Theorem divge0d 13055

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
divge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
divge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		rpgecld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 13021	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5		divge0 12082	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
6	1, 2, 4, 5	syl21anc 836	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109   < clt 11247   ≤ cle 11248   / cdiv 11870  ℝ⁺crp 12973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-rp 12974

This theorem is referenced by:  iseralt  15630  nn0ehalf  16320  nn0oddm1d2  16327  bitsfzo  16375  bitsmod  16376  iserodd  16767  icopnfcnv  24457  logdiflbnd  26496  lgamgulmlem3  26532  chpo1ubb  26981  vmadivsumb  26983  rpvmasumlem  26987  dchrisumlem1  26989  dchrvmasumlem2  26998  rplogsum  27027  dirith2  27028  mulog2sumlem2  27035  vmalogdivsum2  27038  2vmadivsumlem  27040  selbergb  27049  selberg2b  27052  selberg4lem1  27060  pntrlog2bndlem2  27078  pntrlog2bndlem4  27080  pntrlog2bndlem5  27081  pntrlog2bndlem6  27083  pntrlog2bnd  27084  pntibndlem2  27091  ttgcontlem1  28139  sqsscirc1  32883  faclimlem1  34708  knoppndvlem14  35396  itg2addnclem2  36535  geomcau  36622  3lexlogpow5ineq2  40915  aks4d1p1p7  40934  areaquad  41955  sqrtcvallem2  42378  sqrtcvallem4  42380  stirlinglem11  44790  stirlinglem12  44791  fourierdlem26  44839  fourierdlem30  44843  fourierdlem47  44859  sge0ad2en  45137  eenglngeehlnmlem2  47414