Theorem rprege0d 12439

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12432	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12436	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ℝcr 10536  0cc0 10537   ≤ cle 10676  ℝ⁺crp 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-addrcl 10598  ax-rnegex 10608  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-rp 12391

This theorem is referenced by:  eirrlem  15557  prmreclem3  16254  prmreclem6  16257  cxprec  25269  cxpsqrt  25286  cxpcn3lem  25328  cxplim  25549  cxploglim2  25556  divsqrtsumlem  25557  divsqrtsumo1  25561  fsumharmonic  25589  zetacvg  25592  logfacubnd  25797  logfacbnd3  25799  bposlem1  25860  bposlem4  25863  bposlem7  25866  bposlem9  25868  2sqmod  26012  dchrmusum2  26070  dchrvmasumlem3  26075  dchrisum0flblem2  26085  dchrisum0fno1  26087  dchrisum0lema  26090  dchrisum0lem1b  26091  dchrisum0lem1  26092  dchrisum0lem2a  26093  dchrisum0lem2  26094  dchrisum0lem3  26095  chpdifbndlem2  26130  selberg3lem1  26133  pntrsumo1  26141  pntrlog2bndlem2  26154  pntrlog2bndlem4  26156  pntrlog2bndlem6a  26158  pntpbnd2  26163  pntibndlem2  26167  pntlemb  26173  pntlemg  26174  pntlemh  26175  pntlemn  26176  pntlemr  26178  pntlemj  26179  pntlemf  26181  pntlemk  26182  pntlemo  26183  blocnilem  28581  ubthlem2  28648  minvecolem4  28657  eulerpartlemgc  31620  irrapxlem4  39471  irrapxlem5  39472  stirlinglem3  42410  stirlinglem15  42422  inlinecirc02plem  44822  amgmlemALT  44953