Theorem rankxpu 9779

Description: An upper bound on the rank of a Cartesian product. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
rankxpl.1	⊢ 𝐴 ∈ V
rankxpl.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankxpu	⊢ (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem rankxpu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 5755	. . 3 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		rankxpl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		rankxpl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	unex 7686	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V
5	4	pwex 5322	. . . . 5 ⊢ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V
6	5	pwex 5322	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V
7	6	rankss 9752	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) → (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)))
8	1, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))
9	5	rankpw 9746	. . 3 ⊢ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))
10	4	rankpw 9746	. . . 4 ⊢ (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))
11		suceq 6382	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)) → suc (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ suc (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))
13	9, 12	eqtri 2756	. 2 ⊢ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))
14	8, 13	sseqtri 3980	1 ⊢ (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4551   × cxp 5619  suc csuc 6316  ‘cfv 6489  rankcrnk 9666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-reg 9488  ax-inf2 9541

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-r1 9667  df-rank 9668

This theorem is referenced by:  rankfu  9780  rankmapu  9781  rankxplim3  9784