Theorem rprege0d 12947

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12940	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12944	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ℝcr 11016  0cc0 11017   ≤ cle 11158  ℝ⁺crp 12896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-addrcl 11078  ax-rnegex 11088  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-rp 12897

This theorem is referenced by:  eirrlem  16120  prmreclem3  16837  prmreclem6  16840  cxprec  26642  cxpsqrt  26659  cxpcn3lem  26704  cxplim  26929  cxploglim2  26936  divsqrtsumlem  26937  divsqrtsumo1  26941  fsumharmonic  26969  zetacvg  26972  logfacubnd  27179  logfacbnd3  27181  bposlem1  27242  bposlem4  27245  bposlem7  27248  bposlem9  27250  2sqmod  27394  dchrmusum2  27452  dchrvmasumlem3  27457  dchrisum0flblem2  27467  dchrisum0fno1  27469  dchrisum0lema  27472  dchrisum0lem1b  27473  dchrisum0lem1  27474  dchrisum0lem2a  27475  dchrisum0lem2  27476  dchrisum0lem3  27477  chpdifbndlem2  27512  selberg3lem1  27515  pntrsumo1  27523  pntrlog2bndlem2  27536  pntrlog2bndlem4  27538  pntrlog2bndlem6a  27540  pntpbnd2  27545  pntibndlem2  27549  pntlemb  27555  pntlemg  27556  pntlemh  27557  pntlemn  27558  pntlemr  27560  pntlemj  27561  pntlemf  27563  pntlemk  27564  pntlemo  27565  blocnilem  30805  ubthlem2  30872  minvecolem4  30881  eulerpartlemgc  34447  irrapxlem4  42982  irrapxlem5  42983  stirlinglem3  46236  stirlinglem15  46248  inlinecirc02plem  48948  amgmlemALT  49964