Theorem re1m1e0m0 42087

Description: Equality of two left-additive identities. See resubidaddlid 42085. Uses ax-i2m1 11208. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
re1m1e0m0	⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)

Proof of Theorem re1m1e0m0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11249	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
2		1re 11246	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rersubcl 42068	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 −ℝ 1) ∈ ℝ)
4	2, 2, 3	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (1 −ℝ 1) ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (1 −ℝ 1) ∈ ℝ)
6		ax-icn 11199	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
7	6, 6	mulcli 11253	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
8		ax-1cn 11198	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	4	recni 11260	. . . . . . 7 ⊢ (1 −ℝ 1) ∈ ℂ
10	7, 8, 9	addassi 11256	. . . . . 6 ⊢ (((i · i) + 1) + (1 −ℝ 1)) = ((i · i) + (1 + (1 −ℝ 1)))
11		repncan3 42073	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 + (1 −ℝ 1)) = 1)
12	2, 2, 11	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (1 + (1 −ℝ 1)) = 1
13	12	oveq2i 7430	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + (1 + (1 −ℝ 1))) = ((i · i) + 1)
14	10, 13	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ (((i · i) + 1) + (1 −ℝ 1)) = ((i · i) + 1)
15		ax-i2m1 11208	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
16	15	oveq1i 7429	. . . . 5 ⊢ (((i · i) + 1) + (1 −ℝ 1)) = (0 + (1 −ℝ 1))
17	14, 16, 15	3eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ (0 + (1 −ℝ 1)) = 0
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (0 + (1 −ℝ 1)) = 0)
19	1, 5, 18	reladdrsub 42075	. 2 ⊢ (⊤ → (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0))
20	19	mptru 1540	1 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)

Syntax hints:   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7419  ℝcr 11139  0cc0 11140  1c1 11141  ici 11142   + caddc 11143   · cmul 11145   −_ℝ cresub 42055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-addass 11205  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-ltxr 11285  df-resub 42056

This theorem is referenced by:  sn-00idlem1  42088  sn-00idlem2  42089  remul02  42095