MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankfu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankfu 9906
Description: An upper bound on the rank of a function. (Contributed by GΓ©rard Lang, 5-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxpl.1 𝐴 ∈ V
rankxpl.2 𝐡 ∈ V
Assertion
Ref Expression
rankfu (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ (rankβ€˜πΉ) βŠ† suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))

Proof of Theorem rankfu
StepHypRef Expression
1 fssxp 6754 . 2 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
2 rankxpl.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
3 rankxpl.2 . . . . 5 𝐡 ∈ V
42, 3xpex 7759 . . . 4 (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V
54rankss 9878 . . 3 (𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) β†’ (rankβ€˜πΉ) βŠ† (rankβ€˜(𝐴 Γ— 𝐡)))
62, 3rankxpu 9905 . . 3 (rankβ€˜(𝐴 Γ— 𝐡)) βŠ† suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))
75, 6sstrdi 3992 . 2 (𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) β†’ (rankβ€˜πΉ) βŠ† suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
81, 7syl 17 1 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ (rankβ€˜πΉ) βŠ† suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5678  suc csuc 6374  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  rankcrnk 9792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-reg 9621  ax-inf2 9670
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-r1 9793  df-rank 9794
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator