˜π‘–) βŠ† 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))))
10898, 106, 107sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–)))
10998adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) βŠ† 𝑍)
110109resmptd 6039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) = (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡))
111110fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–))β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
112 fvres 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–))β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
113112adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–))β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
114111, 113eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
115114breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–)))
116 eluzle 12839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) β†’ 𝑖 ≀ π‘˜)
117116adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑖 ≀ π‘˜)
118 biimt 359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))))
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))))
120115, 119bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))))
121120ralbidva 3173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))))
122108, 121mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–))
123 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡):(β„€β‰₯β€˜π‘–)βŸΆβ„ β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘–))
124 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) β†’ (𝑧 ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–)))
125124ralrn 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–)))
12679, 123, 1253syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ (π»β€˜π‘–)))
127122, 126mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ (π»β€˜π‘–))
128 brralrspcev 5207 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π»β€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ (π»β€˜π‘–)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦)
12972, 127, 128syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦)
13080, 94, 129suprcld 12181 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ∈ ℝ)
131130rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
13280adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
13394adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) β‰  βˆ…)
134129adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦)
1358sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
136 eluz 12840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↔ 𝑖 ≀ π‘˜))
13787, 135, 136syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↔ 𝑖 ≀ π‘˜))
138137biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)))
139138impr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–))
140139, 114syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
14179adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡):(β„€β‰₯β€˜π‘–)βŸΆβ„)
142141, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘–))
143 fnfvelrn 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘–) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡))
144142, 139, 143syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡))
145140, 144eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡))
146132, 133, 134, 145suprubd 12180 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ≀ π‘˜)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))
147146expr 455 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
148147ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
1492limsupgle 15425 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑍 βŠ† ℝ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„*) ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ∈ ℝ*) β†’ ((π»β€˜π‘–) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))))
150100, 101, 103, 131, 149syl211anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π»β€˜π‘–) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑖 ≀ π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))))
151148, 150mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘–) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))
152 suprleub 12184 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) βŠ† ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦) ∧ (π»β€˜π‘–) ∈ ℝ) β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ (π»β€˜π‘–)))
15380, 94, 129, 72, 152syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ (π»β€˜π‘–)))
154127, 153mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ≀ (π»β€˜π‘–))
15573, 131, 151, 154xrletrid 13138 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘–) = sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))
156155mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘–)) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
15769, 156eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑍) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
158157rneqd 5936 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ran (𝐻 β†Ύ 𝑍) = ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
15964, 158eqtrid 2782 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐻 β€œ 𝑍) = ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
160159infeq1d 9474 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ inf((𝐻 β€œ 𝑍), ℝ, < ) = inf(ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )), ℝ, < ))
16116, 63, 1603eqtrd 2774 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) = inf(ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )), ℝ, < ))
162161mpteq2dva 5247 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ inf(ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )), ℝ, < )))
1631, 162eqtrid 2782 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ inf(ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )), ℝ, < )))
164 eqid 2730 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ inf(ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ inf(ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )), ℝ, < ))
165 eqid 2730 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘–)
166 eqid 2730 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))
167 simpll 763 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ πœ‘)
16875adantll 710 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
169 mbflimsup.5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
170167, 168, 169syl2anc 582 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
171 simpll 763 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ πœ‘)
17275ad2ant2lr 744 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
173 simprr 769 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
174171, 172, 173, 19syl12anc 833 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
17578ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ∈ ℝ)
176 breq1 5150 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐡 β†’ (𝑧 ≀ 𝑦 ↔ 𝐡 ≀ 𝑦))
17781, 176ralrnmptw 7094 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦))
178175, 177syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦))
179178rexbidv 3176 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦))
180129, 179mpbid 231 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦)
181180an32s 648 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦)
182165, 166, 86, 170, 174, 181mbfsup 25413 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )) ∈ MblFn)
183130an32s 648 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ∈ ℝ)
184183anasss 465 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ∈ ℝ)
1852limsuple 15426 . . . . . . . 8 ((𝑍 βŠ† ℝ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„* ∧ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ↔ βˆ€π‘– ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–)))
18611, 44, 45, 185syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ↔ βˆ€π‘– ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–)))
18742, 186mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘– ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–))
188 ssralv 4049 . . . . . 6 (𝑍 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘– ∈ ℝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–)))
18910, 187, 188mpsyl 68 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–))
190155breq2d 5159 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
191190ralbidva 3173 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ (π»β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
192189, 191mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))
193 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑦 = (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) β†’ (𝑦 ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ↔ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
194193ralbidv 3175 . . . . 5 (𝑦 = (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )))
195194rspcev 3611 . . . 4 (((lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))
19622, 192, 195syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 𝑦 ≀ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < ))
1973, 164, 12, 182, 184, 196mbfinf 25414 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ inf(ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) ↦ 𝐡), ℝ, < )), ℝ, < )) ∈ MblFn)
198163, 197eqeltrd 2831 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  supcsup 9437  infcinf 9438  β„cr 11111  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  [,)cico 13330  lim supclsp 15418  MblFncmbf 25363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-xmet 21137  df-met 21138  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368
This theorem is referenced by:  mbflimlem  25416
  Copyright terms: Public domain W3C validator