Theorem ltrec1d 13090

Description: Reciprocal swap in a 'less than' relation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
ltrec1d.2	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltrec1d	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐵) < 𝐴)

Proof of Theorem ltrec1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrec1d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) < 𝐵)
2		rpred.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	2	rpregt0d 13076	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4		rpaddcld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
5	4	rpregt0d 13076	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
6		ltrec1 12153	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((1 / 𝐴) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < 𝐴))
7	3, 5, 6	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < 𝐴))
8	1, 7	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐵) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   < clt 11298   / cdiv 11921  ℝ⁺crp 13028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-rp 13029

This theorem is referenced by:  divlogrlim  26662  cxplim  27000  minvecolem3  30809  knoppndvlem18  36232  stirlinglem6  45700  pimrecltpos  46329