Theorem rprege0d 13066

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13059	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13063	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5123  ℝcr 11136  0cc0 11137   ≤ cle 11278  ℝ⁺crp 13016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-addrcl 11198  ax-rnegex 11208  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-rp 13017

This theorem is referenced by:  eirrlem  16223  prmreclem3  16939  prmreclem6  16942  cxprec  26665  cxpsqrt  26682  cxpcn3lem  26727  cxplim  26952  cxploglim2  26959  divsqrtsumlem  26960  divsqrtsumo1  26964  fsumharmonic  26992  zetacvg  26995  logfacubnd  27202  logfacbnd3  27204  bposlem1  27265  bposlem4  27268  bposlem7  27271  bposlem9  27273  2sqmod  27417  dchrmusum2  27475  dchrvmasumlem3  27480  dchrisum0flblem2  27490  dchrisum0fno1  27492  dchrisum0lema  27495  dchrisum0lem1b  27496  dchrisum0lem1  27497  dchrisum0lem2a  27498  dchrisum0lem2  27499  dchrisum0lem3  27500  chpdifbndlem2  27535  selberg3lem1  27538  pntrsumo1  27546  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem4  27561  pntrlog2bndlem6a  27563  pntpbnd2  27568  pntibndlem2  27572  pntlemb  27578  pntlemg  27579  pntlemh  27580  pntlemn  27581  pntlemr  27583  pntlemj  27584  pntlemf  27586  pntlemk  27587  pntlemo  27588  blocnilem  30752  ubthlem2  30819  minvecolem4  30828  eulerpartlemgc  34339  irrapxlem4  42814  irrapxlem5  42815  stirlinglem3  46063  stirlinglem15  46075  inlinecirc02plem  48680  amgmlemALT  49417