Theorem rprege0d 13009

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13002	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13006	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ℝcr 11074  0cc0 11075   ≤ cle 11216  ℝ⁺crp 12958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-addrcl 11136  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-rp 12959

This theorem is referenced by:  eirrlem  16179  prmreclem3  16896  prmreclem6  16899  cxprec  26602  cxpsqrt  26619  cxpcn3lem  26664  cxplim  26889  cxploglim2  26896  divsqrtsumlem  26897  divsqrtsumo1  26901  fsumharmonic  26929  zetacvg  26932  logfacubnd  27139  logfacbnd3  27141  bposlem1  27202  bposlem4  27205  bposlem7  27208  bposlem9  27210  2sqmod  27354  dchrmusum2  27412  dchrvmasumlem3  27417  dchrisum0flblem2  27427  dchrisum0fno1  27429  dchrisum0lema  27432  dchrisum0lem1b  27433  dchrisum0lem1  27434  dchrisum0lem2a  27435  dchrisum0lem2  27436  dchrisum0lem3  27437  chpdifbndlem2  27472  selberg3lem1  27475  pntrsumo1  27483  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem6a  27500  pntpbnd2  27505  pntibndlem2  27509  pntlemb  27515  pntlemg  27516  pntlemh  27517  pntlemn  27518  pntlemr  27520  pntlemj  27521  pntlemf  27523  pntlemk  27524  pntlemo  27525  blocnilem  30740  ubthlem2  30807  minvecolem4  30816  eulerpartlemgc  34360  irrapxlem4  42820  irrapxlem5  42821  stirlinglem3  46081  stirlinglem15  46093  inlinecirc02plem  48779  amgmlemALT  49796