MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ledivdivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ledivdivd 12455
Description: Invert ratios of positive numbers and swap their ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
ltdiv2d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
ledivdivd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
ledivdivd.5 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷))
Assertion
Ref Expression
ledivdivd (𝜑 → (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴))

Proof of Theorem ledivdivd
StepHypRef Expression
1 ledivdivd.5 . 2 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷))
2 rpred.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
32rpregt0d 12436 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4 rpaddcld.1 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
54rpregt0d 12436 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
6 ltdiv2d.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
76rpregt0d 12436 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
8 ledivdivd.4 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
98rpregt0d 12436 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
10 ledivdiv 11529 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴)))
113, 5, 7, 9, 10syl22anc 837 . 2 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴)))
121, 11mpbid 235 1 (𝜑 → (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2115   class class class wbr 5053  (class class class)co 7151  cr 10536  0cc0 10537   < clt 10675  cle 10676   / cdiv 11297  +crp 12388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-rp 12389
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator