Theorem divge0d 13118

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
divge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
divge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		rpgecld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 13084	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5		divge0 12138	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
6	1, 2, 4, 5	syl21anc 837	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  0cc0 11156   < clt 11296   ≤ cle 11297   / cdiv 11921  ℝ⁺crp 13035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-rp 13036

This theorem is referenced by:  iseralt  15722  nn0ehalf  16416  nn0oddm1d2  16423  bitsfzo  16473  bitsmod  16474  iserodd  16874  icopnfcnv  24974  logdiflbnd  27039  lgamgulmlem3  27075  chpo1ubb  27526  vmadivsumb  27528  rpvmasumlem  27532  dchrisumlem1  27534  dchrvmasumlem2  27543  rplogsum  27572  dirith2  27573  mulog2sumlem2  27580  vmalogdivsum2  27583  2vmadivsumlem  27585  selbergb  27594  selberg2b  27597  selberg4lem1  27605  pntrlog2bndlem2  27623  pntrlog2bndlem4  27625  pntrlog2bndlem5  27626  pntrlog2bndlem6  27628  pntrlog2bnd  27629  pntibndlem2  27636  ttgcontlem1  28900  sqsscirc1  33908  faclimlem1  35744  knoppndvlem14  36527  itg2addnclem2  37680  geomcau  37767  3lexlogpow5ineq2  42057  aks4d1p1p7  42076  aks6d1c2lem4  42129  aks6d1c7lem1  42182  areaquad  43233  sqrtcvallem2  43655  sqrtcvallem4  43657  stirlinglem11  46104  stirlinglem12  46105  fourierdlem26  46153  fourierdlem30  46157  fourierdlem47  46173  sge0ad2en  46451  eenglngeehlnmlem2  48664