Theorem divge0d 12288

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
divge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
divge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		rpgecld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 12254	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5		divge0 11310	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
6	1, 2, 4, 5	syl21anc 825	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4929  (class class class)co 6976  ℝcr 10334  0cc0 10335   < clt 10474   ≤ cle 10475   / cdiv 11098  ℝ⁺crp 12204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-rp 12205

This theorem is referenced by:  iseralt  14902  nn0ehalf  15589  nn0oddm1d2  15596  bitsfzo  15644  bitsmod  15645  iserodd  16028  icopnfcnv  23249  logdiflbnd  25274  lgamgulmlem3  25310  chpo1ubb  25759  vmadivsumb  25761  rpvmasumlem  25765  dchrisumlem1  25767  dchrvmasumlem2  25776  rplogsum  25805  dirith2  25806  mulog2sumlem2  25813  vmalogdivsum2  25816  2vmadivsumlem  25818  selbergb  25827  selberg2b  25830  selberg4lem1  25838  pntrlog2bndlem2  25856  pntrlog2bndlem4  25858  pntrlog2bndlem5  25859  pntrlog2bndlem6  25861  pntrlog2bnd  25862  pntibndlem2  25869  ttgcontlem1  26374  sqsscirc1  30792  faclimlem1  32492  knoppndvlem14  33381  itg2addnclem2  34382  geomcau  34473  areaquad  39216  stirlinglem11  41798  stirlinglem12  41799  fourierdlem26  41847  fourierdlem30  41851  fourierdlem47  41867  sge0ad2en  42142  eenglngeehlnmlem2  44091