Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1eq 14980
 Description: Two functions that are eventually equal to one another are eventually bounded if one of them is. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimeq.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimeq.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimeq.3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
rlimeq.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐷𝑥)) → 𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
o1eq (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem o1eq
StepHypRef Expression
1 rlimeq.1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21abscld 14849 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
3 rlimeq.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
43abscld 14849 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
5 rlimeq.3 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
6 rlimeq.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐷𝑥)) → 𝐵 = 𝐶)
76fveq2d 6666 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐷𝑥)) → (abs‘𝐵) = (abs‘𝐶))
82, 4, 5, 7lo1eq 14978 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐶)) ∈ ≤𝑂(1)))
91lo1o12 14943 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1)))
103lo1o12 14943 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐶)) ∈ ≤𝑂(1)))
118, 9, 103bitr4d 314 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5035   ↦ cmpt 5115  ‘cfv 6339  ℂcc 10578  ℝcr 10579   ≤ cle 10719  abscabs 14646  𝑂(1)co1 14896  ≤𝑂(1)clo1 14897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-pm 8424  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-sup 8944  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-rp 12436  df-ico 12790  df-seq 13424  df-exp 13485  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-o1 14900  df-lo1 14901 This theorem is referenced by:  mulogsum  26220
 Copyright terms: Public domain W3C validator