Theorem rpne0d 13093

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 13061	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  0cc0 11127  ℝ⁺crp 13044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-addrcl 11188  ax-rnegex 11198  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-rp 13045

This theorem is used by:  rprene0d  13096  rpcnne0d  13097  iccf1o  13551  ltexp2r  14239  discr  14306  bcpasc  14387  sqrtdiv  15354  abs00  15378  absdiv  15384  o1rlimmul  15708  geomulcvg  15967  mertenslem1  15975  retanhcl  16251  tanhlt1  16252  tanhbnd  16253  sylow1lem1  19726  nrginvrcnlem  24918  nmoi2  24957  reperflem  25046  icopnfcnv  25171  nmoleub2lem  25343  nmoleub2lem2  25345  nmoleub3  25348  pjthlem1  25666  sca2rab  25741  ovolscalem1  25742  ovolsca  25744  itg2mulclem  25975  itg2mulc  25976  c1liplem1  26225  aalioulem4  26568  aaliou3lem8  26578  itgulm  26641  dvradcnv  26654  abelthlem7  26671  abelthlem8  26672  tanrpcl  26739  tanregt0  26774  efiarg  26842  argregt0  26845  argrege0  26846  argimgt0  26847  tanarg  26854  logdivlti  26855  logno1  26871  logcnlem4  26880  divcxp  26922  cxple2  26932  cxpcn3lem  26982  cxpcn3  26983  cxpaddlelem  26986  cxpaddle  26987  logbrec  27017  asinlem3  27106  rlimcnp  27200  rlimcnp2  27201  rlimcxp  27208  cxp2limlem  27210  cxp2lim  27211  cxploglim2  27213  jensenlem2  27222  amgmlem  27224  logdiflbnd  27229  lgamgulmlem2  27264  lgamucov  27272  basellem3  27317  basellem8  27322  isppw  27348  chpeq0  27442  chteq0  27443  bposlem9  27526  chebbnd1lem2  27704  chebbnd1  27706  chtppilimlem1  27707  chebbnd2  27711  chto1lb  27712  chpchtlim  27713  chpo1ubb  27715  rplogsumlem1  27718  rplogsumlem2  27719  dchrvmasumlem1  27729  dchrvmasum2lem  27730  dchrisum0lema  27748  dchrisum0lem1b  27749  dchrisum0lem1  27750  dchrisum0lem2a  27751  dchrisum0lem2  27752  dchrisum0lem3  27753  dchrisum0  27754  mulog2sumlem1  27768  vmalogdivsum2  27772  vmalogdivsum  27773  2vmadivsumlem  27774  chpdifbndlem1  27787  selberg3lem1  27791  selberg3lem2  27792  selberg3  27793  selberg4lem1  27794  selberg4  27795  selberg3r  27803  selberg4r  27804  selberg34r  27805  pntrlog2bndlem1  27811  pntrlog2bndlem2  27812  pntrlog2bndlem3  27813  pntrlog2bndlem4  27814  pntrlog2bndlem5  27815  pntrlog2bndlem6  27817  pntpbnd2  27821  pntibndlem2  27825  pntlemr  27836  pntlemo  27841  pnt2  27847  pnt  27848  padicabv  27864  padicabvcxp  27866  ostth2lem3  27869  ostth2lem4  27870  ostth3  27872  smcnlem  31164  pjhthlem1  31858  rpxdivcld  33366  xrmulc1cn  34427  esumdivc  34580  probmeasb  34928  signsply0  35046  divsqrtid  35089  hgt750leme  35153  circum  36240  iprodgam  36308  faclimlem1  36309  faclimlem3  36311  knoppndvlem17  37212  knoppndvlem18  37213  itg2addnclem3  38409  geomcau  38496  cntotbnd  38533  bfplem1  38559  rrncmslem  38569  rrnequiv  38572  relogbzexpd  42829  aks4d1p1p1  42916  dvrelogpow2b  42921  aks4d1p1p4  42924  aks4d1p1p6  42926  aks4d1p1p7  42927  aks4d1p5  42933  aks4d1p6  42934  exp11d  43188  rplog11d  43209  irrapxlem5  43654  pellfund14  43726  rmxyneg  43748  rmxyadd  43749  modabsdifz  43814  binomcxplemnotnn0  45167  oddfl  46098  xralrple3  46190  ioodvbdlimc1lem2  46747  ioodvbdlimc2lem  46749  stoweidlem1  46816  stoweidlem14  46829  stoweidlem60  46875  wallispilem4  46883  wallispilem5  46884  wallispi  46885  wallispi2lem1  46886  stirlinglem1  46889  stirlinglem3  46891  stirlinglem4  46892  stirlinglem5  46893  stirlinglem8  46896  stirlinglem12  46900  stirlinglem15  46903  dirkertrigeqlem1  46913  dirkercncflem1  46918  dirkercncflem4  46921  fourierdlem30  46952  fourierdlem39  46961  fourierdlem47  46968  fourierdlem65  46986  fourierdlem73  46994  fourierdlem87  47008  qndenserrnbllem  47109  sge0rpcpnf  47236  hoiqssbllem2  47438  young2d  50810