Theorem pntibndlem1 27718

Description: Lemma for pntibnd 27722. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l	⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))

Proof of Theorem pntibndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibndlem1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
2		4nn 12323	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		nnrp 13027	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4		rpreccl 13043	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ+
6		pntibndlem1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		3rp 13021	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
8		rpaddcl 13039	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
9	6, 7, 8	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
10		rpdivcl 13042	. . . . 5 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 + 3) ∈ ℝ+) → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
11	5, 9, 10	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
12	1, 11	eqeltrid 2873	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
13	12	rpred 13059	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
14	12	rpgt0d 13062	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐿)
15		rpcn 13026	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℂ)
16	5, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
17	16	div1i 11942	. . . . 5 ⊢ ((1 / 4) / 1) = (1 / 4)
18		rpre 13024	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ)
19	5, 18	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
20		3re 12320	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
22	9	rpred 13059	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ)
23		1lt4 12418	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 4
24		4re 12324	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
25		4pos 12350	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
26		recgt1 12110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
27	24, 25, 26	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
28	23, 27	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) < 1
29		1lt3 12415	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
30	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
31		1re 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
32	30, 31, 20	lttri 11335	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 4) < 1 ∧ 1 < 3) → (1 / 4) < 3)
33	28, 29, 32	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) < 3
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < 3)
35		ltaddrp 13054	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 3 < (3 + 𝐴))
36	20, 6, 35	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 < (3 + 𝐴))
37		3cn 12321	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
38	6	rpcnd 13061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
39		addcom 11395	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
40	37, 38, 39	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
41	36, 40	breqtrd 5141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 < (𝐴 + 3))
42	19, 21, 22, 34, 41	lttrd 11370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < (𝐴 + 3))
43	17, 42	eqbrtrid 5150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3))
44	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
45		0lt1 11735	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
47	9	rpregt0d 13065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3)))
48		ltdiv23 12105	. . . . 5 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3))) → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
49	19, 44, 46, 47, 48	syl121anc 1400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
50	43, 49	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1)
51	1, 50	eqbrtrid 5150	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 < 1)
52		0xr 11255	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
53		1xr 11267	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
54		elioo2 13412	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1)))
55	52, 53, 54	mp2an 704	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
56	13, 14, 51, 55	syl3anbrc 1360	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   − cmin 11440   / cdiv 11870  ℕcn 12232  3c3 12295  4c4 12296  ℝ⁺crp 13015  (,)cioo 13371  ψcchp 27222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-rp 13016  df-ioo 13375

This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  27719  pntibndlem2  27720  pntibnd  27722