MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1rankid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1rankid 9274
Description: Any set is a subset of the hierarchy of its rank. (Contributed by NM, 14-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1rankid (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))

Proof of Theorem r1rankid
StepHypRef Expression
1 elex 3497 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 unir1 9228 . . 3 (𝑅1 “ On) = V
31, 2eleqtrrdi 2927 . 2 (𝐴𝑉𝐴 (𝑅1 “ On))
4 r1rankidb 9219 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
53, 4syl 17 1 (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  Vcvv 3479  wss 3918   cuni 4821  cima 5541  Oncon0 6174  cfv 6338  𝑅1cr1 9177  rankcrnk 9178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-reg 9042  ax-inf2 9090
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-om 7566  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-r1 9179  df-rank 9180
This theorem is referenced by:  wunex3  10150  elhf2  33656  dfac11  39853  grurankrcld  40793
  Copyright terms: Public domain W3C validator