MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopbaslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopbaslem 24495
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopbas.1 𝑆 βŠ† ℝ*
Assertion
Ref Expression
qtopbaslem ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ TopBases

Proof of Theorem qtopbaslem
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑣 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 13351 . . 3 (,) ∈ V
21imaex 7909 . 2 ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ V
3 qtopbas.1 . . . . . . . . 9 𝑆 βŠ† ℝ*
43sseli 3977 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
53sseli 3977 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝑆 β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
64, 5anim12i 611 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*))
73sseli 3977 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ 𝑆 β†’ 𝑣 ∈ ℝ*)
83sseli 3977 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ 𝑒 ∈ ℝ*)
97, 8anim12i 611 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (𝑣 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 ∈ ℝ*))
10 iooin 13362 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑣 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 ∈ ℝ*)) β†’ ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) = (if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)))
116, 9, 10syl2an 594 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) = (if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)))
12 ifcl 4572 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆)
1312ancoms 457 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆)
14 ifcl 4572 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒) ∈ 𝑆)
15 df-ov 7414 . . . . . . . . 9 (if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)) = ((,)β€˜βŸ¨if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)⟩)
16 opelxpi 5712 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒) ∈ 𝑆) β†’ ⟨if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)⟩ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆))
17 ioof 13428 . . . . . . . . . . . 12 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
18 ffun 6719 . . . . . . . . . . . 12 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun (,))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Fun (,)
20 xpss12 5690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 βŠ† ℝ* ∧ 𝑆 βŠ† ℝ*) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
213, 3, 20mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
2217fdmi 6728 . . . . . . . . . . . 12 dom (,) = (ℝ* Γ— ℝ*)
2321, 22sseqtrri 4018 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† dom (,)
24 funfvima2 7234 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (,) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† dom (,)) β†’ (⟨if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)⟩ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆) β†’ ((,)β€˜βŸ¨if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)⟩) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
2519, 23, 24mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (⟨if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)⟩ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆) β†’ ((,)β€˜βŸ¨if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)⟩) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
2616, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒) ∈ 𝑆) β†’ ((,)β€˜βŸ¨if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)⟩) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
2715, 26eqeltrid 2835 . . . . . . . 8 ((if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒) ∈ 𝑆) β†’ (if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
2813, 14, 27syl2an 594 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ (if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
2928an4s 656 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ (if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
3011, 29eqeltrd 2831 . . . . 5 (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
3130ralrimivva 3198 . . . 4 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
3231rgen2 3195 . . 3 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))
33 ffn 6716 . . . . . 6 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
3417, 33ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
35 ineq1 4204 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((,)β€˜π‘‘) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = (((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦))
3635eleq1d 2816 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((,)β€˜π‘‘) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ (((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
3736ralbidv 3175 . . . . . 6 (π‘₯ = ((,)β€˜π‘‘) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
3837ralima 7241 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
3934, 21, 38mp2an 688 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
40 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ ((,)β€˜π‘‘) = ((,)β€˜βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))
41 df-ov 7414 . . . . . . . . . 10 (𝑧(,)𝑀) = ((,)β€˜βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)
4240, 41eqtr4di 2788 . . . . . . . . 9 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ ((,)β€˜π‘‘) = (𝑧(,)𝑀))
4342ineq1d 4210 . . . . . . . 8 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ (((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦))
4443eleq1d 2816 . . . . . . 7 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ ((((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
4544ralbidv 3175 . . . . . 6 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
46 ineq2 4205 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((,)β€˜π‘‘) β†’ ((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)))
4746eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((,)β€˜π‘‘) β†’ (((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
4847ralima 7241 . . . . . . . 8 (((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
4934, 21, 48mp2an 688 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
50 fveq2 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = βŸ¨π‘£, π‘’βŸ© β†’ ((,)β€˜π‘‘) = ((,)β€˜βŸ¨π‘£, π‘’βŸ©))
51 df-ov 7414 . . . . . . . . . . 11 (𝑣(,)𝑒) = ((,)β€˜βŸ¨π‘£, π‘’βŸ©)
5250, 51eqtr4di 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = βŸ¨π‘£, π‘’βŸ© β†’ ((,)β€˜π‘‘) = (𝑣(,)𝑒))
5352ineq2d 4211 . . . . . . . . 9 (𝑑 = βŸ¨π‘£, π‘’βŸ© β†’ ((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) = ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)))
5453eleq1d 2816 . . . . . . . 8 (𝑑 = βŸ¨π‘£, π‘’βŸ© β†’ (((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
5554ralxp 5840 . . . . . . 7 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
5649, 55bitri 274 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
5745, 56bitrdi 286 . . . . 5 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
5857ralxp 5840 . . . 4 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
5939, 58bitri 274 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
6032, 59mpbir 230 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))
61 fiinbas 22675 . 2 ((((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))) β†’ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ TopBases)
622, 60, 61mp2an 688 1 ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  π’« cpw 4601  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  (,)cioo 13328  TopBasesctb 22668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioo 13332  df-bases 22669
This theorem is referenced by:  qtopbas  24496  retopbas  24497
  Copyright terms: Public domain W3C validator