Theorem ledivdivd 13102

Description: Invert ratios of positive numbers and swap their ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
ltdiv2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ledivdivd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
ledivdivd.5	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
ledivdivd	⊢ (𝜑 → (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴))

Proof of Theorem ledivdivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ledivdivd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷))
2		rpred.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	2	rpregt0d 13083	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4		rpaddcld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
5	4	rpregt0d 13083	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
6		ltdiv2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
7	6	rpregt0d 13083	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
8		ledivdivd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
9	8	rpregt0d 13083	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
10		ledivdiv 12157	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴)))
11	3, 5, 7, 9, 10	syl22anc 839	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴)))
12	1, 11	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   < clt 11295   ≤ cle 11296   / cdiv 11920  ℝ⁺crp 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-rp 13035

This theorem is referenced by: (None)