Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  re1m1e0m0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem re1m1e0m0 40804
Description: Equality of two left-additive identities. See resubidaddid1 40802. Uses ax-i2m1 11115. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
re1m1e0m0 (1 − 1) = (0 − 0)

Proof of Theorem re1m1e0m0
StepHypRef Expression
1 0red 11154 . . 3 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
2 1re 11151 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 rersubcl 40785 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 − 1) ∈ ℝ)
42, 2, 3mp2an 690 . . . 4 (1 − 1) ∈ ℝ
54a1i 11 . . 3 (⊤ → (1 − 1) ∈ ℝ)
6 ax-icn 11106 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
76, 6mulcli 11158 . . . . . . 7 (i · i) ∈ ℂ
8 ax-1cn 11105 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
94recni 11165 . . . . . . 7 (1 − 1) ∈ ℂ
107, 8, 9addassi 11161 . . . . . 6 (((i · i) + 1) + (1 − 1)) = ((i · i) + (1 + (1 − 1)))
11 repncan3 40790 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 + (1 − 1)) = 1)
122, 2, 11mp2an 690 . . . . . . 7 (1 + (1 − 1)) = 1
1312oveq2i 7364 . . . . . 6 ((i · i) + (1 + (1 − 1))) = ((i · i) + 1)
1410, 13eqtri 2764 . . . . 5 (((i · i) + 1) + (1 − 1)) = ((i · i) + 1)
15 ax-i2m1 11115 . . . . . 6 ((i · i) + 1) = 0
1615oveq1i 7363 . . . . 5 (((i · i) + 1) + (1 − 1)) = (0 + (1 − 1))
1714, 16, 153eqtr3i 2772 . . . 4 (0 + (1 − 1)) = 0
1817a1i 11 . . 3 (⊤ → (0 + (1 − 1)) = 0)
191, 5, 18reladdrsub 40792 . 2 (⊤ → (1 − 1) = (0 − 0))
2019mptru 1548 1 (1 − 1) = (0 − 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  (class class class)co 7353  cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048  ici 11049   + caddc 11050   · cmul 11052   cresub 40772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-addass 11112  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-ltxr 11190  df-resub 40773
This theorem is referenced by:  sn-00idlem1  40805  sn-00idlem2  40806  remul02  40812
  Copyright terms: Public domain W3C validator