Theorem rankfu 9871

Description: An upper bound on the rank of a function. (Contributed by Gérard Lang, 5-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
rankxpl.1	⊢ 𝐴 ∈ V
rankxpl.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankfu	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (rank‘𝐹) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))

Proof of Theorem rankfu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 6738	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
2		rankxpl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		rankxpl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	xpex 7736	. . . 4 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V
5	4	rankss 9843	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (rank‘𝐹) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵)))
6	2, 3	rankxpu 9870	. . 3 ⊢ (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))
7	5, 6	sstrdi 3989	. 2 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (rank‘𝐹) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
8	1, 7	syl 17	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (rank‘𝐹) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∪ cun 3941   ⊆ wss 3943   × cxp 5667  suc csuc 6359  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  rankcrnk 9757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-reg 9586  ax-inf2 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-r1 9758  df-rank 9759

This theorem is referenced by: (None)