Theorem rankfu 9868

Description: An upper bound on the rank of a function. (Contributed by Gérard Lang, 5-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
rankxpl.1	⊢ 𝐴 ∈ V
rankxpl.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankfu	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (rank‘𝐹) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))

Proof of Theorem rankfu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 6742	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
2		rankxpl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		rankxpl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	xpex 7736	. . . 4 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V
5	4	rankss 9840	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (rank‘𝐹) ⊆ (rank‘(𝐴 × 𝐵)))
6	2, 3	rankxpu 9867	. . 3 ⊢ (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))
7	5, 6	sstrdi 3993	. 2 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (rank‘𝐹) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
8	1, 7	syl 17	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (rank‘𝐹) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947   × cxp 5673  suc csuc 6363  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  rankcrnk 9754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-reg 9583  ax-inf2 9632

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-r1 9755  df-rank 9756

This theorem is referenced by: (None)