MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolscalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolscalem1 24900
Description: Lemma for ovolsca 24902. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
ovolsca.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
ovolsca.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด})
ovolsca.4 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
ovolsca.5 ๐‘† = seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐น))
ovolsca.6 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ)
ovolsca.7 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
ovolsca.8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐น))
ovolsca.9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
ovolsca.10 (๐œ‘ โ†’ sup(ran ๐‘†, โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)))
Assertion
Ref Expression
ovolscalem1 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ด   ๐ต,๐‘›   ๐‘›,๐น,๐‘ฅ   ๐‘›,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐ถ,๐‘›,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘›   ๐‘ฅ,๐‘†
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐‘…(๐‘›)   ๐‘†(๐‘›)   ๐บ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem ovolscalem1
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด})
2 ssrab2 4041 . . . 4 {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด} โŠ† โ„
31, 2eqsstrdi 4002 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„)
4 ovolcl 24865 . . 3 (๐ต โŠ† โ„ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โˆˆ โ„*)
53, 4syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โˆˆ โ„*)
6 ovolsca.7 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
7 ovolfcl 24853 . . . . . . . . . . . 12 ((๐น:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โ‰ค (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))))
86, 7sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โ‰ค (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))))
98simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โ‰ค (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)))
108simp1d 1143 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)
118simp2d 1144 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)
12 ovolsca.2 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
1312rpregt0d 12971 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ))
1413adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ))
15 lediv1 12028 . . . . . . . . . . 11 (((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โ‰ค (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โ†” ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) โ‰ค ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)))
1610, 11, 14, 15syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โ‰ค (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โ†” ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) โ‰ค ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)))
179, 16mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) โ‰ค ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ))
18 df-br 5110 . . . . . . . . 9 (((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) โ‰ค ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) โ†” โŸจ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ โˆˆ โ‰ค )
1917, 18sylib 217 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ โŸจ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ โˆˆ โ‰ค )
2012adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
2110, 20rerpdivcld 12996 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) โˆˆ โ„)
2211, 20rerpdivcld 12996 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) โˆˆ โ„)
2321, 22opelxpd 5675 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ โŸจ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ โˆˆ (โ„ ร— โ„))
2419, 23elind 4158 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ โŸจ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ โˆˆ ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
25 ovolsca.6 . . . . . . 7 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ)
2624, 25fmptd 7066 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
27 eqid 2733 . . . . . . 7 ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ) = ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)
28 eqid 2733 . . . . . . 7 seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)) = seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))
2927, 28ovolsf 24859 . . . . . 6 (๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†’ seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)):โ„•โŸถ(0[,)+โˆž))
3026, 29syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)):โ„•โŸถ(0[,)+โˆž))
3130frnd 6680 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)) โŠ† (0[,)+โˆž))
32 icossxr 13358 . . . 4 (0[,)+โˆž) โŠ† โ„*
3331, 32sstrdi 3960 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)) โŠ† โ„*)
34 supxrcl 13243 . . 3 (ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)) โŠ† โ„* โ†’ sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)), โ„*, < ) โˆˆ โ„*)
3533, 34syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)), โ„*, < ) โˆˆ โ„*)
36 ovolsca.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3736, 12rerpdivcld 12996 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โˆˆ โ„)
38 ovolsca.9 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
3938rpred 12965 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
4037, 39readdcld 11192 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…) โˆˆ โ„)
4140rexrd 11213 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…) โˆˆ โ„*)
421eleq2d 2820 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด}))
43 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = (๐ถ ยท ๐‘ฆ))
4443eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด โ†” (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด))
4544elrab 3649 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด} โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด))
4642, 45bitrdi 287 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)))
47 breq2 5113 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โ†’ ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฅ โ†” (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < (๐ถ ยท ๐‘ฆ)))
48 breq1 5112 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฅ < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โ†” (๐ถ ยท ๐‘ฆ) < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))))
4947, 48anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) โ†” ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)))))
5049rexbidv 3172 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)))))
51 ovolsca.8 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐น))
52 ovolsca.1 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
53 ovolfioo 24854 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐น:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„))) โ†’ (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐น) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)))))
5452, 6, 53syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐น) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)))))
5551, 54mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))))
5655adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))))
57 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)
5850, 56, 57rspcdva 3584 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))))
59 opex 5425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โŸจ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ โˆˆ V
6025fvmpt2 6963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โŸจ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ โˆˆ V) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = โŸจ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ)
6159, 60mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = โŸจ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ)
6261fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) = (1st โ€˜โŸจ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ))
63 ovex 7394 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) โˆˆ V
64 ovex 7394 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) โˆˆ V
6563, 64op1st 7933 . . . . . . . . . . . . . 14 (1st โ€˜โŸจ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ) = ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)
6662, 65eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) = ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ))
6766adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) = ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ))
6867breq1d 5119 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฆ โ†” ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) < ๐‘ฆ))
6910adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)
70 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
7114adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ))
72 ltdivmul 12038 . . . . . . . . . . . 12 (((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) < ๐‘ฆ โ†” (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < (๐ถ ยท ๐‘ฆ)))
7369, 70, 71, 72syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) < ๐‘ฆ โ†” (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < (๐ถ ยท ๐‘ฆ)))
7468, 73bitr2d 280 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โ†” (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฆ))
7511adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)
76 ltmuldiv2 12037 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐‘ฆ) < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โ†” ๐‘ฆ < ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)))
7770, 75, 71, 76syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถ ยท ๐‘ฆ) < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โ†” ๐‘ฆ < ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)))
7861fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) = (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ))
7963, 64op2nd 7934 . . . . . . . . . . . . . 14 (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ) = ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)
8078, 79eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) = ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ))
8180adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) = ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ))
8281breq2d 5121 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฆ < (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) โ†” ๐‘ฆ < ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)))
8377, 82bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถ ยท ๐‘ฆ) < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โ†” ๐‘ฆ < (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))
8474, 83anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) โ†” ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ < (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))
8584rexbidva 3170 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) < (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) < (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ < (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))
8658, 85mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ < (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))
8786ex 414 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ < (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))
8846, 87sylbid 239 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ < (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))
8988ralrimiv 3139 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ < (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))
90 ovolfioo 24854 . . . . 5 ((๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„))) โ†’ (๐ต โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐บ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ < (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))
913, 26, 90syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐บ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ < (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))
9289, 91mpbird 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐บ))
9328ovollb 24866 . . 3 ((๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โˆง ๐ต โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐บ)) โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)), โ„*, < ))
9426, 92, 93syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)), โ„*, < ))
95 fzfid 13887 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1...๐‘˜) โˆˆ Fin)
9612rpcnd 12967 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9796adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
98 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐œ‘)
99 elfznn 13479 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
10011, 10resubcld 11591 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) โˆˆ โ„)
10198, 99, 100syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) โˆˆ โ„)
102101recnd 11191 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
10312rpne0d 12970 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
104103adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
10595, 97, 102, 104fsumdivc 15679 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) / ๐ถ) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)(((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) / ๐ถ))
10680, 66oveq12d 7379 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))) = (((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) โˆ’ ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)))
107106adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))) = (((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) โˆ’ ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)))
10827ovolfsval 24857 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘›) = ((2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))
10926, 108sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘›) = ((2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))
11011recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
11110recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
11212rpcnne0d 12974 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0))
113112adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0))
114 divsubdir 11857 . . . . . . . . . . 11 (((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) / ๐ถ) = (((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) โˆ’ ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)))
115110, 111, 113, 114syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) / ๐ถ) = (((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ) โˆ’ ((1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) / ๐ถ)))
116107, 109, 1153eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘›) = (((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) / ๐ถ))
11798, 99, 116syl2an 597 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘›) = (((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) / ๐ถ))
118 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
119 nnuz 12814 . . . . . . . . 9 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
120118, 119eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
121100, 20rerpdivcld 12996 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) / ๐ถ) โˆˆ โ„)
122121recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
12398, 99, 122syl2an 597 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
124117, 120, 123fsumser 15623 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)(((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) / ๐ถ) = (seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))โ€˜๐‘˜))
125105, 124eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) / ๐ถ) = (seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))โ€˜๐‘˜))
126 ovolsca.10 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ sup(ran ๐‘†, โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)))
127 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐น) = ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐น)
128 ovolsca.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘† = seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐น))
129127, 128ovolsf 24859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐น:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†’ ๐‘†:โ„•โŸถ(0[,)+โˆž))
1306, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:โ„•โŸถ(0[,)+โˆž))
131130frnd 6680 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ran ๐‘† โŠ† (0[,)+โˆž))
132131, 32sstrdi 3960 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ran ๐‘† โŠ† โ„*)
13312, 38rpmulcld 12981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„+)
134133rpred 12965 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„)
13536, 134readdcld 11192 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„)
136135rexrd 11213 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„*)
137 supxrleub 13254 . . . . . . . . . . . 12 ((ran ๐‘† โŠ† โ„* โˆง ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„*) โ†’ (sup(ran ๐‘†, โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘† ๐‘ฅ โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…))))
138132, 136, 137syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (sup(ran ๐‘†, โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘† ๐‘ฅ โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…))))
139126, 138mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘† ๐‘ฅ โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)))
140130ffnd 6673 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† Fn โ„•)
141 breq1 5112 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘†โ€˜๐‘˜) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)) โ†” (๐‘†โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…))))
142141ralrn 7042 . . . . . . . . . . 11 (๐‘† Fn โ„• โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘† ๐‘ฅ โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐‘†โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…))))
143140, 142syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘† ๐‘ฅ โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐‘†โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…))))
144139, 143mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐‘†โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)))
145144r19.21bi 3233 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)))
1466adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
147127ovolfsval 24857 . . . . . . . . . . 11 ((๐น:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐น)โ€˜๐‘›) = ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))))
148146, 99, 147syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐น)โ€˜๐‘›) = ((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))))
149148, 120, 102fsumser 15623 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) = (seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐น))โ€˜๐‘˜))
150128fveq1i 6847 . . . . . . . . 9 (๐‘†โ€˜๐‘˜) = (seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐น))โ€˜๐‘˜)
151149, 150eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) = (๐‘†โ€˜๐‘˜))
15237recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
15338rpcnd 12967 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
15496, 152, 153adddid 11187 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…)) = ((๐ถ ยท ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ)) + (๐ถ ยท ๐‘…)))
15536recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
156155, 96, 103divcan2d 11941 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ)) = (vol*โ€˜๐ด))
157156oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ)) + (๐ถ ยท ๐‘…)) = ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)))
158154, 157eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…)) = ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)))
159158adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ ยท (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…)) = ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘…)))
160145, 151, 1593brtr4d 5141 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) โ‰ค (๐ถ ยท (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…)))
16195, 101fsumrecl 15627 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) โˆˆ โ„)
16240adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…) โˆˆ โ„)
16313adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ))
164 ledivmul 12039 . . . . . . . 8 ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) โˆˆ โ„ โˆง (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) / ๐ถ) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…) โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) โ‰ค (๐ถ ยท (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…))))
165161, 162, 163, 164syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) / ๐ถ) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…) โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) โ‰ค (๐ถ ยท (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…))))
166160, 165mpbird 257 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘˜)((2nd โ€˜(๐นโ€˜๐‘›)) โˆ’ (1st โ€˜(๐นโ€˜๐‘›))) / ๐ถ) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…))
167125, 166eqbrtrrd 5133 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))โ€˜๐‘˜) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…))
168167ralrimiva 3140 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• (seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))โ€˜๐‘˜) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…))
16930ffnd 6673 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)) Fn โ„•)
170 breq1 5112 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))โ€˜๐‘˜) โ†’ (๐‘ฆ โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…) โ†” (seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))โ€˜๐‘˜) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…)))
171170ralrn 7042 . . . . 5 (seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)) Fn โ„• โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))๐‘ฆ โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• (seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))โ€˜๐‘˜) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…)))
172169, 171syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))๐‘ฆ โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• (seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))โ€˜๐‘˜) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…)))
173168, 172mpbird 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))๐‘ฆ โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…))
174 supxrleub 13254 . . . 4 ((ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)) โŠ† โ„* โˆง (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…) โˆˆ โ„*) โ†’ (sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)), โ„*, < ) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))๐‘ฆ โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…)))
17533, 41, 174syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)), โ„*, < ) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))๐‘ฆ โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…)))
176173, 175mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)), โ„*, < ) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…))
1775, 35, 41, 94, 176xrletrd 13090 1 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   โˆฉ cin 3913   โŠ† wss 3914  โŸจcop 4596  โˆช cuni 4869   class class class wbr 5109   โ†ฆ cmpt 5192   ร— cxp 5635  ran crn 5638   โˆ˜ ccom 5641   Fn wfn 6495  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924  supcsup 9384  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064  +โˆžcpnf 11194  โ„*cxr 11196   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  โ„•cn 12161  โ„คโ‰ฅcuz 12771  โ„+crp 12923  (,)cioo 13273  [,)cico 13275  ...cfz 13433  seqcseq 13915  abscabs 15128  ฮฃcsu 15579  vol*covol 24849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-ovol 24851
This theorem is referenced by:  ovolscalem2  24901
  Copyright terms: Public domain W3C validator