Theorem mvlladdd 11432

Description: Move the left term in a sum on the LHS to the RHS, deduction form. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvlraddd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mvlraddd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mvlraddd.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mvlladdd	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 − 𝐴))

Proof of Theorem mvlladdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvlraddd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		mvlraddd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐵)
4	2, 1	addcomd 11223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
5		mvlraddd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
6	4, 5	eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) = 𝐶)
7	6	oveq1d 7322	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐴) = (𝐶 − 𝐴))
8	3, 7	eqtr3d 2778	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7307  ℂcc 10915   + caddc 10920   − cmin 11251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-ltxr 11060  df-sub 11253

This theorem is referenced by:  laddrotrd  40341  fltltc  40535