MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltrec1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrec1d 13090
Description: Reciprocal swap in a 'less than' relation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
ltrec1d.2 (𝜑 → (1 / 𝐴) < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltrec1d (𝜑 → (1 / 𝐵) < 𝐴)

Proof of Theorem ltrec1d
StepHypRef Expression
1 ltrec1d.2 . 2 (𝜑 → (1 / 𝐴) < 𝐵)
2 rpred.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
32rpregt0d 13076 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4 rpaddcld.1 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
54rpregt0d 13076 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
6 ltrec1 12153 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((1 / 𝐴) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < 𝐴))
73, 5, 6syl2anc 582 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < 𝐴))
81, 7mpbid 231 1 (𝜑 → (1 / 𝐵) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2099   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   < clt 11298   / cdiv 11921  +crp 13028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-rp 13029
This theorem is referenced by:  divlogrlim  26662  cxplim  27000  minvecolem3  30809  knoppndvlem18  36232  stirlinglem6  45700  pimrecltpos  46329
  Copyright terms: Public domain W3C validator