Theorem re1m1e0m0 40301

Description: Equality of two left-additive identities. See resubidaddid1 40299. Uses ax-i2m1 10870. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
re1m1e0m0	⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)

Proof of Theorem re1m1e0m0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10909	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
2		1re 10906	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rersubcl 40282	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 −ℝ 1) ∈ ℝ)
4	2, 2, 3	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (1 −ℝ 1) ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (1 −ℝ 1) ∈ ℝ)
6		ax-icn 10861	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
7	6, 6	mulcli 10913	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
8		ax-1cn 10860	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	4	recni 10920	. . . . . . 7 ⊢ (1 −ℝ 1) ∈ ℂ
10	7, 8, 9	addassi 10916	. . . . . 6 ⊢ (((i · i) + 1) + (1 −ℝ 1)) = ((i · i) + (1 + (1 −ℝ 1)))
11		repncan3 40287	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 + (1 −ℝ 1)) = 1)
12	2, 2, 11	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ (1 + (1 −ℝ 1)) = 1
13	12	oveq2i 7266	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + (1 + (1 −ℝ 1))) = ((i · i) + 1)
14	10, 13	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ (((i · i) + 1) + (1 −ℝ 1)) = ((i · i) + 1)
15		ax-i2m1 10870	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
16	15	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ (((i · i) + 1) + (1 −ℝ 1)) = (0 + (1 −ℝ 1))
17	14, 16, 15	3eqtr3i 2774	. . . 4 ⊢ (0 + (1 −ℝ 1)) = 0
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (0 + (1 −ℝ 1)) = 0)
19	1, 5, 18	reladdrsub 40289	. 2 ⊢ (⊤ → (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0))
20	19	mptru 1546	1 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)

Syntax hints:   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807   −_ℝ cresub 40269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-addass 10867  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-resub 40270

This theorem is referenced by:  sn-00idlem1  40302  sn-00idlem2  40303  remul02  40309