Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem51 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem51 44378
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here 𝐷 is used to represent 𝐴 in the paper, because here 𝐴 is used for the subalgebra of functions. 𝐸 is used to represent Ρ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem51.1 β„²π‘–πœ‘
stoweidlem51.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem51.3 β„²π‘€πœ‘
stoweidlem51.4 Ⅎ𝑀𝑉
stoweidlem51.5 π‘Œ = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
stoweidlem51.6 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
stoweidlem51.7 𝑋 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
stoweidlem51.8 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem51.9 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
stoweidlem51.10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem51.11 (πœ‘ β†’ π‘Š:(1...𝑀)βŸΆπ‘‰)
stoweidlem51.12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
stoweidlem51.13 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 βŠ† 𝑇)
stoweidlem51.14 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ ran π‘Š)
stoweidlem51.15 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† 𝑇)
stoweidlem51.16 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑇)
stoweidlem51.17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀))
stoweidlem51.18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
stoweidlem51.19 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem51.20 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem51.21 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
stoweidlem51.22 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem51.23 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem51 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,β„Ž,𝑑,𝐴   𝑓,𝑖,𝑀,β„Ž,𝑑   𝑓,𝐹,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑑   π‘ˆ,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑑   𝑓,π‘Œ,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑔,𝑀   𝑀,𝑖,𝑇   𝐡,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝐸   π‘ˆ,𝑖   𝑖,π‘Š,𝑀   π‘₯,𝑑,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑀,𝑑,β„Ž,𝑖)   𝐴(𝑀,𝑖)   𝐡(𝑀,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐷(𝑀,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝑃(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘ˆ(π‘₯,𝑀)   𝐸(𝑀,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐹(π‘₯,𝑀,𝑑,β„Ž,𝑖)   𝑀(π‘₯,𝑀)   𝑉(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘Š(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝑋(𝑀,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘Œ(π‘₯,𝑀,𝑑,β„Ž,𝑖)   𝑍(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem51
StepHypRef Expression
1 stoweidlem51.5 . . . 4 π‘Œ = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
2 ssrab2 4038 . . . 4 {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)} βŠ† 𝐴
31, 2eqsstri 3979 . . 3 π‘Œ βŠ† 𝐴
4 stoweidlem51.6 . . . 4 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
5 stoweidlem51.7 . . . 4 𝑋 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
6 1zzd 12539 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
7 stoweidlem51.10 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
87nnzd 12531 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
97nnge1d 12206 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑀)
107nnred 12173 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
1110leidd 11726 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ 𝑀)
126, 8, 8, 9, 11elfzd 13438 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
13 stoweidlem51.12 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
14 stoweidlem51.2 . . . . 5 β„²π‘‘πœ‘
15 eqid 2733 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))
16 stoweidlem51.20 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
17 stoweidlem51.19 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
1814, 1, 15, 16, 17stoweidlem16 44343 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
19 stoweidlem51.21 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
204, 5, 12, 13, 18, 19fmulcl 43908 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Œ)
213, 20sselid 3943 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
221eleq2i 2826 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ π‘Œ ↔ 𝑋 ∈ {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)})
23 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²β„Ž1
24 nfrab1 3425 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²β„Ž{β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
251, 24nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . 13 β„²β„Žπ‘Œ
26 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²β„Ž(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))
2725, 25, 26nfmpo 7440 . . . . . . . . . . . 12 β„²β„Ž(𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
284, 27nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . 11 β„²β„Žπ‘ƒ
29 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²β„Žπ‘ˆ
3023, 28, 29nfseq 13922 . . . . . . . . . 10 β„²β„Žseq1(𝑃, π‘ˆ)
31 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²β„Žπ‘€
3230, 31nffv 6853 . . . . . . . . 9 β„²β„Ž(seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
335, 32nfcxfr 2902 . . . . . . . 8 β„²β„Žπ‘‹
34 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²β„Žπ΄
35 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²β„Žπ‘‡
36 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²β„Ž0
37 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²β„Ž ≀
38 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 β„²β„Žπ‘‘
3933, 38nffv 6853 . . . . . . . . . . 11 β„²β„Ž(π‘‹β€˜π‘‘)
4036, 37, 39nfbr 5153 . . . . . . . . . 10 β„²β„Ž0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘)
4139, 37, 23nfbr 5153 . . . . . . . . . 10 β„²β„Ž(π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1
4240, 41nfan 1903 . . . . . . . . 9 β„²β„Ž(0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1)
4335, 42nfralw 3293 . . . . . . . 8 β„²β„Žβˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1)
44 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑑1
45 nfra1 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)
46 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑑𝐴
4745, 46nfrabw 3439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑑{β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
481, 47nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘‘π‘Œ
49 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))
5048, 48, 49nfmpo 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑑(𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
514, 50nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑑𝑃
52 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘‘π‘ˆ
5344, 51, 52nfseq 13922 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑seq1(𝑃, π‘ˆ)
54 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑𝑀
5553, 54nffv 6853 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑(seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
565, 55nfcxfr 2902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑𝑋
5756nfeq2 2921 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑 β„Ž = 𝑋
58 fveq1 6842 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = 𝑋 β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = (π‘‹β€˜π‘‘))
5958breq2d 5118 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = 𝑋 β†’ (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘)))
6058breq1d 5116 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = 𝑋 β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1))
6159, 60anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (β„Ž = 𝑋 β†’ ((0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1)))
6257, 61ralbid 3255 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1)))
6333, 34, 43, 62elrabf 3642 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)} ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1)))
6422, 63bitri 275 . . . . . 6 (𝑋 ∈ π‘Œ ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1)))
6520, 64sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1)))
6665simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1))
67 stoweidlem51.1 . . . . 5 β„²π‘–πœ‘
68 stoweidlem51.8 . . . . 5 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
69 stoweidlem51.9 . . . . 5 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
70 stoweidlem51.11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š:(1...𝑀)βŸΆπ‘‰)
71 stoweidlem51.14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ ran π‘Š)
72 stoweidlem51.15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† 𝑇)
73 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 𝑖 ∈ (1...𝑀)
7414, 73nfan 1903 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀))
7513ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ)
76 fveq1 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
7776breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
7876breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1))
7977, 78anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ ((0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
8079ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
8180, 1elrab2 3649 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ ↔ ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
8281simplbi 499 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴)
8375, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴)
84 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴))
8584anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴)))
86 feq1 6650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
8785, 86imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)))
8816a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„))
8987, 88vtoclga 3533 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
9089anabsi7 670 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
9183, 90syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
9291adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
9370ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ 𝑉)
94 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ πœ‘)
9594, 93jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πœ‘ ∧ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ 𝑉))
96 stoweidlem51.3 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘€πœ‘
97 stoweidlem51.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑀𝑉
9897nfel2 2922 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑀(π‘Šβ€˜π‘–) ∈ 𝑉
9996, 98nfan 1903 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑀(πœ‘ ∧ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ 𝑉)
100 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑀(π‘Šβ€˜π‘–) βŠ† 𝑇
10199, 100nfim 1900 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑀((πœ‘ ∧ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ 𝑉) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) βŠ† 𝑇)
102 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (π‘Šβ€˜π‘–) β†’ (𝑀 ∈ 𝑉 ↔ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ 𝑉))
103102anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (π‘Šβ€˜π‘–) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ 𝑉)))
104 sseq1 3970 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (π‘Šβ€˜π‘–) β†’ (𝑀 βŠ† 𝑇 ↔ (π‘Šβ€˜π‘–) βŠ† 𝑇))
105103, 104imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (π‘Šβ€˜π‘–) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 βŠ† 𝑇) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ 𝑉) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) βŠ† 𝑇)))
106 stoweidlem51.13 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 βŠ† 𝑇)
107101, 105, 106vtoclg1f 3523 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Šβ€˜π‘–) ∈ 𝑉 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ 𝑉) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) βŠ† 𝑇))
10893, 95, 107sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) βŠ† 𝑇)
109108sselda 3945 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
11092, 109ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
111 stoweidlem51.22 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
112111rpred 12962 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
113112ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
11410ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
1157nnne0d 12208 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
116115ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ 𝑀 β‰  0)
117113, 114, 116redivcld 11988 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ (𝐸 / 𝑀) ∈ ℝ)
118 stoweidlem51.17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀))
119118r19.21bi 3233 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀))
120 1red 11161 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
121 0lt1 11682 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
1237nngt0d 12207 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
124111rpregt0d 12968 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
125 lediv2 12050 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) β†’ (1 ≀ 𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≀ (𝐸 / 1)))
126120, 122, 10, 123, 124, 125syl221anc 1382 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 ≀ 𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≀ (𝐸 / 1)))
1279, 126mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) ≀ (𝐸 / 1))
128111rpcnd 12964 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
129128div1d 11928 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 1) = 𝐸)
130127, 129breqtrd 5132 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) ≀ 𝐸)
131130ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ (𝐸 / 𝑀) ≀ 𝐸)
132110, 117, 113, 119, 131ltletrd 11320 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < 𝐸)
133132ex 414 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑑 ∈ (π‘Šβ€˜π‘–) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < 𝐸))
13474, 133ralrimi 3239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) < 𝐸)
13567, 14, 1, 4, 5, 68, 69, 7, 70, 13, 71, 72, 134, 19, 16, 17, 111stoweidlem48 44375 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸)
136 stoweidlem51.18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
137 stoweidlem51.23 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
1383sseli 3941 . . . . . 6 (𝑓 ∈ π‘Œ β†’ 𝑓 ∈ 𝐴)
139138, 16sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
140 stoweidlem51.16 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑇)
14167, 14, 48, 4, 5, 68, 69, 7, 13, 136, 111, 137, 139, 18, 19, 140stoweidlem42 44369 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘))
14266, 135, 1413jca 1129 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘)))
14321, 142jca 513 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘))))
144 eleq1 2822 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
14556nfeq2 2921 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 π‘₯ = 𝑋
146 fveq1 6842 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯β€˜π‘‘) = (π‘‹β€˜π‘‘))
147146breq2d 5118 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘)))
148146breq1d 5116 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1))
149147, 148anbi12d 632 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1)))
150145, 149ralbid 3255 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1)))
151146breq1d 5116 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ↔ (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸))
152145, 151ralbid 3255 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸))
153146breq2d 5118 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘) ↔ (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘)))
154145, 153ralbid 3255 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘)))
155150, 152, 1543anbi123d 1437 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)) ↔ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘))))
156144, 155anbi12d 632 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘))) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘)))))
157156spcegv 3555 . 2 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)))))
15821, 143, 157sylc 65 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   Β· cmul 11061   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  3c3 12214  β„+crp 12920  ...cfz 13430  seqcseq 13912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974
This theorem is referenced by:  stoweidlem54  44381
  Copyright terms: Public domain W3C validator