Theorem lt2mul2divd 13115

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2mul2divd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt2mul2divd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
lt2mul2divd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2mul2divd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
lt2mul2divd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ (𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem lt2mul2divd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2mul2divd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lt2mul2divd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	2	rpregt0d 13052	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
4		lt2mul2divd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		lt2mul2divd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
6	5	rpregt0d 13052	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
7		lt2mul2div 12120	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ (𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵)))
8	1, 3, 4, 6, 7	syl22anc 837	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ (𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  ℝcr 11135  0cc0 11136   · cmul 11141   < clt 11276   / cdiv 11899  ℝ⁺crp 13004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-rp 13005

This theorem is referenced by:  efcllem  16051