Theorem rpne0d 13056

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 13024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  0cc0 11088  ℝ⁺crp 13007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-addrcl 11149  ax-rnegex 11159  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-rp 13008

This theorem is referenced by:  rprene0d  13059  rpcnne0d  13060  iccf1o  13514  ltexp2r  14200  discr  14267  bcpasc  14348  sqrtdiv  15306  abs00  15330  absdiv  15336  o1rlimmul  15660  geomulcvg  15920  mertenslem1  15928  retanhcl  16205  tanhlt1  16206  tanhbnd  16207  sylow1lem1  19659  nrginvrcnlem  24809  nmoi2  24848  reperflem  24937  icopnfcnv  25062  nmoleub2lem  25234  nmoleub2lem2  25236  nmoleub3  25239  pjthlem1  25557  sca2rab  25632  ovolscalem1  25633  ovolsca  25635  itg2mulclem  25866  itg2mulc  25867  c1liplem1  26116  aalioulem4  26457  aaliou3lem8  26467  itgulm  26529  dvradcnv  26542  abelthlem7  26559  abelthlem8  26560  tanrpcl  26627  tanregt0  26662  efiarg  26730  argregt0  26733  argrege0  26734  argimgt0  26735  tanarg  26742  logdivlti  26743  logno1  26759  logcnlem4  26768  divcxp  26810  cxple2  26820  cxpcn3lem  26870  cxpcn3  26871  cxpaddlelem  26874  cxpaddle  26875  logbrec  26905  asinlem3  26994  rlimcnp  27088  rlimcnp2  27089  rlimcxp  27096  cxp2limlem  27098  cxp2lim  27099  cxploglim2  27101  jensenlem2  27110  amgmlem  27112  logdiflbnd  27117  lgamgulmlem2  27152  lgamucov  27160  basellem3  27205  basellem8  27210  isppw  27236  chpeq0  27330  chteq0  27331  bposlem9  27414  chebbnd1lem2  27592  chebbnd1  27594  chtppilimlem1  27595  chebbnd2  27599  chto1lb  27600  chpchtlim  27601  chpo1ubb  27603  rplogsumlem1  27606  rplogsumlem2  27607  dchrvmasumlem1  27617  dchrvmasum2lem  27618  dchrisum0lema  27636  dchrisum0lem1b  27637  dchrisum0lem1  27638  dchrisum0lem2a  27639  dchrisum0lem2  27640  dchrisum0lem3  27641  dchrisum0  27642  mulog2sumlem1  27656  vmalogdivsum2  27660  vmalogdivsum  27661  2vmadivsumlem  27662  chpdifbndlem1  27675  selberg3lem1  27679  selberg3lem2  27680  selberg3  27681  selberg4lem1  27682  selberg4  27683  selberg3r  27691  selberg4r  27692  selberg34r  27693  pntrlog2bndlem1  27699  pntrlog2bndlem2  27700  pntrlog2bndlem3  27701  pntrlog2bndlem4  27702  pntrlog2bndlem5  27703  pntrlog2bndlem6  27705  pntpbnd2  27709  pntibndlem2  27713  pntlemr  27724  pntlemo  27729  pnt2  27735  pnt  27736  padicabv  27752  padicabvcxp  27754  ostth2lem3  27757  ostth2lem4  27758  ostth3  27760  smcnlem  30958  pjhthlem1  31652  rpxdivcld  33166  xrmulc1cn  34237  esumdivc  34390  probmeasb  34737  signsply0  34855  divsqrtid  34898  hgt750leme  34962  circum  36037  iprodgam  36105  faclimlem1  36106  faclimlem3  36108  knoppndvlem17  36979  knoppndvlem18  36980  itg2addnclem3  38184  geomcau  38270  cntotbnd  38307  bfplem1  38333  rrncmslem  38343  rrnequiv  38346  relogbzexpd  42605  aks4d1p1p1  42692  dvrelogpow2b  42697  aks4d1p1p4  42700  aks4d1p1p6  42702  aks4d1p1p7  42703  aks4d1p5  42709  aks4d1p6  42710  exp11d  42947  rplog11d  42968  irrapxlem5  43415  pellfund14  43487  rmxyneg  43509  rmxyadd  43510  modabsdifz  43575  binomcxplemnotnn0  44930  oddfl  45855  xralrple3  45947  ioodvbdlimc1lem2  46504  ioodvbdlimc2lem  46506  stoweidlem1  46573  stoweidlem14  46586  stoweidlem60  46632  wallispilem4  46640  wallispilem5  46641  wallispi  46642  wallispi2lem1  46643  stirlinglem1  46646  stirlinglem3  46648  stirlinglem4  46649  stirlinglem5  46650  stirlinglem8  46653  stirlinglem12  46657  stirlinglem15  46660  dirkertrigeqlem1  46670  dirkercncflem1  46675  dirkercncflem4  46678  fourierdlem30  46709  fourierdlem39  46718  fourierdlem47  46725  fourierdlem65  46743  fourierdlem73  46751  fourierdlem87  46765  qndenserrnbllem  46866  sge0rpcpnf  46993  hoiqssbllem2  47195  young2d  50434