Theorem r1rankid 9685

Description: Any set is a subset of the hierarchy of its rank. (Contributed by NM, 14-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1rankid	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))

Proof of Theorem r1rankid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3459	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		unir1 9639	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrrdi 2849	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4		r1rankidb 9630	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ⊆ wss 3896  ∪ cuni 4848   “ cima 5608  Oncon0 6286  ‘cfv 6463  𝑅₁cr1 9588  rankcrnk 9589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-reg 9419  ax-inf2 9467

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-ov 7316  df-om 7756  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-r1 9590  df-rank 9591

This theorem is referenced by:  wunex3  10567  elhf2  34538  dfac11  41098  grurankrcld  42080