Theorem rprege0d 13211

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13204	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13208	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ℝcr 11238  0cc0 11239   ≤ cle 11383  ℝ⁺crp 13160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-addrcl 11300  ax-rnegex 11310  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-rp 13161

This theorem is used by:  eirrlem  16416  prmreclem3  17140  prmreclem6  17143  cxprec  27071  cxpsqrt  27088  cxpcn3lem  27132  cxplim  27356  cxploglim2  27363  divsqrtsumlem  27364  divsqrtsumo1  27368  fsumharmonic  27396  zetacvg  27399  logfacubnd  27605  logfacbnd3  27607  bposlem1  27668  bposlem4  27671  bposlem7  27674  bposlem9  27676  2sqmod  27820  dchrmusum2  27878  dchrvmasumlem3  27883  dchrisum0flblem2  27893  dchrisum0fno1  27895  dchrisum0lema  27898  dchrisum0lem1b  27899  dchrisum0lem1  27900  dchrisum0lem2a  27901  dchrisum0lem2  27902  dchrisum0lem3  27903  chpdifbndlem2  27938  selberg3lem1  27941  pntrsumo1  27949  pntrlog2bndlem2  27962  pntrlog2bndlem4  27964  pntrlog2bndlem6a  27966  pntpbnd2  27971  pntibndlem2  27975  pntlemb  27981  pntlemg  27982  pntlemh  27983  pntlemn  27984  pntlemr  27986  pntlemj  27987  pntlemf  27989  pntlemk  27990  pntlemo  27991  blocnilem  31463  ubthlem2  31530  minvecolem4  31539  eulerpartlemgc  35105  irrapxlem4  44098  irrapxlem5  44099  stirlinglem3  47359  stirlinglem15  47371  inlinecirc02plem  50229  amgmlemALT  51416