Theorem rpne0d 12942

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 12910	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  0cc0 11009  ℝ⁺crp 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-addrcl 11070  ax-rnegex 11080  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-rp 12894

This theorem is referenced by:  rprene0d  12945  rpcnne0d  12946  iccf1o  13399  ltexp2r  14080  discr  14147  bcpasc  14228  sqrtdiv  15172  abs00  15196  absdiv  15202  o1rlimmul  15526  geomulcvg  15783  mertenslem1  15791  retanhcl  16068  tanhlt1  16069  tanhbnd  16070  sylow1lem1  19477  nrginvrcnlem  24577  nmoi2  24616  reperflem  24705  icchmeoOLD  24837  icopnfcnv  24838  nmoleub2lem  25012  nmoleub2lem2  25014  nmoleub3  25017  pjthlem1  25335  sca2rab  25411  ovolscalem1  25412  ovolsca  25414  itg2mulclem  25645  itg2mulc  25646  c1liplem1  25899  aalioulem4  26241  aaliou3lem8  26251  itgulm  26315  dvradcnv  26328  abelthlem7  26346  abelthlem8  26347  tanrpcl  26411  tanregt0  26446  efiarg  26514  argregt0  26517  argrege0  26518  argimgt0  26519  tanarg  26526  logdivlti  26527  logno1  26543  logcnlem4  26552  divcxp  26594  cxple2  26604  cxpcn3lem  26655  cxpcn3  26656  cxpaddlelem  26659  cxpaddle  26660  logbrec  26690  asinlem3  26779  rlimcnp  26873  rlimcnp2  26874  rlimcxp  26882  cxp2limlem  26884  cxp2lim  26885  cxploglim2  26887  jensenlem2  26896  amgmlem  26898  logdiflbnd  26903  lgamgulmlem2  26938  lgamucov  26946  basellem3  26991  basellem8  26996  isppw  27022  chpeq0  27117  chteq0  27118  bposlem9  27201  chebbnd1lem2  27379  chebbnd1  27381  chtppilimlem1  27382  chebbnd2  27386  chto1lb  27387  chpchtlim  27388  chpo1ubb  27390  rplogsumlem1  27393  rplogsumlem2  27394  dchrvmasumlem1  27404  dchrvmasum2lem  27405  dchrisum0lema  27423  dchrisum0lem1b  27424  dchrisum0lem1  27425  dchrisum0lem2a  27426  dchrisum0lem2  27427  dchrisum0lem3  27428  dchrisum0  27429  mulog2sumlem1  27443  vmalogdivsum2  27447  vmalogdivsum  27448  2vmadivsumlem  27449  chpdifbndlem1  27462  selberg3lem1  27466  selberg3lem2  27467  selberg3  27468  selberg4lem1  27469  selberg4  27470  selberg3r  27478  selberg4r  27479  selberg34r  27480  pntrlog2bndlem1  27486  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem3  27488  pntrlog2bndlem4  27489  pntrlog2bndlem5  27490  pntrlog2bndlem6  27492  pntpbnd2  27496  pntibndlem2  27500  pntlemr  27511  pntlemo  27516  pnt2  27522  pnt  27523  padicabv  27539  padicabvcxp  27541  ostth2lem3  27544  ostth2lem4  27545  ostth3  27547  smcnlem  30641  pjhthlem1  31335  rpxdivcld  32874  xrmulc1cn  33897  esumdivc  34050  probmeasb  34398  signsply0  34519  divsqrtid  34562  hgt750leme  34626  circum  35651  iprodgam  35719  faclimlem1  35720  faclimlem3  35722  knoppndvlem17  36506  knoppndvlem18  36507  itg2addnclem3  37657  geomcau  37743  cntotbnd  37780  bfplem1  37806  rrncmslem  37816  rrnequiv  37819  relogbzexpd  41952  aks4d1p1p1  42040  dvrelogpow2b  42045  aks4d1p1p4  42048  aks4d1p1p6  42050  aks4d1p1p7  42051  aks4d1p5  42057  aks4d1p6  42058  exp11d  42303  rplog11d  42324  irrapxlem5  42803  pellfund14  42875  rmxyneg  42897  rmxyadd  42898  modabsdifz  42963  binomcxplemnotnn0  44333  oddfl  45264  xralrple3  45357  ioodvbdlimc1lem2  45917  ioodvbdlimc2lem  45919  stoweidlem1  45986  stoweidlem14  45999  stoweidlem60  46045  wallispilem4  46053  wallispilem5  46054  wallispi  46055  wallispi2lem1  46056  stirlinglem1  46059  stirlinglem3  46061  stirlinglem4  46062  stirlinglem5  46063  stirlinglem8  46066  stirlinglem12  46070  stirlinglem15  46073  dirkertrigeqlem1  46083  dirkercncflem1  46088  dirkercncflem4  46091  fourierdlem30  46122  fourierdlem39  46131  fourierdlem47  46138  fourierdlem65  46156  fourierdlem73  46164  fourierdlem87  46178  qndenserrnbllem  46279  sge0rpcpnf  46406  hoiqssbllem2  46608  young2d  49794