Theorem rprege0d 12956

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12949	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12953	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝcr 11025  0cc0 11026   ≤ cle 11167  ℝ⁺crp 12905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-addrcl 11087  ax-rnegex 11097  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-rp 12906

This theorem is referenced by:  eirrlem  16129  prmreclem3  16846  prmreclem6  16849  cxprec  26651  cxpsqrt  26668  cxpcn3lem  26713  cxplim  26938  cxploglim2  26945  divsqrtsumlem  26946  divsqrtsumo1  26950  fsumharmonic  26978  zetacvg  26981  logfacubnd  27188  logfacbnd3  27190  bposlem1  27251  bposlem4  27254  bposlem7  27257  bposlem9  27259  2sqmod  27403  dchrmusum2  27461  dchrvmasumlem3  27466  dchrisum0flblem2  27476  dchrisum0fno1  27478  dchrisum0lema  27481  dchrisum0lem1b  27482  dchrisum0lem1  27483  dchrisum0lem2a  27484  dchrisum0lem2  27485  dchrisum0lem3  27486  chpdifbndlem2  27521  selberg3lem1  27524  pntrsumo1  27532  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem6a  27549  pntpbnd2  27554  pntibndlem2  27558  pntlemb  27564  pntlemg  27565  pntlemh  27566  pntlemn  27567  pntlemr  27569  pntlemj  27570  pntlemf  27572  pntlemk  27573  pntlemo  27574  blocnilem  30879  ubthlem2  30946  minvecolem4  30955  eulerpartlemgc  34519  irrapxlem4  43067  irrapxlem5  43068  stirlinglem3  46320  stirlinglem15  46332  inlinecirc02plem  49032  amgmlemALT  50048