Theorem pntibndlem1 27973

Description: Lemma for pntibnd 27977. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l	⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))

Proof of Theorem pntibndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibndlem1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
2		4nn 12466	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		nnrp 13172	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4		rpreccl 13188	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ+
6		pntibndlem1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		3rp 13166	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
8		rpaddcl 13184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
9	6, 7, 8	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
10		rpdivcl 13187	. . . . 5 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 + 3) ∈ ℝ+) → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
11	5, 9, 10	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
12	1, 11	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
13	12	rpred 13204	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
14	12	rpgt0d 13207	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐿)
15		rpcn 13171	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℂ)
16	5, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
17	16	div1i 12085	. . . . 5 ⊢ ((1 / 4) / 1) = (1 / 4)
18		rpre 13169	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ)
19	5, 18	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
20		3re 12463	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
22	9	rpred 13204	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ)
23		1lt4 12561	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 4
24		4re 12467	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
25		4pos 12493	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
26		recgt1 12253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
27	24, 25, 26	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
28	23, 27	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) < 1
29		1lt3 12558	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
30	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
31		1re 11347	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
32	30, 31, 20	lttri 11475	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 4) < 1 ∧ 1 < 3) → (1 / 4) < 3)
33	28, 29, 32	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) < 3
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < 3)
35		ltaddrp 13199	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 3 < (3 + 𝐴))
36	20, 6, 35	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 < (3 + 𝐴))
37		3cn 12464	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
38	6	rpcnd 13206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
39		addcom 11535	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
40	37, 38, 39	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
41	36, 40	breqtrd 5137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 < (𝐴 + 3))
42	19, 21, 22, 34, 41	lttrd 11510	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < (𝐴 + 3))
43	17, 42	eqbrtrid 5146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3))
44	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
45		0lt1 11878	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
47	9	rpregt0d 13210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3)))
48		ltdiv23 12248	. . . . 5 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3))) → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
49	19, 44, 46, 47, 48	syl121anc 1403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
50	43, 49	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1)
51	1, 50	eqbrtrid 5146	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 < 1)
52		0xr 11395	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
53		1xr 11407	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
54		elioo2 13557	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1)))
55	52, 53, 54	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
56	13, 14, 51, 55	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   − cmin 11580   / cdiv 12013  ℕcn 12375  3c3 12438  4c4 12439  ℝ⁺crp 13160  (,)cioo 13516  ψcchp 27477

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-rp 13161  df-ioo 13520

This theorem is used by:  pntibndlem2a  27974  pntibndlem2  27975  pntibnd  27977