MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem1 26102
Description: Lemma 1 for gausslemma2d 26110. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem1 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . . . 5 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
31, 2gausslemma2dlem0b 26093 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
43nnnn0d 12036 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
5 fprodfac 15419 . . 3 (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙)
7 id 22 . . 3 (𝑙 = (𝑅𝑘) → 𝑙 = (𝑅𝑘))
8 fzfid 13432 . . 3 (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
9 fzfi 13431 . . . 4 (1...𝐻) ∈ Fin
10 ovex 7203 . . . . . 6 (𝑥 · 2) ∈ V
11 ovex 7203 . . . . . 6 (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ V
1210, 11ifex 4464 . . . . 5 if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ∈ V
13 gausslemma2d.r . . . . 5 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
1412, 13fnmpti 6480 . . . 4 𝑅 Fn (1...𝐻)
151, 2, 13gausslemma2dlem1a 26101 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))
16 rneqdmfinf1o 8873 . . . 4 (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fn (1...𝐻) ∧ ran 𝑅 = (1...𝐻)) → 𝑅:(1...𝐻)–1-1-onto→(1...𝐻))
179, 14, 15, 16mp3an12i 1466 . . 3 (𝜑𝑅:(1...𝐻)–1-1-onto→(1...𝐻))
18 eqidd 2739 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) = (𝑅𝑘))
19 elfzelz 12998 . . . . 5 (𝑙 ∈ (1...𝐻) → 𝑙 ∈ ℤ)
2019zcnd 12169 . . . 4 (𝑙 ∈ (1...𝐻) → 𝑙 ∈ ℂ)
2120adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑙 ∈ (1...𝐻)) → 𝑙 ∈ ℂ)
227, 8, 17, 18, 21fprodf1o 15392 . 2 (𝜑 → ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙 = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
236, 22eqtrd 2773 1 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  cdif 3840  ifcif 4414  {csn 4516   class class class wbr 5030  cmpt 5110  ran crn 5526   Fn wfn 6334  1-1-ontowf1o 6338  cfv 6339  (class class class)co 7170  Fincfn 8555  cc 10613  1c1 10616   · cmul 10620   < clt 10753  cmin 10948   / cdiv 11375  2c2 11771  0cn0 11976  ...cfz 12981  !cfa 13725  cprod 15351  cprime 16112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-ioo 12825  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-prod 15352  df-dvds 15700  df-prm 16113
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem4  26105
  Copyright terms: Public domain W3C validator