Theorem rprege0d 13164

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13157	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13161	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11192  0cc0 11193   ≤ cle 11337  ℝ⁺crp 13113

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-addrcl 11254  ax-rnegex 11264  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-rp 13114

This theorem is used by:  eirrlem  16365  prmreclem3  17089  prmreclem6  17092  cxprec  27007  cxpsqrt  27024  cxpcn3lem  27068  cxplim  27292  cxploglim2  27299  divsqrtsumlem  27300  divsqrtsumo1  27304  fsumharmonic  27332  zetacvg  27335  logfacubnd  27541  logfacbnd3  27543  bposlem1  27604  bposlem4  27607  bposlem7  27610  bposlem9  27612  2sqmod  27756  dchrmusum2  27814  dchrvmasumlem3  27819  dchrisum0flblem2  27829  dchrisum0fno1  27831  dchrisum0lema  27834  dchrisum0lem1b  27835  dchrisum0lem1  27836  dchrisum0lem2a  27837  dchrisum0lem2  27838  dchrisum0lem3  27839  chpdifbndlem2  27874  selberg3lem1  27877  pntrsumo1  27885  pntrlog2bndlem2  27898  pntrlog2bndlem4  27900  pntrlog2bndlem6a  27902  pntpbnd2  27907  pntibndlem2  27911  pntlemb  27917  pntlemg  27918  pntlemh  27919  pntlemn  27920  pntlemr  27922  pntlemj  27923  pntlemf  27925  pntlemk  27926  pntlemo  27927  blocnilem  31399  ubthlem2  31466  minvecolem4  31475  eulerpartlemgc  34987  irrapxlem4  43811  irrapxlem5  43812  stirlinglem3  47055  stirlinglem15  47067  inlinecirc02plem  49867  amgmlemALT  50957