Theorem rpne0d 13007

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 12975	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  0cc0 11075  ℝ⁺crp 12958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-addrcl 11136  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-rp 12959

This theorem is referenced by:  rprene0d  13010  rpcnne0d  13011  iccf1o  13464  ltexp2r  14145  discr  14212  bcpasc  14293  sqrtdiv  15238  abs00  15262  absdiv  15268  o1rlimmul  15592  geomulcvg  15849  mertenslem1  15857  retanhcl  16134  tanhlt1  16135  tanhbnd  16136  sylow1lem1  19535  nrginvrcnlem  24586  nmoi2  24625  reperflem  24714  icchmeoOLD  24846  icopnfcnv  24847  nmoleub2lem  25021  nmoleub2lem2  25023  nmoleub3  25026  pjthlem1  25344  sca2rab  25420  ovolscalem1  25421  ovolsca  25423  itg2mulclem  25654  itg2mulc  25655  c1liplem1  25908  aalioulem4  26250  aaliou3lem8  26260  itgulm  26324  dvradcnv  26337  abelthlem7  26355  abelthlem8  26356  tanrpcl  26420  tanregt0  26455  efiarg  26523  argregt0  26526  argrege0  26527  argimgt0  26528  tanarg  26535  logdivlti  26536  logno1  26552  logcnlem4  26561  divcxp  26603  cxple2  26613  cxpcn3lem  26664  cxpcn3  26665  cxpaddlelem  26668  cxpaddle  26669  logbrec  26699  asinlem3  26788  rlimcnp  26882  rlimcnp2  26883  rlimcxp  26891  cxp2limlem  26893  cxp2lim  26894  cxploglim2  26896  jensenlem2  26905  amgmlem  26907  logdiflbnd  26912  lgamgulmlem2  26947  lgamucov  26955  basellem3  27000  basellem8  27005  isppw  27031  chpeq0  27126  chteq0  27127  bposlem9  27210  chebbnd1lem2  27388  chebbnd1  27390  chtppilimlem1  27391  chebbnd2  27395  chto1lb  27396  chpchtlim  27397  chpo1ubb  27399  rplogsumlem1  27402  rplogsumlem2  27403  dchrvmasumlem1  27413  dchrvmasum2lem  27414  dchrisum0lema  27432  dchrisum0lem1b  27433  dchrisum0lem1  27434  dchrisum0lem2a  27435  dchrisum0lem2  27436  dchrisum0lem3  27437  dchrisum0  27438  mulog2sumlem1  27452  vmalogdivsum2  27456  vmalogdivsum  27457  2vmadivsumlem  27458  chpdifbndlem1  27471  selberg3lem1  27475  selberg3lem2  27476  selberg3  27477  selberg4lem1  27478  selberg4  27479  selberg3r  27487  selberg4r  27488  selberg34r  27489  pntrlog2bndlem1  27495  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem3  27497  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem5  27499  pntrlog2bndlem6  27501  pntpbnd2  27505  pntibndlem2  27509  pntlemr  27520  pntlemo  27525  pnt2  27531  pnt  27532  padicabv  27548  padicabvcxp  27550  ostth2lem3  27553  ostth2lem4  27554  ostth3  27556  smcnlem  30633  pjhthlem1  31327  rpxdivcld  32861  xrmulc1cn  33927  esumdivc  34080  probmeasb  34428  signsply0  34549  divsqrtid  34592  hgt750leme  34656  circum  35668  iprodgam  35736  faclimlem1  35737  faclimlem3  35739  knoppndvlem17  36523  knoppndvlem18  36524  itg2addnclem3  37674  geomcau  37760  cntotbnd  37797  bfplem1  37823  rrncmslem  37833  rrnequiv  37836  relogbzexpd  41970  aks4d1p1p1  42058  dvrelogpow2b  42063  aks4d1p1p4  42066  aks4d1p1p6  42068  aks4d1p1p7  42069  aks4d1p5  42075  aks4d1p6  42076  exp11d  42321  rplog11d  42342  irrapxlem5  42821  pellfund14  42893  rmxyneg  42916  rmxyadd  42917  modabsdifz  42982  binomcxplemnotnn0  44352  oddfl  45283  xralrple3  45377  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  stoweidlem1  46006  stoweidlem14  46019  stoweidlem60  46065  wallispilem4  46073  wallispilem5  46074  wallispi  46075  wallispi2lem1  46076  stirlinglem1  46079  stirlinglem3  46081  stirlinglem4  46082  stirlinglem5  46083  stirlinglem8  46086  stirlinglem12  46090  stirlinglem15  46093  dirkertrigeqlem1  46103  dirkercncflem1  46108  dirkercncflem4  46111  fourierdlem30  46142  fourierdlem39  46151  fourierdlem47  46158  fourierdlem65  46176  fourierdlem73  46184  fourierdlem87  46198  qndenserrnbllem  46299  sge0rpcpnf  46426  hoiqssbllem2  46628  young2d  49798