Theorem rankop 9806

Description: The rank of an ordered pair. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ranksn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
rankun.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankop	⊢ (rank‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = suc suc ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘𝐵))

Proof of Theorem rankop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ranksn.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 9761	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2855	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		rankun.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4, 2	eleqtrri 2855	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
6		rankopb 9800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → (rank‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = suc suc ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘𝐵)))
7	3, 5, 6	mp2an 700	1 ⊢ (rank‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = suc suc ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘𝐵))

Syntax hints:   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  Vcvv 3448   ∪ cun 3897  ⟨cop 4582  ∪ cuni 4859   “ cima 5643  Oncon0 6335  suc csuc 6337  ‘cfv 6510  𝑅₁cr1 9710  rankcrnk 9711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-reg 9530  ax-inf2 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-r1 9712  df-rank 9713

This theorem is referenced by:  rankelop  9822