Theorem gausslemma2dlem1 27345

Description: Lemma 1 for gausslemma2d 27353. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1	⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3	1, 2	gausslemma2dlem0b 27336	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12474	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
5		fprodfac 15908	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙)
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝑙 = (𝑅‘𝑘) → 𝑙 = (𝑅‘𝑘))
8		fzfid 13908	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
9		fzfi 13907	. . . 4 ⊢ (1...𝐻) ∈ Fin
10		ovex 7401	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 · 2) ∈ V
11		ovex 7401	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ V
12	10, 11	ifex 4532	. . . . 5 ⊢ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ∈ V
13		gausslemma2d.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
14	12, 13	fnmpti 6643	. . . 4 ⊢ 𝑅 Fn (1...𝐻)
15	1, 2, 13	gausslemma2dlem1a 27344	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))
16		rneqdmfinf1o 9245	. . . 4 ⊢ (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fn (1...𝐻) ∧ ran 𝑅 = (1...𝐻)) → 𝑅:(1...𝐻)–1-1-onto→(1...𝐻))
17	9, 14, 15, 16	mp3an12i 1468	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:(1...𝐻)–1-1-onto→(1...𝐻))
18		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑘))
19		elfzelz 13452	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝐻) → 𝑙 ∈ ℤ)
20	19	zcnd 12609	. . . 4 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝐻) → 𝑙 ∈ ℂ)
21	20	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝐻)) → 𝑙 ∈ ℂ)
22	7, 8, 17, 18, 21	fprodf1o 15881	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙 = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅‘𝑘))
23	6, 22	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900  ifcif 4481  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633   Fn wfn 6495  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℂcc 11036  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11178   − cmin 11376   / cdiv 11806  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13435  !cfa 14208  ∏cprod 15838  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ioo 13277  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-prod 15839  df-dvds 16192  df-prm 16611

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem4  27348