Theorem rpne0d 13005

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 12974	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  0cc0 11094  ℝ⁺crp 12958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-addrcl 11155  ax-rnegex 11165  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-po 5582  df-so 5583  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-ltxr 11237  df-rp 12959

This theorem is referenced by:  rprene0d  13008  rpcnne0d  13009  iccf1o  13457  ltexp2r  14122  discr  14187  bcpasc  14265  sqrtdiv  15196  abs00  15220  absdiv  15226  o1rlimmul  15547  geomulcvg  15806  mertenslem1  15814  retanhcl  16086  tanhlt1  16087  tanhbnd  16088  sylow1lem1  19432  nrginvrcnlem  24139  nmoi2  24178  reperflem  24265  icchmeo  24388  icopnfcnv  24389  nmoleub2lem  24561  nmoleub2lem2  24563  nmoleub3  24566  pjthlem1  24885  sca2rab  24960  ovolscalem1  24961  ovolsca  24963  itg2mulclem  25195  itg2mulc  25196  c1liplem1  25444  aalioulem4  25779  aaliou3lem8  25789  itgulm  25851  dvradcnv  25864  abelthlem7  25881  abelthlem8  25882  tanrpcl  25945  tanregt0  25979  efiarg  26046  argregt0  26049  argrege0  26050  argimgt0  26051  tanarg  26058  logdivlti  26059  logno1  26075  logcnlem4  26084  divcxp  26126  cxple2  26136  cxpcn3lem  26184  cxpcn3  26185  cxpaddlelem  26188  cxpaddle  26189  logbrec  26216  asinlem3  26305  rlimcnp  26399  rlimcnp2  26400  rlimcxp  26407  cxp2limlem  26409  cxp2lim  26410  cxploglim2  26412  jensenlem2  26421  amgmlem  26423  logdiflbnd  26428  lgamgulmlem2  26463  lgamucov  26471  basellem3  26516  basellem8  26521  isppw  26547  chpeq0  26640  chteq0  26641  bposlem9  26724  chebbnd1lem2  26902  chebbnd1  26904  chtppilimlem1  26905  chebbnd2  26909  chto1lb  26910  chpchtlim  26911  chpo1ubb  26913  rplogsumlem1  26916  rplogsumlem2  26917  dchrvmasumlem1  26927  dchrvmasum2lem  26928  dchrisum0lema  26946  dchrisum0lem1b  26947  dchrisum0lem1  26948  dchrisum0lem2a  26949  dchrisum0lem2  26950  dchrisum0lem3  26951  dchrisum0  26952  mulog2sumlem1  26966  vmalogdivsum2  26970  vmalogdivsum  26971  2vmadivsumlem  26972  chpdifbndlem1  26985  selberg3lem1  26989  selberg3lem2  26990  selberg3  26991  selberg4lem1  26992  selberg4  26993  selberg3r  27001  selberg4r  27002  selberg34r  27003  pntrlog2bndlem1  27009  pntrlog2bndlem2  27010  pntrlog2bndlem3  27011  pntrlog2bndlem4  27012  pntrlog2bndlem5  27013  pntrlog2bndlem6  27015  pntpbnd2  27019  pntibndlem2  27023  pntlemr  27034  pntlemo  27039  pnt2  27045  pnt  27046  padicabv  27062  padicabvcxp  27064  ostth2lem3  27067  ostth2lem4  27068  ostth3  27070  smcnlem  29877  pjhthlem1  30571  rpxdivcld  32035  xrmulc1cn  32805  esumdivc  32976  probmeasb  33324  signsply0  33457  divsqrtid  33501  hgt750leme  33565  circum  34554  iprodgam  34606  faclimlem1  34607  faclimlem3  34609  knoppndvlem17  35272  knoppndvlem18  35273  itg2addnclem3  36409  geomcau  36496  cntotbnd  36533  bfplem1  36559  rrncmslem  36569  rrnequiv  36572  relogbzexpd  40709  aks4d1p1p1  40797  dvrelogpow2b  40802  aks4d1p1p4  40805  aks4d1p1p6  40807  aks4d1p1p7  40808  aks4d1p5  40814  aks4d1p6  40815  exp11d  41061  irrapxlem5  41399  pellfund14  41471  rmxyneg  41494  rmxyadd  41495  modabsdifz  41560  binomcxplemnotnn0  42950  oddfl  43824  xralrple3  43921  ioodvbdlimc1lem2  44485  ioodvbdlimc2lem  44487  stoweidlem1  44554  stoweidlem14  44567  stoweidlem60  44613  wallispilem4  44621  wallispilem5  44622  wallispi  44623  wallispi2lem1  44624  stirlinglem1  44627  stirlinglem3  44629  stirlinglem4  44630  stirlinglem5  44631  stirlinglem8  44634  stirlinglem12  44638  stirlinglem15  44641  dirkertrigeqlem1  44651  dirkercncflem1  44656  dirkercncflem4  44659  fourierdlem30  44690  fourierdlem39  44699  fourierdlem47  44706  fourierdlem65  44724  fourierdlem73  44732  fourierdlem87  44746  qndenserrnbllem  44847  sge0rpcpnf  44974  hoiqssbllem2  45176  young2d  47564