Theorem rprege0d 13025

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13018	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 13022	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ℝcr 11111  0cc0 11112   ≤ cle 11251  ℝ⁺crp 12976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-rp 12977

This theorem is referenced by:  eirrlem  16149  prmreclem3  16853  prmreclem6  16856  cxprec  26201  cxpsqrt  26218  cxpcn3lem  26262  cxplim  26483  cxploglim2  26490  divsqrtsumlem  26491  divsqrtsumo1  26495  fsumharmonic  26523  zetacvg  26526  logfacubnd  26731  logfacbnd3  26733  bposlem1  26794  bposlem4  26797  bposlem7  26800  bposlem9  26802  2sqmod  26946  dchrmusum2  27004  dchrvmasumlem3  27009  dchrisum0flblem2  27019  dchrisum0fno1  27021  dchrisum0lema  27024  dchrisum0lem1b  27025  dchrisum0lem1  27026  dchrisum0lem2a  27027  dchrisum0lem2  27028  dchrisum0lem3  27029  chpdifbndlem2  27064  selberg3lem1  27067  pntrsumo1  27075  pntrlog2bndlem2  27088  pntrlog2bndlem4  27090  pntrlog2bndlem6a  27092  pntpbnd2  27097  pntibndlem2  27101  pntlemb  27107  pntlemg  27108  pntlemh  27109  pntlemn  27110  pntlemr  27112  pntlemj  27113  pntlemf  27115  pntlemk  27116  pntlemo  27117  blocnilem  30095  ubthlem2  30162  minvecolem4  30171  eulerpartlemgc  33430  irrapxlem4  41645  irrapxlem5  41646  stirlinglem3  44871  stirlinglem15  44883  inlinecirc02plem  47550  amgmlemALT  47928