Theorem rprege0d 13062

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13055	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13059	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ℝcr 11094  0cc0 11095   ≤ cle 11239  ℝ⁺crp 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-addrcl 11156  ax-rnegex 11166  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-rp 13012

This theorem is referenced by:  eirrlem  16255  prmreclem3  16973  prmreclem6  16976  cxprec  26851  cxpsqrt  26868  cxpcn3lem  26912  cxplim  27136  cxploglim2  27143  divsqrtsumlem  27144  divsqrtsumo1  27148  fsumharmonic  27176  zetacvg  27179  logfacubnd  27385  logfacbnd3  27387  bposlem1  27448  bposlem4  27451  bposlem7  27454  bposlem9  27456  2sqmod  27600  dchrmusum2  27658  dchrvmasumlem3  27663  dchrisum0flblem2  27673  dchrisum0fno1  27675  dchrisum0lema  27678  dchrisum0lem1b  27679  dchrisum0lem1  27680  dchrisum0lem2a  27681  dchrisum0lem2  27682  dchrisum0lem3  27683  chpdifbndlem2  27718  selberg3lem1  27721  pntrsumo1  27729  pntrlog2bndlem2  27742  pntrlog2bndlem4  27744  pntrlog2bndlem6a  27746  pntpbnd2  27751  pntibndlem2  27755  pntlemb  27761  pntlemg  27762  pntlemh  27763  pntlemn  27764  pntlemr  27766  pntlemj  27767  pntlemf  27769  pntlemk  27770  pntlemo  27771  blocnilem  31156  ubthlem2  31223  minvecolem4  31232  eulerpartlemgc  34752  irrapxlem4  43552  irrapxlem5  43553  stirlinglem3  46790  stirlinglem15  46802  inlinecirc02plem  49566  amgmlemALT  50623