Theorem rprege0d 12963

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12956	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12960	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ℝcr 11027  0cc0 11028   ≤ cle 11169  ℝ⁺crp 12912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-addrcl 11089  ax-rnegex 11099  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-rp 12913

This theorem is referenced by:  eirrlem  16132  prmreclem3  16849  prmreclem6  16852  cxprec  26612  cxpsqrt  26629  cxpcn3lem  26674  cxplim  26899  cxploglim2  26906  divsqrtsumlem  26907  divsqrtsumo1  26911  fsumharmonic  26939  zetacvg  26942  logfacubnd  27149  logfacbnd3  27151  bposlem1  27212  bposlem4  27215  bposlem7  27218  bposlem9  27220  2sqmod  27364  dchrmusum2  27422  dchrvmasumlem3  27427  dchrisum0flblem2  27437  dchrisum0fno1  27439  dchrisum0lema  27442  dchrisum0lem1b  27443  dchrisum0lem1  27444  dchrisum0lem2a  27445  dchrisum0lem2  27446  dchrisum0lem3  27447  chpdifbndlem2  27482  selberg3lem1  27485  pntrsumo1  27493  pntrlog2bndlem2  27506  pntrlog2bndlem4  27508  pntrlog2bndlem6a  27510  pntpbnd2  27515  pntibndlem2  27519  pntlemb  27525  pntlemg  27526  pntlemh  27527  pntlemn  27528  pntlemr  27530  pntlemj  27531  pntlemf  27533  pntlemk  27534  pntlemo  27535  blocnilem  30767  ubthlem2  30834  minvecolem4  30843  eulerpartlemgc  34349  irrapxlem4  42818  irrapxlem5  42819  stirlinglem3  46077  stirlinglem15  46089  inlinecirc02plem  48791  amgmlemALT  49808