MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankop 8883
Description: The rank of an ordered pair. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ranksn.1 𝐴 ∈ V
rankun.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
rankop (rank‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = suc suc ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘𝐵))

Proof of Theorem rankop
StepHypRef Expression
1 ranksn.1 . . 3 𝐴 ∈ V
2 unir1 8838 . . 3 (𝑅1 “ On) = V
31, 2eleqtrri 2849 . 2 𝐴 (𝑅1 “ On)
4 rankun.2 . . 3 𝐵 ∈ V
54, 2eleqtrri 2849 . 2 𝐵 (𝑅1 “ On)
6 rankopb 8877 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 (𝑅1 “ On)) → (rank‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = suc suc ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘𝐵)))
73, 5, 6mp2an 672 1 (rank‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = suc suc ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cun 3721  cop 4322   cuni 4574  cima 5252  Oncon0 5864  suc csuc 5866  cfv 6029  𝑅1cr1 8787  rankcrnk 8788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-reg 8651  ax-inf2 8700
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-om 7211  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-r1 8789  df-rank 8790
This theorem is referenced by:  rankelop  8899
  Copyright terms: Public domain W3C validator