Theorem unir1 9742

Description: The cumulative hierarchy of sets covers the universe. Proposition 4.45 (b) to (a) of [Mendelson] p. 281. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
unir1	⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V

Proof of Theorem unir1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setind 9663	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → ∪ (𝑅1 “ On) = V)
2		vex 3448	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	r1elss 9735	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
4	3	biimpri 228	. 2 ⊢ (𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	1, 4	mpg 1797	1 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4867   “ cima 5634  Oncon0 6320  𝑅₁cr1 9691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-reg 9521  ax-inf2 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-r1 9693

This theorem is referenced by:  jech9.3  9743  rankwflem  9744  rankval  9745  rankr1g  9761  rankid  9762  ssrankr1  9764  rankel  9768  rankval3  9769  rankpw  9772  rankss  9778  ranksn  9783  rankuni2  9784  rankun  9785  rankpr  9786  rankop  9787  r1rankid  9788  rankeq0  9790  rankr1b  9793  dfac12a  10078  hsmex2  10362  grutsk  10751  grurankcld  44215