Theorem rprege0d 13175

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13168	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13172	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝcr 11203  0cc0 11204   ≤ cle 11348  ℝ⁺crp 13124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-addrcl 11265  ax-rnegex 11275  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-rp 13125

This theorem is used by:  eirrlem  16378  prmreclem3  17102  prmreclem6  17105  cxprec  27020  cxpsqrt  27037  cxpcn3lem  27081  cxplim  27305  cxploglim2  27312  divsqrtsumlem  27313  divsqrtsumo1  27317  fsumharmonic  27345  zetacvg  27348  logfacubnd  27554  logfacbnd3  27556  bposlem1  27617  bposlem4  27620  bposlem7  27623  bposlem9  27625  2sqmod  27769  dchrmusum2  27827  dchrvmasumlem3  27832  dchrisum0flblem2  27842  dchrisum0fno1  27844  dchrisum0lema  27847  dchrisum0lem1b  27848  dchrisum0lem1  27849  dchrisum0lem2a  27850  dchrisum0lem2  27851  dchrisum0lem3  27852  chpdifbndlem2  27887  selberg3lem1  27890  pntrsumo1  27898  pntrlog2bndlem2  27911  pntrlog2bndlem4  27913  pntrlog2bndlem6a  27915  pntpbnd2  27920  pntibndlem2  27924  pntlemb  27930  pntlemg  27931  pntlemh  27932  pntlemn  27933  pntlemr  27935  pntlemj  27936  pntlemf  27938  pntlemk  27939  pntlemo  27940  blocnilem  31412  ubthlem2  31479  minvecolem4  31488  eulerpartlemgc  35041  irrapxlem4  43926  irrapxlem5  43927  stirlinglem3  47180  stirlinglem15  47192  inlinecirc02plem  49992  amgmlemALT  51157