Theorem gausslemma2dlem1 27213

Description: Lemma 1 for gausslemma2d 27221. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1	⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3	1, 2	gausslemma2dlem0b 27204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12539	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
5		fprodfac 15924	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙)
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝑙 = (𝑅‘𝑘) → 𝑙 = (𝑅‘𝑘))
8		fzfid 13945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
9		fzfi 13944	. . . 4 ⊢ (1...𝐻) ∈ Fin
10		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 · 2) ∈ V
11		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ V
12	10, 11	ifex 4578	. . . . 5 ⊢ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ∈ V
13		gausslemma2d.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
14	12, 13	fnmpti 6693	. . . 4 ⊢ 𝑅 Fn (1...𝐻)
15	1, 2, 13	gausslemma2dlem1a 27212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))
16		rneqdmfinf1o 9334	. . . 4 ⊢ (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fn (1...𝐻) ∧ ran 𝑅 = (1...𝐻)) → 𝑅:(1...𝐻)–1-1-onto→(1...𝐻))
17	9, 14, 15, 16	mp3an12i 1464	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:(1...𝐻)–1-1-onto→(1...𝐻))
18		eqidd 2732	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑘))
19		elfzelz 13508	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝐻) → 𝑙 ∈ ℤ)
20	19	zcnd 12674	. . . 4 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝐻) → 𝑙 ∈ ℂ)
21	20	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝐻)) → 𝑙 ∈ ℂ)
22	7, 8, 17, 18, 21	fprodf1o 15897	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙 = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅‘𝑘))
23	6, 22	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3945  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   Fn wfn 6538  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  ℂcc 11114  1c1 11117   · cmul 11121   < clt 11255   − cmin 11451   / cdiv 11878  2c2 12274  ℕ₀cn0 12479  ...cfz 13491  !cfa 14240  ∏cprod 15856  ℙcprime 16615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-ioo 13335  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-prod 15857  df-dvds 16205  df-prm 16616

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem4  27216