MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopbaslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopbaslem 23085
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopbas.1 𝑆 ⊆ ℝ*
Assertion
Ref Expression
qtopbaslem ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases

Proof of Theorem qtopbaslem
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 12575 . . 3 (,) ∈ V
21imaex 7434 . 2 ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V
3 qtopbas.1 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℝ*
43sseli 3847 . . . . . . . 8 (𝑧𝑆𝑧 ∈ ℝ*)
53sseli 3847 . . . . . . . 8 (𝑤𝑆𝑤 ∈ ℝ*)
64, 5anim12i 604 . . . . . . 7 ((𝑧𝑆𝑤𝑆) → (𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
73sseli 3847 . . . . . . . 8 (𝑣𝑆𝑣 ∈ ℝ*)
83sseli 3847 . . . . . . . 8 (𝑢𝑆𝑢 ∈ ℝ*)
97, 8anim12i 604 . . . . . . 7 ((𝑣𝑆𝑢𝑆) → (𝑣 ∈ ℝ*𝑢 ∈ ℝ*))
10 iooin 12586 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑣 ∈ ℝ*𝑢 ∈ ℝ*)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)))
116, 9, 10syl2an 587 . . . . . 6 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)))
12 ifcl 4388 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝑆𝑧𝑆) → if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆)
1312ancoms 451 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑆𝑣𝑆) → if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆)
14 ifcl 4388 . . . . . . . 8 ((𝑤𝑆𝑢𝑆) → if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆)
15 df-ov 6977 . . . . . . . . 9 (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) = ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩)
16 opelxpi 5440 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆))
17 ioof 12649 . . . . . . . . . . . 12 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
18 ffun 6344 . . . . . . . . . . . 12 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Fun (,)
20 xpss12 5418 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℝ*𝑆 ⊆ ℝ*) → (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
213, 3, 20mp2an 680 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2217fdmi 6351 . . . . . . . . . . . 12 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
2321, 22sseqtr4i 3887 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)
24 funfvima2 6817 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (,) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)) → (⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
2519, 23, 24mp2an 680 . . . . . . . . . 10 (⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2616, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆) → ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2715, 26syl5eqel 2863 . . . . . . . 8 ((if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆) → (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2813, 14, 27syl2an 587 . . . . . . 7 (((𝑧𝑆𝑣𝑆) ∧ (𝑤𝑆𝑢𝑆)) → (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2928an4s 648 . . . . . 6 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3011, 29eqeltrd 2859 . . . . 5 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3130ralrimivva 3134 . . . 4 ((𝑧𝑆𝑤𝑆) → ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3231rgen2a 3169 . . 3 𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
33 ffn 6341 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3417, 33ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
35 ineq1 4062 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (𝑥𝑦) = (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦))
3635eleq1d 2843 . . . . . . 7 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → ((𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
3736ralbidv 3140 . . . . . 6 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
3837ralima 6823 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
3934, 21, 38mp2an 680 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
40 fveq2 6496 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩))
41 df-ov 6977 . . . . . . . . . 10 (𝑧(,)𝑤) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩)
4240, 41syl6eqr 2825 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑧(,)𝑤))
4342ineq1d 4069 . . . . . . . 8 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦))
4443eleq1d 2843 . . . . . . 7 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
4544ralbidv 3140 . . . . . 6 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
46 ineq2 4064 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((,)‘𝑡) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)))
4746eleq1d 2843 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((,)‘𝑡) → (((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
4847ralima 6823 . . . . . . . 8 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
4934, 21, 48mp2an 680 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
50 fveq2 6496 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩))
51 df-ov 6977 . . . . . . . . . . 11 (𝑣(,)𝑢) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩)
5250, 51syl6eqr 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑣(,)𝑢))
5352ineq2d 4070 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)))
5453eleq1d 2843 . . . . . . . 8 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → (((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5554ralxp 5558 . . . . . . 7 (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
5649, 55bitri 267 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
5745, 56syl6bb 279 . . . . 5 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5857ralxp 5558 . . . 4 (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
5939, 58bitri 267 . . 3 (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
6032, 59mpbir 223 . 2 𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
61 fiinbas 21279 . 2 ((((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))) → ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases)
622, 60, 61mp2an 680 1 ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3081  Vcvv 3408  cin 3821  wss 3822  ifcif 4344  𝒫 cpw 4416  cop 4441   class class class wbr 4925   × cxp 5401  dom cdm 5403  cima 5406  Fun wfun 6179   Fn wfn 6180  wf 6181  cfv 6185  (class class class)co 6974  cr 10332  *cxr 10471  cle 10473  (,)cioo 12552  TopBasesctb 21272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-ioo 12556  df-bases 21273
This theorem is referenced by:  qtopbas  23086  retopbas  23087
  Copyright terms: Public domain W3C validator