Theorem unir1 9832

Description: The cumulative hierarchy of sets covers the universe. Proposition 4.45 (b) to (a) of [Mendelson] p. 281. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
unir1	⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V

Proof of Theorem unir1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setind 9753	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → ∪ (𝑅1 “ On) = V)
2		vex 3468	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	r1elss 9825	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
4	3	biimpri 228	. 2 ⊢ (𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	1, 4	mpg 1797	1 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  ∪ cuni 4888   “ cima 5662  Oncon0 6357  𝑅₁cr1 9781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-reg 9611  ax-inf2 9660

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-r1 9783

This theorem is referenced by:  jech9.3  9833  rankwflem  9834  rankval  9835  rankr1g  9851  rankid  9852  ssrankr1  9854  rankel  9858  rankval3  9859  rankpw  9862  rankss  9868  ranksn  9873  rankuni2  9874  rankun  9875  rankpr  9876  rankop  9877  r1rankid  9878  rankeq0  9880  rankr1b  9883  dfac12a  10168  hsmex2  10452  grutsk  10841  grurankcld  44224