HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnconi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnconi 31024
Description: Lemma for lnopconi 31025 and lnfnconi 31046. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lncon.1 (๐‘‡ โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„)
lncon.2 ((๐‘‡ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘† ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
lncon.3 (๐‘‡ โˆˆ ๐ถ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < ๐‘ง))
lncon.4 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
lncon.5 ((๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
Assertion
Ref Expression
lnconi (๐‘‡ โˆˆ ๐ถ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘   ๐‘ฆ,๐‘€   ๐‘ค,๐‘‡,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ถ
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem lnconi
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lncon.1 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„)
2 lncon.2 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘† ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
32ralrimiva 3140 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ ๐ถ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘† ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
4 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘† โ†’ (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘† ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
54breq2d 5121 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘† โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘† ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
65ralbidv 3171 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘† ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
76rspcev 3583 . . 3 ((๐‘† โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘† ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
81, 3, 7syl2anc 585 . 2 (๐‘‡ โˆˆ ๐ถ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
9 arch 12418 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฅ < ๐‘›)
109adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฅ < ๐‘›)
11 nnre 12168 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
12 simplll 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘›) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
13 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘›) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
14 normcl 30116 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1514adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘›) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
16 normge0 30117 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
1716adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘›) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
18 ltle 11251 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘› โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘›))
1918imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘›) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘›)
2019adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘›) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘›)
2112, 13, 15, 17, 20lemul1ad 12102 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘›) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
22 lncon.4 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
2322adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘›) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
24 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘›) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
25 remulcl 11144 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
2624, 14, 25syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘›) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
27 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘›) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
28 remulcl 11144 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
2927, 14, 28syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘›) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
30 letr 11257 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
3123, 26, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘›) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
3221, 31mpan2d 693 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘›) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
3332ralimdva 3161 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ < ๐‘›) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
3433impancom 453 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘› โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
3534an32s 651 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘› โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
3611, 35sylan2 594 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘› โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
3736reximdva 3162 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฅ < ๐‘› โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
3810, 37mpd 15 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
3938rexlimiva 3141 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
40 simprr 772 . . . . . . . 8 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„+)
41 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
4241nnrpd 12963 . . . . . . . 8 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
4340, 42rpdivcld 12982 . . . . . . 7 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐‘ง / ๐‘›) โˆˆ โ„+)
44 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‹)
45 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
46 hvsubcl 30008 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
4744, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
48 2fveq3 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = (๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))))
49 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = (๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)))
5049oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = (๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))))
5148, 50breq12d 5122 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = (๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)))))
5251rspcva 3581 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))))
5347, 52sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))))
5453an32s 651 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))))
5548eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = (๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โ†” (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„))
5655, 22vtoclga 3536 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
5747, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
5811adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
59 normcl 30116 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
6047, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
61 remulcl 11144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
6258, 60, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
63 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„+)
6463rpred 12965 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
65 lelttr 11253 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โˆง (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) < ๐‘ง) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) < ๐‘ง))
6657, 62, 64, 65syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โˆง (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) < ๐‘ง) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) < ๐‘ง))
6766adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) โˆง (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) < ๐‘ง) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) < ๐‘ง))
6854, 67mpand 694 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) < ๐‘ง โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) < ๐‘ง))
69 nnrp 12934 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
7069rpregt0d 12971 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘›))
7170adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘›))
72 ltmuldiv2 12037 . . . . . . . . . . . 12 (((normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘›)) โ†’ ((๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) < ๐‘ง โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < (๐‘ง / ๐‘›)))
7360, 64, 71, 72syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) < ๐‘ง โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < (๐‘ง / ๐‘›)))
7473adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) < ๐‘ง โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < (๐‘ง / ๐‘›)))
75 lncon.5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
7644, 45, 75syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
7776adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
7877fveq2d 6850 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) = (๐‘โ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
7978breq1d 5119 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ))) < ๐‘ง โ†” (๐‘โ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < ๐‘ง))
8068, 74, 793imtr3d 293 . . . . . . . . 9 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < (๐‘ง / ๐‘›) โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < ๐‘ง))
8180anassrs 469 . . . . . . . 8 ((((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+)) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < (๐‘ง / ๐‘›) โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < ๐‘ง))
8281ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+)) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < (๐‘ง / ๐‘›) โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < ๐‘ง))
83 breq2 5113 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐‘ง / ๐‘›) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < ๐‘ฆ โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < (๐‘ง / ๐‘›)))
8483rspceaimv 3587 . . . . . . 7 (((๐‘ง / ๐‘›) โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < (๐‘ง / ๐‘›) โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < ๐‘ง)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < ๐‘ง))
8543, 82, 84syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < ๐‘ง))
8685ralrimivva 3194 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < ๐‘ง))
8786rexlimiva 3141 . . . 4 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < ๐‘ง))
88 lncon.3 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ ๐ถ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜(๐‘ค โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘ค)๐‘€(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < ๐‘ง))
8987, 88sylibr 233 . . 3 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘› ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ๐ถ)
9039, 89syl 17 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ๐ถ)
918, 90impbii 208 1 (๐‘‡ โˆˆ ๐ถ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฅ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   / cdiv 11820  โ„•cn 12161  โ„+crp 12923   โ„‹chba 29910  normโ„Žcno 29914   โˆ’โ„Ž cmv 29916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-hfvadd 29991  ax-hv0cl 29994  ax-hfvmul 29996  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his3 30075  ax-his4 30076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-hnorm 29959  df-hvsub 29962
This theorem is referenced by:  lnopconi  31025  lnfnconi  31046
  Copyright terms: Public domain W3C validator