Theorem rprege0d 13079

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13072	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13076	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ℝcr 11110  0cc0 11111   ≤ cle 11255  ℝ⁺crp 13028

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-addrcl 11172  ax-rnegex 11182  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-rp 13029

This theorem is used by:  eirrlem  16278  prmreclem3  16996  prmreclem6  16999  cxprec  26882  cxpsqrt  26899  cxpcn3lem  26943  cxplim  27167  cxploglim2  27174  divsqrtsumlem  27175  divsqrtsumo1  27179  fsumharmonic  27207  zetacvg  27210  logfacubnd  27416  logfacbnd3  27418  bposlem1  27479  bposlem4  27482  bposlem7  27485  bposlem9  27487  2sqmod  27631  dchrmusum2  27689  dchrvmasumlem3  27694  dchrisum0flblem2  27704  dchrisum0fno1  27706  dchrisum0lema  27709  dchrisum0lem1b  27710  dchrisum0lem1  27711  dchrisum0lem2a  27712  dchrisum0lem2  27713  dchrisum0lem3  27714  chpdifbndlem2  27749  selberg3lem1  27752  pntrsumo1  27760  pntrlog2bndlem2  27773  pntrlog2bndlem4  27775  pntrlog2bndlem6a  27777  pntpbnd2  27782  pntibndlem2  27786  pntlemb  27792  pntlemg  27793  pntlemh  27794  pntlemn  27795  pntlemr  27797  pntlemj  27798  pntlemf  27800  pntlemk  27801  pntlemo  27802  blocnilem  31203  ubthlem2  31270  minvecolem4  31279  eulerpartlemgc  34793  irrapxlem4  43585  irrapxlem5  43586  stirlinglem3  46823  stirlinglem15  46835  inlinecirc02plem  49599  amgmlemALT  50684