pntlemj - Metamath Proof Explorer

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Theorem pntlemj 26187

Description: Lemma for pnt 26198. The induction step. Using pntibnd 26177, we find an interval in 𝐾↑𝐽...𝐾↑(𝐽 + 1) which is sufficiently large and has a much smaller value, 𝑅(𝑧) / 𝑧 ≤ 𝐸 (instead of our original bound 𝑅(𝑧) / 𝑧 ≤ 𝑈). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o	⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
pntlem1.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ⁺)
pntlem1.V	⊢ (𝜑 → (((𝐾↑𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
pntlem1.i	⊢ 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))

**Assertion**
Ref	Expression
pntlemj	⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Distinct variable groups: 𝑧,𝐶 𝑛,𝐼 𝑦,𝑛,𝑧,𝐽 𝑢,𝑛,𝐿,𝑦,𝑧 𝑛,𝐾,𝑦,𝑧 𝑛,𝑀,𝑧 𝑛,𝑂,𝑧 𝜑,𝑛 𝑛,𝑁,𝑧 𝑅,𝑛,𝑢,𝑦,𝑧 𝑛,𝑉,𝑢 𝑈,𝑛,𝑧 𝑛,𝑊,𝑧 𝑛,𝑋,𝑦,𝑧 𝑛,𝑌,𝑧 𝑛,𝑎,𝑢,𝑦,𝑧,𝐸 𝑛,𝑍,𝑢,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎) 𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎) 𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎) 𝐶(𝑦,𝑢,𝑛,𝑎) 𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎) 𝑅(𝑎) 𝑈(𝑦,𝑢,𝑎) 𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎) 𝐼(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎) 𝐽(𝑢,𝑎) 𝐾(𝑢,𝑎) 𝐿(𝑎) 𝑀(𝑦,𝑢,𝑎) 𝑁(𝑦,𝑢,𝑎) 𝑂(𝑦,𝑢,𝑎) 𝑉(𝑦,𝑧,𝑎) 𝑊(𝑦,𝑢,𝑎) 𝑋(𝑢,𝑎) 𝑌(𝑦,𝑢,𝑎) 𝑍(𝑦,𝑎)

**Proof of Theorem pntlemj**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2		pntlem1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
3		pntlem1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
4		pntlem1.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
5		pntlem1.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
6		pntlem1.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
7		pntlem1.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
8		pntlem1.u2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
9		pntlem1.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
10		pntlem1.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pntlemc 26179	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐾 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ⁺)))
12	11	simp3d 1141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ⁺))
13	12	simp3d 1141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ⁺)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6	pntlemd 26178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐷 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐹 ∈ ℝ⁺))
15	14	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ⁺)
16	11	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
17	15, 16	rpmulcld 12435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ⁺)
18		8nn 11720	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ
19		nnrp 12388	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ⁺)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℝ⁺
21		rpdivcl 12402	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ⁺ ∧ 8 ∈ ℝ⁺) → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ⁺)
22	17, 20, 21	sylancl 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ⁺)
23		pntlem1.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24		pntlem1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 < 𝑋))
25		pntlem1.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
26		pntlem1.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
27		pntlem1.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27	pntlemb 26181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ⁺ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
29	28	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ⁺)
30	29	rpred 12419	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
31	28	simp2d 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
32	31	simp1d 1139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑍)
33	30, 32	rplogcld 25220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ⁺)
34	22, 33	rpmulcld 12435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ⁺)
35	13, 34	rpmulcld 12435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ∈ ℝ⁺)
36	35	rpred 12419	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ∈ ℝ)
37		pntlem1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
38		fzfid 13336	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ∈ Fin)
39	37, 38	eqeltrid 2894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
40		hashcl 13713	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ₀)
41	39, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ₀)
42	41	nn0red 11944	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
43	13	rpred 12419	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ)
44		pntlem1.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ⁺)
45	29, 44	rpdivcld 12436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ⁺)
46	45	relogcld 25214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
47	46, 45	rerpdivcld 12450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
48	43, 47	remulcld 10660	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
49	42, 48	remulcld 10660	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) ∈ ℝ)
50		pntlem1.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
51		fzfid 13336	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))) ∈ Fin)
52	50, 51	eqeltrid 2894	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
53	7	rpred 12419	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
54	53	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑈 ∈ ℝ)
55	11	simp2d 1140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ⁺)
56		pntlem1.j	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
57		elfzoelz 13033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
59	58	peano2zd 12078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
60	55, 59	rpexpcld 13604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ⁺)
61	29, 60	rpdivcld 12436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ⁺)
62	61	rprege0d 12426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))))
63		flge0nn0 13185	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℕ₀)
64		nn0p1nn 11924	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ)
65	62, 63, 64	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ)
66		elfzuz 12898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
67	66, 50	eleq2s 2908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑂 → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
68		eluznn 12306	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
69	65, 67, 68	syl2an 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ ℕ)
70	54, 69	nndivred 11679	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑈 / 𝑛) ∈ ℝ)
71	29	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑍 ∈ ℝ⁺)
72	69	nnrpd 12417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
73	71, 72	rpdivcld 12436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ⁺)
74	1	pntrf 26147	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅:ℝ⁺⟶ℝ
75	74	ffvelrni 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
76	73, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
77	76, 71	rerpdivcld 12450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℝ)
78	77	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℂ)
79	78	abscld 14788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
80	70, 79	resubcld 11057	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
81	72	relogcld 25214	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
82	80, 81	remulcld 10660	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
83	52, 82	fsumrecl 15083	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
84		pntlem1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
85		pntlem1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
86		pntlem1.U	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
87		pntlem1.K	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
88		pntlem1.V	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾↑𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
89	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37	pntlemr 26186	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
90	48	recnd 10658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ)
91		fsumconst 15137	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
92	39, 90, 91	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
93	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37	pntlemq 26185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝑂)
94	90	ralrimivw 3150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ)
95	52	olcd 871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ⊆ (ℤ_≥‘1) ∨ 𝑂 ∈ Fin))
96		sumss2 15075	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ) ∧ (𝑂 ⊆ (ℤ_≥‘1) ∨ 𝑂 ∈ Fin)) → Σ𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = Σ𝑛 ∈ 𝑂 if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
97	93, 94, 95, 96	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = Σ𝑛 ∈ 𝑂 if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
98	92, 97	eqtr3d 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) = Σ𝑛 ∈ 𝑂 if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
99	48	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
100	99	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
101		0red 10633	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) ∧ ¬ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℝ)
102	100, 101	ifclda 4459	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ∈ ℝ)
103		breq1 5033	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) → (((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ↔ if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))))
104		breq1 5033	. . . . 5 ⊢ (0 = if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) → (0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ↔ if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))))
105	13	rpregt0d 12425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈 − 𝐸)))
106	105	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈 − 𝐸)))
107	106	simpld 498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ)
108		1rp 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
109		rpaddcl 12399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ⁺) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ⁺)
110	108, 17, 109	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ⁺)
111	110, 44	rpmulcld 12435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ⁺)
112	29, 111	rpdivcld 12436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ⁺)
113	112	rprege0d 12426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
114		flge0nn0 13185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℕ₀)
115		nn0p1nn 11924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ)
116	113, 114, 115	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ)
117		elfzuz 12898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
118	117, 37	eleq2s 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
119		eluznn 12306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
120	116, 118, 119	syl2an 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ ℕ)
121	120	nnrpd 12417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
122	121	relogcld 25214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
123	122, 120	nndivred 11679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
124	107, 123	remulcld 10660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
125	93	sselda 3915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ 𝑂)
126	125, 82	syldan 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
127		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ 𝐼)
128	127, 37	eleqtrdi 2900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
129		elfzle2 12906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
131	45	rpred 12419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
132	131	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
133		elfzelz 12902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ∈ ℤ)
134	128, 133	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ ℤ)
135		flge 13170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
136	132, 134, 135	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
137	130, 136	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉))
138	120	nnred 11640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ ℝ)
139		ere 15434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → e ∈ ℝ)
141	112	rpred 12419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
142	141	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
143	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → e ∈ ℝ)
144	29	rpsqrtcld 14763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ⁺)
145	144	rpred 12419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ)
146	31	simp2d 1140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → e ≤ (√‘𝑍))
147	111	rpred 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
148	60	rpred 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
149	88	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐾↑𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))))
150	149	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽)))
151	55	rpcnd 12421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
152	55, 58	rpexpcld 13604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ⁺)
153	152	rpcnd 12421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝐽) ∈ ℂ)
154	151, 153	mulcomd 10651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐾↑𝐽)) = ((𝐾↑𝐽) · 𝐾))
155	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85	pntlemg 26182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁 − 𝑀)))
156	155	simp1d 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
157		elfzouz 13037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
158	56, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
159		eluznn 12306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
160	156, 158, 159	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
161	160	nnnn0d 11943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
162	151, 161	expp1d 13507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) = ((𝐾↑𝐽) · 𝐾))
163	154, 162	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐾↑𝐽)) = (𝐾↑(𝐽 + 1)))
164	150, 163	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾↑(𝐽 + 1)))
165	147, 148, 164	ltled 10777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)))
166		fzofzp1 13129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
167	56, 166	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
168	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85	pntlemh 26183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
169	167, 168	mpdan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
170	169	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍))
171	147, 148, 145, 165, 170	letrd 10786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍))
172	147, 145, 144	lemul2d 12463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍))))
173	171, 172	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)))
174	29	rprege0d 12426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
175		remsqsqrt 14608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
177	173, 176	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍)
178	145, 30, 111	lemuldivd 12468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍 ↔ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
179	177, 178	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
180	143, 145, 141, 146, 179	letrd 10786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → e ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
181	180	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → e ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
182		reflcl 13161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ)
183		peano2re 10802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
184	141, 182, 183	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
185	184	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
186		fllep1 13166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))
187	142, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))
188		elfzle1 12905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ≤ 𝑛)
189	128, 188	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ≤ 𝑛)
190	142, 185, 138, 187, 189	letrd 10786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛)
191	140, 142, 138, 181, 190	letrd 10786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → e ≤ 𝑛)
192	140, 138, 132, 191, 137	letrd 10786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → e ≤ (𝑍 / 𝑉))
193		logdivle 25213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑛) ∧ ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝑍 / 𝑉))) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
194	138, 191, 132, 192, 193	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
195	137, 194	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
196	47	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
197		lemul2 11482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈 − 𝐸))) → (((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛) ↔ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛))))
198	196, 123, 106, 197	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛) ↔ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛))))
199	195, 198	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
200	13	rpcnd 12421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℂ)
201	200	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℂ)
202	122	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
203	121	rpcnne0d 12428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
204		div23 11306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 − 𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (((𝑈 − 𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = (((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)))
205	201, 202, 203, 204	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑈 − 𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = (((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)))
206		divass 11305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 − 𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (((𝑈 − 𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
207	201, 202, 203, 206	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑈 − 𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
208	205, 207	eqtr3d 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)) = ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
209	43	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ)
210	209, 120	nndivred 11679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) ∈ ℝ)
211	125, 80	syldan 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
212		log1 25177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘1) = 0
213	120	nnge1d 11673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 1 ≤ 𝑛)
214		logleb 25194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
215	108, 121, 214	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
216	213, 215	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (log‘1) ≤ (log‘𝑛))
217	212, 216	eqbrtrrid 5066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (log‘𝑛))
218	7	rpcnd 12421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
219	218	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ ℂ)
220	16	rpred 12419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
221	220	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
222	221	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℂ)
223		divsubdir 11323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → ((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) = ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)))
224	219, 222, 203, 223	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) = ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)))
225	125, 79	syldan 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
226	221, 120	nndivred 11679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐸 / 𝑛) ∈ ℝ)
227	125, 70	syldan 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑈 / 𝑛) ∈ ℝ)
228	125, 76	syldan 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
229	228	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ)
230	29	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑍 ∈ ℝ⁺)
231	230	rpcnne0d 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0))
232		divdiv2 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍))
233	229, 231, 203, 232	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍))
234	121	rpcnd 12421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ ℂ)
235		div23 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0)) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
236	229, 234, 231, 235	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
237	233, 236	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
238	237	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) = (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛)))
239	125, 78	syldan 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℂ)
240	239, 234	absmuld 14806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (abs‘𝑛)))
241	121	rprege0d 12426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
242		absid 14648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
243	241, 242	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
244	243	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (abs‘𝑛)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛))
245	238, 240, 244	3eqtrd 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛))
246		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → (𝑅‘𝑢) = (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)))
247		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → 𝑢 = (𝑍 / 𝑛))
248	246, 247	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → ((𝑅‘𝑢) / 𝑢) = ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)))
249	248	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) = (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))))
250	249	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) ≤ 𝐸))
251	88	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
252	251	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
253	30	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑍 ∈ ℝ)
254	253, 120	nndivred 11679	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ)
255	44	rpregt0d 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉))
256	255	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉))
257		lemuldiv2 11510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉)) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍 ↔ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉)))
258	138, 253, 256, 257	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍 ↔ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉)))
259	137, 258	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍)
260	256	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑉 ∈ ℝ)
261	260, 253, 121	lemuldivd 12468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍 ↔ 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛)))
262	259, 261	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛))
263	111	rpregt0d 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
264	263	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
265	121	rpregt0d 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
266		lediv23 11521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛 ↔ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
267	253, 264, 265, 266	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛 ↔ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
268	190, 267	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))
269	44	rpred 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
270	269	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑉 ∈ ℝ)
271	147	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
272		elicc2 12790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ ℝ ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ) → ((𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ↔ ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛) ∧ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
273	270, 271, 272	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ↔ ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛) ∧ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
274	254, 262, 268, 273	mpbir3and 1339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
275	250, 252, 274	rspcdva 3573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) ≤ 𝐸)
276	245, 275	eqbrtrrd 5054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛) ≤ 𝐸)
277	225, 221, 121	lemuldivd 12468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ≤ (𝐸 / 𝑛)))
278	276, 277	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ≤ (𝐸 / 𝑛))
279	225, 226, 227, 278	lesub2dd 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)) ≤ ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))))
280	224, 279	eqbrtrd 5052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) ≤ ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))))
281	210, 211, 122, 217, 280	lemul1ad 11568	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
282	208, 281	eqbrtrrd 5054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
283	99, 124, 126, 199, 282	letrd 10786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
284	283	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
285	69	nnred 11640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ ℝ)
286	29, 152	rpdivcld 12436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ∈ ℝ⁺)
287	286	rpred 12419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ∈ ℝ)
288	287	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ∈ ℝ)
289	23	simpld 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ⁺)
290	29, 289	rpdivcld 12436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ⁺)
291	290	rpred 12419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
292	291	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
293		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ 𝑂)
294	293, 50	eleqtrdi 2900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))))
295		elfzle2 12906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
296	294, 295	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
297	69	nnzd 12074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ ℤ)
298		flge 13170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))))
299	288, 297, 298	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))))
300	296, 299	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾↑𝐽)))
301	289	rpred 12419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
302	24	simpld 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ⁺)
303	302	rpred 12419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
304	152	rpred 12419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ)
305	24	simprd 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < 𝑋)
306	301, 303, 305	ltled 10777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)
307		elfzofz 13048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
308	56, 307	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
309	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85	pntlemh 26183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
310	308, 309	mpdan 686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
311	310	simpld 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝐾↑𝐽))
312	303, 304, 311	ltled 10777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝐾↑𝐽))
313	301, 303, 304, 306, 312	letrd 10786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ (𝐾↑𝐽))
314	289, 152, 29	lediv2d 12443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≤ (𝐾↑𝐽) ↔ (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
315	313, 314	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌))
316	315	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌))
317	285, 288, 292, 300, 316	letrd 10786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌))
318	69, 317	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌)))
319	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86	pntlemn 26184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
320	318, 319	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
321	320	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) ∧ ¬ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
322	103, 104, 284, 321	ifbothda 4462	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
323	52, 102, 82, 322	fsumle 15146	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝑂 if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
324	98, 323	eqbrtrd 5052	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
325	36, 49, 83, 89, 324	letrd 10786	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 ∨ wo 844 ∧ w3a 1084 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2987 ∀wral 3106 ∃wrex 3107 ⊆ wss 3881 ifcif 4425 class class class wbr 5030 ↦ cmpt 5110 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 Fincfn 8492 ℂcc 10524 ℝcr 10525 0cc0 10526 1c1 10527 + caddc 10529 · cmul 10531 +∞cpnf 10661 < clt 10664 ≤ cle 10665 − cmin 10859 / cdiv 11286 ℕcn 11625 2c2 11680 3c3 11681 4c4 11682 8c8 11686 ℕ₀cn0 11885 ℤcz 11969 cdc 12086 ℤ_≥cuz 12231 ℝ⁺crp 12377 (,)cioo 12726 [,)cico 12728 [,]cicc 12729 ...cfz 12885 ..^cfzo 13028 ⌊cfl 13155 ↑cexp 13425 ♯chash 13686 √csqrt 14584 abscabs 14585 Σcsu 15034 expce 15407 eceu 15408 logclog 25146 ψcchp 25678

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-rep 5154 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-inf2 9088 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604 ax-addf 10605 ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-fal 1551 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-iin 4884 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-se 5479 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-isom 6333 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-of 7389 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-supp 7814 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-2o 8086 df-oadd 8089 df-er 8272 df-map 8391 df-pm 8392 df-ixp 8445 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-fsupp 8818 df-fi 8859 df-sup 8890 df-inf 8891 df-oi 8958 df-dju 9314 df-card 9352 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-4 11690 df-5 11691 df-6 11692 df-7 11693 df-8 11694 df-9 11695 df-n0 11886 df-z 11970 df-dec 12087 df-uz 12232 df-q 12337 df-rp 12378 df-xneg 12495 df-xadd 12496 df-xmul 12497 df-ioo 12730 df-ioc 12731 df-ico 12732 df-icc 12733 df-fz 12886 df-fzo 13029 df-fl 13157 df-mod 13233 df-seq 13365 df-exp 13426 df-fac 13630 df-bc 13659 df-hash 13687 df-shft 14418 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587 df-limsup 14820 df-clim 14837 df-rlim 14838 df-sum 15035 df-ef 15413 df-e 15414 df-sin 15415 df-cos 15416 df-pi 15418 df-dvds 15600 df-gcd 15834 df-prm 16006 df-pc 16164 df-struct 16477 df-ndx 16478 df-slot 16479 df-base 16481 df-sets 16482 df-ress 16483 df-plusg 16570 df-mulr 16571 df-starv 16572 df-sca 16573 df-vsca 16574 df-ip 16575 df-tset 16576 df-ple 16577 df-ds 16579 df-unif 16580 df-hom 16581 df-cco 16582 df-rest 16688 df-topn 16689 df-0g 16707 df-gsum 16708 df-topgen 16709 df-pt 16710 df-prds 16713 df-xrs 16767 df-qtop 16772 df-imas 16773 df-xps 16775 df-mre 16849 df-mrc 16850 df-acs 16852 df-mgm 17844 df-sgrp 17893 df-mnd 17904 df-submnd 17949 df-mulg 18217 df-cntz 18439 df-cmn 18900 df-psmet 20083 df-xmet 20084 df-met 20085 df-bl 20086 df-mopn 20087 df-fbas 20088 df-fg 20089 df-cnfld 20092 df-top 21499 df-topon 21516 df-topsp 21538 df-bases 21551 df-cld 21624 df-ntr 21625 df-cls 21626 df-nei 21703 df-lp 21741 df-perf 21742 df-cn 21832 df-cnp 21833 df-haus 21920 df-tx 22167 df-hmeo 22360 df-fil 22451 df-fm 22543 df-flim 22544 df-flf 22545 df-xms 22927 df-ms 22928 df-tms 22929 df-cncf 23483 df-limc 24469 df-dv 24470 df-log 25148 df-vma 25683 df-chp 25684

This theorem is referenced by: pntlemi 26188

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