Theorem rprege0d 13093

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13086	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13090	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11123  0cc0 11124   ≤ cle 11268  ℝ⁺crp 13042

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-addrcl 11185  ax-rnegex 11195  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-rp 13043

This theorem is used by:  eirrlem  16292  prmreclem3  17010  prmreclem6  17013  cxprec  26923  cxpsqrt  26940  cxpcn3lem  26984  cxplim  27208  cxploglim2  27215  divsqrtsumlem  27216  divsqrtsumo1  27220  fsumharmonic  27248  zetacvg  27251  logfacubnd  27457  logfacbnd3  27459  bposlem1  27520  bposlem4  27523  bposlem7  27526  bposlem9  27528  2sqmod  27672  dchrmusum2  27730  dchrvmasumlem3  27735  dchrisum0flblem2  27745  dchrisum0fno1  27747  dchrisum0lema  27750  dchrisum0lem1b  27751  dchrisum0lem1  27752  dchrisum0lem2a  27753  dchrisum0lem2  27754  dchrisum0lem3  27755  chpdifbndlem2  27790  selberg3lem1  27793  pntrsumo1  27801  pntrlog2bndlem2  27814  pntrlog2bndlem4  27816  pntrlog2bndlem6a  27818  pntpbnd2  27823  pntibndlem2  27827  pntlemb  27833  pntlemg  27834  pntlemh  27835  pntlemn  27836  pntlemr  27838  pntlemj  27839  pntlemf  27841  pntlemk  27842  pntlemo  27843  blocnilem  31285  ubthlem2  31352  minvecolem4  31361  eulerpartlemgc  34873  irrapxlem4  43666  irrapxlem5  43667  stirlinglem3  46904  stirlinglem15  46916  inlinecirc02plem  49716  amgmlemALT  50821