![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lemuldivd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmul1d.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
ltmul1d.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
ltmul1d.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ+) |
Ref | Expression |
---|---|
lemuldivd | โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ถ) โค ๐ต โ ๐ด โค (๐ต / ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ltmul1d.1 | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | ltmul1d.2 | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | ltmul1d.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ+) | |
4 | 3 | rpregt0d 12964 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) |
5 | lemuldiv 12036 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) โค ๐ต โ ๐ด โค (๐ต / ๐ถ))) | |
6 | 1, 2, 4, 5 | syl3anc 1372 | 1 โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ถ) โค ๐ต โ ๐ด โค (๐ต / ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โ wcel 2107 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 โcr 11051 0cc0 11052 ยท cmul 11057 < clt 11190 โค cle 11191 / cdiv 11813 โ+crp 12916 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-po 5546 df-so 5547 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-div 11814 df-rp 12917 |
This theorem is referenced by: leexp2a 14078 bitsfzolem 16315 bitsfzo 16316 bitscmp 16319 gexexlem 19631 ovolsca 24882 abelthlem7 25800 cxpaddle 26108 divsqrtsumo1 26336 fsumharmonic 26364 lgamgulmlem5 26385 basellem8 26440 fsumvma2 26565 chpchtsum 26570 chpub 26571 logexprlim 26576 efexple 26632 chpchtlim 26830 rplogsumlem2 26836 dchrisum0lem1a 26837 dchrmusum2 26845 dchrvmasumlem2 26849 dchrisum0lem1 26867 mulog2sumlem2 26886 vmalogdivsum2 26889 2vmadivsumlem 26891 selberglem2 26897 chpdifbndlem1 26904 selberg3lem1 26908 selberg4lem1 26911 pntrlog2bndlem5 26932 pntlemh 26950 pntlemn 26951 pntlemr 26953 pntlemj 26954 ttgcontlem1 27836 logdivsqrle 33266 unbdqndv2lem2 34976 itg2addnclem2 36133 3lexlogpow5ineq5 40520 aks4d1p8 40547 fourierdlem64 44418 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |