Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankxpu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankxpu 9298
 Description: An upper bound on the rank of a Cartesian product. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxpl.1 𝐴 ∈ V
rankxpl.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
rankxpu (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴𝐵))

Proof of Theorem rankxpu
StepHypRef Expression
1 xpsspw 5670 . . 3 (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵)
2 rankxpl.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
3 rankxpl.2 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
42, 3unex 7460 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ∈ V
54pwex 5269 . . . . 5 𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V
65pwex 5269 . . . 4 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V
76rankss 9271 . . 3 ((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵) → (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴𝐵)))
81, 7ax-mp 5 . 2 (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴𝐵))
95rankpw 9265 . . 3 (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴𝐵)) = suc (rank‘𝒫 (𝐴𝐵))
104rankpw 9265 . . . 4 (rank‘𝒫 (𝐴𝐵)) = suc (rank‘(𝐴𝐵))
11 suceq 6244 . . . 4 ((rank‘𝒫 (𝐴𝐵)) = suc (rank‘(𝐴𝐵)) → suc (rank‘𝒫 (𝐴𝐵)) = suc suc (rank‘(𝐴𝐵)))
1210, 11ax-mp 5 . . 3 suc (rank‘𝒫 (𝐴𝐵)) = suc suc (rank‘(𝐴𝐵))
139, 12eqtri 2847 . 2 (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴𝐵)) = suc suc (rank‘(𝐴𝐵))
148, 13sseqtri 3989 1 (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480   ∪ cun 3917   ⊆ wss 3919  𝒫 cpw 4522   × cxp 5541  suc csuc 6181  ‘cfv 6344  rankcrnk 9185 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-reg 9049  ax-inf2 9097 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-om 7572  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-r1 9186  df-rank 9187 This theorem is referenced by:  rankfu  9299  rankmapu  9300  rankxplim3  9303
 Copyright terms: Public domain W3C validator