Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  re1m1e0m0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem re1m1e0m0 42427
Description: Equality of two left-additive identities. See resubidaddlid 42425. Uses ax-i2m1 11223. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
re1m1e0m0 (1 − 1) = (0 − 0)

Proof of Theorem re1m1e0m0
StepHypRef Expression
1 0red 11264 . . 3 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
2 1re 11261 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 rersubcl 42408 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 − 1) ∈ ℝ)
42, 2, 3mp2an 692 . . . 4 (1 − 1) ∈ ℝ
54a1i 11 . . 3 (⊤ → (1 − 1) ∈ ℝ)
6 ax-icn 11214 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
76, 6mulcli 11268 . . . . . . 7 (i · i) ∈ ℂ
8 ax-1cn 11213 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
94recni 11275 . . . . . . 7 (1 − 1) ∈ ℂ
107, 8, 9addassi 11271 . . . . . 6 (((i · i) + 1) + (1 − 1)) = ((i · i) + (1 + (1 − 1)))
11 repncan3 42413 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 + (1 − 1)) = 1)
122, 2, 11mp2an 692 . . . . . . 7 (1 + (1 − 1)) = 1
1312oveq2i 7442 . . . . . 6 ((i · i) + (1 + (1 − 1))) = ((i · i) + 1)
1410, 13eqtri 2765 . . . . 5 (((i · i) + 1) + (1 − 1)) = ((i · i) + 1)
15 ax-i2m1 11223 . . . . . 6 ((i · i) + 1) = 0
1615oveq1i 7441 . . . . 5 (((i · i) + 1) + (1 − 1)) = (0 + (1 − 1))
1714, 16, 153eqtr3i 2773 . . . 4 (0 + (1 − 1)) = 0
1817a1i 11 . . 3 (⊤ → (0 + (1 − 1)) = 0)
191, 5, 18reladdrsub 42415 . 2 (⊤ → (1 − 1) = (0 − 0))
2019mptru 1547 1 (1 − 1) = (0 − 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   cresub 42395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-addass 11220  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-resub 42396
This theorem is referenced by:  sn-00idlem1  42428  sn-00idlem2  42429  remul02  42435
  Copyright terms: Public domain W3C validator