Theorem pntibndlem1 27498

Description: Lemma for pntibnd 27502. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l	⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))

Proof of Theorem pntibndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibndlem1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
2		4nn 12211	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		nnrp 12905	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4		rpreccl 12921	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ+
6		pntibndlem1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		3rp 12899	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
8		rpaddcl 12917	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
10		rpdivcl 12920	. . . . 5 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 + 3) ∈ ℝ+) → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
11	5, 9, 10	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
12	1, 11	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
13	12	rpred 12937	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
14	12	rpgt0d 12940	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐿)
15		rpcn 12904	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℂ)
16	5, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
17	16	div1i 11852	. . . . 5 ⊢ ((1 / 4) / 1) = (1 / 4)
18		rpre 12902	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ)
19	5, 18	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
20		3re 12208	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
22	9	rpred 12937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ)
23		1lt4 12299	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 4
24		4re 12212	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
25		4pos 12235	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
26		recgt1 12021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
27	24, 25, 26	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
28	23, 27	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) < 1
29		1lt3 12296	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
30	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
31		1re 11115	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
32	30, 31, 20	lttri 11242	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 4) < 1 ∧ 1 < 3) → (1 / 4) < 3)
33	28, 29, 32	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) < 3
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < 3)
35		ltaddrp 12932	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 3 < (3 + 𝐴))
36	20, 6, 35	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 < (3 + 𝐴))
37		3cn 12209	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
38	6	rpcnd 12939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
39		addcom 11302	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
40	37, 38, 39	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
41	36, 40	breqtrd 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 < (𝐴 + 3))
42	19, 21, 22, 34, 41	lttrd 11277	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < (𝐴 + 3))
43	17, 42	eqbrtrid 5127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3))
44	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
45		0lt1 11642	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
47	9	rpregt0d 12943	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3)))
48		ltdiv23 12016	. . . . 5 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3))) → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
49	19, 44, 46, 47, 48	syl121anc 1377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
50	43, 49	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1)
51	1, 50	eqbrtrid 5127	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 < 1)
52		0xr 11162	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
53		1xr 11174	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
54		elioo2 13289	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1)))
55	52, 53, 54	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
56	13, 14, 51, 55	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   − cmin 11347   / cdiv 11777  ℕcn 12128  3c3 12184  4c4 12185  ℝ⁺crp 12893  (,)cioo 13248  ψcchp 27001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-rp 12894  df-ioo 13252

This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  27499  pntibndlem2  27500  pntibnd  27502