MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv2ad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lediv2ad 13078
Description: Division of both sides of 'less than or equal to' into a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
lediv2ad.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lediv2ad.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lediv2ad.5 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
lediv2ad (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))

Proof of Theorem lediv2ad
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpregt0d 13062 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
3 rpaddcld.1 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
43rpregt0d 13062 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5 lediv2ad.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 lediv2ad.4 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
75, 6jca 510 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
8 lediv2ad.5 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
9 lediv2a 12146 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))
102, 4, 7, 8, 9syl31anc 1370 1 (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  cr 11145  0cc0 11146   < clt 11286  cle 11287   / cdiv 11909  +crp 13014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-rp 13015
This theorem is referenced by:  rlimno1  15640  lgamgulmlem2  26982  lgamgulmlem3  26983  lgamgulmlem5  26985  selberg3lem2  27511  pntrlog2bndlem2  27531  pntrlog2bndlem6a  27535  pntrlog2bnd  27537  aks4d1p1p7  41577  aks4d1p6  41584  ioodvbdlimc1lem2  45349  ioodvbdlimc2lem  45351  stirlinglem1  45491  stirlinglem10  45500  fourierdlem30  45554
  Copyright terms: Public domain W3C validator