Theorem pntibndlem1 27650

Description: Lemma for pntibnd 27654. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l	⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))

Proof of Theorem pntibndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibndlem1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
2		4nn 12301	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		nnrp 13005	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4		rpreccl 13021	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ+
6		pntibndlem1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		3rp 12999	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
8		rpaddcl 13017	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
9	6, 7, 8	sylancl 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
10		rpdivcl 13020	. . . . 5 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 + 3) ∈ ℝ+) → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
11	5, 9, 10	sylancr 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
12	1, 11	eqeltrid 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
13	12	rpred 13037	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
14	12	rpgt0d 13040	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐿)
15		rpcn 13004	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℂ)
16	5, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
17	16	div1i 11919	. . . . 5 ⊢ ((1 / 4) / 1) = (1 / 4)
18		rpre 13002	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ)
19	5, 18	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
20		3re 12298	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
22	9	rpred 13037	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ)
23		1lt4 12396	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 4
24		4re 12302	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
25		4pos 12328	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
26		recgt1 12088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
27	24, 25, 26	mp2an 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
28	23, 27	mpbi 232	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) < 1
29		1lt3 12393	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
30	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
31		1re 11181	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
32	30, 31, 20	lttri 11309	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 4) < 1 ∧ 1 < 3) → (1 / 4) < 3)
33	28, 29, 32	mp2an 702	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) < 3
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < 3)
35		ltaddrp 13032	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 3 < (3 + 𝐴))
36	20, 6, 35	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 < (3 + 𝐴))
37		3cn 12299	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
38	6	rpcnd 13039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
39		addcom 11369	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
40	37, 38, 39	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
41	36, 40	breqtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 < (𝐴 + 3))
42	19, 21, 22, 34, 41	lttrd 11344	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < (𝐴 + 3))
43	17, 42	eqbrtrid 5135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3))
44	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
45		0lt1 11709	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
47	9	rpregt0d 13043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3)))
48		ltdiv23 12083	. . . . 5 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3))) → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
49	19, 44, 46, 47, 48	syl121anc 1394	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
50	43, 49	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1)
51	1, 50	eqbrtrid 5135	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 < 1)
52		0xr 11229	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
53		1xr 11241	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
54		elioo2 13390	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1)))
55	52, 53, 54	mp2an 702	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
56	13, 14, 51, 55	syl3anbrc 1357	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   − cmin 11414   / cdiv 11844  ℕcn 12210  3c3 12273  4c4 12274  ℝ⁺crp 12993  (,)cioo 13349  ψcchp 27154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-rp 12994  df-ioo 13353

This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  27651  pntibndlem2  27652  pntibnd  27654