Theorem rprege0d 13081

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13074	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13078	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ℝcr 11151  0cc0 11152   ≤ cle 11293  ℝ⁺crp 13031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-addrcl 11213  ax-rnegex 11223  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-rp 13032

This theorem is referenced by:  eirrlem  16236  prmreclem3  16951  prmreclem6  16954  cxprec  26742  cxpsqrt  26759  cxpcn3lem  26804  cxplim  27029  cxploglim2  27036  divsqrtsumlem  27037  divsqrtsumo1  27041  fsumharmonic  27069  zetacvg  27072  logfacubnd  27279  logfacbnd3  27281  bposlem1  27342  bposlem4  27345  bposlem7  27348  bposlem9  27350  2sqmod  27494  dchrmusum2  27552  dchrvmasumlem3  27557  dchrisum0flblem2  27567  dchrisum0fno1  27569  dchrisum0lema  27572  dchrisum0lem1b  27573  dchrisum0lem1  27574  dchrisum0lem2a  27575  dchrisum0lem2  27576  dchrisum0lem3  27577  chpdifbndlem2  27612  selberg3lem1  27615  pntrsumo1  27623  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem6a  27640  pntpbnd2  27645  pntibndlem2  27649  pntlemb  27655  pntlemg  27656  pntlemh  27657  pntlemn  27658  pntlemr  27660  pntlemj  27661  pntlemf  27663  pntlemk  27664  pntlemo  27665  blocnilem  30832  ubthlem2  30899  minvecolem4  30908  eulerpartlemgc  34343  irrapxlem4  42812  irrapxlem5  42813  stirlinglem3  46031  stirlinglem15  46043  inlinecirc02plem  48635  amgmlemALT  49033