Theorem rprege0d 13023

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13016	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13020	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 513	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109  0cc0 11110   ≤ cle 11249  ℝ⁺crp 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-rp 12975

This theorem is referenced by:  eirrlem  16147  prmreclem3  16851  prmreclem6  16854  cxprec  26194  cxpsqrt  26211  cxpcn3lem  26255  cxplim  26476  cxploglim2  26483  divsqrtsumlem  26484  divsqrtsumo1  26488  fsumharmonic  26516  zetacvg  26519  logfacubnd  26724  logfacbnd3  26726  bposlem1  26787  bposlem4  26790  bposlem7  26793  bposlem9  26795  2sqmod  26939  dchrmusum2  26997  dchrvmasumlem3  27002  dchrisum0flblem2  27012  dchrisum0fno1  27014  dchrisum0lema  27017  dchrisum0lem1b  27018  dchrisum0lem1  27019  dchrisum0lem2a  27020  dchrisum0lem2  27021  dchrisum0lem3  27022  chpdifbndlem2  27057  selberg3lem1  27060  pntrsumo1  27068  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem6a  27085  pntpbnd2  27090  pntibndlem2  27094  pntlemb  27100  pntlemg  27101  pntlemh  27102  pntlemn  27103  pntlemr  27105  pntlemj  27106  pntlemf  27108  pntlemk  27109  pntlemo  27110  blocnilem  30057  ubthlem2  30124  minvecolem4  30133  eulerpartlemgc  33361  irrapxlem4  41563  irrapxlem5  41564  stirlinglem3  44792  stirlinglem15  44804  inlinecirc02plem  47472  amgmlemALT  47850