![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ltmul2d | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmul1d.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
ltmul1d.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
ltmul1d.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ+) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmul2d | โข (๐ โ (๐ด < ๐ต โ (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ltmul1d.1 | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | ltmul1d.2 | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | ltmul1d.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ+) | |
4 | 3 | rpregt0d 13022 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) |
5 | ltmul2 12065 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต))) | |
6 | 1, 2, 4, 5 | syl3anc 1372 | 1 โข (๐ โ (๐ด < ๐ต โ (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โ wcel 2107 class class class wbr 5149 (class class class)co 7409 โcr 11109 0cc0 11110 ยท cmul 11115 < clt 11248 โ+crp 12974 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-po 5589 df-so 5590 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-ltxr 11253 df-sub 11446 df-neg 11447 df-rp 12975 |
This theorem is referenced by: ltmul2dd 13072 addmodlteq 13911 iserodd 16768 argregt0 26118 argimgt0 26120 bposlem7 26793 bposlem9 26795 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |