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Theorem pntlemj 27662
Description: Lemma for pnt 27673. The induction step. Using pntibnd 27652, we find an interval in 𝐾𝐽...𝐾↑(𝐽 + 1) which is sufficiently large and has a much smaller value, 𝑅(𝑧) / 𝑧𝐸 (instead of our original bound 𝑅(𝑧) / 𝑧𝑈). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
pntlem1.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
pntlem1.V (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.j (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
pntlem1.i 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
Assertion
Ref Expression
pntlemj (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑛,𝐼   𝑦,𝑛,𝑧,𝐽   𝑢,𝑛,𝐿,𝑦,𝑧   𝑛,𝐾,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑂,𝑧   𝜑,𝑛   𝑛,𝑁,𝑧   𝑅,𝑛,𝑢,𝑦,𝑧   𝑛,𝑉,𝑢   𝑈,𝑛,𝑧   𝑛,𝑊,𝑧   𝑛,𝑋,𝑦,𝑧   𝑛,𝑌,𝑧   𝑛,𝑎,𝑢,𝑦,𝑧,𝐸   𝑛,𝑍,𝑢,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐽(𝑢,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑂(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑢,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem pntlemj
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝐴 + 1)
6 pntlem1.f . . . . . . 7 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
7 pntlem1.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.u2 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐴)
9 pntlem1.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
10 pntlem1.k . . . . . . 7 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 27654 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
1211simp3d 1143 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
1312simp3d 1143 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
141, 2, 3, 4, 5, 6pntlemd 27653 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
1514simp1d 1141 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
1611simp1d 1141 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1715, 16rpmulcld 13091 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
18 8nn 12359 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ
19 nnrp 13044 . . . . . . 7 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 8 ∈ ℝ+
21 rpdivcl 13058 . . . . . 6 (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+ ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ+)
2217, 20, 21sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ+)
23 pntlem1.y . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24 pntlem1.x . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
25 pntlem1.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
26 pntlem1.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
27 pntlem1.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27pntlemb 27656 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
2928simp1d 1141 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
3029rpred 13075 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
3128simp2d 1142 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
3231simp1d 1141 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝑍)
3330, 32rplogcld 26686 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ+)
3422, 33rpmulcld 13091 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ+)
3513, 34rpmulcld 13091 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ∈ ℝ+)
3635rpred 13075 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ∈ ℝ)
37 pntlem1.i . . . . . 6 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
38 fzfid 14011 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ∈ Fin)
3937, 38eqeltrid 2843 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
40 hashcl 14392 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
4241nn0red 12586 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
4313rpred 13075 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ)
44 pntlem1.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
4529, 44rpdivcld 13092 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ+)
4645relogcld 26680 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
4746, 45rerpdivcld 13106 . . . 4 (𝜑 → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
4843, 47remulcld 11289 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
4942, 48remulcld 11289 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) ∈ ℝ)
50 pntlem1.o . . . 4 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
51 fzfid 14011 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))) ∈ Fin)
5250, 51eqeltrid 2843 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
537rpred 13075 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
5453adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑈 ∈ ℝ)
5511simp2d 1142 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
56 pntlem1.j . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
57 elfzoelz 13696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
5958peano2zd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
6055, 59rpexpcld 14283 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ+)
6129, 60rpdivcld 13092 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ+)
6261rprege0d 13082 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))))
63 flge0nn0 13857 . . . . . . . 8 (((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℕ0)
64 nn0p1nn 12563 . . . . . . . 8 ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ)
6562, 63, 643syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ)
66 elfzuz 13557 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
6766, 50eleq2s 2857 . . . . . . 7 (𝑛𝑂𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
68 eluznn 12958 . . . . . . 7 ((((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
6965, 67, 68syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ∈ ℕ)
7054, 69nndivred 12318 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑈 / 𝑛) ∈ ℝ)
7129adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑍 ∈ ℝ+)
7269nnrpd 13073 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ∈ ℝ+)
7371, 72rpdivcld 13092 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ+)
741pntrf 27622 . . . . . . . . . 10 𝑅:ℝ+⟶ℝ
7574ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . 9 ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7673, 75syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7776, 71rerpdivcld 13106 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑂) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℝ)
7877recnd 11287 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑂) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℂ)
7978abscld 15472 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑂) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
8070, 79resubcld 11689 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑂) → ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
8172relogcld 26680 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑂) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
8280, 81remulcld 11289 . . 3 ((𝜑𝑛𝑂) → (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
8352, 82fsumrecl 15767 . 2 (𝜑 → Σ𝑛𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
84 pntlem1.m . . 3 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
85 pntlem1.n . . 3 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
86 pntlem1.U . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
87 pntlem1.K . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
88 pntlem1.V . . 3 (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
891, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37pntlemr 27661 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
9048recnd 11287 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ)
91 fsumconst 15823 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ) → Σ𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
9239, 90, 91syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
931, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37pntlemq 27660 . . . . 5 (𝜑𝐼𝑂)
9490ralrimivw 3148 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ)
9552olcd 874 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂 ⊆ (ℤ‘1) ∨ 𝑂 ∈ Fin))
96 sumss2 15759 . . . . 5 (((𝐼𝑂 ∧ ∀𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ) ∧ (𝑂 ⊆ (ℤ‘1) ∨ 𝑂 ∈ Fin)) → Σ𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = Σ𝑛𝑂 if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
9793, 94, 95, 96syl21anc 838 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = Σ𝑛𝑂 if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
9892, 97eqtr3d 2777 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) = Σ𝑛𝑂 if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
9948adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
10099adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑂) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
101 0red 11262 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑂) ∧ ¬ 𝑛𝐼) → 0 ∈ ℝ)
102100, 101ifclda 4566 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑂) → if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ∈ ℝ)
103 breq1 5151 . . . . 5 (((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) → (((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ↔ if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))))
104 breq1 5151 . . . . 5 (0 = if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) → (0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ↔ if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))))
10513rpregt0d 13081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑈𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈𝐸)))
106105adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈𝐸)))
107106simpld 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑈𝐸) ∈ ℝ)
108 1rp 13036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ+
109 rpaddcl 13055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
110108, 17, 109sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
111110, 44rpmulcld 13091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ+)
11229, 111rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ+)
113112rprege0d 13082 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
114 flge0nn0 13857 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℕ0)
115 nn0p1nn 12563 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ)
116113, 114, 1153syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ)
117 elfzuz 13557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
118117, 37eleq2s 2857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝐼𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
119 eluznn 12958 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
120116, 118, 119syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ ℕ)
121120nnrpd 13073 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ ℝ+)
122121relogcld 26680 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
123122, 120nndivred 12318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
124107, 123remulcld 11289 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
12593sselda 3995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛𝑂)
126125, 82syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
127 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛𝐼)
128127, 37eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
129 elfzle2 13565 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
13145rpred 13075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
132131adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
133128elfzelzd 13562 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ ℤ)
134 flge 13842 . . . . . . . . . . 11 (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
135132, 133, 134syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
136130, 135mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉))
137120nnred 12279 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ ℝ)
138 ere 16122 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ
139138a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → e ∈ ℝ)
140112rpred 13075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
141140adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
142138a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → e ∈ ℝ)
14329rpsqrtcld 15447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
144143rpred 13075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ)
14531simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → e ≤ (√‘𝑍))
146111rpred 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
14760rpred 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
14888simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))))
149148simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽)))
15055rpcnd 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
15155, 58rpexpcld 14283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ+)
152151rpcnd 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℂ)
153150, 152mulcomd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
1541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85pntlemg 27657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
155154simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
156 elfzouz 13700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
15756, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
158 eluznn 12958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
159155, 157, 158syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
160159nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
161150, 160expp1d 14184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
162153, 161eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = (𝐾↑(𝐽 + 1)))
163149, 162breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾↑(𝐽 + 1)))
164146, 147, 163ltled 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)))
165 fzofzp1 13800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
16656, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
1671, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85pntlemh 27658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
168166, 167mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
169168simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍))
170146, 147, 144, 164, 169letrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍))
171146, 144, 143lemul2d 13119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍))))
172170, 171mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)))
17329rprege0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
174 remsqsqrt 15292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
176172, 175breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍)
177144, 30, 111lemuldivd 13124 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍 ↔ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
178176, 177mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
179142, 144, 140, 145, 178letrd 11416 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → e ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
180179adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → e ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
181 reflcl 13833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ)
182 peano2re 11432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
183140, 181, 1823syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
184183adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
185 fllep1 13838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))
186141, 185syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))
187 elfzle1 13564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ≤ 𝑛)
188128, 187syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ≤ 𝑛)
189141, 184, 137, 186, 188letrd 11416 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛)
190139, 141, 137, 180, 189letrd 11416 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → e ≤ 𝑛)
191139, 137, 132, 190, 136letrd 11416 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → e ≤ (𝑍 / 𝑉))
192 logdivle 26679 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑛) ∧ ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝑍 / 𝑉))) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
193137, 190, 132, 191, 192syl22anc 839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
194136, 193mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
19547adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
196 lemul2 12118 . . . . . . . . 9 ((((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝑈𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈𝐸))) → (((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛) ↔ ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛))))
197195, 123, 106, 196syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛) ↔ ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛))))
198194, 197mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
19913rpcnd 13077 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℂ)
200199adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑈𝐸) ∈ ℂ)
201122recnd 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
202121rpcnne0d 13084 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
203 div23 11939 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (((𝑈𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = (((𝑈𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)))
204200, 201, 202, 203syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑈𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = (((𝑈𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)))
205 divass 11938 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (((𝑈𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
206200, 201, 202, 205syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑈𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
207204, 206eqtr3d 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑈𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)) = ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
20843adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑈𝐸) ∈ ℝ)
209208, 120nndivred 12318 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) / 𝑛) ∈ ℝ)
210125, 80syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
211 log1 26642 . . . . . . . . . 10 (log‘1) = 0
212120nnge1d 12312 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 1 ≤ 𝑛)
213 logleb 26660 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
214108, 121, 213sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
215212, 214mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (log‘1) ≤ (log‘𝑛))
216211, 215eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → 0 ≤ (log‘𝑛))
2177rpcnd 13077 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
218217adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑈 ∈ ℂ)
21916rpred 13075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
220219adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
221220recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝐸 ∈ ℂ)
222 divsubdir 11959 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → ((𝑈𝐸) / 𝑛) = ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)))
223218, 221, 202, 222syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) / 𝑛) = ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)))
224125, 79syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
225220, 120nndivred 12318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝐸 / 𝑛) ∈ ℝ)
226125, 70syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑈 / 𝑛) ∈ ℝ)
227125, 76syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
228227recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ)
22929adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑍 ∈ ℝ+)
230229rpcnne0d 13084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0))
231 divdiv2 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍))
232228, 230, 202, 231syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍))
233121rpcnd 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ ℂ)
234 div23 11939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0)) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
235228, 233, 230, 234syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
236232, 235eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
237236fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) = (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛)))
238125, 78syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℂ)
239238, 233absmuld 15490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (abs‘𝑛)))
240121rprege0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
241 absid 15332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
242240, 241syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
243242oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (abs‘𝑛)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛))
244237, 239, 2433eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛))
245 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → (𝑅𝑢) = (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)))
246 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → 𝑢 = (𝑍 / 𝑛))
247245, 246oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → ((𝑅𝑢) / 𝑢) = ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)))
248247fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))))
249248breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) ≤ 𝐸))
25088simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
251250adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
25230adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑍 ∈ ℝ)
253252, 120nndivred 12318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ)
25444rpregt0d 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉))
255254adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉))
256 lemuldiv2 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉)) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉)))
257137, 252, 255, 256syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉)))
258136, 257mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍)
259255simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑉 ∈ ℝ)
260259, 252, 121lemuldivd 13124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛)))
261258, 260mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛))
262111rpregt0d 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
263262adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
264121rpregt0d 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
265 lediv23 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛 ↔ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
266252, 263, 264, 265syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛 ↔ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
267189, 266mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))
26844rpred 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
269268adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑉 ∈ ℝ)
270146adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
271 elicc2 13449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 ∈ ℝ ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ) → ((𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ↔ ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛) ∧ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
272269, 270, 271syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ↔ ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛) ∧ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
273253, 261, 267, 272mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
274249, 251, 273rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) ≤ 𝐸)
275244, 274eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛) ≤ 𝐸)
276224, 220, 121lemuldivd 13124 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → (((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ≤ (𝐸 / 𝑛)))
277275, 276mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ≤ (𝐸 / 𝑛))
278224, 225, 226, 277lesub2dd 11878 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)) ≤ ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))))
279223, 278eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) / 𝑛) ≤ ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))))
280209, 210, 122, 216, 279lemul1ad 12205 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑈𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
281207, 280eqbrtrrd 5172 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
28299, 124, 126, 198, 281letrd 11416 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
283282adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑂) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
28469nnred 12279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ∈ ℝ)
28529, 151rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ+)
286285rpred 13075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ)
287286adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ)
28823simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
28929, 288rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ+)
290289rpred 13075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
291290adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
292 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛𝑂)
293292, 50eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
294 elfzle2 13565 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
295293, 294syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
29669nnzd 12638 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ∈ ℤ)
297 flge 13842 . . . . . . . . . . 11 (((𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽)) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
298287, 296, 297syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽)) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
299295, 298mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽)))
300288rpred 13075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
30124simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
302301rpred 13075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
303151rpred 13075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ)
30424simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 < 𝑋)
305300, 302, 304ltled 11407 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌𝑋)
306 elfzofz 13712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
30756, 306syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
3081, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85pntlemh 27658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
309307, 308mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
310309simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 < (𝐾𝐽))
311302, 303, 310ltled 11407 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ≤ (𝐾𝐽))
312300, 302, 303, 305, 311letrd 11416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ≤ (𝐾𝐽))
313288, 151, 29lediv2d 13099 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 ≤ (𝐾𝐽) ↔ (𝑍 / (𝐾𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
314312, 313mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌))
315314adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌))
316284, 287, 291, 299, 315letrd 11416 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌))
31769, 316jca 511 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌)))
3181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86pntlemn 27659 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
319317, 318syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑂) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
320319adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑂) ∧ ¬ 𝑛𝐼) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
321103, 104, 283, 320ifbothda 4569 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑂) → if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
32252, 102, 82, 321fsumle 15832 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛𝑂 if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ Σ𝑛𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
32398, 322eqbrtrd 5170 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) ≤ Σ𝑛𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
32436, 49, 83, 89, 323letrd 11416 1 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  8c8 12325  0cn0 12524  cz 12611  cdc 12731  cuz 12876  +crp 13032  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  cfl 13827  cexp 14099  chash 14366  csqrt 15269  abscabs 15270  Σcsu 15719  expce 16094  eceu 16095  logclog 26611  ψcchp 27151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-e 16101  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16871  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-vma 27156  df-chp 27157
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