Theorem rpne0d 13071

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 13039	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  0cc0 11106  ℝ⁺crp 13022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-rp 13023

This theorem is used by:  rprene0d  13074  rpcnne0d  13075  iccf1o  13529  ltexp2r  14216  discr  14283  bcpasc  14364  sqrtdiv  15323  abs00  15347  absdiv  15353  o1rlimmul  15677  geomulcvg  15937  mertenslem1  15945  retanhcl  16221  tanhlt1  16222  tanhbnd  16223  sylow1lem1  19674  nrginvrcnlem  24859  nmoi2  24898  reperflem  24987  icopnfcnv  25112  nmoleub2lem  25284  nmoleub2lem2  25286  nmoleub3  25289  pjthlem1  25607  sca2rab  25682  ovolscalem1  25683  ovolsca  25685  itg2mulclem  25916  itg2mulc  25917  c1liplem1  26166  aalioulem4  26509  aaliou3lem8  26519  itgulm  26582  dvradcnv  26595  abelthlem7  26612  abelthlem8  26613  tanrpcl  26680  tanregt0  26715  efiarg  26783  argregt0  26786  argrege0  26787  argimgt0  26788  tanarg  26795  logdivlti  26796  logno1  26812  logcnlem4  26821  divcxp  26863  cxple2  26873  cxpcn3lem  26923  cxpcn3  26924  cxpaddlelem  26927  cxpaddle  26928  logbrec  26958  asinlem3  27047  rlimcnp  27141  rlimcnp2  27142  rlimcxp  27149  cxp2limlem  27151  cxp2lim  27152  cxploglim2  27154  jensenlem2  27163  amgmlem  27165  logdiflbnd  27170  lgamgulmlem2  27205  lgamucov  27213  basellem3  27258  basellem8  27263  isppw  27289  chpeq0  27383  chteq0  27384  bposlem9  27467  chebbnd1lem2  27645  chebbnd1  27647  chtppilimlem1  27648  chebbnd2  27652  chto1lb  27653  chpchtlim  27654  chpo1ubb  27656  rplogsumlem1  27659  rplogsumlem2  27660  dchrvmasumlem1  27670  dchrvmasum2lem  27671  dchrisum0lema  27689  dchrisum0lem1b  27690  dchrisum0lem1  27691  dchrisum0lem2a  27692  dchrisum0lem2  27693  dchrisum0lem3  27694  dchrisum0  27695  mulog2sumlem1  27709  vmalogdivsum2  27713  vmalogdivsum  27714  2vmadivsumlem  27715  chpdifbndlem1  27728  selberg3lem1  27732  selberg3lem2  27733  selberg3  27734  selberg4lem1  27735  selberg4  27736  selberg3r  27744  selberg4r  27745  selberg34r  27746  pntrlog2bndlem1  27752  pntrlog2bndlem2  27753  pntrlog2bndlem3  27754  pntrlog2bndlem4  27755  pntrlog2bndlem5  27756  pntrlog2bndlem6  27758  pntpbnd2  27762  pntibndlem2  27766  pntlemr  27777  pntlemo  27782  pnt2  27788  pnt  27789  padicabv  27805  padicabvcxp  27807  ostth2lem3  27810  ostth2lem4  27811  ostth3  27813  smcnlem  31060  pjhthlem1  31754  rpxdivcld  33264  xrmulc1cn  34329  esumdivc  34482  probmeasb  34829  signsply0  34947  divsqrtid  34990  hgt750leme  35054  circum  36174  iprodgam  36242  faclimlem1  36243  faclimlem3  36245  knoppndvlem17  37145  knoppndvlem18  37146  itg2addnclem3  38352  geomcau  38438  cntotbnd  38475  bfplem1  38501  rrncmslem  38511  rrnequiv  38514  relogbzexpd  42771  aks4d1p1p1  42858  dvrelogpow2b  42863  aks4d1p1p4  42866  aks4d1p1p6  42868  aks4d1p1p7  42869  aks4d1p5  42875  aks4d1p6  42876  exp11d  43115  rplog11d  43136  irrapxlem5  43581  pellfund14  43653  rmxyneg  43675  rmxyadd  43676  modabsdifz  43741  binomcxplemnotnn0  45094  oddfl  46025  xralrple3  46117  ioodvbdlimc1lem2  46674  ioodvbdlimc2lem  46676  stoweidlem1  46743  stoweidlem14  46756  stoweidlem60  46802  wallispilem4  46810  wallispilem5  46811  wallispi  46812  wallispi2lem1  46813  stirlinglem1  46816  stirlinglem3  46818  stirlinglem4  46819  stirlinglem5  46820  stirlinglem8  46823  stirlinglem12  46827  stirlinglem15  46830  dirkertrigeqlem1  46840  dirkercncflem1  46845  dirkercncflem4  46848  fourierdlem30  46879  fourierdlem39  46888  fourierdlem47  46895  fourierdlem65  46913  fourierdlem73  46921  fourierdlem87  46935  qndenserrnbllem  47036  sge0rpcpnf  47163  hoiqssbllem2  47365  young2d  50680