Theorem r1rankid 9290

Description: Any set is a subset of the hierarchy of its rank. (Contributed by NM, 14-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1rankid	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))

Proof of Theorem r1rankid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3514	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		unir1 9244	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrrdi 2926	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4		r1rankidb 9235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  ∪ cuni 4840   “ cima 5560  Oncon0 6193  ‘cfv 6357  𝑅₁cr1 9193  rankcrnk 9194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-reg 9058  ax-inf2 9106

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-r1 9195  df-rank 9196

This theorem is referenced by:  wunex3  10165  elhf2  33638  dfac11  39669  grurankrcld  40577