MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopbaslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopbaslem 24597
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopbas.1 𝑆 ⊆ ℝ*
Assertion
Ref Expression
qtopbaslem ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases

Proof of Theorem qtopbaslem
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 13344 . . 3 (,) ∈ V
21imaex 7900 . 2 ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V
3 qtopbas.1 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℝ*
43sseli 3970 . . . . . . . 8 (𝑧𝑆𝑧 ∈ ℝ*)
53sseli 3970 . . . . . . . 8 (𝑤𝑆𝑤 ∈ ℝ*)
64, 5anim12i 612 . . . . . . 7 ((𝑧𝑆𝑤𝑆) → (𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
73sseli 3970 . . . . . . . 8 (𝑣𝑆𝑣 ∈ ℝ*)
83sseli 3970 . . . . . . . 8 (𝑢𝑆𝑢 ∈ ℝ*)
97, 8anim12i 612 . . . . . . 7 ((𝑣𝑆𝑢𝑆) → (𝑣 ∈ ℝ*𝑢 ∈ ℝ*))
10 iooin 13355 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑣 ∈ ℝ*𝑢 ∈ ℝ*)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)))
116, 9, 10syl2an 595 . . . . . 6 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)))
12 ifcl 4565 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝑆𝑧𝑆) → if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆)
1312ancoms 458 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑆𝑣𝑆) → if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆)
14 ifcl 4565 . . . . . . . 8 ((𝑤𝑆𝑢𝑆) → if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆)
15 df-ov 7404 . . . . . . . . 9 (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) = ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩)
16 opelxpi 5703 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆))
17 ioof 13421 . . . . . . . . . . . 12 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
18 ffun 6710 . . . . . . . . . . . 12 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Fun (,)
20 xpss12 5681 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℝ*𝑆 ⊆ ℝ*) → (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
213, 3, 20mp2an 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2217fdmi 6719 . . . . . . . . . . . 12 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
2321, 22sseqtrri 4011 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)
24 funfvima2 7224 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (,) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)) → (⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
2519, 23, 24mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2616, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆) → ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2715, 26eqeltrid 2829 . . . . . . . 8 ((if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆) → (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2813, 14, 27syl2an 595 . . . . . . 7 (((𝑧𝑆𝑣𝑆) ∧ (𝑤𝑆𝑢𝑆)) → (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2928an4s 657 . . . . . 6 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3011, 29eqeltrd 2825 . . . . 5 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3130ralrimivva 3192 . . . 4 ((𝑧𝑆𝑤𝑆) → ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3231rgen2 3189 . . 3 𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
33 ffn 6707 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3417, 33ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
35 ineq1 4197 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (𝑥𝑦) = (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦))
3635eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → ((𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
3736ralbidv 3169 . . . . . 6 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
3837ralima 7231 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
3934, 21, 38mp2an 689 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
40 fveq2 6881 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩))
41 df-ov 7404 . . . . . . . . . 10 (𝑧(,)𝑤) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩)
4240, 41eqtr4di 2782 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑧(,)𝑤))
4342ineq1d 4203 . . . . . . . 8 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦))
4443eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
4544ralbidv 3169 . . . . . 6 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
46 ineq2 4198 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((,)‘𝑡) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)))
4746eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((,)‘𝑡) → (((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
4847ralima 7231 . . . . . . . 8 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
4934, 21, 48mp2an 689 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
50 fveq2 6881 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩))
51 df-ov 7404 . . . . . . . . . . 11 (𝑣(,)𝑢) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩)
5250, 51eqtr4di 2782 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑣(,)𝑢))
5352ineq2d 4204 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)))
5453eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → (((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5554ralxp 5831 . . . . . . 7 (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
5649, 55bitri 275 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
5745, 56bitrdi 287 . . . . 5 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5857ralxp 5831 . . . 4 (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
5939, 58bitri 275 . . 3 (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
6032, 59mpbir 230 . 2 𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
61 fiinbas 22777 . 2 ((((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))) → ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases)
622, 60, 61mp2an 689 1 ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  Vcvv 3466  cin 3939  wss 3940  ifcif 4520  𝒫 cpw 4594  cop 4626   class class class wbr 5138   × cxp 5664  dom cdm 5666  cima 5669  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  cr 11105  *cxr 11244  cle 11246  (,)cioo 13321  TopBasesctb 22770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-ioo 13325  df-bases 22771
This theorem is referenced by:  qtopbas  24598  retopbas  24599
  Copyright terms: Public domain W3C validator