Theorem rprege0d 13063

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13056	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13060	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ℝcr 11095  0cc0 11096   ≤ cle 11240  ℝ⁺crp 13012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-addrcl 11157  ax-rnegex 11167  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-rp 13013

This theorem is referenced by:  eirrlem  16256  prmreclem3  16974  prmreclem6  16977  cxprec  26813  cxpsqrt  26830  cxpcn3lem  26874  cxplim  27098  cxploglim2  27105  divsqrtsumlem  27106  divsqrtsumo1  27110  fsumharmonic  27138  zetacvg  27141  logfacubnd  27347  logfacbnd3  27349  bposlem1  27410  bposlem4  27413  bposlem7  27416  bposlem9  27418  2sqmod  27562  dchrmusum2  27620  dchrvmasumlem3  27625  dchrisum0flblem2  27635  dchrisum0fno1  27637  dchrisum0lema  27640  dchrisum0lem1b  27641  dchrisum0lem1  27642  dchrisum0lem2a  27643  dchrisum0lem2  27644  dchrisum0lem3  27645  chpdifbndlem2  27680  selberg3lem1  27683  pntrsumo1  27691  pntrlog2bndlem2  27704  pntrlog2bndlem4  27706  pntrlog2bndlem6a  27708  pntpbnd2  27713  pntibndlem2  27717  pntlemb  27723  pntlemg  27724  pntlemh  27725  pntlemn  27726  pntlemr  27728  pntlemj  27729  pntlemf  27731  pntlemk  27732  pntlemo  27733  blocnilem  31093  ubthlem2  31160  minvecolem4  31169  eulerpartlemgc  34693  irrapxlem4  43439  irrapxlem5  43440  stirlinglem3  46677  stirlinglem15  46689  inlinecirc02plem  49446  amgmlemALT  50472