Theorem rankxpu 9914

Description: An upper bound on the rank of a Cartesian product. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
rankxpl.1	⊢ 𝐴 ∈ V
rankxpl.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankxpu	⊢ (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem rankxpu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 5822	. . 3 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		rankxpl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		rankxpl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	unex 7763	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V
5	4	pwex 5386	. . . . 5 ⊢ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V
6	5	pwex 5386	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V
7	6	rankss 9887	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) → (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)))
8	1, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))
9	5	rankpw 9881	. . 3 ⊢ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))
10	4	rankpw 9881	. . . 4 ⊢ (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))
11		suceq 6452	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)) → suc (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ suc (rank‘𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))
13	9, 12	eqtri 2763	. 2 ⊢ (rank‘𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) = suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))
14	8, 13	sseqtri 4032	1 ⊢ (rank‘(𝐴 × 𝐵)) ⊆ suc suc (rank‘(𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605   × cxp 5687  suc csuc 6388  ‘cfv 6563  rankcrnk 9801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-r1 9802  df-rank 9803

This theorem is referenced by:  rankfu  9915  rankmapu  9916  rankxplim3  9919