Theorem rpne0d 12986

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 12954	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  0cc0 11033  ℝ⁺crp 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-addrcl 11094  ax-rnegex 11104  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-rp 12938

This theorem is referenced by:  rprene0d  12989  rpcnne0d  12990  iccf1o  13444  ltexp2r  14130  discr  14197  bcpasc  14278  sqrtdiv  15222  abs00  15246  absdiv  15252  o1rlimmul  15576  geomulcvg  15836  mertenslem1  15844  retanhcl  16121  tanhlt1  16122  tanhbnd  16123  sylow1lem1  19568  nrginvrcnlem  24678  nmoi2  24717  reperflem  24806  icopnfcnv  24931  nmoleub2lem  25103  nmoleub2lem2  25105  nmoleub3  25108  pjthlem1  25426  sca2rab  25501  ovolscalem1  25502  ovolsca  25504  itg2mulclem  25735  itg2mulc  25736  c1liplem1  25985  aalioulem4  26323  aaliou3lem8  26333  itgulm  26395  dvradcnv  26408  abelthlem7  26425  abelthlem8  26426  tanrpcl  26490  tanregt0  26525  efiarg  26593  argregt0  26596  argrege0  26597  argimgt0  26598  tanarg  26605  logdivlti  26606  logno1  26622  logcnlem4  26631  divcxp  26673  cxple2  26683  cxpcn3lem  26733  cxpcn3  26734  cxpaddlelem  26737  cxpaddle  26738  logbrec  26768  asinlem3  26857  rlimcnp  26951  rlimcnp2  26952  rlimcxp  26959  cxp2limlem  26961  cxp2lim  26962  cxploglim2  26964  jensenlem2  26973  amgmlem  26975  logdiflbnd  26980  lgamgulmlem2  27015  lgamucov  27023  basellem3  27068  basellem8  27073  isppw  27099  chpeq0  27193  chteq0  27194  bposlem9  27277  chebbnd1lem2  27455  chebbnd1  27457  chtppilimlem1  27458  chebbnd2  27462  chto1lb  27463  chpchtlim  27464  chpo1ubb  27466  rplogsumlem1  27469  rplogsumlem2  27470  dchrvmasumlem1  27480  dchrvmasum2lem  27481  dchrisum0lema  27499  dchrisum0lem1b  27500  dchrisum0lem1  27501  dchrisum0lem2a  27502  dchrisum0lem2  27503  dchrisum0lem3  27504  dchrisum0  27505  mulog2sumlem1  27519  vmalogdivsum2  27523  vmalogdivsum  27524  2vmadivsumlem  27525  chpdifbndlem1  27538  selberg3lem1  27542  selberg3lem2  27543  selberg3  27544  selberg4lem1  27545  selberg4  27546  selberg3r  27554  selberg4r  27555  selberg34r  27556  pntrlog2bndlem1  27562  pntrlog2bndlem2  27563  pntrlog2bndlem3  27564  pntrlog2bndlem4  27565  pntrlog2bndlem5  27566  pntrlog2bndlem6  27568  pntpbnd2  27572  pntibndlem2  27576  pntlemr  27587  pntlemo  27592  pnt2  27598  pnt  27599  padicabv  27615  padicabvcxp  27617  ostth2lem3  27620  ostth2lem4  27621  ostth3  27623  smcnlem  30790  pjhthlem1  31484  rpxdivcld  33016  xrmulc1cn  34126  esumdivc  34279  probmeasb  34626  signsply0  34747  divsqrtid  34790  hgt750leme  34854  circum  35917  iprodgam  35985  faclimlem1  35986  faclimlem3  35988  knoppndvlem17  36849  knoppndvlem18  36850  itg2addnclem3  38055  geomcau  38141  cntotbnd  38178  bfplem1  38204  rrncmslem  38214  rrnequiv  38217  relogbzexpd  42476  aks4d1p1p1  42563  dvrelogpow2b  42568  aks4d1p1p4  42571  aks4d1p1p6  42573  aks4d1p1p7  42574  aks4d1p5  42580  aks4d1p6  42581  exp11d  42818  rplog11d  42839  irrapxlem5  43286  pellfund14  43358  rmxyneg  43380  rmxyadd  43381  modabsdifz  43446  binomcxplemnotnn0  44815  oddfl  45740  xralrple3  45832  ioodvbdlimc1lem2  46389  ioodvbdlimc2lem  46391  stoweidlem1  46458  stoweidlem14  46471  stoweidlem60  46517  wallispilem4  46525  wallispilem5  46526  wallispi  46527  wallispi2lem1  46528  stirlinglem1  46531  stirlinglem3  46533  stirlinglem4  46534  stirlinglem5  46535  stirlinglem8  46538  stirlinglem12  46542  stirlinglem15  46545  dirkertrigeqlem1  46555  dirkercncflem1  46560  dirkercncflem4  46563  fourierdlem30  46594  fourierdlem39  46603  fourierdlem47  46610  fourierdlem65  46628  fourierdlem73  46636  fourierdlem87  46650  qndenserrnbllem  46751  sge0rpcpnf  46878  hoiqssbllem2  47080  young2d  50309