Theorem unir1 8960

Description: The cumulative hierarchy of sets covers the universe. Proposition 4.45 (b) to (a) of [Mendelson] p. 281. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
unir1	⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V

Proof of Theorem unir1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setind 8894	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → ∪ (𝑅1 “ On) = V)
2		vex 3417	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	r1elss 8953	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
4	3	biimpri 220	. 2 ⊢ (𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	1, 4	mpg 1896	1 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  ∪ cuni 4660   “ cima 5349  Oncon0 5967  𝑅₁cr1 8909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-reg 8773  ax-inf2 8822

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-r1 8911

This theorem is referenced by:  jech9.3  8961  rankwflem  8962  rankval  8963  rankr1g  8979  rankid  8980  ssrankr1  8982  rankel  8986  rankval3  8987  rankpw  8990  rankss  8996  ranksn  9001  rankuni2  9002  rankun  9003  rankpr  9004  rankop  9005  r1rankid  9006  rankeq0  9008  rankr1b  9011  dfac12a  9292  hsmex2  9577  grutsk  9966