Theorem rpne0d 13021

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 12990	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  0cc0 11110  ℝ⁺crp 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-rp 12975

This theorem is referenced by:  rprene0d  13024  rpcnne0d  13025  iccf1o  13473  ltexp2r  14138  discr  14203  bcpasc  14281  sqrtdiv  15212  abs00  15236  absdiv  15242  o1rlimmul  15563  geomulcvg  15822  mertenslem1  15830  retanhcl  16102  tanhlt1  16103  tanhbnd  16104  sylow1lem1  19466  nrginvrcnlem  24208  nmoi2  24247  reperflem  24334  icchmeo  24457  icopnfcnv  24458  nmoleub2lem  24630  nmoleub2lem2  24632  nmoleub3  24635  pjthlem1  24954  sca2rab  25029  ovolscalem1  25030  ovolsca  25032  itg2mulclem  25264  itg2mulc  25265  c1liplem1  25513  aalioulem4  25848  aaliou3lem8  25858  itgulm  25920  dvradcnv  25933  abelthlem7  25950  abelthlem8  25951  tanrpcl  26014  tanregt0  26048  efiarg  26115  argregt0  26118  argrege0  26119  argimgt0  26120  tanarg  26127  logdivlti  26128  logno1  26144  logcnlem4  26153  divcxp  26195  cxple2  26205  cxpcn3lem  26255  cxpcn3  26256  cxpaddlelem  26259  cxpaddle  26260  logbrec  26287  asinlem3  26376  rlimcnp  26470  rlimcnp2  26471  rlimcxp  26478  cxp2limlem  26480  cxp2lim  26481  cxploglim2  26483  jensenlem2  26492  amgmlem  26494  logdiflbnd  26499  lgamgulmlem2  26534  lgamucov  26542  basellem3  26587  basellem8  26592  isppw  26618  chpeq0  26711  chteq0  26712  bposlem9  26795  chebbnd1lem2  26973  chebbnd1  26975  chtppilimlem1  26976  chebbnd2  26980  chto1lb  26981  chpchtlim  26982  chpo1ubb  26984  rplogsumlem1  26987  rplogsumlem2  26988  dchrvmasumlem1  26998  dchrvmasum2lem  26999  dchrisum0lema  27017  dchrisum0lem1b  27018  dchrisum0lem1  27019  dchrisum0lem2a  27020  dchrisum0lem2  27021  dchrisum0lem3  27022  dchrisum0  27023  mulog2sumlem1  27037  vmalogdivsum2  27041  vmalogdivsum  27042  2vmadivsumlem  27043  chpdifbndlem1  27056  selberg3lem1  27060  selberg3lem2  27061  selberg3  27062  selberg4lem1  27063  selberg4  27064  selberg3r  27072  selberg4r  27073  selberg34r  27074  pntrlog2bndlem1  27080  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem3  27082  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  pntrlog2bndlem6  27086  pntpbnd2  27090  pntibndlem2  27094  pntlemr  27105  pntlemo  27110  pnt2  27116  pnt  27117  padicabv  27133  padicabvcxp  27135  ostth2lem3  27138  ostth2lem4  27139  ostth3  27141  smcnlem  29981  pjhthlem1  30675  rpxdivcld  32131  xrmulc1cn  32941  esumdivc  33112  probmeasb  33460  signsply0  33593  divsqrtid  33637  hgt750leme  33701  circum  34690  iprodgam  34743  faclimlem1  34744  faclimlem3  34746  knoppndvlem17  35452  knoppndvlem18  35453  itg2addnclem3  36589  geomcau  36675  cntotbnd  36712  bfplem1  36738  rrncmslem  36748  rrnequiv  36751  relogbzexpd  40888  aks4d1p1p1  40976  dvrelogpow2b  40981  aks4d1p1p4  40984  aks4d1p1p6  40986  aks4d1p1p7  40987  aks4d1p5  40993  aks4d1p6  40994  exp11d  41264  irrapxlem5  41612  pellfund14  41684  rmxyneg  41707  rmxyadd  41708  modabsdifz  41773  binomcxplemnotnn0  43163  oddfl  44035  xralrple3  44132  ioodvbdlimc1lem2  44696  ioodvbdlimc2lem  44698  stoweidlem1  44765  stoweidlem14  44778  stoweidlem60  44824  wallispilem4  44832  wallispilem5  44833  wallispi  44834  wallispi2lem1  44835  stirlinglem1  44838  stirlinglem3  44840  stirlinglem4  44841  stirlinglem5  44842  stirlinglem8  44845  stirlinglem12  44849  stirlinglem15  44852  dirkertrigeqlem1  44862  dirkercncflem1  44867  dirkercncflem4  44870  fourierdlem30  44901  fourierdlem39  44910  fourierdlem47  44917  fourierdlem65  44935  fourierdlem73  44943  fourierdlem87  44957  qndenserrnbllem  45058  sge0rpcpnf  45185  hoiqssbllem2  45387  young2d  47900