Theorem rpne0d 13082

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 13051	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  0cc0 11155  ℝ⁺crp 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addrcl 11216  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-rp 13035

This theorem is referenced by:  rprene0d  13085  rpcnne0d  13086  iccf1o  13536  ltexp2r  14213  discr  14279  bcpasc  14360  sqrtdiv  15304  abs00  15328  absdiv  15334  o1rlimmul  15655  geomulcvg  15912  mertenslem1  15920  retanhcl  16195  tanhlt1  16196  tanhbnd  16197  sylow1lem1  19616  nrginvrcnlem  24712  nmoi2  24751  reperflem  24840  icchmeoOLD  24972  icopnfcnv  24973  nmoleub2lem  25147  nmoleub2lem2  25149  nmoleub3  25152  pjthlem1  25471  sca2rab  25547  ovolscalem1  25548  ovolsca  25550  itg2mulclem  25781  itg2mulc  25782  c1liplem1  26035  aalioulem4  26377  aaliou3lem8  26387  itgulm  26451  dvradcnv  26464  abelthlem7  26482  abelthlem8  26483  tanrpcl  26546  tanregt0  26581  efiarg  26649  argregt0  26652  argrege0  26653  argimgt0  26654  tanarg  26661  logdivlti  26662  logno1  26678  logcnlem4  26687  divcxp  26729  cxple2  26739  cxpcn3lem  26790  cxpcn3  26791  cxpaddlelem  26794  cxpaddle  26795  logbrec  26825  asinlem3  26914  rlimcnp  27008  rlimcnp2  27009  rlimcxp  27017  cxp2limlem  27019  cxp2lim  27020  cxploglim2  27022  jensenlem2  27031  amgmlem  27033  logdiflbnd  27038  lgamgulmlem2  27073  lgamucov  27081  basellem3  27126  basellem8  27131  isppw  27157  chpeq0  27252  chteq0  27253  bposlem9  27336  chebbnd1lem2  27514  chebbnd1  27516  chtppilimlem1  27517  chebbnd2  27521  chto1lb  27522  chpchtlim  27523  chpo1ubb  27525  rplogsumlem1  27528  rplogsumlem2  27529  dchrvmasumlem1  27539  dchrvmasum2lem  27540  dchrisum0lema  27558  dchrisum0lem1b  27559  dchrisum0lem1  27560  dchrisum0lem2a  27561  dchrisum0lem2  27562  dchrisum0lem3  27563  dchrisum0  27564  mulog2sumlem1  27578  vmalogdivsum2  27582  vmalogdivsum  27583  2vmadivsumlem  27584  chpdifbndlem1  27597  selberg3lem1  27601  selberg3lem2  27602  selberg3  27603  selberg4lem1  27604  selberg4  27605  selberg3r  27613  selberg4r  27614  selberg34r  27615  pntrlog2bndlem1  27621  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem3  27623  pntrlog2bndlem4  27624  pntrlog2bndlem5  27625  pntrlog2bndlem6  27627  pntpbnd2  27631  pntibndlem2  27635  pntlemr  27646  pntlemo  27651  pnt2  27657  pnt  27658  padicabv  27674  padicabvcxp  27676  ostth2lem3  27679  ostth2lem4  27680  ostth3  27682  smcnlem  30716  pjhthlem1  31410  rpxdivcld  32916  xrmulc1cn  33929  esumdivc  34084  probmeasb  34432  signsply0  34566  divsqrtid  34609  hgt750leme  34673  circum  35679  iprodgam  35742  faclimlem1  35743  faclimlem3  35745  knoppndvlem17  36529  knoppndvlem18  36530  itg2addnclem3  37680  geomcau  37766  cntotbnd  37803  bfplem1  37829  rrncmslem  37839  rrnequiv  37842  relogbzexpd  41976  aks4d1p1p1  42064  dvrelogpow2b  42069  aks4d1p1p4  42072  aks4d1p1p6  42074  aks4d1p1p7  42075  aks4d1p5  42081  aks4d1p6  42082  exp11d  42361  rplog11d  42383  irrapxlem5  42837  pellfund14  42909  rmxyneg  42932  rmxyadd  42933  modabsdifz  42998  binomcxplemnotnn0  44375  oddfl  45289  xralrple3  45385  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  stoweidlem1  46016  stoweidlem14  46029  stoweidlem60  46075  wallispilem4  46083  wallispilem5  46084  wallispi  46085  wallispi2lem1  46086  stirlinglem1  46089  stirlinglem3  46091  stirlinglem4  46092  stirlinglem5  46093  stirlinglem8  46096  stirlinglem12  46100  stirlinglem15  46103  dirkertrigeqlem1  46113  dirkercncflem1  46118  dirkercncflem4  46121  fourierdlem30  46152  fourierdlem39  46161  fourierdlem47  46168  fourierdlem65  46186  fourierdlem73  46194  fourierdlem87  46208  qndenserrnbllem  46309  sge0rpcpnf  46436  hoiqssbllem2  46638  young2d  49324