Theorem rpne0d 13065

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 13033	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  0cc0 11100  ℝ⁺crp 13016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-addrcl 11161  ax-rnegex 11171  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-rp 13017

This theorem is referenced by:  rprene0d  13068  rpcnne0d  13069  iccf1o  13523  ltexp2r  14209  discr  14276  bcpasc  14357  sqrtdiv  15316  abs00  15340  absdiv  15346  o1rlimmul  15670  geomulcvg  15930  mertenslem1  15938  retanhcl  16215  tanhlt1  16216  tanhbnd  16217  sylow1lem1  19668  nrginvrcnlem  24817  nmoi2  24856  reperflem  24945  icopnfcnv  25070  nmoleub2lem  25242  nmoleub2lem2  25244  nmoleub3  25247  pjthlem1  25565  sca2rab  25640  ovolscalem1  25641  ovolsca  25643  itg2mulclem  25874  itg2mulc  25875  c1liplem1  26124  aalioulem4  26465  aaliou3lem8  26475  itgulm  26537  dvradcnv  26550  abelthlem7  26567  abelthlem8  26568  tanrpcl  26635  tanregt0  26670  efiarg  26738  argregt0  26741  argrege0  26742  argimgt0  26743  tanarg  26750  logdivlti  26751  logno1  26767  logcnlem4  26776  divcxp  26818  cxple2  26828  cxpcn3lem  26878  cxpcn3  26879  cxpaddlelem  26882  cxpaddle  26883  logbrec  26913  asinlem3  27002  rlimcnp  27096  rlimcnp2  27097  rlimcxp  27104  cxp2limlem  27106  cxp2lim  27107  cxploglim2  27109  jensenlem2  27118  amgmlem  27120  logdiflbnd  27125  lgamgulmlem2  27160  lgamucov  27168  basellem3  27213  basellem8  27218  isppw  27244  chpeq0  27338  chteq0  27339  bposlem9  27422  chebbnd1lem2  27600  chebbnd1  27602  chtppilimlem1  27603  chebbnd2  27607  chto1lb  27608  chpchtlim  27609  chpo1ubb  27611  rplogsumlem1  27614  rplogsumlem2  27615  dchrvmasumlem1  27625  dchrvmasum2lem  27626  dchrisum0lema  27644  dchrisum0lem1b  27645  dchrisum0lem1  27646  dchrisum0lem2a  27647  dchrisum0lem2  27648  dchrisum0lem3  27649  dchrisum0  27650  mulog2sumlem1  27664  vmalogdivsum2  27668  vmalogdivsum  27669  2vmadivsumlem  27670  chpdifbndlem1  27683  selberg3lem1  27687  selberg3lem2  27688  selberg3  27689  selberg4lem1  27690  selberg4  27691  selberg3r  27699  selberg4r  27700  selberg34r  27701  pntrlog2bndlem1  27707  pntrlog2bndlem2  27708  pntrlog2bndlem3  27709  pntrlog2bndlem4  27710  pntrlog2bndlem5  27711  pntrlog2bndlem6  27713  pntpbnd2  27717  pntibndlem2  27721  pntlemr  27732  pntlemo  27737  pnt2  27743  pnt  27744  padicabv  27760  padicabvcxp  27762  ostth2lem3  27765  ostth2lem4  27766  ostth3  27768  smcnlem  30990  pjhthlem1  31684  rpxdivcld  33194  xrmulc1cn  34265  esumdivc  34418  probmeasb  34765  signsply0  34883  divsqrtid  34926  hgt750leme  34990  circum  36099  iprodgam  36167  faclimlem1  36168  faclimlem3  36170  knoppndvlem17  37040  knoppndvlem18  37041  itg2addnclem3  38247  geomcau  38333  cntotbnd  38370  bfplem1  38396  rrncmslem  38406  rrnequiv  38409  relogbzexpd  42668  aks4d1p1p1  42755  dvrelogpow2b  42760  aks4d1p1p4  42763  aks4d1p1p6  42765  aks4d1p1p7  42766  aks4d1p5  42772  aks4d1p6  42773  exp11d  43012  rplog11d  43033  irrapxlem5  43480  pellfund14  43552  rmxyneg  43574  rmxyadd  43575  modabsdifz  43640  binomcxplemnotnn0  44993  oddfl  45924  xralrple3  46016  ioodvbdlimc1lem2  46573  ioodvbdlimc2lem  46575  stoweidlem1  46642  stoweidlem14  46655  stoweidlem60  46701  wallispilem4  46709  wallispilem5  46710  wallispi  46711  wallispi2lem1  46712  stirlinglem1  46715  stirlinglem3  46717  stirlinglem4  46718  stirlinglem5  46719  stirlinglem8  46722  stirlinglem12  46726  stirlinglem15  46729  dirkertrigeqlem1  46739  dirkercncflem1  46744  dirkercncflem4  46747  fourierdlem30  46778  fourierdlem39  46787  fourierdlem47  46794  fourierdlem65  46812  fourierdlem73  46820  fourierdlem87  46834  qndenserrnbllem  46935  sge0rpcpnf  47062  hoiqssbllem2  47264  young2d  50514