Theorem subadd 11360

Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem subadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 11348	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2	1	eqeq1d 2733	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
3	2	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
4		negeu 11347	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
5		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝐶))
6	5	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))
7	6	riota2 7328	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
8	4, 7	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
9	8	3impb 1114	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
10	9	3com13 1124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
11	3, 10	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃!wreu 3344  ℩crio 7302  (class class class)co 7346  ℂcc 11001   + caddc 11006   − cmin 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148  df-sub 11343

This theorem is referenced by:  subadd2  11361  subsub23  11362  pncan  11363  pncan3  11365  addsubeq4  11372  subsub2  11386  renegcli  11419  subaddi  11445  subaddd  11487  fzen  13438  nn0ennn  13883  hashssdif  14316  cos2t  16084  cos2tsin  16085  odd2np1  16249  divalglem4  16304  divalglem8  16308  divalgb  16312  mplmonmul  21969  sincosq1eq  26446  coskpi  26457  sto2i  32212  tan2h  37651  poimirlem31  37690  fdc  37784  fppr2odd  47761