Theorem rprege0d 13038

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13031	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13035	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 519	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ℝcr 11066  0cc0 11067   ≤ cle 11211  ℝ⁺crp 12987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-addrcl 11128  ax-rnegex 11138  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-rp 12988

This theorem is referenced by:  eirrlem  16227  prmreclem3  16945  prmreclem6  16948  cxprec  26739  cxpsqrt  26756  cxpcn3lem  26800  cxplim  27024  cxploglim2  27031  divsqrtsumlem  27032  divsqrtsumo1  27036  fsumharmonic  27064  zetacvg  27067  logfacubnd  27273  logfacbnd3  27275  bposlem1  27336  bposlem4  27339  bposlem7  27342  bposlem9  27344  2sqmod  27488  dchrmusum2  27546  dchrvmasumlem3  27551  dchrisum0flblem2  27561  dchrisum0fno1  27563  dchrisum0lema  27566  dchrisum0lem1b  27567  dchrisum0lem1  27568  dchrisum0lem2a  27569  dchrisum0lem2  27570  dchrisum0lem3  27571  chpdifbndlem2  27606  selberg3lem1  27609  pntrsumo1  27617  pntrlog2bndlem2  27630  pntrlog2bndlem4  27632  pntrlog2bndlem6a  27634  pntpbnd2  27639  pntibndlem2  27643  pntlemb  27649  pntlemg  27650  pntlemh  27651  pntlemn  27652  pntlemr  27654  pntlemj  27655  pntlemf  27657  pntlemk  27658  pntlemo  27659  blocnilem  30964  ubthlem2  31031  minvecolem4  31040  eulerpartlemgc  34620  irrapxlem4  43363  irrapxlem5  43364  stirlinglem3  46611  stirlinglem15  46623  inlinecirc02plem  49369  amgmlemALT  50385