MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unir1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unir1 9810
Description: The cumulative hierarchy of sets covers the universe. Proposition 4.45 (b) to (a) of [Mendelson] p. 281. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
unir1 (𝑅1 “ On) = V

Proof of Theorem unir1
StepHypRef Expression
1 setind 9731 . 2 (∀𝑥(𝑥 (𝑅1 “ On) → 𝑥 (𝑅1 “ On)) → (𝑅1 “ On) = V)
2 vex 3476 . . . 4 𝑥 ∈ V
32r1elss 9803 . . 3 (𝑥 (𝑅1 “ On) ↔ 𝑥 (𝑅1 “ On))
43biimpri 227 . 2 (𝑥 (𝑅1 “ On) → 𝑥 (𝑅1 “ On))
51, 4mpg 1797 1 (𝑅1 “ On) = V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2104  Vcvv 3472  wss 3947   cuni 4907  cima 5678  Oncon0 6363  𝑅1cr1 9759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-reg 9589  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-r1 9761
This theorem is referenced by:  jech9.3  9811  rankwflem  9812  rankval  9813  rankr1g  9829  rankid  9830  ssrankr1  9832  rankel  9836  rankval3  9837  rankpw  9840  rankss  9846  ranksn  9851  rankuni2  9852  rankun  9853  rankpr  9854  rankop  9855  r1rankid  9856  rankeq0  9858  rankr1b  9861  dfac12a  10145  hsmex2  10430  grutsk  10819  grurankcld  43294
  Copyright terms: Public domain W3C validator