Theorem pntibndlem1 27099

Description: Lemma for pntibnd 27103. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l	⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))

Proof of Theorem pntibndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibndlem1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
2		4nn 12297	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		nnrp 12987	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4		rpreccl 13002	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ+
6		pntibndlem1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		3rp 12982	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
8		rpaddcl 12998	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
10		rpdivcl 13001	. . . . 5 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 + 3) ∈ ℝ+) → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
11	5, 9, 10	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
12	1, 11	eqeltrid 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
13	12	rpred 13018	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
14	12	rpgt0d 13021	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐿)
15		rpcn 12986	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℂ)
16	5, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
17	16	div1i 11944	. . . . 5 ⊢ ((1 / 4) / 1) = (1 / 4)
18		rpre 12984	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ)
19	5, 18	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
20		3re 12294	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
22	9	rpred 13018	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ)
23		1lt4 12390	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 4
24		4re 12298	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
25		4pos 12321	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
26		recgt1 12112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
27	24, 25, 26	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
28	23, 27	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) < 1
29		1lt3 12387	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
30	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
31		1re 11216	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
32	30, 31, 20	lttri 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 4) < 1 ∧ 1 < 3) → (1 / 4) < 3)
33	28, 29, 32	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) < 3
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < 3)
35		ltaddrp 13013	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 3 < (3 + 𝐴))
36	20, 6, 35	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 < (3 + 𝐴))
37		3cn 12295	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
38	6	rpcnd 13020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
39		addcom 11402	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
40	37, 38, 39	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
41	36, 40	breqtrd 5174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 < (𝐴 + 3))
42	19, 21, 22, 34, 41	lttrd 11377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < (𝐴 + 3))
43	17, 42	eqbrtrid 5183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3))
44	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
45		0lt1 11738	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
47	9	rpregt0d 13024	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3)))
48		ltdiv23 12107	. . . . 5 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3))) → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
49	19, 44, 46, 47, 48	syl121anc 1375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
50	43, 49	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1)
51	1, 50	eqbrtrid 5183	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 < 1)
52		0xr 11263	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
53		1xr 11275	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
54		elioo2 13367	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1)))
55	52, 53, 54	mp2an 690	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
56	13, 14, 51, 55	syl3anbrc 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  ℝ^*cxr 11249   < clt 11250   − cmin 11446   / cdiv 11873  ℕcn 12214  3c3 12270  4c4 12271  ℝ⁺crp 12976  (,)cioo 13326  ψcchp 26604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-rp 12977  df-ioo 13330

This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  27100  pntibndlem2  27101  pntibnd  27103