Theorem rprege0d 13030

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13023	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13027	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ℝcr 11115  0cc0 11116   ≤ cle 11256  ℝ⁺crp 12981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-addrcl 11177  ax-rnegex 11187  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-rp 12982

This theorem is referenced by:  eirrlem  16154  prmreclem3  16858  prmreclem6  16861  cxprec  26533  cxpsqrt  26550  cxpcn3lem  26595  cxplim  26816  cxploglim2  26823  divsqrtsumlem  26824  divsqrtsumo1  26828  fsumharmonic  26856  zetacvg  26859  logfacubnd  27066  logfacbnd3  27068  bposlem1  27129  bposlem4  27132  bposlem7  27135  bposlem9  27137  2sqmod  27281  dchrmusum2  27339  dchrvmasumlem3  27344  dchrisum0flblem2  27354  dchrisum0fno1  27356  dchrisum0lema  27359  dchrisum0lem1b  27360  dchrisum0lem1  27361  dchrisum0lem2a  27362  dchrisum0lem2  27363  dchrisum0lem3  27364  chpdifbndlem2  27399  selberg3lem1  27402  pntrsumo1  27410  pntrlog2bndlem2  27423  pntrlog2bndlem4  27425  pntrlog2bndlem6a  27427  pntpbnd2  27432  pntibndlem2  27436  pntlemb  27442  pntlemg  27443  pntlemh  27444  pntlemn  27445  pntlemr  27447  pntlemj  27448  pntlemf  27450  pntlemk  27451  pntlemo  27452  blocnilem  30489  ubthlem2  30556  minvecolem4  30565  eulerpartlemgc  33824  irrapxlem4  42025  irrapxlem5  42026  stirlinglem3  45250  stirlinglem15  45262  inlinecirc02plem  47633  amgmlemALT  48011