Theorem divge0d 13106

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
divge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
divge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		rpgecld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 13072	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5		divge0 12090	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
6	1, 2, 4, 5	syl21anc 850	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11249   ≤ cle 11250   / cdiv 11877  ℝ⁺crp 13022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-rp 13023

This theorem is used by:  iseralt  15743  nn0ehalf  16442  nn0oddm1d2  16449  bitsfzo  16499  bitsmod  16500  iserodd  16901  icopnfcnv  25112  logdiflbnd  27170  lgamgulmlem3  27206  chpo1ubb  27656  vmadivsumb  27658  rpvmasumlem  27662  dchrisumlem1  27664  dchrvmasumlem2  27673  rplogsum  27702  dirith2  27703  mulog2sumlem2  27710  vmalogdivsum2  27713  2vmadivsumlem  27715  selbergb  27724  selberg2b  27727  selberg4lem1  27735  pntrlog2bndlem2  27753  pntrlog2bndlem4  27755  pntrlog2bndlem5  27756  pntrlog2bndlem6  27758  pntrlog2bnd  27759  pntibndlem2  27766  ttgcontlem1  29245  constrresqrtcl  34176  sqsscirc1  34307  faclimlem1  36243  knoppndvlem14  37142  itg2addnclem2  38351  geomcau  38438  3lexlogpow5ineq2  42850  aks4d1p1p7  42869  aks6d1c2lem4  42922  aks6d1c7lem1  42975  areaquad  43971  sqrtcvallem2  44391  sqrtcvallem4  44393  stirlinglem11  46826  stirlinglem12  46827  fourierdlem26  46875  fourierdlem30  46879  fourierdlem47  46895  sge0ad2en  47173  eenglngeehlnmlem2  49546