Theorem rprege0d 12426

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12419	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12423	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 515	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ℝcr 10525  0cc0 10526   ≤ cle 10665  ℝ⁺crp 12377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-addrcl 10587  ax-rnegex 10597  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-rp 12378

This theorem is referenced by:  eirrlem  15549  prmreclem3  16244  prmreclem6  16247  cxprec  25277  cxpsqrt  25294  cxpcn3lem  25336  cxplim  25557  cxploglim2  25564  divsqrtsumlem  25565  divsqrtsumo1  25569  fsumharmonic  25597  zetacvg  25600  logfacubnd  25805  logfacbnd3  25807  bposlem1  25868  bposlem4  25871  bposlem7  25874  bposlem9  25876  2sqmod  26020  dchrmusum2  26078  dchrvmasumlem3  26083  dchrisum0flblem2  26093  dchrisum0fno1  26095  dchrisum0lema  26098  dchrisum0lem1b  26099  dchrisum0lem1  26100  dchrisum0lem2a  26101  dchrisum0lem2  26102  dchrisum0lem3  26103  chpdifbndlem2  26138  selberg3lem1  26141  pntrsumo1  26149  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem6a  26166  pntpbnd2  26171  pntibndlem2  26175  pntlemb  26181  pntlemg  26182  pntlemh  26183  pntlemn  26184  pntlemr  26186  pntlemj  26187  pntlemf  26189  pntlemk  26190  pntlemo  26191  blocnilem  28587  ubthlem2  28654  minvecolem4  28663  eulerpartlemgc  31730  irrapxlem4  39766  irrapxlem5  39767  stirlinglem3  42718  stirlinglem15  42730  inlinecirc02plem  45200  amgmlemALT  45331