Theorem rprege0d 12708

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12701	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12705	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ℝcr 10801  0cc0 10802   ≤ cle 10941  ℝ⁺crp 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-addrcl 10863  ax-rnegex 10873  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-rp 12660

This theorem is referenced by:  eirrlem  15841  prmreclem3  16547  prmreclem6  16550  cxprec  25746  cxpsqrt  25763  cxpcn3lem  25805  cxplim  26026  cxploglim2  26033  divsqrtsumlem  26034  divsqrtsumo1  26038  fsumharmonic  26066  zetacvg  26069  logfacubnd  26274  logfacbnd3  26276  bposlem1  26337  bposlem4  26340  bposlem7  26343  bposlem9  26345  2sqmod  26489  dchrmusum2  26547  dchrvmasumlem3  26552  dchrisum0flblem2  26562  dchrisum0fno1  26564  dchrisum0lema  26567  dchrisum0lem1b  26568  dchrisum0lem1  26569  dchrisum0lem2a  26570  dchrisum0lem2  26571  dchrisum0lem3  26572  chpdifbndlem2  26607  selberg3lem1  26610  pntrsumo1  26618  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem4  26633  pntrlog2bndlem6a  26635  pntpbnd2  26640  pntibndlem2  26644  pntlemb  26650  pntlemg  26651  pntlemh  26652  pntlemn  26653  pntlemr  26655  pntlemj  26656  pntlemf  26658  pntlemk  26659  pntlemo  26660  blocnilem  29067  ubthlem2  29134  minvecolem4  29143  eulerpartlemgc  32229  irrapxlem4  40563  irrapxlem5  40564  stirlinglem3  43507  stirlinglem15  43519  inlinecirc02plem  46020  amgmlemALT  46393