Theorem rprege0d 13106

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13099	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13103	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183  0cc0 11184   ≤ cle 11325  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-addrcl 11245  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  eirrlem  16252  prmreclem3  16965  prmreclem6  16968  cxprec  26746  cxpsqrt  26763  cxpcn3lem  26808  cxplim  27033  cxploglim2  27040  divsqrtsumlem  27041  divsqrtsumo1  27045  fsumharmonic  27073  zetacvg  27076  logfacubnd  27283  logfacbnd3  27285  bposlem1  27346  bposlem4  27349  bposlem7  27352  bposlem9  27354  2sqmod  27498  dchrmusum2  27556  dchrvmasumlem3  27561  dchrisum0flblem2  27571  dchrisum0fno1  27573  dchrisum0lema  27576  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem2a  27579  dchrisum0lem2  27580  dchrisum0lem3  27581  chpdifbndlem2  27616  selberg3lem1  27619  pntrsumo1  27627  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem6a  27644  pntpbnd2  27649  pntibndlem2  27653  pntlemb  27659  pntlemg  27660  pntlemh  27661  pntlemn  27662  pntlemr  27664  pntlemj  27665  pntlemf  27667  pntlemk  27668  pntlemo  27669  blocnilem  30836  ubthlem2  30903  minvecolem4  30912  eulerpartlemgc  34327  irrapxlem4  42781  irrapxlem5  42782  stirlinglem3  45997  stirlinglem15  46009  inlinecirc02plem  48520  amgmlemALT  48897