MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divge0d 12998
Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
divge0d.3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
divge0d (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0d
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 divge0d.3 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3 rpgecld.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
43rpregt0d 12964 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5 divge0 12025 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
61, 2, 4, 5syl21anc 837 1 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051  0cc0 11052   < clt 11190  cle 11191   / cdiv 11813  +crp 12916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-rp 12917
This theorem is referenced by:  iseralt  15570  nn0ehalf  16261  nn0oddm1d2  16268  bitsfzo  16316  bitsmod  16317  iserodd  16708  icopnfcnv  24308  logdiflbnd  26347  lgamgulmlem3  26383  chpo1ubb  26832  vmadivsumb  26834  rpvmasumlem  26838  dchrisumlem1  26840  dchrvmasumlem2  26849  rplogsum  26878  dirith2  26879  mulog2sumlem2  26886  vmalogdivsum2  26889  2vmadivsumlem  26891  selbergb  26900  selberg2b  26903  selberg4lem1  26911  pntrlog2bndlem2  26929  pntrlog2bndlem4  26931  pntrlog2bndlem5  26932  pntrlog2bndlem6  26934  pntrlog2bnd  26935  pntibndlem2  26942  ttgcontlem1  27836  sqsscirc1  32492  faclimlem1  34319  knoppndvlem14  34991  itg2addnclem2  36133  geomcau  36221  3lexlogpow5ineq2  40515  aks4d1p1p7  40534  areaquad  41553  sqrtcvallem2  41916  sqrtcvallem4  41918  stirlinglem11  44332  stirlinglem12  44333  fourierdlem26  44381  fourierdlem30  44385  fourierdlem47  44401  sge0ad2en  44679  eenglngeehlnmlem2  46831
  Copyright terms: Public domain W3C validator