Theorem rprege0d 12124

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12117	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12121	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 508	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  ℝcr 10223  0cc0 10224   ≤ cle 10364  ℝ⁺crp 12074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-addrcl 10285  ax-rnegex 10295  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-rp 12075

This theorem is referenced by:  eirrlem  15268  prmreclem3  15955  prmreclem6  15958  cxprec  24773  cxpsqrt  24790  cxpcn3lem  24832  cxplim  25050  cxploglim2  25057  divsqrtsumlem  25058  divsqrtsumo1  25062  fsumharmonic  25090  zetacvg  25093  logfacubnd  25298  logfacbnd3  25300  bposlem1  25361  bposlem4  25364  bposlem7  25367  bposlem9  25369  dchrmusum2  25535  dchrvmasumlem3  25540  dchrisum0flblem2  25550  dchrisum0fno1  25552  dchrisum0lema  25555  dchrisum0lem1b  25556  dchrisum0lem1  25557  dchrisum0lem2a  25558  dchrisum0lem2  25559  dchrisum0lem3  25560  chpdifbndlem2  25595  selberg3lem1  25598  pntrsumo1  25606  pntrlog2bndlem2  25619  pntrlog2bndlem4  25621  pntrlog2bndlem6a  25623  pntpbnd2  25628  pntibndlem2  25632  pntlemb  25638  pntlemg  25639  pntlemh  25640  pntlemn  25641  pntlemr  25643  pntlemj  25644  pntlemf  25646  pntlemk  25647  pntlemo  25648  blocnilem  28184  ubthlem2  28252  minvecolem4  28261  2sqmod  30164  eulerpartlemgc  30940  irrapxlem4  38175  irrapxlem5  38176  stirlinglem3  41036  stirlinglem15  41048  amgmlemALT  43351