Theorem rpne0d 12956

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 12924	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  0cc0 11028  ℝ⁺crp 12907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-addrcl 11089  ax-rnegex 11099  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-rp 12908

This theorem is referenced by:  rprene0d  12959  rpcnne0d  12960  iccf1o  13414  ltexp2r  14098  discr  14165  bcpasc  14246  sqrtdiv  15190  abs00  15214  absdiv  15220  o1rlimmul  15544  geomulcvg  15801  mertenslem1  15809  retanhcl  16086  tanhlt1  16087  tanhbnd  16088  sylow1lem1  19529  nrginvrcnlem  24637  nmoi2  24676  reperflem  24765  icchmeoOLD  24897  icopnfcnv  24898  nmoleub2lem  25072  nmoleub2lem2  25074  nmoleub3  25077  pjthlem1  25395  sca2rab  25471  ovolscalem1  25472  ovolsca  25474  itg2mulclem  25705  itg2mulc  25706  c1liplem1  25959  aalioulem4  26301  aaliou3lem8  26311  itgulm  26375  dvradcnv  26388  abelthlem7  26406  abelthlem8  26407  tanrpcl  26471  tanregt0  26506  efiarg  26574  argregt0  26577  argrege0  26578  argimgt0  26579  tanarg  26586  logdivlti  26587  logno1  26603  logcnlem4  26612  divcxp  26654  cxple2  26664  cxpcn3lem  26715  cxpcn3  26716  cxpaddlelem  26719  cxpaddle  26720  logbrec  26750  asinlem3  26839  rlimcnp  26933  rlimcnp2  26934  rlimcxp  26942  cxp2limlem  26944  cxp2lim  26945  cxploglim2  26947  jensenlem2  26956  amgmlem  26958  logdiflbnd  26963  lgamgulmlem2  26998  lgamucov  27006  basellem3  27051  basellem8  27056  isppw  27082  chpeq0  27177  chteq0  27178  bposlem9  27261  chebbnd1lem2  27439  chebbnd1  27441  chtppilimlem1  27442  chebbnd2  27446  chto1lb  27447  chpchtlim  27448  chpo1ubb  27450  rplogsumlem1  27453  rplogsumlem2  27454  dchrvmasumlem1  27464  dchrvmasum2lem  27465  dchrisum0lema  27483  dchrisum0lem1b  27484  dchrisum0lem1  27485  dchrisum0lem2a  27486  dchrisum0lem2  27487  dchrisum0lem3  27488  dchrisum0  27489  mulog2sumlem1  27503  vmalogdivsum2  27507  vmalogdivsum  27508  2vmadivsumlem  27509  chpdifbndlem1  27522  selberg3lem1  27526  selberg3lem2  27527  selberg3  27528  selberg4lem1  27529  selberg4  27530  selberg3r  27538  selberg4r  27539  selberg34r  27540  pntrlog2bndlem1  27546  pntrlog2bndlem2  27547  pntrlog2bndlem3  27548  pntrlog2bndlem4  27549  pntrlog2bndlem5  27550  pntrlog2bndlem6  27552  pntpbnd2  27556  pntibndlem2  27560  pntlemr  27571  pntlemo  27576  pnt2  27582  pnt  27583  padicabv  27599  padicabvcxp  27601  ostth2lem3  27604  ostth2lem4  27605  ostth3  27607  smcnlem  30753  pjhthlem1  31447  rpxdivcld  32994  xrmulc1cn  34066  esumdivc  34219  probmeasb  34566  signsply0  34687  divsqrtid  34730  hgt750leme  34794  circum  35847  iprodgam  35915  faclimlem1  35916  faclimlem3  35918  knoppndvlem17  36701  knoppndvlem18  36702  itg2addnclem3  37843  geomcau  37929  cntotbnd  37966  bfplem1  37992  rrncmslem  38002  rrnequiv  38005  relogbzexpd  42264  aks4d1p1p1  42352  dvrelogpow2b  42357  aks4d1p1p4  42360  aks4d1p1p6  42362  aks4d1p1p7  42363  aks4d1p5  42369  aks4d1p6  42370  exp11d  42618  rplog11d  42639  irrapxlem5  43105  pellfund14  43177  rmxyneg  43199  rmxyadd  43200  modabsdifz  43265  binomcxplemnotnn0  44634  oddfl  45563  xralrple3  45655  ioodvbdlimc1lem2  46213  ioodvbdlimc2lem  46215  stoweidlem1  46282  stoweidlem14  46295  stoweidlem60  46341  wallispilem4  46349  wallispilem5  46350  wallispi  46351  wallispi2lem1  46352  stirlinglem1  46355  stirlinglem3  46357  stirlinglem4  46358  stirlinglem5  46359  stirlinglem8  46362  stirlinglem12  46366  stirlinglem15  46369  dirkertrigeqlem1  46379  dirkercncflem1  46384  dirkercncflem4  46387  fourierdlem30  46418  fourierdlem39  46427  fourierdlem47  46434  fourierdlem65  46452  fourierdlem73  46460  fourierdlem87  46474  qndenserrnbllem  46575  sge0rpcpnf  46702  hoiqssbllem2  46904  young2d  50087