Theorem divge0d 13067

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
divge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
divge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		rpgecld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 13033	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5		divge0 12051	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
6	1, 2, 4, 5	syl21anc 846	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094  (class class class)co 7385  ℝcr 11062  0cc0 11063   < clt 11206   ≤ cle 11207   / cdiv 11834  ℝ⁺crp 12983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-rp 12984

This theorem is referenced by:  iseralt  15688  nn0ehalf  16388  nn0oddm1d2  16395  bitsfzo  16445  bitsmod  16446  iserodd  16847  icopnfcnv  24977  logdiflbnd  27029  lgamgulmlem3  27065  chpo1ubb  27515  vmadivsumb  27517  rpvmasumlem  27521  dchrisumlem1  27523  dchrvmasumlem2  27532  rplogsum  27561  dirith2  27562  mulog2sumlem2  27569  vmalogdivsum2  27572  2vmadivsumlem  27574  selbergb  27583  selberg2b  27586  selberg4lem1  27594  pntrlog2bndlem2  27612  pntrlog2bndlem4  27614  pntrlog2bndlem5  27615  pntrlog2bndlem6  27617  pntrlog2bnd  27618  pntibndlem2  27625  ttgcontlem1  29024  constrresqrtcl  34028  sqsscirc1  34159  faclimlem1  36041  knoppndvlem14  36911  itg2addnclem2  38119  geomcau  38206  3lexlogpow5ineq2  42620  aks4d1p1p7  42639  aks6d1c2lem4  42692  aks6d1c7lem1  42745  areaquad  43741  sqrtcvallem2  44161  sqrtcvallem4  44163  stirlinglem11  46606  stirlinglem12  46607  fourierdlem26  46655  fourierdlem30  46659  fourierdlem47  46675  sge0ad2en  46953  eenglngeehlnmlem2  49308