Theorem rprege0d 12936

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12929	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12933	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  ℝcr 11000  0cc0 11001   ≤ cle 11142  ℝ⁺crp 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-addrcl 11062  ax-rnegex 11072  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-rp 12886

This theorem is referenced by:  eirrlem  16108  prmreclem3  16825  prmreclem6  16828  cxprec  26617  cxpsqrt  26634  cxpcn3lem  26679  cxplim  26904  cxploglim2  26911  divsqrtsumlem  26912  divsqrtsumo1  26916  fsumharmonic  26944  zetacvg  26947  logfacubnd  27154  logfacbnd3  27156  bposlem1  27217  bposlem4  27220  bposlem7  27223  bposlem9  27225  2sqmod  27369  dchrmusum2  27427  dchrvmasumlem3  27432  dchrisum0flblem2  27442  dchrisum0fno1  27444  dchrisum0lema  27447  dchrisum0lem1b  27448  dchrisum0lem1  27449  dchrisum0lem2a  27450  dchrisum0lem2  27451  dchrisum0lem3  27452  chpdifbndlem2  27487  selberg3lem1  27490  pntrsumo1  27498  pntrlog2bndlem2  27511  pntrlog2bndlem4  27513  pntrlog2bndlem6a  27515  pntpbnd2  27520  pntibndlem2  27524  pntlemb  27530  pntlemg  27531  pntlemh  27532  pntlemn  27533  pntlemr  27535  pntlemj  27536  pntlemf  27538  pntlemk  27539  pntlemo  27540  blocnilem  30776  ubthlem2  30843  minvecolem4  30852  eulerpartlemgc  34367  irrapxlem4  42858  irrapxlem5  42859  stirlinglem3  46114  stirlinglem15  46126  inlinecirc02plem  48818  amgmlemALT  49835