Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  re1m1e0m0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem re1m1e0m0 42404
Description: Equality of two left-additive identities. See resubidaddlid 42402. Uses ax-i2m1 11221. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
re1m1e0m0 (1 − 1) = (0 − 0)

Proof of Theorem re1m1e0m0
StepHypRef Expression
1 0red 11262 . . 3 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
2 1re 11259 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 rersubcl 42385 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 − 1) ∈ ℝ)
42, 2, 3mp2an 692 . . . 4 (1 − 1) ∈ ℝ
54a1i 11 . . 3 (⊤ → (1 − 1) ∈ ℝ)
6 ax-icn 11212 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
76, 6mulcli 11266 . . . . . . 7 (i · i) ∈ ℂ
8 ax-1cn 11211 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
94recni 11273 . . . . . . 7 (1 − 1) ∈ ℂ
107, 8, 9addassi 11269 . . . . . 6 (((i · i) + 1) + (1 − 1)) = ((i · i) + (1 + (1 − 1)))
11 repncan3 42390 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 + (1 − 1)) = 1)
122, 2, 11mp2an 692 . . . . . . 7 (1 + (1 − 1)) = 1
1312oveq2i 7442 . . . . . 6 ((i · i) + (1 + (1 − 1))) = ((i · i) + 1)
1410, 13eqtri 2763 . . . . 5 (((i · i) + 1) + (1 − 1)) = ((i · i) + 1)
15 ax-i2m1 11221 . . . . . 6 ((i · i) + 1) = 0
1615oveq1i 7441 . . . . 5 (((i · i) + 1) + (1 − 1)) = (0 + (1 − 1))
1714, 16, 153eqtr3i 2771 . . . 4 (0 + (1 − 1)) = 0
1817a1i 11 . . 3 (⊤ → (0 + (1 − 1)) = 0)
191, 5, 18reladdrsub 42392 . 2 (⊤ → (1 − 1) = (0 − 0))
2019mptru 1544 1 (1 − 1) = (0 − 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158   cresub 42372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-resub 42373
This theorem is referenced by:  sn-00idlem1  42405  sn-00idlem2  42406  remul02  42412
  Copyright terms: Public domain W3C validator