![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > gausslemma2dlem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma 1 for gausslemma2d 27294. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
gausslemma2d.p | โข (๐ โ ๐ โ (โ โ {2})) |
gausslemma2d.h | โข ๐ป = ((๐ โ 1) / 2) |
gausslemma2d.r | โข ๐ = (๐ฅ โ (1...๐ป) โฆ if((๐ฅ ยท 2) < (๐ / 2), (๐ฅ ยท 2), (๐ โ (๐ฅ ยท 2)))) |
Ref | Expression |
---|---|
gausslemma2dlem1 | โข (๐ โ (!โ๐ป) = โ๐ โ (1...๐ป)(๐ โ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | gausslemma2d.p | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ (โ โ {2})) | |
2 | gausslemma2d.h | . . . . 5 โข ๐ป = ((๐ โ 1) / 2) | |
3 | 1, 2 | gausslemma2dlem0b 27277 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ป โ โ) |
4 | 3 | nnnn0d 12554 | . . 3 โข (๐ โ ๐ป โ โ0) |
5 | fprodfac 15941 | . . 3 โข (๐ป โ โ0 โ (!โ๐ป) = โ๐ โ (1...๐ป)๐) | |
6 | 4, 5 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ (!โ๐ป) = โ๐ โ (1...๐ป)๐) |
7 | id 22 | . . 3 โข (๐ = (๐ โ๐) โ ๐ = (๐ โ๐)) | |
8 | fzfid 13962 | . . 3 โข (๐ โ (1...๐ป) โ Fin) | |
9 | fzfi 13961 | . . . 4 โข (1...๐ป) โ Fin | |
10 | ovex 7447 | . . . . . 6 โข (๐ฅ ยท 2) โ V | |
11 | ovex 7447 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ ยท 2)) โ V | |
12 | 10, 11 | ifex 4574 | . . . . 5 โข if((๐ฅ ยท 2) < (๐ / 2), (๐ฅ ยท 2), (๐ โ (๐ฅ ยท 2))) โ V |
13 | gausslemma2d.r | . . . . 5 โข ๐ = (๐ฅ โ (1...๐ป) โฆ if((๐ฅ ยท 2) < (๐ / 2), (๐ฅ ยท 2), (๐ โ (๐ฅ ยท 2)))) | |
14 | 12, 13 | fnmpti 6692 | . . . 4 โข ๐ Fn (1...๐ป) |
15 | 1, 2, 13 | gausslemma2dlem1a 27285 | . . . 4 โข (๐ โ ran ๐ = (1...๐ป)) |
16 | rneqdmfinf1o 9344 | . . . 4 โข (((1...๐ป) โ Fin โง ๐ Fn (1...๐ป) โง ran ๐ = (1...๐ป)) โ ๐ :(1...๐ป)โ1-1-ontoโ(1...๐ป)) | |
17 | 9, 14, 15, 16 | mp3an12i 1462 | . . 3 โข (๐ โ ๐ :(1...๐ป)โ1-1-ontoโ(1...๐ป)) |
18 | eqidd 2728 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐ป)) โ (๐ โ๐) = (๐ โ๐)) | |
19 | elfzelz 13525 | . . . . 5 โข (๐ โ (1...๐ป) โ ๐ โ โค) | |
20 | 19 | zcnd 12689 | . . . 4 โข (๐ โ (1...๐ป) โ ๐ โ โ) |
21 | 20 | adantl 481 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐ป)) โ ๐ โ โ) |
22 | 7, 8, 17, 18, 21 | fprodf1o 15914 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ (1...๐ป)๐ = โ๐ โ (1...๐ป)(๐ โ๐)) |
23 | 6, 22 | eqtrd 2767 | 1 โข (๐ โ (!โ๐ป) = โ๐ โ (1...๐ป)(๐ โ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ cdif 3941 ifcif 4524 {csn 4624 class class class wbr 5142 โฆ cmpt 5225 ran crn 5673 Fn wfn 6537 โ1-1-ontoโwf1o 6541 โcfv 6542 (class class class)co 7414 Fincfn 8955 โcc 11128 1c1 11131 ยท cmul 11135 < clt 11270 โ cmin 11466 / cdiv 11893 2c2 12289 โ0cn0 12494 ...cfz 13508 !cfa 14256 โcprod 15873 โcprime 16633 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-inf2 9656 ax-cnex 11186 ax-resscn 11187 ax-1cn 11188 ax-icn 11189 ax-addcl 11190 ax-addrcl 11191 ax-mulcl 11192 ax-mulrcl 11193 ax-mulcom 11194 ax-addass 11195 ax-mulass 11196 ax-distr 11197 ax-i2m1 11198 ax-1ne0 11199 ax-1rid 11200 ax-rnegex 11201 ax-rrecex 11202 ax-cnre 11203 ax-pre-lttri 11204 ax-pre-lttrn 11205 ax-pre-ltadd 11206 ax-pre-mulgt0 11207 ax-pre-sup 11208 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-2o 8481 df-er 8718 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-fin 8959 df-sup 9457 df-oi 9525 df-card 9954 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-xr 11274 df-ltxr 11275 df-le 11276 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11894 df-nn 12235 df-2 12297 df-3 12298 df-4 12299 df-n0 12495 df-z 12581 df-uz 12845 df-rp 12999 df-ioo 13352 df-fz 13509 df-fzo 13652 df-seq 13991 df-exp 14051 df-fac 14257 df-hash 14314 df-cj 15070 df-re 15071 df-im 15072 df-sqrt 15206 df-abs 15207 df-clim 15456 df-prod 15874 df-dvds 16223 df-prm 16634 |
This theorem is referenced by: gausslemma2dlem4 27289 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |