Theorem gausslemma2dlem1 27425

Description: Lemma 1 for gausslemma2d 27433. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1	⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3	1, 2	gausslemma2dlem0b 27416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
5		fprodfac 16006	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙)
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝑙 = (𝑅‘𝑘) → 𝑙 = (𝑅‘𝑘))
8		fzfid 14011	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
9		fzfi 14010	. . . 4 ⊢ (1...𝐻) ∈ Fin
10		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 · 2) ∈ V
11		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ V
12	10, 11	ifex 4581	. . . . 5 ⊢ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ∈ V
13		gausslemma2d.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
14	12, 13	fnmpti 6712	. . . 4 ⊢ 𝑅 Fn (1...𝐻)
15	1, 2, 13	gausslemma2dlem1a 27424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))
16		rneqdmfinf1o 9371	. . . 4 ⊢ (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fn (1...𝐻) ∧ ran 𝑅 = (1...𝐻)) → 𝑅:(1...𝐻)–1-1-onto→(1...𝐻))
17	9, 14, 15, 16	mp3an12i 1464	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:(1...𝐻)–1-1-onto→(1...𝐻))
18		eqidd 2736	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑘))
19		elfzelz 13561	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝐻) → 𝑙 ∈ ℤ)
20	19	zcnd 12721	. . . 4 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝐻) → 𝑙 ∈ ℂ)
21	20	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝐻)) → 𝑙 ∈ ℂ)
22	7, 8, 17, 18, 21	fprodf1o 15979	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙 = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅‘𝑘))
23	6, 22	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690   Fn wfn 6558  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  ℂcc 11151  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293   − cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ...cfz 13544  !cfa 14309  ∏cprod 15936  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937  df-dvds 16288  df-prm 16706

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem4  27428