Theorem rankfu 9634

Description: An upper bound on the rank of a function. (Contributed by Gérard Lang, 5-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
rankxpl.1	⊢ 𝐴 ∈ V
rankxpl.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankfu	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (rank‘𝐹) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))

Proof of Theorem rankfu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 6625	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
2		rankxpl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		rankxpl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	xpex 7595	. . . 4 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V
5	4	rankss 9606	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (rank‘𝐹) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵)))
6	2, 3	rankxpu 9633	. . 3 ⊢ (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))
7	5, 6	sstrdi 3938	. 2 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (rank‘𝐹) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
8	1, 7	syl 17	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (rank‘𝐹) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431   ∪ cun 3890   ⊆ wss 3892   × cxp 5587  suc csuc 6266  ⟶wf 6427  ‘cfv 6431  rankcrnk 9520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-reg 9327  ax-inf2 9375

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-ov 7272  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-r1 9521  df-rank 9522

This theorem is referenced by: (None)