Theorem rprege0d 12984

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12977	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12981	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 516	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ℝcr 11028  0cc0 11029   ≤ cle 11171  ℝ⁺crp 12933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-addrcl 11090  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-rp 12934

This theorem is referenced by:  eirrlem  16162  prmreclem3  16880  prmreclem6  16883  cxprec  26668  cxpsqrt  26685  cxpcn3lem  26729  cxplim  26953  cxploglim2  26960  divsqrtsumlem  26961  divsqrtsumo1  26965  fsumharmonic  26993  zetacvg  26996  logfacubnd  27202  logfacbnd3  27204  bposlem1  27265  bposlem4  27268  bposlem7  27271  bposlem9  27273  2sqmod  27417  dchrmusum2  27475  dchrvmasumlem3  27480  dchrisum0flblem2  27490  dchrisum0fno1  27492  dchrisum0lema  27495  dchrisum0lem1b  27496  dchrisum0lem1  27497  dchrisum0lem2a  27498  dchrisum0lem2  27499  dchrisum0lem3  27500  chpdifbndlem2  27535  selberg3lem1  27538  pntrsumo1  27546  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem4  27561  pntrlog2bndlem6a  27563  pntpbnd2  27568  pntibndlem2  27572  pntlemb  27578  pntlemg  27579  pntlemh  27580  pntlemn  27581  pntlemr  27583  pntlemj  27584  pntlemf  27586  pntlemk  27587  pntlemo  27588  blocnilem  30893  ubthlem2  30960  minvecolem4  30969  eulerpartlemgc  34546  irrapxlem4  43270  irrapxlem5  43271  stirlinglem3  46519  stirlinglem15  46531  inlinecirc02plem  49277  amgmlemALT  50293