Theorem lediv2ad 13213

Description: Division of both sides of 'less than or equal to' into a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
lediv2ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lediv2ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lediv2ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lediv2ad	⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))

Proof of Theorem lediv2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpregt0d 13197	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
3		rpaddcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 13197	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5		lediv2ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lediv2ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
7	5, 6	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
8		lediv2ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
9		lediv2a 12238	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))
10	2, 4, 7, 8, 9	syl31anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227   < clt 11370   ≤ cle 11371   / cdiv 12000  ℝ⁺crp 13147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-rp 13148

This theorem is used by:  rlimno1  15850  lgamgulmlem2  27387  lgamgulmlem3  27388  lgamgulmlem5  27390  selberg3lem2  27915  pntrlog2bndlem2  27935  pntrlog2bndlem6a  27939  pntrlog2bnd  27941  aks4d1p1p7  43316  aks4d1p6  43323  ioodvbdlimc1lem2  47147  ioodvbdlimc2lem  47149  stirlinglem1  47289  stirlinglem10  47298  fourierdlem30  47352