MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unir1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unir1 9218
Description: The cumulative hierarchy of sets covers the universe. Proposition 4.45 (b) to (a) of [Mendelson] p. 281. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
unir1 (𝑅1 “ On) = V

Proof of Theorem unir1
StepHypRef Expression
1 setind 9152 . 2 (∀𝑥(𝑥 (𝑅1 “ On) → 𝑥 (𝑅1 “ On)) → (𝑅1 “ On) = V)
2 vex 3474 . . . 4 𝑥 ∈ V
32r1elss 9211 . . 3 (𝑥 (𝑅1 “ On) ↔ 𝑥 (𝑅1 “ On))
43biimpri 231 . 2 (𝑥 (𝑅1 “ On) → 𝑥 (𝑅1 “ On))
51, 4mpg 1799 1 (𝑅1 “ On) = V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3471  wss 3910   cuni 4811  cima 5531  Oncon0 6164  𝑅1cr1 9167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-reg 9032  ax-inf2 9080
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-r1 9169
This theorem is referenced by:  jech9.3  9219  rankwflem  9220  rankval  9221  rankr1g  9237  rankid  9238  ssrankr1  9240  rankel  9244  rankval3  9245  rankpw  9248  rankss  9254  ranksn  9259  rankuni2  9260  rankun  9261  rankpr  9262  rankop  9263  r1rankid  9264  rankeq0  9266  rankr1b  9269  dfac12a  9551  hsmex2  9832  grutsk  10221  grurankcld  40756
  Copyright terms: Public domain W3C validator