Theorem rankxpu 9945

Description: An upper bound on the rank of a Cartesian product. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
rankxpl.1	⊢ 𝐴 ∈ V
rankxpl.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankxpu	⊢ (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem rankxpu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 5833	. . 3 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		rankxpl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		rankxpl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	unex 7779	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V
5	4	pwex 5398	. . . . 5 ⊢ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V
6	5	pwex 5398	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V
7	6	rankss 9918	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) → (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)))
8	1, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))
9	5	rankpw 9912	. . 3 ⊢ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))
10	4	rankpw 9912	. . . 4 ⊢ (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))
11		suceq 6461	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)) → suc (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ suc (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))
13	9, 12	eqtri 2768	. 2 ⊢ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))
14	8, 13	sseqtri 4045	1 ⊢ (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622   × cxp 5698  suc csuc 6397  ‘cfv 6573  rankcrnk 9832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-reg 9661  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-r1 9833  df-rank 9834

This theorem is referenced by:  rankfu  9946  rankmapu  9947  rankxplim3  9950