Theorem rpne0d 12437

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 12406	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  0cc0 10537  ℝ⁺crp 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-addrcl 10598  ax-rnegex 10608  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-rp 12391

This theorem is referenced by:  rprene0d  12440  rpcnne0d  12441  iccf1o  12883  ltexp2r  13538  discr  13602  bcpasc  13682  sqrtdiv  14625  abs00  14649  absdiv  14655  o1rlimmul  14975  geomulcvg  15232  mertenslem1  15240  retanhcl  15512  tanhlt1  15513  tanhbnd  15514  sylow1lem1  18723  nrginvrcnlem  23300  nmoi2  23339  reperflem  23426  icchmeo  23545  icopnfcnv  23546  nmoleub2lem  23718  nmoleub2lem2  23720  nmoleub3  23723  pjthlem1  24040  sca2rab  24113  ovolscalem1  24114  ovolsca  24116  itg2mulclem  24347  itg2mulc  24348  c1liplem1  24593  aalioulem4  24924  aaliou3lem8  24934  itgulm  24996  dvradcnv  25009  abelthlem7  25026  abelthlem8  25027  tanrpcl  25090  tanregt0  25123  efiarg  25190  argregt0  25193  argrege0  25194  argimgt0  25195  tanarg  25202  logdivlti  25203  logno1  25219  logcnlem4  25228  divcxp  25270  cxple2  25280  cxpcn3lem  25328  cxpcn3  25329  cxpaddlelem  25332  cxpaddle  25333  logbrec  25360  asinlem3  25449  rlimcnp  25543  rlimcnp2  25544  rlimcxp  25551  cxp2limlem  25553  cxp2lim  25554  cxploglim2  25556  jensenlem2  25565  amgmlem  25567  logdiflbnd  25572  lgamgulmlem2  25607  lgamucov  25615  basellem3  25660  basellem8  25665  isppw  25691  chpeq0  25784  chteq0  25785  bposlem9  25868  chebbnd1lem2  26046  chebbnd1  26048  chtppilimlem1  26049  chebbnd2  26053  chto1lb  26054  chpchtlim  26055  chpo1ubb  26057  rplogsumlem1  26060  rplogsumlem2  26061  dchrvmasumlem1  26071  dchrvmasum2lem  26072  dchrisum0lema  26090  dchrisum0lem1b  26091  dchrisum0lem1  26092  dchrisum0lem2a  26093  dchrisum0lem2  26094  dchrisum0lem3  26095  dchrisum0  26096  mulog2sumlem1  26110  vmalogdivsum2  26114  vmalogdivsum  26115  2vmadivsumlem  26116  chpdifbndlem1  26129  selberg3lem1  26133  selberg3lem2  26134  selberg3  26135  selberg4lem1  26136  selberg4  26137  selberg3r  26145  selberg4r  26146  selberg34r  26147  pntrlog2bndlem1  26153  pntrlog2bndlem2  26154  pntrlog2bndlem3  26155  pntrlog2bndlem4  26156  pntrlog2bndlem5  26157  pntrlog2bndlem6  26159  pntpbnd2  26163  pntibndlem2  26167  pntlemr  26178  pntlemo  26183  pnt2  26189  pnt  26190  padicabv  26206  padicabvcxp  26208  ostth2lem3  26211  ostth2lem4  26212  ostth3  26214  smcnlem  28474  pjhthlem1  29168  rpxdivcld  30610  xrmulc1cn  31173  esumdivc  31342  probmeasb  31688  signsply0  31821  divsqrtid  31865  hgt750leme  31929  circum  32917  iprodgam  32974  faclimlem1  32975  faclimlem3  32977  knoppndvlem17  33867  knoppndvlem18  33868  itg2addnclem3  34960  geomcau  35049  cntotbnd  35089  bfplem1  35115  rrncmslem  35125  rrnequiv  35128  cxpgt0d  39229  exp11d  39238  irrapxlem5  39472  pellfund14  39544  rmxyneg  39566  rmxyadd  39567  modabsdifz  39632  binomcxplemnotnn0  40737  oddfl  41592  xralrple3  41691  ioodvbdlimc1lem2  42266  ioodvbdlimc2lem  42268  stoweidlem1  42335  stoweidlem14  42348  stoweidlem60  42394  wallispilem4  42402  wallispilem5  42403  wallispi  42404  wallispi2lem1  42405  stirlinglem1  42408  stirlinglem3  42410  stirlinglem4  42411  stirlinglem5  42412  stirlinglem8  42415  stirlinglem12  42419  stirlinglem15  42422  dirkertrigeqlem1  42432  dirkercncflem1  42437  dirkercncflem4  42440  fourierdlem30  42471  fourierdlem39  42480  fourierdlem47  42487  fourierdlem65  42505  fourierdlem73  42513  fourierdlem87  42527  qndenserrnbllem  42628  sge0rpcpnf  42752  hoiqssbllem2  42954  young2d  44955