Theorem rpne0d 13056

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 13025	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  0cc0 11129  ℝ⁺crp 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-addrcl 11190  ax-rnegex 11200  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-rp 13009

This theorem is referenced by:  rprene0d  13059  rpcnne0d  13060  iccf1o  13513  ltexp2r  14191  discr  14258  bcpasc  14339  sqrtdiv  15284  abs00  15308  absdiv  15314  o1rlimmul  15635  geomulcvg  15892  mertenslem1  15900  retanhcl  16177  tanhlt1  16178  tanhbnd  16179  sylow1lem1  19579  nrginvrcnlem  24630  nmoi2  24669  reperflem  24758  icchmeoOLD  24890  icopnfcnv  24891  nmoleub2lem  25065  nmoleub2lem2  25067  nmoleub3  25070  pjthlem1  25389  sca2rab  25465  ovolscalem1  25466  ovolsca  25468  itg2mulclem  25699  itg2mulc  25700  c1liplem1  25953  aalioulem4  26295  aaliou3lem8  26305  itgulm  26369  dvradcnv  26382  abelthlem7  26400  abelthlem8  26401  tanrpcl  26465  tanregt0  26500  efiarg  26568  argregt0  26571  argrege0  26572  argimgt0  26573  tanarg  26580  logdivlti  26581  logno1  26597  logcnlem4  26606  divcxp  26648  cxple2  26658  cxpcn3lem  26709  cxpcn3  26710  cxpaddlelem  26713  cxpaddle  26714  logbrec  26744  asinlem3  26833  rlimcnp  26927  rlimcnp2  26928  rlimcxp  26936  cxp2limlem  26938  cxp2lim  26939  cxploglim2  26941  jensenlem2  26950  amgmlem  26952  logdiflbnd  26957  lgamgulmlem2  26992  lgamucov  27000  basellem3  27045  basellem8  27050  isppw  27076  chpeq0  27171  chteq0  27172  bposlem9  27255  chebbnd1lem2  27433  chebbnd1  27435  chtppilimlem1  27436  chebbnd2  27440  chto1lb  27441  chpchtlim  27442  chpo1ubb  27444  rplogsumlem1  27447  rplogsumlem2  27448  dchrvmasumlem1  27458  dchrvmasum2lem  27459  dchrisum0lema  27477  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  dchrisum0lem3  27482  dchrisum0  27483  mulog2sumlem1  27497  vmalogdivsum2  27501  vmalogdivsum  27502  2vmadivsumlem  27503  chpdifbndlem1  27516  selberg3lem1  27520  selberg3lem2  27521  selberg3  27522  selberg4lem1  27523  selberg4  27524  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6  27546  pntpbnd2  27550  pntibndlem2  27554  pntlemr  27565  pntlemo  27570  pnt2  27576  pnt  27577  padicabv  27593  padicabvcxp  27595  ostth2lem3  27598  ostth2lem4  27599  ostth3  27601  smcnlem  30678  pjhthlem1  31372  rpxdivcld  32908  xrmulc1cn  33961  esumdivc  34114  probmeasb  34462  signsply0  34583  divsqrtid  34626  hgt750leme  34690  circum  35696  iprodgam  35759  faclimlem1  35760  faclimlem3  35762  knoppndvlem17  36546  knoppndvlem18  36547  itg2addnclem3  37697  geomcau  37783  cntotbnd  37820  bfplem1  37846  rrncmslem  37856  rrnequiv  37859  relogbzexpd  41988  aks4d1p1p1  42076  dvrelogpow2b  42081  aks4d1p1p4  42084  aks4d1p1p6  42086  aks4d1p1p7  42087  aks4d1p5  42093  aks4d1p6  42094  exp11d  42375  rplog11d  42396  irrapxlem5  42849  pellfund14  42921  rmxyneg  42944  rmxyadd  42945  modabsdifz  43010  binomcxplemnotnn0  44380  oddfl  45306  xralrple3  45401  ioodvbdlimc1lem2  45961  ioodvbdlimc2lem  45963  stoweidlem1  46030  stoweidlem14  46043  stoweidlem60  46089  wallispilem4  46097  wallispilem5  46098  wallispi  46099  wallispi2lem1  46100  stirlinglem1  46103  stirlinglem3  46105  stirlinglem4  46106  stirlinglem5  46107  stirlinglem8  46110  stirlinglem12  46114  stirlinglem15  46117  dirkertrigeqlem1  46127  dirkercncflem1  46132  dirkercncflem4  46135  fourierdlem30  46166  fourierdlem39  46175  fourierdlem47  46182  fourierdlem65  46200  fourierdlem73  46208  fourierdlem87  46222  qndenserrnbllem  46323  sge0rpcpnf  46450  hoiqssbllem2  46652  young2d  49669