pntlemj - Metamath Proof Explorer

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Theorem pntlemj 27455

Description: Lemma for pnt 27466. The induction step. Using pntibnd 27445, we find an interval in 𝐾↑𝐽...𝐾↑(𝐽 + 1) which is sufficiently large and has a much smaller value, 𝑅(𝑧) / 𝑧 ≤ 𝐸 (instead of our original bound 𝑅(𝑧) / 𝑧 ≤ 𝑈). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o	⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
pntlem1.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ⁺)
pntlem1.V	⊢ (𝜑 → (((𝐾↑𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
pntlem1.i	⊢ 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))

**Assertion**
Ref	Expression
pntlemj	⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Distinct variable groups: 𝑧,𝐶 𝑛,𝐼 𝑦,𝑛,𝑧,𝐽 𝑢,𝑛,𝐿,𝑦,𝑧 𝑛,𝐾,𝑦,𝑧 𝑛,𝑀,𝑧 𝑛,𝑂,𝑧 𝜑,𝑛 𝑛,𝑁,𝑧 𝑅,𝑛,𝑢,𝑦,𝑧 𝑛,𝑉,𝑢 𝑈,𝑛,𝑧 𝑛,𝑊,𝑧 𝑛,𝑋,𝑦,𝑧 𝑛,𝑌,𝑧 𝑛,𝑎,𝑢,𝑦,𝑧,𝐸 𝑛,𝑍,𝑢,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎) 𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎) 𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎) 𝐶(𝑦,𝑢,𝑛,𝑎) 𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎) 𝑅(𝑎) 𝑈(𝑦,𝑢,𝑎) 𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎) 𝐼(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎) 𝐽(𝑢,𝑎) 𝐾(𝑢,𝑎) 𝐿(𝑎) 𝑀(𝑦,𝑢,𝑎) 𝑁(𝑦,𝑢,𝑎) 𝑂(𝑦,𝑢,𝑎) 𝑉(𝑦,𝑧,𝑎) 𝑊(𝑦,𝑢,𝑎) 𝑋(𝑢,𝑎) 𝑌(𝑦,𝑢,𝑎) 𝑍(𝑦,𝑎)

**Proof of Theorem pntlemj**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2		pntlem1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
3		pntlem1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
4		pntlem1.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
5		pntlem1.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
6		pntlem1.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
7		pntlem1.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
8		pntlem1.u2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
9		pntlem1.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
10		pntlem1.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pntlemc 27447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐾 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ⁺)))
12	11	simp3d 1141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ⁺))
13	12	simp3d 1141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ⁺)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6	pntlemd 27446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐷 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐹 ∈ ℝ⁺))
15	14	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ⁺)
16	11	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
17	15, 16	rpmulcld 13030	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ⁺)
18		8nn 12305	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ
19		nnrp 12983	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ⁺)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℝ⁺
21		rpdivcl 12997	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ⁺ ∧ 8 ∈ ℝ⁺) → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ⁺)
22	17, 20, 21	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ⁺)
23		pntlem1.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24		pntlem1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 < 𝑋))
25		pntlem1.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
26		pntlem1.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
27		pntlem1.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27	pntlemb 27449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ⁺ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
29	28	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ⁺)
30	29	rpred 13014	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
31	28	simp2d 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
32	31	simp1d 1139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑍)
33	30, 32	rplogcld 26482	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ⁺)
34	22, 33	rpmulcld 13030	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ⁺)
35	13, 34	rpmulcld 13030	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ∈ ℝ⁺)
36	35	rpred 13014	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ∈ ℝ)
37		pntlem1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
38		fzfid 13936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ∈ Fin)
39	37, 38	eqeltrid 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
40		hashcl 14314	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ₀)
41	39, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ₀)
42	41	nn0red 12531	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
43	13	rpred 13014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ)
44		pntlem1.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ⁺)
45	29, 44	rpdivcld 13031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ⁺)
46	45	relogcld 26476	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
47	46, 45	rerpdivcld 13045	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
48	43, 47	remulcld 11242	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
49	42, 48	remulcld 11242	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) ∈ ℝ)
50		pntlem1.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
51		fzfid 13936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))) ∈ Fin)
52	50, 51	eqeltrid 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
53	7	rpred 13014	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑈 ∈ ℝ)
55	11	simp2d 1140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ⁺)
56		pntlem1.j	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
57		elfzoelz 13630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
59	58	peano2zd 12667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
60	55, 59	rpexpcld 14208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ⁺)
61	29, 60	rpdivcld 13031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ⁺)
62	61	rprege0d 13021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))))
63		flge0nn0 13783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℕ₀)
64		nn0p1nn 12509	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ)
65	62, 63, 64	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ)
66		elfzuz 13495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
67	66, 50	eleq2s 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑂 → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
68		eluznn 12900	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
69	65, 67, 68	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ ℕ)
70	54, 69	nndivred 12264	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑈 / 𝑛) ∈ ℝ)
71	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑍 ∈ ℝ⁺)
72	69	nnrpd 13012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
73	71, 72	rpdivcld 13031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ⁺)
74	1	pntrf 27415	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅:ℝ⁺⟶ℝ
75	74	ffvelcdmi 7076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
76	73, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
77	76, 71	rerpdivcld 13045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11240	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℂ)
79	78	abscld 15381	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
80	70, 79	resubcld 11640	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
81	72	relogcld 26476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
82	80, 81	remulcld 11242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
83	52, 82	fsumrecl 15678	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
84		pntlem1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
85		pntlem1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
86		pntlem1.U	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
87		pntlem1.K	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
88		pntlem1.V	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾↑𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
89	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37	pntlemr 27454	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
90	48	recnd 11240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ)
91		fsumconst 15734	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
92	39, 90, 91	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
93	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37	pntlemq 27453	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝑂)
94	90	ralrimivw 3142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ)
95	52	olcd 871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ⊆ (ℤ_≥‘1) ∨ 𝑂 ∈ Fin))
96		sumss2 15670	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ) ∧ (𝑂 ⊆ (ℤ_≥‘1) ∨ 𝑂 ∈ Fin)) → Σ𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = Σ𝑛 ∈ 𝑂 if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
97	93, 94, 95, 96	syl21anc 835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = Σ𝑛 ∈ 𝑂 if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
98	92, 97	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) = Σ𝑛 ∈ 𝑂 if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
99	48	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
100	99	adantlr 712	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
101		0red 11215	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) ∧ ¬ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℝ)
102	100, 101	ifclda 4556	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ∈ ℝ)
103		breq1 5142	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) → (((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ↔ if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))))
104		breq1 5142	. . . . 5 ⊢ (0 = if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) → (0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ↔ if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))))
105	13	rpregt0d 13020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈 − 𝐸)))
106	105	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈 − 𝐸)))
107	106	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ)
108		1rp 12976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
109		rpaddcl 12994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ⁺) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ⁺)
110	108, 17, 109	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ⁺)
111	110, 44	rpmulcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ⁺)
112	29, 111	rpdivcld 13031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ⁺)
113	112	rprege0d 13021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
114		flge0nn0 13783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℕ₀)
115		nn0p1nn 12509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ)
116	113, 114, 115	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ)
117		elfzuz 13495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
118	117, 37	eleq2s 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
119		eluznn 12900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
120	116, 118, 119	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ ℕ)
121	120	nnrpd 13012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
122	121	relogcld 26476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
123	122, 120	nndivred 12264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
124	107, 123	remulcld 11242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
125	93	sselda 3975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ 𝑂)
126	125, 82	syldan 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
127		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ 𝐼)
128	127, 37	eleqtrdi 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
129		elfzle2 13503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
131	45	rpred 13014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
132	131	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
133	128	elfzelzd 13500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ ℤ)
134		flge 13768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
135	132, 133, 134	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
136	130, 135	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉))
137	120	nnred 12225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ ℝ)
138		ere 16031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → e ∈ ℝ)
140	112	rpred 13014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
141	140	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
142	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → e ∈ ℝ)
143	29	rpsqrtcld 15356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ⁺)
144	143	rpred 13014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ)
145	31	simp2d 1140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → e ≤ (√‘𝑍))
146	111	rpred 13014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
147	60	rpred 13014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
148	88	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐾↑𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))))
149	148	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽)))
150	55	rpcnd 13016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
151	55, 58	rpexpcld 14208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ⁺)
152	151	rpcnd 13016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝐽) ∈ ℂ)
153	150, 152	mulcomd 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐾↑𝐽)) = ((𝐾↑𝐽) · 𝐾))
154	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85	pntlemg 27450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁 − 𝑀)))
155	154	simp1d 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
156		elfzouz 13634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
157	56, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
158		eluznn 12900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
159	155, 157, 158	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
160	159	nnnn0d 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
161	150, 160	expp1d 14110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) = ((𝐾↑𝐽) · 𝐾))
162	153, 161	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐾↑𝐽)) = (𝐾↑(𝐽 + 1)))
163	149, 162	breqtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾↑(𝐽 + 1)))
164	146, 147, 163	ltled 11360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)))
165		fzofzp1 13727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
166	56, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
167	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85	pntlemh 27451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
168	166, 167	mpdan 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
169	168	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍))
170	146, 147, 144, 164, 169	letrd 11369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍))
171	146, 144, 143	lemul2d 13058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍))))
172	170, 171	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)))
173	29	rprege0d 13021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
174		remsqsqrt 15201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
175	173, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
176	172, 175	breqtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍)
177	144, 30, 111	lemuldivd 13063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍 ↔ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
178	176, 177	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
179	142, 144, 140, 145, 178	letrd 11369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → e ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
180	179	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → e ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
181		reflcl 13759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ)
182		peano2re 11385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
183	140, 181, 182	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
184	183	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
185		fllep1 13764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))
186	141, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))
187		elfzle1 13502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ≤ 𝑛)
188	128, 187	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ≤ 𝑛)
189	141, 184, 137, 186, 188	letrd 11369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛)
190	139, 141, 137, 180, 189	letrd 11369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → e ≤ 𝑛)
191	139, 137, 132, 190, 136	letrd 11369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → e ≤ (𝑍 / 𝑉))
192		logdivle 26475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑛) ∧ ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝑍 / 𝑉))) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
193	137, 190, 132, 191, 192	syl22anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
194	136, 193	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
195	47	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
196		lemul2 12065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈 − 𝐸))) → (((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛) ↔ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛))))
197	195, 123, 106, 196	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛) ↔ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛))))
198	194, 197	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
199	13	rpcnd 13016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℂ)
200	199	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℂ)
201	122	recnd 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
202	121	rpcnne0d 13023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
203		div23 11889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 − 𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (((𝑈 − 𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = (((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)))
204	200, 201, 202, 203	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑈 − 𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = (((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)))
205		divass 11888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 − 𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (((𝑈 − 𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
206	200, 201, 202, 205	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑈 − 𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
207	204, 206	eqtr3d 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)) = ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
208	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ)
209	208, 120	nndivred 12264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) ∈ ℝ)
210	125, 80	syldan 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
211		log1 26438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘1) = 0
212	120	nnge1d 12258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 1 ≤ 𝑛)
213		logleb 26456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
214	108, 121, 213	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
215	212, 214	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (log‘1) ≤ (log‘𝑛))
216	211, 215	eqbrtrrid 5175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (log‘𝑛))
217	7	rpcnd 13016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
218	217	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ ℂ)
219	16	rpred 13014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
220	219	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
221	220	recnd 11240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℂ)
222		divsubdir 11906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → ((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) = ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)))
223	218, 221, 202, 222	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) = ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)))
224	125, 79	syldan 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
225	220, 120	nndivred 12264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐸 / 𝑛) ∈ ℝ)
226	125, 70	syldan 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑈 / 𝑛) ∈ ℝ)
227	125, 76	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
228	227	recnd 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ)
229	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑍 ∈ ℝ⁺)
230	229	rpcnne0d 13023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0))
231		divdiv2 11924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍))
232	228, 230, 202, 231	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍))
233	121	rpcnd 13016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ ℂ)
234		div23 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0)) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
235	228, 233, 230, 234	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
236	232, 235	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
237	236	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) = (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛)))
238	125, 78	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℂ)
239	238, 233	absmuld 15399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (abs‘𝑛)))
240	121	rprege0d 13021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
241		absid 15241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
242	240, 241	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
243	242	oveq2d 7418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (abs‘𝑛)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛))
244	237, 239, 243	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛))
245		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → (𝑅‘𝑢) = (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)))
246		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → 𝑢 = (𝑍 / 𝑛))
247	245, 246	oveq12d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → ((𝑅‘𝑢) / 𝑢) = ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)))
248	247	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) = (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))))
249	248	breq1d 5149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) ≤ 𝐸))
250	88	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
251	250	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
252	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑍 ∈ ℝ)
253	252, 120	nndivred 12264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ)
254	44	rpregt0d 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉))
255	254	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉))
256		lemuldiv2 12093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉)) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍 ↔ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉)))
257	137, 252, 255, 256	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍 ↔ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉)))
258	136, 257	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍)
259	255	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑉 ∈ ℝ)
260	259, 252, 121	lemuldivd 13063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍 ↔ 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛)))
261	258, 260	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛))
262	111	rpregt0d 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
263	262	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
264	121	rpregt0d 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
265		lediv23 12104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛 ↔ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
266	252, 263, 264, 265	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛 ↔ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
267	189, 266	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))
268	44	rpred 13014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
269	268	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑉 ∈ ℝ)
270	146	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
271		elicc2 13387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ ℝ ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ) → ((𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ↔ ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛) ∧ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
272	269, 270, 271	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ↔ ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛) ∧ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
273	253, 261, 267, 272	mpbir3and 1339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
274	249, 251, 273	rspcdva 3605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) ≤ 𝐸)
275	244, 274	eqbrtrrd 5163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛) ≤ 𝐸)
276	224, 220, 121	lemuldivd 13063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ≤ (𝐸 / 𝑛)))
277	275, 276	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ≤ (𝐸 / 𝑛))
278	224, 225, 226, 277	lesub2dd 11829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)) ≤ ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))))
279	223, 278	eqbrtrd 5161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) ≤ ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))))
280	209, 210, 122, 216, 279	lemul1ad 12151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
281	207, 280	eqbrtrrd 5163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
282	99, 124, 126, 198, 281	letrd 11369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
283	282	adantlr 712	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
284	69	nnred 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ ℝ)
285	29, 151	rpdivcld 13031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ∈ ℝ⁺)
286	285	rpred 13014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ∈ ℝ)
287	286	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ∈ ℝ)
288	23	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ⁺)
289	29, 288	rpdivcld 13031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ⁺)
290	289	rpred 13014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
291	290	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
292		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ 𝑂)
293	292, 50	eleqtrdi 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))))
294		elfzle2 13503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
295	293, 294	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
296	69	nnzd 12583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ ℤ)
297		flge 13768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))))
298	287, 296, 297	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))))
299	295, 298	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾↑𝐽)))
300	288	rpred 13014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
301	24	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ⁺)
302	301	rpred 13014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
303	151	rpred 13014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ)
304	24	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < 𝑋)
305	300, 302, 304	ltled 11360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)
306		elfzofz 13646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
307	56, 306	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
308	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85	pntlemh 27451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
309	307, 308	mpdan 684	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
310	309	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝐾↑𝐽))
311	302, 303, 310	ltled 11360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝐾↑𝐽))
312	300, 302, 303, 305, 311	letrd 11369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ (𝐾↑𝐽))
313	288, 151, 29	lediv2d 13038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≤ (𝐾↑𝐽) ↔ (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
314	312, 313	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌))
315	314	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌))
316	284, 287, 291, 299, 315	letrd 11369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌))
317	69, 316	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌)))
318	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86	pntlemn 27452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
319	317, 318	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
320	319	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) ∧ ¬ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
321	103, 104, 283, 320	ifbothda 4559	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
322	52, 102, 82, 321	fsumle 15743	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝑂 if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
323	98, 322	eqbrtrd 5161	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
324	36, 49, 83, 89, 323	letrd 11369	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∨ wo 844 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2932 ∀wral 3053 ∃wrex 3062 ⊆ wss 3941 ifcif 4521 class class class wbr 5139 ↦ cmpt 5222 ‘cfv 6534 (class class class)co 7402 Fincfn 8936 ℂcc 11105 ℝcr 11106 0cc0 11107 1c1 11108 + caddc 11110 · cmul 11112 +∞cpnf 11243 < clt 11246 ≤ cle 11247 − cmin 11442 / cdiv 11869 ℕcn 12210 2c2 12265 3c3 12266 4c4 12267 8c8 12271 ℕ₀cn0 12470 ℤcz 12556 cdc 12675 ℤ_≥cuz 12820 ℝ⁺crp 12972 (,)cioo 13322 [,)cico 13324 [,]cicc 13325 ...cfz 13482 ..^cfzo 13625 ⌊cfl 13753 ↑cexp 14025 ♯chash 14288 √csqrt 15178 abscabs 15179 Σcsu 15630 expce 16003 eceu 16004 logclog 26407 ψcchp 26944

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-inf2 9633 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-pre-sup 11185 ax-addf 11186

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-tp 4626 df-op 4628 df-uni 4901 df-int 4942 df-iun 4990 df-iin 4991 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-se 5623 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-isom 6543 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-of 7664 df-om 7850 df-1st 7969 df-2nd 7970 df-supp 8142 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-oadd 8466 df-er 8700 df-map 8819 df-pm 8820 df-ixp 8889 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-fsupp 9359 df-fi 9403 df-sup 9434 df-inf 9435 df-oi 9502 df-dju 9893 df-card 9931 df-pnf 11248 df-mnf 11249 df-xr 11250 df-ltxr 11251 df-le 11252 df-sub 11444 df-neg 11445 df-div 11870 df-nn 12211 df-2 12273 df-3 12274 df-4 12275 df-5 12276 df-6 12277 df-7 12278 df-8 12279 df-9 12280 df-n0 12471 df-z 12557 df-dec 12676 df-uz 12821 df-q 12931 df-rp 12973 df-xneg 13090 df-xadd 13091 df-xmul 13092 df-ioo 13326 df-ioc 13327 df-ico 13328 df-icc 13329 df-fz 13483 df-fzo 13626 df-fl 13755 df-mod 13833 df-seq 13965 df-exp 14026 df-fac 14232 df-bc 14261 df-hash 14289 df-shft 15012 df-cj 15044 df-re 15045 df-im 15046 df-sqrt 15180 df-abs 15181 df-limsup 15413 df-clim 15430 df-rlim 15431 df-sum 15631 df-ef 16009 df-e 16010 df-sin 16011 df-cos 16012 df-pi 16014 df-dvds 16197 df-gcd 16435 df-prm 16608 df-pc 16771 df-struct 17081 df-sets 17098 df-slot 17116 df-ndx 17128 df-base 17146 df-ress 17175 df-plusg 17211 df-mulr 17212 df-starv 17213 df-sca 17214 df-vsca 17215 df-ip 17216 df-tset 17217 df-ple 17218 df-ds 17220 df-unif 17221 df-hom 17222 df-cco 17223 df-rest 17369 df-topn 17370 df-0g 17388 df-gsum 17389 df-topgen 17390 df-pt 17391 df-prds 17394 df-xrs 17449 df-qtop 17454 df-imas 17455 df-xps 17457 df-mre 17531 df-mrc 17532 df-acs 17534 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-submnd 18706 df-mulg 18988 df-cntz 19225 df-cmn 19694 df-psmet 21222 df-xmet 21223 df-met 21224 df-bl 21225 df-mopn 21226 df-fbas 21227 df-fg 21228 df-cnfld 21231 df-top 22720 df-topon 22737 df-topsp 22759 df-bases 22773 df-cld 22847 df-ntr 22848 df-cls 22849 df-nei 22926 df-lp 22964 df-perf 22965 df-cn 23055 df-cnp 23056 df-haus 23143 df-tx 23390 df-hmeo 23583 df-fil 23674 df-fm 23766 df-flim 23767 df-flf 23768 df-xms 24150 df-ms 24151 df-tms 24152 df-cncf 24722 df-limc 25719 df-dv 25720 df-log 26409 df-vma 26949 df-chp 26950

This theorem is referenced by: pntlemi 27456

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