Theorem lediv2ad 13078

Description: Division of both sides of 'less than or equal to' into a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
lediv2ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lediv2ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lediv2ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lediv2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))

Proof of Theorem lediv2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpregt0d 13062	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
3		rpaddcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 13062	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5		lediv2ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lediv2ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
7	5, 6	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
8		lediv2ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
9		lediv2a 12141	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))
10	2, 4, 7, 8, 9	syl31anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134   < clt 11274   ≤ cle 11275   / cdiv 11899  ℝ⁺crp 13013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-rp 13014

This theorem is referenced by:  rlimno1  15675  lgamgulmlem2  26997  lgamgulmlem3  26998  lgamgulmlem5  27000  selberg3lem2  27526  pntrlog2bndlem2  27546  pntrlog2bndlem6a  27550  pntrlog2bnd  27552  aks4d1p1p7  42092  aks4d1p6  42099  ioodvbdlimc1lem2  45928  ioodvbdlimc2lem  45930  stirlinglem1  46070  stirlinglem10  46079  fourierdlem30  46133