Theorem rprege0d 12968

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12961	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12965	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝcr 11037  0cc0 11038   ≤ cle 11179  ℝ⁺crp 12917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-rp 12918

This theorem is referenced by:  eirrlem  16141  prmreclem3  16858  prmreclem6  16861  cxprec  26663  cxpsqrt  26680  cxpcn3lem  26725  cxplim  26950  cxploglim2  26957  divsqrtsumlem  26958  divsqrtsumo1  26962  fsumharmonic  26990  zetacvg  26993  logfacubnd  27200  logfacbnd3  27202  bposlem1  27263  bposlem4  27266  bposlem7  27269  bposlem9  27271  2sqmod  27415  dchrmusum2  27473  dchrvmasumlem3  27478  dchrisum0flblem2  27488  dchrisum0fno1  27490  dchrisum0lema  27493  dchrisum0lem1b  27494  dchrisum0lem1  27495  dchrisum0lem2a  27496  dchrisum0lem2  27497  dchrisum0lem3  27498  chpdifbndlem2  27533  selberg3lem1  27536  pntrsumo1  27544  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem6a  27561  pntpbnd2  27566  pntibndlem2  27570  pntlemb  27576  pntlemg  27577  pntlemh  27578  pntlemn  27579  pntlemr  27581  pntlemj  27582  pntlemf  27584  pntlemk  27585  pntlemo  27586  blocnilem  30892  ubthlem2  30959  minvecolem4  30968  eulerpartlemgc  34540  irrapxlem4  43182  irrapxlem5  43183  stirlinglem3  46434  stirlinglem15  46446  inlinecirc02plem  49146  amgmlemALT  50162