MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subadd 10566
Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
subadd ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem subadd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 10554 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
21eqeq1d 2807 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
323adant3 1155 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
4 negeu 10553 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
5 oveq2 6879 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝐶))
65eqeq1d 2807 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))
76riota2 6854 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
84, 7sylan2 582 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
983impb 1136 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
1093com13 1147 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
113, 10bitr4d 273 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2158  ∃!wreu 3097  crio 6831  (class class class)co 6871  cc 10216   + caddc 10221  cmin 10548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-uni 4627  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-id 5216  df-po 5229  df-so 5230  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-er 7976  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-ltxr 10361  df-sub 10550
This theorem is referenced by:  subadd2  10567  subsub23  10568  pncan  10569  pncan3  10571  addsubeq4  10578  subsub2  10591  renegcli  10624  subaddi  10650  subaddd  10692  fzen  12577  nn0ennn  12998  hashssdif  13413  cos2t  15124  cos2tsin  15125  odd2np1  15281  divalglem4  15335  divalglem8  15339  divalgb  15343  mplmonmul  19669  sincosq1eq  24475  coskpi  24483  sto2i  29421  tan2h  33711  poimirlem31  33750  fdc  33849
  Copyright terms: Public domain W3C validator