MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem1 25510
Description: Lemma for dchrisum0 25514. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
dchrisum0.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝑦,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥,𝑦   𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑆,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊   𝑚,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑚,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎,𝑑)   𝑆(𝑎)   1 (𝑎,𝑑)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑁(𝑎,𝑑)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑍(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem1
StepHypRef Expression
1 fzfid 12985 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2 fzfid 12985 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∈ Fin)
3 fzfid 12985 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ∈ Fin)
4 elfznn 12582 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
5 elfzuz 12550 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))
64, 5anim12i 606 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))))
76a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))))
8 elfzuz 12550 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))
9 elfznn 12582 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) → 𝑑 ∈ ℕ)
108, 9anim12ci 607 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))))
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))))
12 eluzelz 11901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
1312ad2antll 720 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
1413zred 11734 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℝ)
15 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
16 2z 11661 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
17 rpexpcl 13091 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
1815, 16, 17sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
1918rpred 12075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
2019adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
21 simprl 787 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℕ)
2221nnrpd 12073 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2314, 20, 22lemuldivd 12124 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 · 𝑑) ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑)))
2421nnred 11295 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
2515rprege0d 12082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
26 flge0nn0 12834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
27 nn0p1nn 11583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
2928adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
30 simprr 789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))
31 eluznn 11964 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
3229, 30, 31syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
3332nnrpd 12073 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
3424, 20, 33lemuldiv2d 12125 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 · 𝑑) ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
3523, 34bitr3d 272 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
36 rpcn 12045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
3736adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
3837sqvald 13217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) = (𝑥 · 𝑥))
3938adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) = (𝑥 · 𝑥))
40 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4140rpred 12075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 reflcl 12810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
43 peano2re 10467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
45 fllep1 12815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
4641, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
47 eluzle 11904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ 𝑚)
4847ad2antll 720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ 𝑚)
4941, 44, 14, 46, 48letrd 10452 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥𝑚)
5041, 14, 40lemul1d 12118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥𝑚 ↔ (𝑥 · 𝑥) ≤ (𝑚 · 𝑥)))
5149, 50mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥 · 𝑥) ≤ (𝑚 · 𝑥))
5239, 51eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ≤ (𝑚 · 𝑥))
5320, 41, 33ledivmuld 12128 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥 ↔ (𝑥↑2) ≤ (𝑚 · 𝑥)))
5452, 53mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥)
55 nnre 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℝ)
5655ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
5720, 32nndivred 11330 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ)
58 letr 10389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥) → 𝑑𝑥))
5956, 57, 41, 58syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥) → 𝑑𝑥))
6054, 59mpan2d 685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) → 𝑑𝑥))
6135, 60sylbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) → 𝑑𝑥))
6261pm4.71rd 558 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ (𝑑𝑥𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑))))
63 nnge1 11307 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑑)
6463ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 1 ≤ 𝑑)
65 1re 10297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
66 0lt1 10808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
6765, 66pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
6922rpregt0d 12081 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑑))
7018adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
7170rpregt0d 12081 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥↑2)))
72 lediv2 11171 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑑) ∧ ((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥↑2))) → (1 ≤ 𝑑 ↔ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ ((𝑥↑2) / 1)))
7368, 69, 71, 72syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (1 ≤ 𝑑 ↔ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ ((𝑥↑2) / 1)))
7464, 73mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ ((𝑥↑2) / 1))
7520recnd 10326 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
7675div1d 11051 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 1) = (𝑥↑2))
7774, 76breqtrd 4837 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ (𝑥↑2))
78 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑑 ∈ ℕ)
79 nndivre 11317 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ)
8019, 78, 79syl2an 589 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ)
81 letr 10389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8214, 80, 20, 81syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8377, 82mpan2d 685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8435, 83sylbird 251 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8584pm4.71rd 558 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) ↔ (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
8635, 62, 853bitr3d 300 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑𝑥𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑)) ↔ (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
87 fznnfl 12874 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
8887baibd 535 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ 𝑑𝑥))
8941, 21, 88syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ 𝑑𝑥))
9080flcld 12812 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ ℤ)
91 elfz5 12546 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) ∧ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
9230, 90, 91syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
93 flge 12819 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
9480, 13, 93syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
9592, 94bitr4d 273 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ↔ 𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑)))
9689, 95anbi12d 624 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑑𝑥𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑))))
9720flcld 12812 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (⌊‘(𝑥↑2)) ∈ ℤ)
98 elfz5 12546 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) ∧ (⌊‘(𝑥↑2)) ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
9930, 97, 98syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
100 flge 12819 . . . . . . . . . 10 (((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
10120, 13, 100syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
10299, 101bitr4d 273 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ↔ 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
103 fznnfl 12874 . . . . . . . . . 10 (((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
104103baibd 535 . . . . . . . . 9 ((((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
10557, 21, 104syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
106102, 105anbi12d 624 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ↔ (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
10786, 96, 1063bitr4d 302 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
108107ex 401 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))))
1097, 11, 108pm5.21ndd 370 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
110 ssun2 3941 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ⊆ ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
11128adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
112 nnuz 11928 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
113111, 112syl6eleq 2854 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1))
114 dchrisum0lem1a 25480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∧ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥))))
115114simprd 489 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥)))
116 fzsplit2 12578 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))))
117113, 115, 116syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))))
118110, 117syl5sseqr 3816 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ⊆ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
119118sselda 3763 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
120 rpvmasum2.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChr‘𝑁)
121 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
122 rpvmasum2.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
123 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
124 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
125 ssrab2 3849 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
126124, 125eqsstri 3797 . . . . . . . . . . . 12 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
127 dchrisum0.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑊)
128126, 127sseldi 3761 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
129128eldifad 3746 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐷)
130129ad3antrrr 721 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑋𝐷)
131 elfzelz 12554 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
132131adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
133120, 121, 122, 123, 130, 132dchrzrhcl 25275 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
134 elfznn 12582 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
135134adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
136135nnrpd 12073 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
137136rpsqrtcld 14449 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
138137rpcnd 12077 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑚) ∈ ℂ)
139137rpne0d 12080 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑚) ≠ 0)
140133, 138, 139divcld 11059 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
1414adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
142141nnrpd 12073 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
143142rpsqrtcld 14449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑑) ∈ ℝ+)
144143rpcnne0d 12084 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0))
145144adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → ((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0))
146145simpld 488 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑑) ∈ ℂ)
147145simprd 489 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑑) ≠ 0)
148140, 146, 147divcld 11059 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
149119, 148syldan 585 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
150149anasss 458 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
1511, 2, 3, 109, 150fsumcom2 14804 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
152151mpteq2dva 4905 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
15365a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
154 2cn 11351 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
15515rpsqrtcld 14449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
156155rpcnd 12077 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
157 mulcl 10277 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
158154, 156, 157sylancr 581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
159143rprecred 12086 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑑)) ∈ ℝ)
1601, 159fsumrecl 14764 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) ∈ ℝ)
161160recnd 10326 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
162161, 158subcld 10650 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℂ)
163 2re 11350 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
164 dchrisum0.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
165 elrege0 12487 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
166164, 165sylib 209 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
167166simpld 488 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
168 remulcl 10278 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
169163, 167, 168sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
170169adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
171170, 155rerpdivcld 12106 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
172171recnd 10326 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
173158, 162, 172adddird 10323 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((2 · (√‘𝑥)) + (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
174158, 161pncan3d 10653 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) + (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)))
175174oveq1d 6861 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((2 · (√‘𝑥)) + (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
176 2cnd 11354 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
177176, 156, 172mulassd 10321 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (2 · ((√‘𝑥) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
178170recnd 10326 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
179155rpne0d 12080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ≠ 0)
180178, 156, 179divcan2d 11061 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (2 · 𝐶))
181180oveq2d 6862 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · ((√‘𝑥) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) = (2 · (2 · 𝐶)))
182177, 181eqtrd 2799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (2 · (2 · 𝐶)))
183182oveq1d 6861 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) = ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
184173, 175, 1833eqtr3d 2807 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
185184mpteq2dva 4905 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))))
186 remulcl 10278 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℝ)
187163, 169, 186sylancr 581 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℝ)
188187recnd 10326 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℂ)
189188adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℂ)
190162, 172mulcld 10318 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℂ)
191 rpssre 12040 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
192 o1const 14649 . . . . . 6 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (2 · 𝐶))) ∈ 𝑂(1))
193191, 188, 192sylancr 581 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (2 · 𝐶))) ∈ 𝑂(1))
194 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))))
195194divsqrsum 25013 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ dom ⇝𝑟
196 rlimdmo1 14647 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ dom ⇝𝑟 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
197195, 196mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
198178, 156, 179divrecd 11062 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) = ((2 · 𝐶) · (1 / (√‘𝑥))))
199198mpteq2dva 4905 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) · (1 / (√‘𝑥)))))
200155rprecred 12086 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
201169recnd 10326 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
202 rlimconst 14574 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · 𝐶)) ⇝𝑟 (2 · 𝐶))
203191, 201, 202sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · 𝐶)) ⇝𝑟 (2 · 𝐶))
204 sqrtlim 25004 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0
205204a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
206170, 200, 203, 205rlimmul 14674 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) · (1 / (√‘𝑥)))) ⇝𝑟 ((2 · 𝐶) · 0))
207199, 206eqbrtrd 4833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 ((2 · 𝐶) · 0))
208 rlimo1 14646 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 ((2 · 𝐶) · 0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
209207, 208syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
210162, 172, 197, 209o1mul2 14654 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
211189, 190, 193, 210o1add2 14653 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
212185, 211eqeltrd 2844 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
213160, 171remulcld 10328 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℝ)
2143, 149fsumcl 14763 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
2151, 214fsumcl 14763 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
216215abscld 14474 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ ℝ)
217213recnd 10326 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℂ)
218217abscld 14474 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
219214abscld 14474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ ℝ)
2201, 219fsumrecl 14764 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ ℝ)
2211, 214fsumabs 14831 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
222171adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
223159, 222remulcld 10328 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℝ)
224119, 140syldan 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
2253, 224fsumcl 14763 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
226225abscld 14474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ ℝ)
227 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
228 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (0g𝐺)
229 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
230 dchrisum0.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
231 dchrisum0.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
232121, 123, 227, 120, 122, 228, 124, 127, 229, 164, 230, 231dchrisum0lem1b 25509 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ≤ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))
233226, 222, 143, 232lediv1dd 12133 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (√‘𝑑)) ≤ (((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) / (√‘𝑑)))
234143rpcnd 12077 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑑) ∈ ℂ)
235143rpne0d 12080 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑑) ≠ 0)
236225, 234, 235absdivd 14493 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) = ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (abs‘(√‘𝑑))))
2373, 234, 224, 235fsumdivc 14816 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
238237fveq2d 6383 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) = (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
239143rprege0d 12082 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑑) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑑)))
240 absid 14335 . . . . . . . . . . . 12 (((√‘𝑑) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑑)) → (abs‘(√‘𝑑)) = (√‘𝑑))
241239, 240syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(√‘𝑑)) = (√‘𝑑))
242241oveq2d 6862 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (abs‘(√‘𝑑))) = ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (√‘𝑑)))
243236, 238, 2423eqtr3rd 2808 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (√‘𝑑)) = (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
244172adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
245244, 234, 235divrec2d 11063 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) / (√‘𝑑)) = ((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
246233, 243, 2453brtr3d 4842 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ ((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
2471, 219, 223, 246fsumle 14829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
248159recnd 10326 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
2491, 172, 248fsummulc1 14815 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
250247, 249breqtrrd 4839 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
251216, 220, 213, 221, 250letrd 10452 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
252213leabsd 14452 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ≤ (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
253216, 213, 218, 251, 252letrd 10452 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
254253adantrr 708 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
255153, 212, 213, 215, 254o1le 14682 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
256152, 255eqeltrrd 2845 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  {crab 3059  cdif 3731  cun 3732  wss 3734  {csn 4336   class class class wbr 4811  cmpt 4890  dom cdm 5279  cfv 6070  (class class class)co 6846  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198  +∞cpnf 10329   < clt 10332  cle 10333  cmin 10524   / cdiv 10942  cn 11278  2c2 11331  0cn0 11542  cz 11628  cuz 11891  +crp 12033  [,)cico 12384  ...cfz 12538  cfl 12804  seqcseq 13013  cexp 13072  csqrt 14272  abscabs 14273  cli 14514  𝑟 crli 14515  𝑂(1)co1 14516  Σcsu 14715  Basecbs 16144  0gc0g 16380  ℤRHomczrh 20135  ℤ/nczn 20138  DChrcdchr 25262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-tpos 7559  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-ec 7953  df-qs 7957  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ioc 12387  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-mod 12882  df-seq 13014  df-exp 13073  df-fac 13270  df-bc 13299  df-hash 13327  df-shft 14106  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-limsup 14501  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-o1 14520  df-lo1 14521  df-sum 14716  df-ef 15094  df-sin 15096  df-cos 15097  df-pi 15099  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-hom 16252  df-cco 16253  df-rest 16363  df-topn 16364  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-topgen 16384  df-pt 16385  df-prds 16388  df-xrs 16442  df-qtop 16447  df-imas 16448  df-qus 16449  df-xps 16450  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-mhm 17615  df-submnd 17616  df-grp 17706  df-minusg 17707  df-sbg 17708  df-mulg 17822  df-subg 17869  df-nsg 17870  df-eqg 17871  df-ghm 17936  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-abl 18476  df-mgp 18771  df-ur 18783  df-ring 18830  df-cring 18831  df-oppr 18904  df-dvdsr 18922  df-unit 18923  df-rnghom 18998  df-subrg 19061  df-lmod 19148  df-lss 19216  df-lsp 19258  df-sra 19460  df-rgmod 19461  df-lidl 19462  df-rsp 19463  df-2idl 19520  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-fbas 20030  df-fg 20031  df-cnfld 20034  df-zring 20106  df-zrh 20139  df-zn 20142  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cld 21117  df-ntr 21118  df-cls 21119  df-nei 21196  df-lp 21234  df-perf 21235  df-cn 21325  df-cnp 21326  df-haus 21413  df-cmp 21484  df-tx 21659  df-hmeo 21852  df-fil 21943  df-fm 22035  df-flim 22036  df-flf 22037  df-xms 22418  df-ms 22419  df-tms 22420  df-cncf 22974  df-limc 23935  df-dv 23936  df-log 24608  df-cxp 24609  df-dchr 25263
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  25513
  Copyright terms: Public domain W3C validator