Theorem rankop 9780

Description: The rank of an ordered pair. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ranksn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
rankun.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankop	⊢ (rank‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = suc suc ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘𝐵))

Proof of Theorem rankop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ranksn.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 9735	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2839	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		rankun.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4, 2	eleqtrri 2839	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
6		rankopb 9774	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → (rank‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = suc suc ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘𝐵)))
7	3, 5, 6	mp2an 698	1 ⊢ (rank‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = suc suc ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘𝐵))

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ∪ cun 3888  ⟨cop 4568  ∪ cuni 4845   “ cima 5628  Oncon0 6317  suc csuc 6319  ‘cfv 6492  𝑅₁cr1 9684  rankcrnk 9685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-reg 9504  ax-inf2 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-r1 9686  df-rank 9687

This theorem is referenced by:  rankelop  9796