MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopbaslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopbaslem 24275
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopbas.1 𝑆 βŠ† ℝ*
Assertion
Ref Expression
qtopbaslem ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ TopBases

Proof of Theorem qtopbaslem
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑣 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 13347 . . 3 (,) ∈ V
21imaex 7907 . 2 ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ V
3 qtopbas.1 . . . . . . . . 9 𝑆 βŠ† ℝ*
43sseli 3979 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
53sseli 3979 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝑆 β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
64, 5anim12i 614 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*))
73sseli 3979 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ 𝑆 β†’ 𝑣 ∈ ℝ*)
83sseli 3979 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ 𝑒 ∈ ℝ*)
97, 8anim12i 614 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (𝑣 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 ∈ ℝ*))
10 iooin 13358 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑣 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 ∈ ℝ*)) β†’ ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) = (if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)))
116, 9, 10syl2an 597 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) = (if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)))
12 ifcl 4574 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆)
1312ancoms 460 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆)
14 ifcl 4574 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒) ∈ 𝑆)
15 df-ov 7412 . . . . . . . . 9 (if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)) = ((,)β€˜βŸ¨if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)⟩)
16 opelxpi 5714 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒) ∈ 𝑆) β†’ ⟨if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)⟩ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆))
17 ioof 13424 . . . . . . . . . . . 12 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
18 ffun 6721 . . . . . . . . . . . 12 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun (,))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Fun (,)
20 xpss12 5692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 βŠ† ℝ* ∧ 𝑆 βŠ† ℝ*) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
213, 3, 20mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
2217fdmi 6730 . . . . . . . . . . . 12 dom (,) = (ℝ* Γ— ℝ*)
2321, 22sseqtrri 4020 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† dom (,)
24 funfvima2 7233 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (,) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† dom (,)) β†’ (⟨if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)⟩ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆) β†’ ((,)β€˜βŸ¨if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)⟩) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
2519, 23, 24mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (⟨if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)⟩ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆) β†’ ((,)β€˜βŸ¨if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)⟩) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
2616, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒) ∈ 𝑆) β†’ ((,)β€˜βŸ¨if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)⟩) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
2715, 26eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 ((if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒) ∈ 𝑆) β†’ (if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
2813, 14, 27syl2an 597 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ (if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
2928an4s 659 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ (if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑀 ≀ 𝑒, 𝑀, 𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
3011, 29eqeltrd 2834 . . . . 5 (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
3130ralrimivva 3201 . . . 4 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
3231rgen2 3198 . . 3 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))
33 ffn 6718 . . . . . 6 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
3417, 33ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
35 ineq1 4206 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((,)β€˜π‘‘) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = (((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦))
3635eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((,)β€˜π‘‘) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ (((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
3736ralbidv 3178 . . . . . 6 (π‘₯ = ((,)β€˜π‘‘) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
3837ralima 7240 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
3934, 21, 38mp2an 691 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
40 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ ((,)β€˜π‘‘) = ((,)β€˜βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))
41 df-ov 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑧(,)𝑀) = ((,)β€˜βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)
4240, 41eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ ((,)β€˜π‘‘) = (𝑧(,)𝑀))
4342ineq1d 4212 . . . . . . . 8 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ (((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦))
4443eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ ((((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
4544ralbidv 3178 . . . . . 6 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
46 ineq2 4207 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((,)β€˜π‘‘) β†’ ((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)))
4746eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((,)β€˜π‘‘) β†’ (((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
4847ralima 7240 . . . . . . . 8 (((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
4934, 21, 48mp2an 691 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
50 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = βŸ¨π‘£, π‘’βŸ© β†’ ((,)β€˜π‘‘) = ((,)β€˜βŸ¨π‘£, π‘’βŸ©))
51 df-ov 7412 . . . . . . . . . . 11 (𝑣(,)𝑒) = ((,)β€˜βŸ¨π‘£, π‘’βŸ©)
5250, 51eqtr4di 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = βŸ¨π‘£, π‘’βŸ© β†’ ((,)β€˜π‘‘) = (𝑣(,)𝑒))
5352ineq2d 4213 . . . . . . . . 9 (𝑑 = βŸ¨π‘£, π‘’βŸ© β†’ ((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) = ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)))
5453eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑑 = βŸ¨π‘£, π‘’βŸ© β†’ (((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
5554ralxp 5842 . . . . . . 7 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
5649, 55bitri 275 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
5745, 56bitrdi 287 . . . . 5 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
5857ralxp 5842 . . . 4 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
5939, 58bitri 275 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
6032, 59mpbir 230 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))
61 fiinbas 22455 . 2 ((((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))) β†’ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ TopBases)
622, 60, 61mp2an 691 1 ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249  (,)cioo 13324  TopBasesctb 22448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328  df-bases 22449
This theorem is referenced by:  qtopbas  24276  retopbas  24277
  Copyright terms: Public domain W3C validator