Theorem re1m1e0m0 42373

Description: Equality of two left-additive identities. See resubidaddlid 42371. Uses ax-i2m1 11252. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
re1m1e0m0	⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)

Proof of Theorem re1m1e0m0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11293	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
2		1re 11290	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rersubcl 42354	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 −ℝ 1) ∈ ℝ)
4	2, 2, 3	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (1 −ℝ 1) ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (1 −ℝ 1) ∈ ℝ)
6		ax-icn 11243	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
7	6, 6	mulcli 11297	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
8		ax-1cn 11242	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	4	recni 11304	. . . . . . 7 ⊢ (1 −ℝ 1) ∈ ℂ
10	7, 8, 9	addassi 11300	. . . . . 6 ⊢ (((i · i) + 1) + (1 −ℝ 1)) = ((i · i) + (1 + (1 −ℝ 1)))
11		repncan3 42359	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 + (1 −ℝ 1)) = 1)
12	2, 2, 11	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (1 + (1 −ℝ 1)) = 1
13	12	oveq2i 7459	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + (1 + (1 −ℝ 1))) = ((i · i) + 1)
14	10, 13	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (((i · i) + 1) + (1 −ℝ 1)) = ((i · i) + 1)
15		ax-i2m1 11252	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
16	15	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ (((i · i) + 1) + (1 −ℝ 1)) = (0 + (1 −ℝ 1))
17	14, 16, 15	3eqtr3i 2776	. . . 4 ⊢ (0 + (1 −ℝ 1)) = 0
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (0 + (1 −ℝ 1)) = 0)
19	1, 5, 18	reladdrsub 42361	. 2 ⊢ (⊤ → (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0))
20	19	mptru 1544	1 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)

Syntax hints:   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189   −_ℝ cresub 42341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-addass 11249  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-resub 42342

This theorem is referenced by:  sn-00idlem1  42374  sn-00idlem2  42375  remul02  42381