Theorem rprege0d 12978

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12971	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12975	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ℝcr 11043  0cc0 11044   ≤ cle 11185  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-addrcl 11105  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  eirrlem  16148  prmreclem3  16865  prmreclem6  16868  cxprec  26571  cxpsqrt  26588  cxpcn3lem  26633  cxplim  26858  cxploglim2  26865  divsqrtsumlem  26866  divsqrtsumo1  26870  fsumharmonic  26898  zetacvg  26901  logfacubnd  27108  logfacbnd3  27110  bposlem1  27171  bposlem4  27174  bposlem7  27177  bposlem9  27179  2sqmod  27323  dchrmusum2  27381  dchrvmasumlem3  27386  dchrisum0flblem2  27396  dchrisum0fno1  27398  dchrisum0lema  27401  dchrisum0lem1b  27402  dchrisum0lem1  27403  dchrisum0lem2a  27404  dchrisum0lem2  27405  dchrisum0lem3  27406  chpdifbndlem2  27441  selberg3lem1  27444  pntrsumo1  27452  pntrlog2bndlem2  27465  pntrlog2bndlem4  27467  pntrlog2bndlem6a  27469  pntpbnd2  27474  pntibndlem2  27478  pntlemb  27484  pntlemg  27485  pntlemh  27486  pntlemn  27487  pntlemr  27489  pntlemj  27490  pntlemf  27492  pntlemk  27493  pntlemo  27494  blocnilem  30706  ubthlem2  30773  minvecolem4  30782  eulerpartlemgc  34326  irrapxlem4  42786  irrapxlem5  42787  stirlinglem3  46047  stirlinglem15  46059  inlinecirc02plem  48748  amgmlemALT  49765