MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibndlem1 26098
Description: Lemma for pntibnd 26102. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem1 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))

Proof of Theorem pntibndlem1
StepHypRef Expression
1 pntibndlem1.l . . . 4 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
2 4nn 11714 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
3 nnrp 12395 . . . . . 6 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4 rpreccl 12410 . . . . . 6 (4 ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ+)
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5 (1 / 4) ∈ ℝ+
6 pntibndlem1.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
7 3rp 12390 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
8 rpaddcl 12406 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
96, 7, 8sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
10 rpdivcl 12409 . . . . 5 (((1 / 4) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 + 3) ∈ ℝ+) → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
115, 9, 10sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
121, 11eqeltrid 2922 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
1312rpred 12426 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
1412rpgt0d 12429 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐿)
15 rpcn 12394 . . . . . . 7 ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℂ)
165, 15ax-mp 5 . . . . . 6 (1 / 4) ∈ ℂ
1716div1i 11362 . . . . 5 ((1 / 4) / 1) = (1 / 4)
18 rpre 12392 . . . . . . 7 ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ)
195, 18mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
20 3re 11711 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
229rpred 12426 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ)
23 1lt4 11807 . . . . . . . . 9 1 < 4
24 4re 11715 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
25 4pos 11738 . . . . . . . . . 10 0 < 4
26 recgt1 11530 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
2724, 25, 26mp2an 688 . . . . . . . . 9 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
2823, 27mpbi 231 . . . . . . . 8 (1 / 4) < 1
29 1lt3 11804 . . . . . . . 8 1 < 3
305, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 4) ∈ ℝ
31 1re 10635 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3230, 31, 20lttri 10760 . . . . . . . 8 (((1 / 4) < 1 ∧ 1 < 3) → (1 / 4) < 3)
3328, 29, 32mp2an 688 . . . . . . 7 (1 / 4) < 3
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) < 3)
35 ltaddrp 12421 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 3 < (3 + 𝐴))
3620, 6, 35sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 < (3 + 𝐴))
37 3cn 11712 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
386rpcnd 12428 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
39 addcom 10820 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
4037, 38, 39sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
4136, 40breqtrd 5089 . . . . . 6 (𝜑 → 3 < (𝐴 + 3))
4219, 21, 22, 34, 41lttrd 10795 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 4) < (𝐴 + 3))
4317, 42eqbrtrid 5098 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3))
4431a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
45 0lt1 11156 . . . . . 6 0 < 1
4645a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 1)
479rpregt0d 12432 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3)))
48 ltdiv23 11525 . . . . 5 (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3))) → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
4919, 44, 46, 47, 48syl121anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
5043, 49mpbid 233 . . 3 (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1)
511, 50eqbrtrid 5098 . 2 (𝜑𝐿 < 1)
52 0xr 10682 . . 3 0 ∈ ℝ*
53 1xr 10694 . . 3 1 ∈ ℝ*
54 elioo2 12774 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿𝐿 < 1)))
5552, 53, 54mp2an 688 . 2 (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿𝐿 < 1))
5613, 14, 51, 55syl3anbrc 1337 1 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  cmpt 5143  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  *cxr 10668   < clt 10669  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  3c3 11687  4c4 11688  +crp 12384  (,)cioo 12733  ψcchp 25603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-rp 12385  df-ioo 12737
This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  26099  pntibndlem2  26100  pntibnd  26102
  Copyright terms: Public domain W3C validator