Theorem rpregt0d 13081

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13075	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpgt0d 13078	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ℝcr 11152  0cc0 11153   < clt 11293  ℝ⁺crp 13032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-rp 13033

This theorem is referenced by:  reclt1d  13088  recgt1d  13089  ltrecd  13093  lerecd  13094  ltrec1d  13095  lerec2d  13096  lediv2ad  13097  ltdiv2d  13098  lediv2d  13099  ledivdivd  13100  divge0d  13115  ltmul1d  13116  ltmul2d  13117  lemul1d  13118  lemul2d  13119  ltdiv1d  13120  lediv1d  13121  ltmuldivd  13122  ltmuldiv2d  13123  lemuldivd  13124  lemuldiv2d  13125  ltdivmuld  13126  ltdivmul2d  13127  ledivmuld  13128  ledivmul2d  13129  ltdiv23d  13142  lediv23d  13143  lt2mul2divd  13144  mertenslem1  15917  isprm6  16748  nmoi  24765  icopnfhmeo  24988  nmoleub2lem3  25162  lmnn  25311  ovolscalem1  25562  aaliou2b  26398  birthdaylem3  27011  fsumharmonic  27070  bcmono  27336  chtppilim  27534  dchrisum0lem1a  27545  dchrvmasumiflem1  27560  dchrisum0lem1b  27574  dchrisum0lem1  27575  mulog2sumlem2  27594  selberg3lem1  27616  pntrsumo1  27624  pntibndlem1  27648  pntibndlem3  27651  pntlemr  27661  pntlemj  27662  ostth3  27697  minvecolem3  30905  lnconi  32062  poimirlem29  37636  poimirlem30  37637  poimirlem31  37638  poimirlem32  37639  aks4d1p1p2  42052  stoweidlem14  45970  stoweidlem34  45990  stoweidlem42  45998  stoweidlem51  46007  stoweidlem59  46015  stirlinglem5  46034  elbigolo1  48407