![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lemuldivd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmul1d.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
ltmul1d.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
ltmul1d.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ+) |
Ref | Expression |
---|---|
lemuldivd | โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ถ) โค ๐ต โ ๐ด โค (๐ต / ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ltmul1d.1 | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | ltmul1d.2 | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | ltmul1d.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ+) | |
4 | 3 | rpregt0d 13027 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) |
5 | lemuldiv 12099 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) โค ๐ต โ ๐ด โค (๐ต / ๐ถ))) | |
6 | 1, 2, 4, 5 | syl3anc 1370 | 1 โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ถ) โค ๐ต โ ๐ด โค (๐ต / ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โ wcel 2105 class class class wbr 5149 (class class class)co 7412 โcr 11112 0cc0 11113 ยท cmul 11118 < clt 11253 โค cle 11254 / cdiv 11876 โ+crp 12979 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7728 ax-resscn 11170 ax-1cn 11171 ax-icn 11172 ax-addcl 11173 ax-addrcl 11174 ax-mulcl 11175 ax-mulrcl 11176 ax-mulcom 11177 ax-addass 11178 ax-mulass 11179 ax-distr 11180 ax-i2m1 11181 ax-1ne0 11182 ax-1rid 11183 ax-rnegex 11184 ax-rrecex 11185 ax-cnre 11186 ax-pre-lttri 11187 ax-pre-lttrn 11188 ax-pre-ltadd 11189 ax-pre-mulgt0 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-po 5589 df-so 5590 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-er 8706 df-en 8943 df-dom 8944 df-sdom 8945 df-pnf 11255 df-mnf 11256 df-xr 11257 df-ltxr 11258 df-le 11259 df-sub 11451 df-neg 11452 df-div 11877 df-rp 12980 |
This theorem is referenced by: leexp2a 14142 bitsfzolem 16380 bitsfzo 16381 bitscmp 16384 gexexlem 19762 ovolsca 25265 abelthlem7 26183 cxpaddle 26493 divsqrtsumo1 26721 fsumharmonic 26749 lgamgulmlem5 26770 basellem8 26825 fsumvma2 26950 chpchtsum 26955 chpub 26956 logexprlim 26961 efexple 27017 chpchtlim 27215 rplogsumlem2 27221 dchrisum0lem1a 27222 dchrmusum2 27230 dchrvmasumlem2 27234 dchrisum0lem1 27252 mulog2sumlem2 27271 vmalogdivsum2 27274 2vmadivsumlem 27276 selberglem2 27282 chpdifbndlem1 27289 selberg3lem1 27293 selberg4lem1 27296 pntrlog2bndlem5 27317 pntlemh 27335 pntlemn 27336 pntlemr 27338 pntlemj 27339 ttgcontlem1 28406 logdivsqrle 33957 unbdqndv2lem2 35690 itg2addnclem2 36844 3lexlogpow5ineq5 41232 aks4d1p8 41259 fourierdlem64 45186 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |