MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem1 26864
Description: Lemma for dchrisum0 26868. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
dchrisum0.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝑦,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥,𝑦   𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑆,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊   𝑚,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑚,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎,𝑑)   𝑆(𝑎)   1 (𝑎,𝑑)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑁(𝑎,𝑑)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑍(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem1
StepHypRef Expression
1 fzfid 13878 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2 fzfid 13878 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∈ Fin)
3 fzfid 13878 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ∈ Fin)
4 elfznn 13470 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
5 elfzuz 13437 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))
64, 5anim12i 613 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))))
76a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))))
8 elfzuz 13437 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))
9 elfznn 13470 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) → 𝑑 ∈ ℕ)
108, 9anim12ci 614 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))))
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))))
12 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
1312ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
1413zred 12607 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℝ)
15 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
16 2z 12535 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
17 rpexpcl 13986 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
1815, 16, 17sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
1918rpred 12957 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
2019adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
21 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℕ)
2221nnrpd 12955 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2314, 20, 22lemuldivd 13006 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 · 𝑑) ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑)))
2421nnred 12168 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
2515rprege0d 12964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
26 flge0nn0 13725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
27 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
30 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))
31 eluznn 12843 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
3229, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
3332nnrpd 12955 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
3424, 20, 33lemuldiv2d 13007 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 · 𝑑) ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
3523, 34bitr3d 280 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
36 rpcn 12925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
3837sqvald 14048 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) = (𝑥 · 𝑥))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) = (𝑥 · 𝑥))
40 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4140rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 reflcl 13701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
43 peano2re 11328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
45 fllep1 13706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
4641, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
47 eluzle 12776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ 𝑚)
4847ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ 𝑚)
4941, 44, 14, 46, 48letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥𝑚)
5041, 14, 40lemul1d 13000 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥𝑚 ↔ (𝑥 · 𝑥) ≤ (𝑚 · 𝑥)))
5149, 50mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥 · 𝑥) ≤ (𝑚 · 𝑥))
5239, 51eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ≤ (𝑚 · 𝑥))
5320, 41, 33ledivmuld 13010 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥 ↔ (𝑥↑2) ≤ (𝑚 · 𝑥)))
5452, 53mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥)
55 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℝ)
5655ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
5720, 32nndivred 12207 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ)
58 letr 11249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥) → 𝑑𝑥))
5956, 57, 41, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥) → 𝑑𝑥))
6054, 59mpan2d 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) → 𝑑𝑥))
6135, 60sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) → 𝑑𝑥))
6261pm4.71rd 563 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ (𝑑𝑥𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑))))
63 nnge1 12181 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑑)
6463ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 1 ≤ 𝑑)
65 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
66 0lt1 11677 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
6765, 66pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
6822rpregt0d 12963 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑑))
6918adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
7069rpregt0d 12963 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥↑2)))
71 lediv2 12045 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑑) ∧ ((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥↑2))) → (1 ≤ 𝑑 ↔ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ ((𝑥↑2) / 1)))
7267, 68, 70, 71mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (1 ≤ 𝑑 ↔ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ ((𝑥↑2) / 1)))
7364, 72mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ ((𝑥↑2) / 1))
7420recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
7574div1d 11923 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 1) = (𝑥↑2))
7673, 75breqtrd 5131 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ (𝑥↑2))
77 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑑 ∈ ℕ)
78 nndivre 12194 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ)
7919, 77, 78syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ)
80 letr 11249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8114, 79, 20, 80syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8276, 81mpan2d 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8335, 82sylbird 259 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8483pm4.71rd 563 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) ↔ (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
8535, 62, 843bitr3d 308 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑𝑥𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑)) ↔ (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
86 fznnfl 13767 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
8786baibd 540 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ 𝑑𝑥))
8841, 21, 87syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ 𝑑𝑥))
8979flcld 13703 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ ℤ)
90 elfz5 13433 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) ∧ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
9130, 89, 90syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
92 flge 13710 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
9379, 13, 92syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
9491, 93bitr4d 281 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ↔ 𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑)))
9588, 94anbi12d 631 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑑𝑥𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑))))
9620flcld 13703 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (⌊‘(𝑥↑2)) ∈ ℤ)
97 elfz5 13433 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) ∧ (⌊‘(𝑥↑2)) ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
9830, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
99 flge 13710 . . . . . . . . . 10 (((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
10020, 13, 99syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
10198, 100bitr4d 281 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ↔ 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
102 fznnfl 13767 . . . . . . . . . 10 (((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
103102baibd 540 . . . . . . . . 9 ((((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
10457, 21, 103syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
105101, 104anbi12d 631 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ↔ (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
10685, 95, 1053bitr4d 310 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
107106ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))))
1087, 11, 107pm5.21ndd 380 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
109 ssun2 4133 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ⊆ ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
11028adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
111 nnuz 12806 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
112110, 111eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1))
113 dchrisum0lem1a 26834 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∧ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥))))
114113simprd 496 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥)))
115 fzsplit2 13466 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))))
116112, 114, 115syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))))
117109, 116sseqtrrid 3997 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ⊆ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
118117sselda 3944 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
119 rpvmasum2.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChr‘𝑁)
120 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
121 rpvmasum2.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
122 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
123 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
124123ssrab3 4040 . . . . . . . . . . . 12 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
125 dchrisum0.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑊)
126124, 125sselid 3942 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
127126eldifad 3922 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐷)
128127ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑋𝐷)
129 elfzelz 13441 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
130129adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
131119, 120, 121, 122, 128, 130dchrzrhcl 26593 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
132 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
133132adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
134133nnrpd 12955 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
135134rpsqrtcld 15296 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
136135rpcnd 12959 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑚) ∈ ℂ)
137135rpne0d 12962 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑚) ≠ 0)
138131, 136, 137divcld 11931 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
1394adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
140139nnrpd 12955 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
141140rpsqrtcld 15296 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑑) ∈ ℝ+)
142141rpcnne0d 12966 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0))
143142adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → ((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0))
144143simpld 495 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑑) ∈ ℂ)
145143simprd 496 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑑) ≠ 0)
146138, 144, 145divcld 11931 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
147118, 146syldan 591 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
148147anasss 467 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
1491, 2, 3, 108, 148fsumcom2 15659 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
150149mpteq2dva 5205 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
15165a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
152 2cn 12228 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
15315rpsqrtcld 15296 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
154153rpcnd 12959 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
155 mulcl 11135 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
156152, 154, 155sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
157141rprecred 12968 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑑)) ∈ ℝ)
1581, 157fsumrecl 15619 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) ∈ ℝ)
159158recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
160159, 156subcld 11512 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℂ)
161 2re 12227 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
162 dchrisum0.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
163 elrege0 13371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
164162, 163sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
165164simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
166 remulcl 11136 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
167161, 165, 166sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
168167adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
169168, 153rerpdivcld 12988 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
170169recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
171156, 160, 170adddird 11180 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((2 · (√‘𝑥)) + (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
172156, 159pncan3d 11515 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) + (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)))
173172oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((2 · (√‘𝑥)) + (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
174 2cnd 12231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
175174, 154, 170mulassd 11178 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (2 · ((√‘𝑥) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
176168recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
177153rpne0d 12962 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ≠ 0)
178176, 154, 177divcan2d 11933 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (2 · 𝐶))
179178oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · ((√‘𝑥) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) = (2 · (2 · 𝐶)))
180175, 179eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (2 · (2 · 𝐶)))
181180oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) = ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
182171, 173, 1813eqtr3d 2784 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
183182mpteq2dva 5205 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))))
184 remulcl 11136 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℝ)
185161, 167, 184sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℝ)
186185recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℂ)
187186adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℂ)
188160, 170mulcld 11175 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℂ)
189 rpssre 12922 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
190 o1const 15502 . . . . . 6 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (2 · 𝐶))) ∈ 𝑂(1))
191189, 186, 190sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (2 · 𝐶))) ∈ 𝑂(1))
192 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))))
193192divsqrsum 26331 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ dom ⇝𝑟
194 rlimdmo1 15500 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ dom ⇝𝑟 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
195193, 194mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
196176, 154, 177divrecd 11934 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) = ((2 · 𝐶) · (1 / (√‘𝑥))))
197196mpteq2dva 5205 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) · (1 / (√‘𝑥)))))
198153rprecred 12968 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
199167recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
200 rlimconst 15426 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · 𝐶)) ⇝𝑟 (2 · 𝐶))
201189, 199, 200sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · 𝐶)) ⇝𝑟 (2 · 𝐶))
202 sqrtlim 26322 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0
203202a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
204168, 198, 201, 203rlimmul 15528 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) · (1 / (√‘𝑥)))) ⇝𝑟 ((2 · 𝐶) · 0))
205197, 204eqbrtrd 5127 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 ((2 · 𝐶) · 0))
206 rlimo1 15499 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 ((2 · 𝐶) · 0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
207205, 206syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
208160, 170, 195, 207o1mul2 15507 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
209187, 188, 191, 208o1add2 15506 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
210183, 209eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
211158, 169remulcld 11185 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℝ)
2123, 147fsumcl 15618 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
2131, 212fsumcl 15618 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
214213abscld 15321 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ ℝ)
215211recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℂ)
216215abscld 15321 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
217212abscld 15321 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ ℝ)
2181, 217fsumrecl 15619 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ ℝ)
2191, 212fsumabs 15686 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
220169adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
221157, 220remulcld 11185 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℝ)
222118, 138syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
2233, 222fsumcl 15618 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
224223abscld 15321 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ ℝ)
225 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
226 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (0g𝐺)
227 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
228 dchrisum0.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
229 dchrisum0.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
230120, 122, 225, 119, 121, 226, 123, 125, 227, 162, 228, 229dchrisum0lem1b 26863 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ≤ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))
231224, 220, 141, 230lediv1dd 13015 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (√‘𝑑)) ≤ (((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) / (√‘𝑑)))
232141rpcnd 12959 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑑) ∈ ℂ)
233141rpne0d 12962 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑑) ≠ 0)
234223, 232, 233absdivd 15340 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) = ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (abs‘(√‘𝑑))))
2353, 232, 222, 233fsumdivc 15671 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
236235fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) = (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
237141rprege0d 12964 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑑) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑑)))
238 absid 15181 . . . . . . . . . . . 12 (((√‘𝑑) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑑)) → (abs‘(√‘𝑑)) = (√‘𝑑))
239237, 238syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(√‘𝑑)) = (√‘𝑑))
240239oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (abs‘(√‘𝑑))) = ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (√‘𝑑)))
241234, 236, 2403eqtr3rd 2785 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (√‘𝑑)) = (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
242170adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
243242, 232, 233divrec2d 11935 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) / (√‘𝑑)) = ((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
244231, 241, 2433brtr3d 5136 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ ((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
2451, 217, 221, 244fsumle 15684 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
246157recnd 11183 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
2471, 170, 246fsummulc1 15670 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
248245, 247breqtrrd 5133 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
249214, 218, 211, 219, 248letrd 11312 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
250211leabsd 15299 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ≤ (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
251214, 211, 216, 249, 250letrd 11312 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
252251adantrr 715 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
253151, 210, 211, 213, 252o1le 15537 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
254150, 253eqeltrrd 2839 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  [,)cico 13266  ...cfz 13424  cfl 13695  seqcseq 13906  cexp 13967  csqrt 15118  abscabs 15119  cli 15366  𝑟 crli 15367  𝑂(1)co1 15368  Σcsu 15570  Basecbs 17083  0gc0g 17321  ℤRHomczrh 20900  ℤ/nczn 20903  DChrcdchr 26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-o1 15372  df-lo1 15373  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-qus 17391  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-dchr 26581
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  26867
  Copyright terms: Public domain W3C validator