MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem1 26880
Description: Lemma for dchrisum0 26884. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
rpvmasum2.w π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
dchrisum0.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
dchrisum0.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / (βˆšβ€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦, 1   π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐢   𝐹,𝑑,π‘₯,𝑦   π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝑁,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑆,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘Š   π‘š,𝑍,π‘₯,𝑦   𝐷,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐿,π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐢(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž,𝑑)   𝑆(π‘Ž)   1 (π‘Ž,𝑑)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝑁(π‘Ž,𝑑)   π‘Š(𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝑍(π‘Ž,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem1
StepHypRef Expression
1 fzfid 13885 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
2 fzfid 13885 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) ∈ Fin)
3 fzfid 13885 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))) ∈ Fin)
4 elfznn 13477 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
5 elfzuz 13444 . . . . . . 7 (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))
64, 5anim12i 614 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1))))
76a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))))
8 elfzuz 13444 . . . . . . 7 (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))
9 elfznn 13477 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
108, 9anim12ci 615 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1))))
1110a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))))
12 eluzelz 12780 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)) β†’ π‘š ∈ β„€)
1312ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ π‘š ∈ β„€)
1413zred 12614 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ π‘š ∈ ℝ)
15 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
16 2z 12542 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„€
17 rpexpcl 13993 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
1815, 16, 17sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
1918rpred 12964 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ)
2019adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ)
21 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
2221nnrpd 12962 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
2314, 20, 22lemuldivd 13013 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((π‘š Β· 𝑑) ≀ (π‘₯↑2) ↔ π‘š ≀ ((π‘₯↑2) / 𝑑)))
2421nnred 12175 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
2515rprege0d 12971 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
26 flge0nn0 13732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
27 nn0p1nn 12459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•)
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•)
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•)
30 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))
31 eluznn 12850 . . . . . . . . . . . 12 ((((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1))) β†’ π‘š ∈ β„•)
3229, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
3332nnrpd 12962 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
3424, 20, 33lemuldiv2d 13014 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((π‘š Β· 𝑑) ≀ (π‘₯↑2) ↔ 𝑑 ≀ ((π‘₯↑2) / π‘š)))
3523, 34bitr3d 281 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘š ≀ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ↔ 𝑑 ≀ ((π‘₯↑2) / π‘š)))
36 rpcn 12932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3736adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3837sqvald 14055 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑2) = (π‘₯ Β· π‘₯))
3938adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘₯↑2) = (π‘₯ Β· π‘₯))
40 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
4140rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
42 reflcl 13708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
43 peano2re 11335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ ℝ)
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ ℝ)
45 fllep1 13713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1))
4641, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ π‘₯ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1))
47 eluzle 12783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ≀ π‘š)
4847ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ≀ π‘š)
4941, 44, 14, 46, 48letrd 11319 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ π‘₯ ≀ π‘š)
5041, 14, 40lemul1d 13007 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘₯ ≀ π‘š ↔ (π‘₯ Β· π‘₯) ≀ (π‘š Β· π‘₯)))
5149, 50mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘₯ Β· π‘₯) ≀ (π‘š Β· π‘₯))
5239, 51eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘₯↑2) ≀ (π‘š Β· π‘₯))
5320, 41, 33ledivmuld 13017 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (((π‘₯↑2) / π‘š) ≀ π‘₯ ↔ (π‘₯↑2) ≀ (π‘š Β· π‘₯)))
5452, 53mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((π‘₯↑2) / π‘š) ≀ π‘₯)
55 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ β„• β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
5655ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
5720, 32nndivred 12214 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ)
58 letr 11256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ ((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑑 ≀ ((π‘₯↑2) / π‘š) ∧ ((π‘₯↑2) / π‘š) ≀ π‘₯) β†’ 𝑑 ≀ π‘₯))
5956, 57, 41, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((𝑑 ≀ ((π‘₯↑2) / π‘š) ∧ ((π‘₯↑2) / π‘š) ≀ π‘₯) β†’ 𝑑 ≀ π‘₯))
6054, 59mpan2d 693 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (𝑑 ≀ ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ 𝑑 ≀ π‘₯))
6135, 60sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘š ≀ ((π‘₯↑2) / 𝑑) β†’ 𝑑 ≀ π‘₯))
6261pm4.71rd 564 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘š ≀ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ↔ (𝑑 ≀ π‘₯ ∧ π‘š ≀ ((π‘₯↑2) / 𝑑))))
63 nnge1 12188 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑑)
6463ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ 1 ≀ 𝑑)
65 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
66 0lt1 11684 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
6765, 66pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
6822rpregt0d 12970 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑑))
6918adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
7069rpregt0d 12970 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘₯↑2)))
71 lediv2 12052 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑑) ∧ ((π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘₯↑2))) β†’ (1 ≀ 𝑑 ↔ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ≀ ((π‘₯↑2) / 1)))
7267, 68, 70, 71mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (1 ≀ 𝑑 ↔ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ≀ ((π‘₯↑2) / 1)))
7364, 72mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ≀ ((π‘₯↑2) / 1))
7420recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘₯↑2) ∈ β„‚)
7574div1d 11930 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((π‘₯↑2) / 1) = (π‘₯↑2))
7673, 75breqtrd 5136 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ≀ (π‘₯↑2))
77 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
78 nndivre 12201 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ∈ ℝ)
7919, 77, 78syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ∈ ℝ)
80 letr 11256 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘š ∈ ℝ ∧ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ∈ ℝ ∧ (π‘₯↑2) ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ≀ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ∧ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ≀ (π‘₯↑2)) β†’ π‘š ≀ (π‘₯↑2)))
8114, 79, 20, 80syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((π‘š ≀ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ∧ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ≀ (π‘₯↑2)) β†’ π‘š ≀ (π‘₯↑2)))
8276, 81mpan2d 693 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘š ≀ ((π‘₯↑2) / 𝑑) β†’ π‘š ≀ (π‘₯↑2)))
8335, 82sylbird 260 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (𝑑 ≀ ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ π‘š ≀ (π‘₯↑2)))
8483pm4.71rd 564 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (𝑑 ≀ ((π‘₯↑2) / π‘š) ↔ (π‘š ≀ (π‘₯↑2) ∧ 𝑑 ≀ ((π‘₯↑2) / π‘š))))
8535, 62, 843bitr3d 309 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((𝑑 ≀ π‘₯ ∧ π‘š ≀ ((π‘₯↑2) / 𝑑)) ↔ (π‘š ≀ (π‘₯↑2) ∧ 𝑑 ≀ ((π‘₯↑2) / π‘š))))
86 fznnfl 13774 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ π‘₯)))
8786baibd 541 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ 𝑑 ≀ π‘₯))
8841, 21, 87syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ 𝑑 ≀ π‘₯))
8979flcld 13710 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)) ∈ β„€)
90 elfz5 13440 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)) ∧ (βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)) ∈ β„€) β†’ (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))) ↔ π‘š ≀ (βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))))
9130, 89, 90syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))) ↔ π‘š ≀ (βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))))
92 flge 13717 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯↑2) / 𝑑) ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (π‘š ≀ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ↔ π‘š ≀ (βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))))
9379, 13, 92syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘š ≀ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ↔ π‘š ≀ (βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))))
9491, 93bitr4d 282 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))) ↔ π‘š ≀ ((π‘₯↑2) / 𝑑)))
9588, 94anbi12d 632 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑑 ≀ π‘₯ ∧ π‘š ≀ ((π‘₯↑2) / 𝑑))))
9620flcld 13710 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)) ∈ β„€)
97 elfz5 13440 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)) ∧ (βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)) ∈ β„€) β†’ (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) ↔ π‘š ≀ (βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))))
9830, 96, 97syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) ↔ π‘š ≀ (βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))))
99 flge 13717 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (π‘š ≀ (π‘₯↑2) ↔ π‘š ≀ (βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))))
10020, 13, 99syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘š ≀ (π‘₯↑2) ↔ π‘š ≀ (βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))))
10198, 100bitr4d 282 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) ↔ π‘š ≀ (π‘₯↑2)))
102 fznnfl 13774 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ ((π‘₯↑2) / π‘š))))
103102baibd 541 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ↔ 𝑑 ≀ ((π‘₯↑2) / π‘š)))
10457, 21, 103syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ↔ 𝑑 ≀ ((π‘₯↑2) / π‘š)))
105101, 104anbi12d 632 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) ↔ (π‘š ≀ (π‘₯↑2) ∧ 𝑑 ≀ ((π‘₯↑2) / π‘š))))
10685, 95, 1053bitr4d 311 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)))) β†’ ((𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) ↔ (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
107106ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑑 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1))) β†’ ((𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) ↔ (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))))
1087, 11, 107pm5.21ndd 381 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) ↔ (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
109 ssun2 4138 . . . . . . . 8 (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))) βŠ† ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆͺ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))))
11028adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•)
111 nnuz 12813 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
112110, 111eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
113 dchrisum0lem1a 26850 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ≀ ((π‘₯↑2) / 𝑑) ∧ (βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯))))
114113simprd 497 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
115 fzsplit2 13473 . . . . . . . . 9 ((((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))) = ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆͺ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))))
116112, 114, 115syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))) = ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆͺ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))))
117109, 116sseqtrrid 4002 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))))
118117sselda 3949 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))))
119 rpvmasum2.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
120 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
121 rpvmasum2.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
122 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
123 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . 13 π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
124123ssrab3 4045 . . . . . . . . . . . 12 π‘Š βŠ† (𝐷 βˆ– { 1 })
125 dchrisum0.b . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
126124, 125sselid 3947 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }))
127126eldifad 3927 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
128127ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
129 elfzelz 13448 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„€)
130129adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„€)
131119, 120, 121, 122, 128, 130dchrzrhcl 26609 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
132 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„•)
133132adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
134133nnrpd 12962 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
135134rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
136135rpcnd 12966 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
137135rpne0d 12969 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)
138131, 136, 137divcld 11938 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
1394adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
140139nnrpd 12962 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
141140rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) ∈ ℝ+)
142141rpcnne0d 12973 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0))
143142adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0))
144143simpld 496 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
145143simprd 497 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0)
146138, 144, 145divcld 11938 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
147118, 146syldan 592 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
148147anasss 468 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑))))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
1491, 2, 3, 108, 148fsumcom2 15666 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)))
150149mpteq2dva 5210 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))))
15165a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
152 2cn 12235 . . . . . . . 8 2 ∈ β„‚
15315rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
154153rpcnd 12966 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
155 mulcl 11142 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
156152, 154, 155sylancr 588 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
157141rprecred 12975 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
1581, 157fsumrecl 15626 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
159158recnd 11190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
160159, 156subcld 11519 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
161 2re 12234 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
162 dchrisum0.c . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
163 elrege0 13378 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢))
164162, 163sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢))
165164simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
166 remulcl 11143 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ (2 Β· 𝐢) ∈ ℝ)
167161, 165, 166sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) ∈ ℝ)
168167adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· 𝐢) ∈ ℝ)
169168, 153rerpdivcld 12995 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
170169recnd 11190 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
171156, 160, 170adddird 11187 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) + (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) = (((2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)))))
172156, 159pncan3d 11522 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) + (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)))
173172oveq1d 7377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) + (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))))
174 2cnd 12238 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
175174, 154, 170mulassd 11185 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) = (2 Β· ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)))))
176168recnd 11190 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
177153rpne0d 12969 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0)
178176, 154, 177divcan2d 11940 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) = (2 Β· 𝐢))
179178oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· ((βˆšβ€˜π‘₯) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)))) = (2 Β· (2 Β· 𝐢)))
180175, 179eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) = (2 Β· (2 Β· 𝐢)))
181180oveq1d 7377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)))) = ((2 Β· (2 Β· 𝐢)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)))))
182171, 173, 1813eqtr3d 2785 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) = ((2 Β· (2 Β· 𝐢)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)))))
183182mpteq2dva 5210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((2 Β· (2 Β· 𝐢)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))))))
184 remulcl 11143 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 Β· 𝐢) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (2 Β· 𝐢)) ∈ ℝ)
185161, 167, 184sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (2 Β· 𝐢)) ∈ ℝ)
186185recnd 11190 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· (2 Β· 𝐢)) ∈ β„‚)
187186adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (2 Β· 𝐢)) ∈ β„‚)
188160, 170mulcld 11182 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
189 rpssre 12929 . . . . . 6 ℝ+ βŠ† ℝ
190 o1const 15509 . . . . . 6 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (2 Β· (2 Β· 𝐢)) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (2 Β· 𝐢))) ∈ 𝑂(1))
191189, 186, 190sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (2 Β· 𝐢))) ∈ 𝑂(1))
192 eqid 2737 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
193192divsqrsum 26347 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))) ∈ dom β‡π‘Ÿ
194 rlimdmo1 15507 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))) ∈ dom β‡π‘Ÿ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
195193, 194mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
196176, 154, 177divrecd 11941 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)) = ((2 Β· 𝐢) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))))
197196mpteq2dva 5210 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((2 Β· 𝐢) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))))
198153rprecred 12975 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
199167recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
200 rlimconst 15433 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (2 Β· 𝐢) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· 𝐢)) β‡π‘Ÿ (2 Β· 𝐢))
201189, 199, 200sylancr 588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· 𝐢)) β‡π‘Ÿ (2 Β· 𝐢))
202 sqrtlim 26338 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 0
203202a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 0)
204168, 198, 201, 203rlimmul 15535 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((2 Β· 𝐢) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ ((2 Β· 𝐢) Β· 0))
205197, 204eqbrtrd 5132 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ ((2 Β· 𝐢) Β· 0))
206 rlimo1 15506 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ ((2 Β· 𝐢) Β· 0) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
207205, 206syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
208160, 170, 195, 207o1mul2 15514 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
209187, 188, 191, 208o1add2 15513 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((2 Β· (2 Β· 𝐢)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑂(1))
210183, 209eqeltrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
211158, 169remulcld 11192 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
2123, 147fsumcl 15625 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
2131, 212fsumcl 15625 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
214213abscld 15328 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
215211recnd 11190 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
216215abscld 15328 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)))) ∈ ℝ)
217212abscld 15328 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
2181, 217fsumrecl 15626 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
2191, 212fsumabs 15693 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ≀ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))))
220169adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
221157, 220remulcld 11192 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
222118, 138syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
2233, 222fsumcl 15625 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
224223abscld 15328 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) ∈ ℝ)
225 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
226 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (0gβ€˜πΊ)
227 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
228 dchrisum0.s . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
229 dchrisum0.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / (βˆšβ€˜π‘¦)))
230120, 122, 225, 119, 121, 226, 123, 125, 227, 162, 228, 229dchrisum0lem1b 26879 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) ≀ ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)))
231224, 220, 141, 230lediv1dd 13022 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ≀ (((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)) / (βˆšβ€˜π‘‘)))
232141rpcnd 12966 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
233141rpne0d 12969 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0)
234223, 232, 233absdivd 15347 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) = ((absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) / (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘‘))))
2353, 232, 222, 233fsumdivc 15678 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)))
236235fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) = (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))))
237141rprege0d 12971 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜π‘‘)))
238 absid 15188 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆšβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜π‘‘)) β†’ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘‘)) = (βˆšβ€˜π‘‘))
239237, 238syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘‘)) = (βˆšβ€˜π‘‘))
240239oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) / (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘‘))) = ((absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) / (βˆšβ€˜π‘‘)))
241234, 236, 2403eqtr3rd 2786 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))))
242170adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
243242, 232, 233divrec2d 11942 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = ((1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))))
244231, 241, 2433brtr3d 5141 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ≀ ((1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))))
2451, 217, 221, 244fsumle 15691 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ≀ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))))
246157recnd 11190 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
2471, 170, 246fsummulc1 15677 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))))
248245, 247breqtrrd 5138 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ≀ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))))
249214, 218, 211, 219, 248letrd 11319 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ≀ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))))
250211leabsd 15306 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ (absβ€˜(Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)))))
251214, 211, 216, 249, 250letrd 11319 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ≀ (absβ€˜(Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)))))
252251adantrr 716 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ≀ (absβ€˜(Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) Β· ((2 Β· 𝐢) / (βˆšβ€˜π‘₯)))))
253151, 210, 211, 213, 252o1le 15544 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1))
254150, 253eqeltrrd 2839 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  {crab 3410   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  [,)cico 13273  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974  βˆšcsqrt 15125  abscabs 15126   ⇝ cli 15373   β‡π‘Ÿ crli 15374  π‘‚(1)co1 15375  Ξ£csu 15577  Basecbs 17090  0gc0g 17328  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  26883
  Copyright terms: Public domain W3C validator