Theorem lemuldivd 13067

Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
lemuldivd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem lemuldivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmul1d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltmul1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 13024	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
5		lemuldiv 12096	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112   · cmul 11117   < clt 11250   ≤ cle 11251   / cdiv 11873  ℝ⁺crp 12976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-rp 12977

This theorem is referenced by:  leexp2a  14139  bitsfzolem  16377  bitsfzo  16378  bitscmp  16381  gexexlem  19722  ovolsca  25039  abelthlem7  25957  cxpaddle  26267  divsqrtsumo1  26495  fsumharmonic  26523  lgamgulmlem5  26544  basellem8  26599  fsumvma2  26724  chpchtsum  26729  chpub  26730  logexprlim  26735  efexple  26791  chpchtlim  26989  rplogsumlem2  26995  dchrisum0lem1a  26996  dchrmusum2  27004  dchrvmasumlem2  27008  dchrisum0lem1  27026  mulog2sumlem2  27045  vmalogdivsum2  27048  2vmadivsumlem  27050  selberglem2  27056  chpdifbndlem1  27063  selberg3lem1  27067  selberg4lem1  27070  pntrlog2bndlem5  27091  pntlemh  27109  pntlemn  27110  pntlemr  27112  pntlemj  27113  ttgcontlem1  28180  logdivsqrle  33731  unbdqndv2lem2  35472  itg2addnclem2  36626  3lexlogpow5ineq5  41011  aks4d1p8  41038  fourierdlem64  44965