Theorem rpne0d 13104

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 13073	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  0cc0 11184  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-addrcl 11245  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  rprene0d  13107  rpcnne0d  13108  iccf1o  13556  ltexp2r  14223  discr  14289  bcpasc  14370  sqrtdiv  15314  abs00  15338  absdiv  15344  o1rlimmul  15665  geomulcvg  15924  mertenslem1  15932  retanhcl  16207  tanhlt1  16208  tanhbnd  16209  sylow1lem1  19640  nrginvrcnlem  24733  nmoi2  24772  reperflem  24859  icchmeoOLD  24991  icopnfcnv  24992  nmoleub2lem  25166  nmoleub2lem2  25168  nmoleub3  25171  pjthlem1  25490  sca2rab  25566  ovolscalem1  25567  ovolsca  25569  itg2mulclem  25801  itg2mulc  25802  c1liplem1  26055  aalioulem4  26395  aaliou3lem8  26405  itgulm  26469  dvradcnv  26482  abelthlem7  26500  abelthlem8  26501  tanrpcl  26564  tanregt0  26599  efiarg  26667  argregt0  26670  argrege0  26671  argimgt0  26672  tanarg  26679  logdivlti  26680  logno1  26696  logcnlem4  26705  divcxp  26747  cxple2  26757  cxpcn3lem  26808  cxpcn3  26809  cxpaddlelem  26812  cxpaddle  26813  logbrec  26843  asinlem3  26932  rlimcnp  27026  rlimcnp2  27027  rlimcxp  27035  cxp2limlem  27037  cxp2lim  27038  cxploglim2  27040  jensenlem2  27049  amgmlem  27051  logdiflbnd  27056  lgamgulmlem2  27091  lgamucov  27099  basellem3  27144  basellem8  27149  isppw  27175  chpeq0  27270  chteq0  27271  bposlem9  27354  chebbnd1lem2  27532  chebbnd1  27534  chtppilimlem1  27535  chebbnd2  27539  chto1lb  27540  chpchtlim  27541  chpo1ubb  27543  rplogsumlem1  27546  rplogsumlem2  27547  dchrvmasumlem1  27557  dchrvmasum2lem  27558  dchrisum0lema  27576  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem2a  27579  dchrisum0lem2  27580  dchrisum0lem3  27581  dchrisum0  27582  mulog2sumlem1  27596  vmalogdivsum2  27600  vmalogdivsum  27601  2vmadivsumlem  27602  chpdifbndlem1  27615  selberg3lem1  27619  selberg3lem2  27620  selberg3  27621  selberg4lem1  27622  selberg4  27623  selberg3r  27631  selberg4r  27632  selberg34r  27633  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6  27645  pntpbnd2  27649  pntibndlem2  27653  pntlemr  27664  pntlemo  27669  pnt2  27675  pnt  27676  padicabv  27692  padicabvcxp  27694  ostth2lem3  27697  ostth2lem4  27698  ostth3  27700  smcnlem  30729  pjhthlem1  31423  rpxdivcld  32898  xrmulc1cn  33876  esumdivc  34047  probmeasb  34395  signsply0  34528  divsqrtid  34571  hgt750leme  34635  circum  35642  iprodgam  35704  faclimlem1  35705  faclimlem3  35707  knoppndvlem17  36494  knoppndvlem18  36495  itg2addnclem3  37633  geomcau  37719  cntotbnd  37756  bfplem1  37782  rrncmslem  37792  rrnequiv  37795  relogbzexpd  41931  aks4d1p1p1  42020  dvrelogpow2b  42025  aks4d1p1p4  42028  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p5  42037  aks4d1p6  42038  exp11d  42313  rplog11d  42335  irrapxlem5  42782  pellfund14  42854  rmxyneg  42877  rmxyadd  42878  modabsdifz  42943  binomcxplemnotnn0  44325  oddfl  45192  xralrple3  45289  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  stoweidlem1  45922  stoweidlem14  45935  stoweidlem60  45981  wallispilem4  45989  wallispilem5  45990  wallispi  45991  wallispi2lem1  45992  stirlinglem1  45995  stirlinglem3  45997  stirlinglem4  45998  stirlinglem5  45999  stirlinglem8  46002  stirlinglem12  46006  stirlinglem15  46009  dirkertrigeqlem1  46019  dirkercncflem1  46024  dirkercncflem4  46027  fourierdlem30  46058  fourierdlem39  46067  fourierdlem47  46074  fourierdlem65  46092  fourierdlem73  46100  fourierdlem87  46114  qndenserrnbllem  46215  sge0rpcpnf  46342  hoiqssbllem2  46544  young2d  48899