Theorem unir1 9737

Description: The cumulative hierarchy of sets covers the universe. Proposition 4.45 (b) to (a) of [Mendelson] p. 281. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
unir1	⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V

Proof of Theorem unir1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setind 9668	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → ∪ (𝑅1 “ On) = V)
2		vex 3433	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	r1elss 9730	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
4	3	biimpri 228	. 2 ⊢ (𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	1, 4	mpg 1799	1 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  ∪ cuni 4850   “ cima 5634  Oncon0 6323  𝑅₁cr1 9686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-reg 9507  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-r1 9688

This theorem is referenced by:  jech9.3  9738  rankwflem  9739  rankval  9740  rankr1g  9756  rankid  9757  ssrankr1  9759  rankel  9763  rankval3  9764  rankpw  9767  rankss  9773  ranksn  9778  rankuni2  9779  rankun  9780  rankpr  9781  rankop  9782  r1rankid  9783  rankeq0  9785  rankr1b  9788  dfac12a  10071  hsmex2  10355  grutsk  10745  grurankcld  44660