Theorem ledivdivd 13100

Description: Invert ratios of positive numbers and swap their ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
ltdiv2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ledivdivd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
ledivdivd.5	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
ledivdivd	⊢ (𝜑 → (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴))

Proof of Theorem ledivdivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ledivdivd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷))
2		rpred.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	2	rpregt0d 13081	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4		rpaddcld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
5	4	rpregt0d 13081	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
6		ltdiv2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
7	6	rpregt0d 13081	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
8		ledivdivd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
9	8	rpregt0d 13081	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
10		ledivdiv 12155	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴)))
11	3, 5, 7, 9, 10	syl22anc 839	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴)))
12	1, 11	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   < clt 11293   ≤ cle 11294   / cdiv 11918  ℝ⁺crp 13032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-rp 13033

This theorem is referenced by: (None)