Theorem re0m0e0 42772

Description: Real number version of 0m0e0 12272 proven without ax-mulcom 11102. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
re0m0e0	⊢ (0 −ℝ 0) = 0

Proof of Theorem re0m0e0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11147	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
2		sn-00id 42771	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (0 + 0) = 0)
4	1, 1, 3	reladdrsub 42755	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 = (0 −ℝ 0))
5	4	mptru 1549	. 2 ⊢ 0 = (0 −ℝ 0)
6	5	eqcomi 2746	1 ⊢ (0 −ℝ 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543  (class class class)co 7368  0cc0 11038   + caddc 11041   −_ℝ cresub 42735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-resub 42736

This theorem is referenced by:  readdlid  42773  remul02  42775  resubid  42779