![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > gausslemma2dlem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma 1 for gausslemma2d 26725. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
gausslemma2d.p | โข (๐ โ ๐ โ (โ โ {2})) |
gausslemma2d.h | โข ๐ป = ((๐ โ 1) / 2) |
gausslemma2d.r | โข ๐ = (๐ฅ โ (1...๐ป) โฆ if((๐ฅ ยท 2) < (๐ / 2), (๐ฅ ยท 2), (๐ โ (๐ฅ ยท 2)))) |
Ref | Expression |
---|---|
gausslemma2dlem1 | โข (๐ โ (!โ๐ป) = โ๐ โ (1...๐ป)(๐ โ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | gausslemma2d.p | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ (โ โ {2})) | |
2 | gausslemma2d.h | . . . . 5 โข ๐ป = ((๐ โ 1) / 2) | |
3 | 1, 2 | gausslemma2dlem0b 26708 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ป โ โ) |
4 | 3 | nnnn0d 12474 | . . 3 โข (๐ โ ๐ป โ โ0) |
5 | fprodfac 15857 | . . 3 โข (๐ป โ โ0 โ (!โ๐ป) = โ๐ โ (1...๐ป)๐) | |
6 | 4, 5 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ (!โ๐ป) = โ๐ โ (1...๐ป)๐) |
7 | id 22 | . . 3 โข (๐ = (๐ โ๐) โ ๐ = (๐ โ๐)) | |
8 | fzfid 13879 | . . 3 โข (๐ โ (1...๐ป) โ Fin) | |
9 | fzfi 13878 | . . . 4 โข (1...๐ป) โ Fin | |
10 | ovex 7391 | . . . . . 6 โข (๐ฅ ยท 2) โ V | |
11 | ovex 7391 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ ยท 2)) โ V | |
12 | 10, 11 | ifex 4537 | . . . . 5 โข if((๐ฅ ยท 2) < (๐ / 2), (๐ฅ ยท 2), (๐ โ (๐ฅ ยท 2))) โ V |
13 | gausslemma2d.r | . . . . 5 โข ๐ = (๐ฅ โ (1...๐ป) โฆ if((๐ฅ ยท 2) < (๐ / 2), (๐ฅ ยท 2), (๐ โ (๐ฅ ยท 2)))) | |
14 | 12, 13 | fnmpti 6645 | . . . 4 โข ๐ Fn (1...๐ป) |
15 | 1, 2, 13 | gausslemma2dlem1a 26716 | . . . 4 โข (๐ โ ran ๐ = (1...๐ป)) |
16 | rneqdmfinf1o 9273 | . . . 4 โข (((1...๐ป) โ Fin โง ๐ Fn (1...๐ป) โง ran ๐ = (1...๐ป)) โ ๐ :(1...๐ป)โ1-1-ontoโ(1...๐ป)) | |
17 | 9, 14, 15, 16 | mp3an12i 1466 | . . 3 โข (๐ โ ๐ :(1...๐ป)โ1-1-ontoโ(1...๐ป)) |
18 | eqidd 2738 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐ป)) โ (๐ โ๐) = (๐ โ๐)) | |
19 | elfzelz 13442 | . . . . 5 โข (๐ โ (1...๐ป) โ ๐ โ โค) | |
20 | 19 | zcnd 12609 | . . . 4 โข (๐ โ (1...๐ป) โ ๐ โ โ) |
21 | 20 | adantl 483 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐ป)) โ ๐ โ โ) |
22 | 7, 8, 17, 18, 21 | fprodf1o 15830 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ (1...๐ป)๐ = โ๐ โ (1...๐ป)(๐ โ๐)) |
23 | 6, 22 | eqtrd 2777 | 1 โข (๐ โ (!โ๐ป) = โ๐ โ (1...๐ป)(๐ โ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ cdif 3908 ifcif 4487 {csn 4587 class class class wbr 5106 โฆ cmpt 5189 ran crn 5635 Fn wfn 6492 โ1-1-ontoโwf1o 6496 โcfv 6497 (class class class)co 7358 Fincfn 8884 โcc 11050 1c1 11053 ยท cmul 11057 < clt 11190 โ cmin 11386 / cdiv 11813 2c2 12209 โ0cn0 12414 ...cfz 13425 !cfa 14174 โcprod 15789 โcprime 16548 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-inf2 9578 ax-cnex 11108 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 ax-pre-sup 11130 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-int 4909 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-se 5590 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-isom 6506 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-1o 8413 df-2o 8414 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-fin 8888 df-sup 9379 df-oi 9447 df-card 9876 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-div 11814 df-nn 12155 df-2 12217 df-3 12218 df-4 12219 df-n0 12415 df-z 12501 df-uz 12765 df-rp 12917 df-ioo 13269 df-fz 13426 df-fzo 13569 df-seq 13908 df-exp 13969 df-fac 14175 df-hash 14232 df-cj 14985 df-re 14986 df-im 14987 df-sqrt 15121 df-abs 15122 df-clim 15371 df-prod 15790 df-dvds 16138 df-prm 16549 |
This theorem is referenced by: gausslemma2dlem4 26720 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |