MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpne0d 12075
Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpne0d (𝜑𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpne0 12046 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
31, 2syl 17 1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2155  wne 2937  0cc0 10189  +crp 12028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-addrcl 10250  ax-rnegex 10260  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-ltxr 10333  df-rp 12029
This theorem is referenced by:  rprene0d  12078  rpcnne0d  12079  iccf1o  12523  ltexp2r  13124  discr  13208  bcpasc  13312  sqrtdiv  14293  abs00  14316  absdiv  14322  o1rlimmul  14636  geomulcvg  14893  mertenslem1  14901  retanhcl  15173  tanhlt1  15174  tanhbnd  15175  sylow1lem1  18279  nrginvrcnlem  22774  nmoi2  22813  reperflem  22900  icchmeo  23019  icopnfcnv  23020  nmoleub2lem  23192  nmoleub2lem2  23194  nmoleub3  23197  pjthlem1  23497  sca2rab  23570  ovolscalem1  23571  ovolsca  23573  itg2mulclem  23804  itg2mulc  23805  c1liplem1  24050  aalioulem4  24381  aaliou3lem8  24391  itgulm  24453  dvradcnv  24466  abelthlem7  24483  abelthlem8  24484  tanrpcl  24548  tanregt0  24577  efiarg  24644  argregt0  24647  argrege0  24648  argimgt0  24649  tanarg  24656  logdivlti  24657  logno1  24673  logcnlem4  24682  divcxp  24724  cxple2  24734  cxpcn3lem  24779  cxpcn3  24780  cxpaddlelem  24783  cxpaddle  24784  logbrec  24811  asinlem3  24889  rlimcnp  24983  rlimcnp2  24984  rlimcxp  24991  cxp2limlem  24993  cxp2lim  24994  cxploglim2  24996  jensenlem2  25005  amgmlem  25007  logdiflbnd  25012  lgamgulmlem2  25047  lgamucov  25055  basellem3  25100  basellem8  25105  isppw  25131  chpeq0  25224  chteq0  25225  bposlem9  25308  chebbnd1lem2  25450  chebbnd1  25452  chtppilimlem1  25453  chebbnd2  25457  chto1lb  25458  chpchtlim  25459  chpo1ubb  25461  rplogsumlem1  25464  rplogsumlem2  25465  dchrvmasumlem1  25475  dchrvmasum2lem  25476  dchrisum0lema  25494  dchrisum0lem1b  25495  dchrisum0lem1  25496  dchrisum0lem2a  25497  dchrisum0lem2  25498  dchrisum0lem3  25499  dchrisum0  25500  mulog2sumlem1  25514  vmalogdivsum2  25518  vmalogdivsum  25519  2vmadivsumlem  25520  chpdifbndlem1  25533  selberg3lem1  25537  selberg3lem2  25538  selberg3  25539  selberg4lem1  25540  selberg4  25541  selberg3r  25549  selberg4r  25550  selberg34r  25551  pntrlog2bndlem1  25557  pntrlog2bndlem2  25558  pntrlog2bndlem3  25559  pntrlog2bndlem4  25560  pntrlog2bndlem5  25561  pntrlog2bndlem6  25563  pntpbnd2  25567  pntibndlem2  25571  pntlemr  25582  pntlemo  25587  pnt2  25593  pnt  25594  padicabv  25610  ostth2lem3  25615  ostth2lem4  25616  ostth3  25618  smcnlem  27943  pjhthlem1  28641  rpxdivcld  30024  xrmulc1cn  30358  esumdivc  30527  probmeasb  30875  signsply0  31011  divsqrtid  31055  hgt750leme  31119  circum  31946  iprodgam  32005  faclimlem1  32006  faclimlem3  32008  knoppndvlem17  32890  knoppndvlem18  32891  itg2addnclem3  33818  geomcau  33909  cntotbnd  33949  bfplem1  33975  rrncmslem  33985  rrnequiv  33988  irrapxlem5  38000  pellfund14  38072  rmxyneg  38094  rmxyadd  38095  modabsdifz  38162  binomcxplemnotnn0  39161  oddfl  40061  xralrple3  40160  ioodvbdlimc1lem2  40717  ioodvbdlimc2lem  40719  stoweidlem1  40787  stoweidlem14  40800  stoweidlem60  40846  wallispilem4  40854  wallispilem5  40855  wallispi  40856  wallispi2lem1  40857  stirlinglem1  40860  stirlinglem3  40862  stirlinglem4  40863  stirlinglem5  40864  stirlinglem8  40867  stirlinglem12  40871  stirlinglem15  40874  dirkertrigeqlem1  40884  dirkercncflem1  40889  dirkercncflem4  40892  fourierdlem30  40923  fourierdlem39  40932  fourierdlem47  40939  fourierdlem65  40957  fourierdlem73  40965  fourierdlem87  40979  qndenserrnbllem  41083  sge0rpcpnf  41207  hoiqssbllem2  41409  young2d  43155
  Copyright terms: Public domain W3C validator