Theorem rprege0d 12984

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12977	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12981	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11028  0cc0 11029   ≤ cle 11171  ℝ⁺crp 12933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-addrcl 11090  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-rp 12934

This theorem is referenced by:  eirrlem  16162  prmreclem3  16880  prmreclem6  16883  cxprec  26663  cxpsqrt  26680  cxpcn3lem  26724  cxplim  26949  cxploglim2  26956  divsqrtsumlem  26957  divsqrtsumo1  26961  fsumharmonic  26989  zetacvg  26992  logfacubnd  27198  logfacbnd3  27200  bposlem1  27261  bposlem4  27264  bposlem7  27267  bposlem9  27269  2sqmod  27413  dchrmusum2  27471  dchrvmasumlem3  27476  dchrisum0flblem2  27486  dchrisum0fno1  27488  dchrisum0lema  27491  dchrisum0lem1b  27492  dchrisum0lem1  27493  dchrisum0lem2a  27494  dchrisum0lem2  27495  dchrisum0lem3  27496  chpdifbndlem2  27531  selberg3lem1  27534  pntrsumo1  27542  pntrlog2bndlem2  27555  pntrlog2bndlem4  27557  pntrlog2bndlem6a  27559  pntpbnd2  27564  pntibndlem2  27568  pntlemb  27574  pntlemg  27575  pntlemh  27576  pntlemn  27577  pntlemr  27579  pntlemj  27580  pntlemf  27582  pntlemk  27583  pntlemo  27584  blocnilem  30890  ubthlem2  30957  minvecolem4  30966  eulerpartlemgc  34522  irrapxlem4  43271  irrapxlem5  43272  stirlinglem3  46522  stirlinglem15  46534  inlinecirc02plem  49274  amgmlemALT  50290