Theorem re1m1e0m0 42427

Description: Equality of two left-additive identities. See resubidaddlid 42425. Uses ax-i2m1 11223. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
re1m1e0m0	⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)

Proof of Theorem re1m1e0m0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11264	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
2		1re 11261	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rersubcl 42408	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 −ℝ 1) ∈ ℝ)
4	2, 2, 3	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (1 −ℝ 1) ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (1 −ℝ 1) ∈ ℝ)
6		ax-icn 11214	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
7	6, 6	mulcli 11268	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
8		ax-1cn 11213	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	4	recni 11275	. . . . . . 7 ⊢ (1 −ℝ 1) ∈ ℂ
10	7, 8, 9	addassi 11271	. . . . . 6 ⊢ (((i · i) + 1) + (1 −ℝ 1)) = ((i · i) + (1 + (1 −ℝ 1)))
11		repncan3 42413	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 + (1 −ℝ 1)) = 1)
12	2, 2, 11	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1 + (1 −ℝ 1)) = 1
13	12	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + (1 + (1 −ℝ 1))) = ((i · i) + 1)
14	10, 13	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ (((i · i) + 1) + (1 −ℝ 1)) = ((i · i) + 1)
15		ax-i2m1 11223	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
16	15	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ (((i · i) + 1) + (1 −ℝ 1)) = (0 + (1 −ℝ 1))
17	14, 16, 15	3eqtr3i 2773	. . . 4 ⊢ (0 + (1 −ℝ 1)) = 0
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (0 + (1 −ℝ 1)) = 0)
19	1, 5, 18	reladdrsub 42415	. 2 ⊢ (⊤ → (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0))
20	19	mptru 1547	1 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   −_ℝ cresub 42395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-addass 11220  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-resub 42396

This theorem is referenced by:  sn-00idlem1  42428  sn-00idlem2  42429  remul02  42435