MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopbaslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopbaslem 24122
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopbas.1 𝑆 ⊆ ℝ*
Assertion
Ref Expression
qtopbaslem ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases

Proof of Theorem qtopbaslem
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 13287 . . 3 (,) ∈ V
21imaex 7853 . 2 ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V
3 qtopbas.1 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℝ*
43sseli 3940 . . . . . . . 8 (𝑧𝑆𝑧 ∈ ℝ*)
53sseli 3940 . . . . . . . 8 (𝑤𝑆𝑤 ∈ ℝ*)
64, 5anim12i 613 . . . . . . 7 ((𝑧𝑆𝑤𝑆) → (𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
73sseli 3940 . . . . . . . 8 (𝑣𝑆𝑣 ∈ ℝ*)
83sseli 3940 . . . . . . . 8 (𝑢𝑆𝑢 ∈ ℝ*)
97, 8anim12i 613 . . . . . . 7 ((𝑣𝑆𝑢𝑆) → (𝑣 ∈ ℝ*𝑢 ∈ ℝ*))
10 iooin 13298 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑣 ∈ ℝ*𝑢 ∈ ℝ*)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)))
116, 9, 10syl2an 596 . . . . . 6 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)))
12 ifcl 4531 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝑆𝑧𝑆) → if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆)
1312ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑆𝑣𝑆) → if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆)
14 ifcl 4531 . . . . . . . 8 ((𝑤𝑆𝑢𝑆) → if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆)
15 df-ov 7360 . . . . . . . . 9 (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) = ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩)
16 opelxpi 5670 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆) → ⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆))
17 ioof 13364 . . . . . . . . . . . 12 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
18 ffun 6671 . . . . . . . . . . . 12 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Fun (,)
20 xpss12 5648 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℝ*𝑆 ⊆ ℝ*) → (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
213, 3, 20mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2217fdmi 6680 . . . . . . . . . . . 12 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
2321, 22sseqtrri 3981 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)
24 funfvima2 7181 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (,) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)) → (⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
2519, 23, 24mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2616, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆) → ((,)‘⟨if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧), if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2715, 26eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 ((if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢) ∈ 𝑆) → (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2813, 14, 27syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝑧𝑆𝑣𝑆) ∧ (𝑤𝑆𝑢𝑆)) → (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
2928an4s 658 . . . . . 6 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → (if(𝑧𝑣, 𝑣, 𝑧)(,)if(𝑤𝑢, 𝑤, 𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3011, 29eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3130ralrimivva 3197 . . . 4 ((𝑧𝑆𝑤𝑆) → ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
3231rgen2 3194 . . 3 𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
33 ffn 6668 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3417, 33ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
35 ineq1 4165 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (𝑥𝑦) = (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦))
3635eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → ((𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
3736ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
3837ralima 7188 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
3934, 21, 38mp2an 690 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
40 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩))
41 df-ov 7360 . . . . . . . . . 10 (𝑧(,)𝑤) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩)
4240, 41eqtr4di 2794 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑧(,)𝑤))
4342ineq1d 4171 . . . . . . . 8 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦))
4443eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
4544ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
46 ineq2 4166 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((,)‘𝑡) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)))
4746eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((,)‘𝑡) → (((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
4847ralima 7188 . . . . . . . 8 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
4934, 21, 48mp2an 690 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
50 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩))
51 df-ov 7360 . . . . . . . . . . 11 (𝑣(,)𝑢) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩)
5250, 51eqtr4di 2794 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑣(,)𝑢))
5352ineq2d 4172 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)))
5453eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → (((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5554ralxp 5797 . . . . . . 7 (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
5649, 55bitri 274 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
5745, 56bitrdi 286 . . . . 5 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5857ralxp 5797 . . . 4 (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
5939, 58bitri 274 . . 3 (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
6032, 59mpbir 230 . 2 𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
61 fiinbas 22302 . 2 ((((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))) → ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases)
622, 60, 61mp2an 690 1 ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560  cop 4592   class class class wbr 5105   × cxp 5631  dom cdm 5633  cima 5636  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  *cxr 11188  cle 11190  (,)cioo 13264  TopBasesctb 22295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-ioo 13268  df-bases 22296
This theorem is referenced by:  qtopbas  24123  retopbas  24124
  Copyright terms: Public domain W3C validator