Theorem lemuldivd 13123

Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
lemuldivd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem lemuldivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmul1d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltmul1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 13080	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
5		lemuldiv 12145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152   · cmul 11157   < clt 11292   ≤ cle 11293   / cdiv 11917  ℝ⁺crp 13031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-rp 13032

This theorem is referenced by:  leexp2a  14208  bitsfzolem  16467  bitsfzo  16468  bitscmp  16471  gexexlem  19884  ovolsca  25563  abelthlem7  26496  cxpaddle  26809  divsqrtsumo1  27041  fsumharmonic  27069  lgamgulmlem5  27090  basellem8  27145  fsumvma2  27272  chpchtsum  27277  chpub  27278  logexprlim  27283  efexple  27339  chpchtlim  27537  rplogsumlem2  27543  dchrisum0lem1a  27544  dchrmusum2  27552  dchrvmasumlem2  27556  dchrisum0lem1  27574  mulog2sumlem2  27593  vmalogdivsum2  27596  2vmadivsumlem  27598  selberglem2  27604  chpdifbndlem1  27611  selberg3lem1  27615  selberg4lem1  27618  pntrlog2bndlem5  27639  pntlemh  27657  pntlemn  27658  pntlemr  27660  pntlemj  27661  ttgcontlem1  28913  logdivsqrle  34643  unbdqndv2lem2  36492  itg2addnclem2  37658  3lexlogpow5ineq5  42041  aks4d1p8  42068  aks6d1c2lem4  42108  fourierdlem64  46125