Theorem rankxpu 9761

Description: An upper bound on the rank of a Cartesian product. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
rankxpl.1	⊢ 𝐴 ∈ V
rankxpl.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankxpu	⊢ (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem rankxpu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 5747	. . 3 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		rankxpl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		rankxpl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	unex 7672	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V
5	4	pwex 5316	. . . . 5 ⊢ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V
6	5	pwex 5316	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V
7	6	rankss 9734	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) → (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)))
8	1, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))
9	5	rankpw 9728	. . 3 ⊢ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))
10	4	rankpw 9728	. . . 4 ⊢ (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))
11		suceq 6370	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)) → suc (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ suc (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))
13	9, 12	eqtri 2753	. 2 ⊢ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))
14	8, 13	sseqtri 3981	1 ⊢ (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  Vcvv 3434   ∪ cun 3898   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4548   × cxp 5612  suc csuc 6304  ‘cfv 6477  rankcrnk 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-reg 9473  ax-inf2 9526

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-r1 9649  df-rank 9650

This theorem is referenced by:  rankfu  9762  rankmapu  9763  rankxplim3  9766