Theorem rprege0d 12973

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12966	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12970	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  ℝcr 11059  0cc0 11060   ≤ cle 11199  ℝ⁺crp 12924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-addrcl 11121  ax-rnegex 11131  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-rp 12925

This theorem is referenced by:  eirrlem  16097  prmreclem3  16801  prmreclem6  16804  cxprec  26078  cxpsqrt  26095  cxpcn3lem  26137  cxplim  26358  cxploglim2  26365  divsqrtsumlem  26366  divsqrtsumo1  26370  fsumharmonic  26398  zetacvg  26401  logfacubnd  26606  logfacbnd3  26608  bposlem1  26669  bposlem4  26672  bposlem7  26675  bposlem9  26677  2sqmod  26821  dchrmusum2  26879  dchrvmasumlem3  26884  dchrisum0flblem2  26894  dchrisum0fno1  26896  dchrisum0lema  26899  dchrisum0lem1b  26900  dchrisum0lem1  26901  dchrisum0lem2a  26902  dchrisum0lem2  26903  dchrisum0lem3  26904  chpdifbndlem2  26939  selberg3lem1  26942  pntrsumo1  26950  pntrlog2bndlem2  26963  pntrlog2bndlem4  26965  pntrlog2bndlem6a  26967  pntpbnd2  26972  pntibndlem2  26976  pntlemb  26982  pntlemg  26983  pntlemh  26984  pntlemn  26985  pntlemr  26987  pntlemj  26988  pntlemf  26990  pntlemk  26991  pntlemo  26992  blocnilem  29809  ubthlem2  29876  minvecolem4  29885  eulerpartlemgc  33051  irrapxlem4  41206  irrapxlem5  41207  stirlinglem3  44437  stirlinglem15  44449  inlinecirc02plem  46992  amgmlemALT  47370