Theorem rprege0d 13002

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12995	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12999	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067  0cc0 11068   ≤ cle 11209  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  eirrlem  16172  prmreclem3  16889  prmreclem6  16892  cxprec  26595  cxpsqrt  26612  cxpcn3lem  26657  cxplim  26882  cxploglim2  26889  divsqrtsumlem  26890  divsqrtsumo1  26894  fsumharmonic  26922  zetacvg  26925  logfacubnd  27132  logfacbnd3  27134  bposlem1  27195  bposlem4  27198  bposlem7  27201  bposlem9  27203  2sqmod  27347  dchrmusum2  27405  dchrvmasumlem3  27410  dchrisum0flblem2  27420  dchrisum0fno1  27422  dchrisum0lema  27425  dchrisum0lem1b  27426  dchrisum0lem1  27427  dchrisum0lem2a  27428  dchrisum0lem2  27429  dchrisum0lem3  27430  chpdifbndlem2  27465  selberg3lem1  27468  pntrsumo1  27476  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem6a  27493  pntpbnd2  27498  pntibndlem2  27502  pntlemb  27508  pntlemg  27509  pntlemh  27510  pntlemn  27511  pntlemr  27513  pntlemj  27514  pntlemf  27516  pntlemk  27517  pntlemo  27518  blocnilem  30733  ubthlem2  30800  minvecolem4  30809  eulerpartlemgc  34353  irrapxlem4  42813  irrapxlem5  42814  stirlinglem3  46074  stirlinglem15  46086  inlinecirc02plem  48775  amgmlemALT  49792