Theorem lemul1d 12813

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
lemul1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem lemul1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmul1d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltmul1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 12776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
5		lemul1 11825	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5076  (class class class)co 7277  ℝcr 10868  0cc0 10869   · cmul 10874   < clt 11007   ≤ cle 11008  ℝ⁺crp 12728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-id 5491  df-po 5505  df-so 5506  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-rp 12729

This theorem is referenced by:  sqrlem7  14958  reccn2  15304  isprm5  16410  nrginvrcnlem  23853  nmoid  23904  logcnlem4  25798  logfaclbnd  26368  bposlem6  26435  chebbnd1lem1  26615  chebbnd1lem3  26617  rplogsumlem1  26630  dchrisum0lem1  26662  chpdifbndlem1  26699  pntibndlem2  26737  pntlemo  26753  ostth2lem3  26781  hgt750leme  32635  itg2addnclem3  35827  lcmineqlem21  40054  3lexlogpow5ineq2  40060  aks4d1p1p7  40079  irrapxlem5  40645  stirlinglem10  43594  fourierdlem4  43622  fourierdlem7  43625  fourierdlem42  43660