Theorem lemul1d 12972

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
lemul1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem lemul1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmul1d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltmul1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 12935	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
5		lemul1 11968	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001   · cmul 11006   < clt 11141   ≤ cle 11142  ℝ⁺crp 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-rp 12886

This theorem is referenced by:  01sqrexlem7  15150  reccn2  15499  isprm5  16613  nrginvrcnlem  24601  nmoid  24652  logcnlem4  26576  logfaclbnd  27155  bposlem6  27222  chebbnd1lem1  27402  chebbnd1lem3  27404  rplogsumlem1  27417  dchrisum0lem1  27449  chpdifbndlem1  27486  pntibndlem2  27524  pntlemo  27540  ostth2lem3  27568  hgt750leme  34663  itg2addnclem3  37713  lcmineqlem21  42082  3lexlogpow5ineq2  42088  aks4d1p1p7  42107  irrapxlem5  42859  stirlinglem10  46121  fourierdlem4  46149  fourierdlem7  46152  fourierdlem42  46187