Theorem rpregt0d 13105

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13099	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpgt0d 13102	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  reclt1d  13112  recgt1d  13113  ltrecd  13117  lerecd  13118  ltrec1d  13119  lerec2d  13120  lediv2ad  13121  ltdiv2d  13122  lediv2d  13123  ledivdivd  13124  divge0d  13139  ltmul1d  13140  ltmul2d  13141  lemul1d  13142  lemul2d  13143  ltdiv1d  13144  lediv1d  13145  ltmuldivd  13146  ltmuldiv2d  13147  lemuldivd  13148  lemuldiv2d  13149  ltdivmuld  13150  ltdivmul2d  13151  ledivmuld  13152  ledivmul2d  13153  ltdiv23d  13166  lediv23d  13167  lt2mul2divd  13168  mertenslem1  15932  isprm6  16761  nmoi  24770  icopnfhmeo  24993  nmoleub2lem3  25167  lmnn  25316  ovolscalem1  25567  aaliou2b  26401  birthdaylem3  27014  fsumharmonic  27073  bcmono  27339  chtppilim  27537  dchrisum0lem1a  27548  dchrvmasumiflem1  27563  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem1  27578  mulog2sumlem2  27597  selberg3lem1  27619  pntrsumo1  27627  pntibndlem1  27651  pntibndlem3  27654  pntlemr  27664  pntlemj  27665  ostth3  27700  minvecolem3  30908  lnconi  32065  poimirlem29  37609  poimirlem30  37610  poimirlem31  37611  poimirlem32  37612  aks4d1p1p2  42027  stoweidlem14  45935  stoweidlem34  45955  stoweidlem42  45963  stoweidlem51  45972  stoweidlem59  45980  stirlinglem5  45999  elbigolo1  48291