Theorem rprege0d 13028

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13021	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13025	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  ℝcr 11112  0cc0 11113   ≤ cle 11254  ℝ⁺crp 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-addrcl 11174  ax-rnegex 11184  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-rp 12980

This theorem is referenced by:  eirrlem  16152  prmreclem3  16856  prmreclem6  16859  cxprec  26427  cxpsqrt  26444  cxpcn3lem  26488  cxplim  26709  cxploglim2  26716  divsqrtsumlem  26717  divsqrtsumo1  26721  fsumharmonic  26749  zetacvg  26752  logfacubnd  26957  logfacbnd3  26959  bposlem1  27020  bposlem4  27023  bposlem7  27026  bposlem9  27028  2sqmod  27172  dchrmusum2  27230  dchrvmasumlem3  27235  dchrisum0flblem2  27245  dchrisum0fno1  27247  dchrisum0lema  27250  dchrisum0lem1b  27251  dchrisum0lem1  27252  dchrisum0lem2a  27253  dchrisum0lem2  27254  dchrisum0lem3  27255  chpdifbndlem2  27290  selberg3lem1  27293  pntrsumo1  27301  pntrlog2bndlem2  27314  pntrlog2bndlem4  27316  pntrlog2bndlem6a  27318  pntpbnd2  27323  pntibndlem2  27327  pntlemb  27333  pntlemg  27334  pntlemh  27335  pntlemn  27336  pntlemr  27338  pntlemj  27339  pntlemf  27341  pntlemk  27342  pntlemo  27343  blocnilem  30321  ubthlem2  30388  minvecolem4  30397  eulerpartlemgc  33656  irrapxlem4  41866  irrapxlem5  41867  stirlinglem3  45092  stirlinglem15  45104  inlinecirc02plem  47561  amgmlemALT  47939