Theorem gausslemma2dlem1 27495

Description: Lemma 1 for gausslemma2d 27503. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1	⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3	1, 2	gausslemma2dlem0b 27486	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12564	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
5		fprodfac 16026	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙)
7		id 23	. . 3 ⊢ (𝑙 = (𝑅‘𝑘) → 𝑙 = (𝑅‘𝑘))
8		fzfid 14008	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
9		fzfi 14007	. . . 4 ⊢ (1...𝐻) ∈ Fin
10		ovex 7444	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 · 2) ∈ V
11		ovex 7444	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ V
12	10, 11	ifex 4543	. . . . 5 ⊢ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ∈ V
13		gausslemma2d.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
14	12, 13	fnmpti 6679	. . . 4 ⊢ 𝑅 Fn (1...𝐻)
15	1, 2, 13	gausslemma2dlem1a 27494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))
16		rneqdmfinf1o 9289	. . . 4 ⊢ (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fn (1...𝐻) ∧ ran 𝑅 = (1...𝐻)) → 𝑅:(1...𝐻)–1-1-onto→(1...𝐻))
17	9, 14, 15, 16	mp3an12i 1491	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:(1...𝐻)–1-1-onto→(1...𝐻))
18		eqidd 2770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑘))
19		elfzelz 13551	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝐻) → 𝑙 ∈ ℤ)
20	19	zcnd 12700	. . . 4 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝐻) → 𝑙 ∈ ℂ)
21	20	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝐻)) → 𝑙 ∈ ℂ)
22	7, 8, 17, 18, 21	fprodf1o 15999	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙 = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅‘𝑘))
23	6, 22	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3910  ifcif 4492  {csn 4594   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ran crn 5663   Fn wfn 6532  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  ℂcc 11097  1c1 11100   · cmul 11104   < clt 11242   − cmin 11440   / cdiv 11870  2c2 12294  ℕ₀cn0 12503  ...cfz 13534  !cfa 14308  ∏cprod 15956  ℙcprime 16728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-ioo 13375  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-prod 15957  df-dvds 16310  df-prm 16729

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem4  27498