Theorem ltdiv2d 12509

Description: Division of a positive number by both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
ltdiv2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltdiv2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴)))

Proof of Theorem ltdiv2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpregt0d 12492	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
3		rpaddcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 12492	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5		ltdiv2d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
6	5	rpregt0d 12492	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
7		ltdiv2 11578	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴)))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5037  (class class class)co 7157  ℝcr 10588  0cc0 10589   < clt 10727   / cdiv 11349  ℝ⁺crp 12444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4803  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-id 5435  df-po 5448  df-so 5449  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-rp 12445

This theorem is referenced by:  cxp2limlem  25675  bposlem7  25988  pntlemr  26300  ltdiv2dd  42340  ltdivgt1  42402  perfectALTVlem2  44667