Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem42 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem42 46057
Description: This lemma is used to prove that 𝑥 built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x > 1 - ε on B. Here 𝑋 is used to represent 𝑥 in the paper, and E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem42.1 𝑖𝜑
stoweidlem42.2 𝑡𝜑
stoweidlem42.3 𝑡𝑌
stoweidlem42.4 𝑃 = (𝑓𝑌, 𝑔𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
stoweidlem42.5 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑀)
stoweidlem42.6 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem42.7 𝑍 = (𝑡𝑇 ↦ (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀))
stoweidlem42.8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem42.9 (𝜑𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
stoweidlem42.10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑀)) < ((𝑈𝑖)‘𝑡))
stoweidlem42.11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem42.12 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
stoweidlem42.13 ((𝜑𝑓𝑌) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem42.14 ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)
stoweidlem42.15 (𝜑𝑇 ∈ V)
stoweidlem42.16 (𝜑𝐵𝑇)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem42 (𝜑 → ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑋𝑡))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑖,𝑇   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝑀,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑡   𝑓,𝑌,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔   𝑖,𝐸   𝑈,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑖)   𝐵(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐸(𝑡,𝑓,𝑔)   𝐹(𝑡,𝑖)   𝑀(𝑡)   𝑋(𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)   𝑌(𝑡,𝑖)   𝑍(𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem42
Dummy variables 𝑎 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem42.2 . 2 𝑡𝜑
2 1red 11262 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3 stoweidlem42.11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
43rpred 13077 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
52, 4resubcld 11691 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝐸) ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐵) → (1 − 𝐸) ∈ ℝ)
7 stoweidlem42.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
84, 7nndivred 12320 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 / 𝑀) ∈ ℝ)
92, 8resubcld 11691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐵) → (1 − (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ)
117nnnn0d 12587 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1310, 12reexpcld 14203 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐵) → ((1 − (𝐸 / 𝑀))↑𝑀) ∈ ℝ)
14 elnnuz 12922 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
157, 14sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
17 stoweidlem42.1 . . . . . . . . . . 11 𝑖𝜑
18 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑖 𝑡𝐵
1917, 18nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝜑𝑡𝐵)
20 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑖 𝑎 ∈ (1...𝑀)
2119, 20nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑖((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀))
22 stoweidlem42.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)))
23 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖𝑇
24 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖(𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡))
2523, 24nfmpt 5249 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖(𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)))
2622, 25nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑖𝐹
27 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑖𝑡
2826, 27nffv 6916 . . . . . . . . . . 11 𝑖(𝐹𝑡)
29 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑖𝑎
3028, 29nffv 6916 . . . . . . . . . 10 𝑖((𝐹𝑡)‘𝑎)
3130nfel1 2922 . . . . . . . . 9 𝑖((𝐹𝑡)‘𝑎) ∈ ℝ
3221, 31nfim 1896 . . . . . . . 8 𝑖(((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐹𝑡)‘𝑎) ∈ ℝ)
33 eleq1 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑎 ∈ (1...𝑀)))
3433anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ↔ ((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀))))
35 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑎 → ((𝐹𝑡)‘𝑖) = ((𝐹𝑡)‘𝑎))
3635eleq1d 2826 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (((𝐹𝑡)‘𝑖) ∈ ℝ ↔ ((𝐹𝑡)‘𝑎) ∈ ℝ))
3734, 36imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑎 → ((((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐹𝑡)‘𝑖) ∈ ℝ) ↔ (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐹𝑡)‘𝑎) ∈ ℝ)))
38 stoweidlem42.16 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵𝑇)
3938sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑡𝑇)
40 ovex 7464 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) ∈ V
41 mptexg 7241 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑀) ∈ V → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)) ∈ V)
4240, 41mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)) ∈ V)
4322fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡𝑇 ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)) ∈ V) → (𝐹𝑡) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)))
4439, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝐹𝑡) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)))
45 stoweidlem42.9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
4645ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑈𝑖) ∈ 𝑌)
47 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝜑)
4847, 46jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑 ∧ (𝑈𝑖) ∈ 𝑌))
49 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑈𝑖) → (𝑓𝑌 ↔ (𝑈𝑖) ∈ 𝑌))
5049anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑈𝑖) → ((𝜑𝑓𝑌) ↔ (𝜑 ∧ (𝑈𝑖) ∈ 𝑌)))
51 feq1 6716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑈𝑖) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ (𝑈𝑖):𝑇⟶ℝ))
5250, 51imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑈𝑖) → (((𝜑𝑓𝑌) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑈𝑖) ∈ 𝑌) → (𝑈𝑖):𝑇⟶ℝ)))
53 stoweidlem42.13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓𝑌) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
5452, 53vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈𝑖) ∈ 𝑌 → ((𝜑 ∧ (𝑈𝑖) ∈ 𝑌) → (𝑈𝑖):𝑇⟶ℝ))
5546, 48, 54sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑈𝑖):𝑇⟶ℝ)
5655adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑈𝑖):𝑇⟶ℝ)
5739adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑡𝑇)
5856, 57ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑈𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
5944, 58fvmpt2d 7029 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐹𝑡)‘𝑖) = ((𝑈𝑖)‘𝑡))
6059, 58eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐹𝑡)‘𝑖) ∈ ℝ)
6132, 37, 60chvarfv 2240 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐹𝑡)‘𝑎) ∈ ℝ)
62 remulcl 11240 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
6362adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
6416, 61, 63seqcl 14063 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐵) → (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀) ∈ ℝ)
653rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
667nncnd 12282 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
677nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ≠ 0)
6865, 66, 67divcan1d 12044 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑀) · 𝑀) = 𝐸)
6968eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 = ((𝐸 / 𝑀) · 𝑀))
7069oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 − 𝐸) = (1 − ((𝐸 / 𝑀) · 𝑀)))
71 1cnd 11256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7265, 66, 67divcld 12043 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 𝑀) ∈ ℂ)
7372, 66mulcld 11281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℂ)
7471, 73negsubd 11626 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + -((𝐸 / 𝑀) · 𝑀)) = (1 − ((𝐸 / 𝑀) · 𝑀)))
7572, 66mulneg1d 11716 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(𝐸 / 𝑀) · 𝑀) = -((𝐸 / 𝑀) · 𝑀))
7675eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((𝐸 / 𝑀) · 𝑀) = (-(𝐸 / 𝑀) · 𝑀))
7776oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + -((𝐸 / 𝑀) · 𝑀)) = (1 + (-(𝐸 / 𝑀) · 𝑀)))
7870, 74, 773eqtr2d 2783 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − 𝐸) = (1 + (-(𝐸 / 𝑀) · 𝑀)))
798renegcld 11690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐸 / 𝑀) ∈ ℝ)
807nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
81 3re 12346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
83 3ne0 12372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ≠ 0
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 3 ≠ 0)
8582, 84rereccld 12094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
86 stoweidlem42.12 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
87 1lt3 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 3
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 < 3)
89 0lt1 11785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 1
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 1)
91 3pos 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 3
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 3)
93 ltdiv2 12154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < (1 / 1)))
942, 90, 82, 92, 2, 90, 93syl222anc 1388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < (1 / 1)))
9588, 94mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 / 3) < (1 / 1))
96 1div1e1 11958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 1) = 1
9795, 96breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 / 3) < 1)
984, 85, 2, 86, 97lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 < 1)
997nnge1d 12314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
1004, 2, 80, 98, 99ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 < 𝑀)
1014, 80, 100ltled 11409 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸𝑀)
1023rpregt0d 13083 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
1037nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑀)
104 lediv2 12158 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (𝐸𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≤ (𝐸 / 𝐸)))
105102, 80, 103, 102, 104syl121anc 1377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≤ (𝐸 / 𝐸)))
106101, 105mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 / 𝑀) ≤ (𝐸 / 𝐸))
1073rpcnne0d 13086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
108 divid 11953 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0) → (𝐸 / 𝐸) = 1)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 / 𝐸) = 1)
110106, 109breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 𝑀) ≤ 1)
1118, 2lenegd 11842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑀) ≤ 1 ↔ -1 ≤ -(𝐸 / 𝑀)))
112110, 111mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -1 ≤ -(𝐸 / 𝑀))
113 bernneq 14268 . . . . . . . . . 10 ((-(𝐸 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ -(𝐸 / 𝑀)) → (1 + (-(𝐸 / 𝑀) · 𝑀)) ≤ ((1 + -(𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
11479, 11, 112, 113syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + (-(𝐸 / 𝑀) · 𝑀)) ≤ ((1 + -(𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
11571, 72negsubd 11626 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + -(𝐸 / 𝑀)) = (1 − (𝐸 / 𝑀)))
116115oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + -(𝐸 / 𝑀))↑𝑀) = ((1 − (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
117114, 116breqtrd 5169 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + (-(𝐸 / 𝑀) · 𝑀)) ≤ ((1 − (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
11878, 117eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝐸) ≤ ((1 − (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
119118adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐵) → (1 − 𝐸) ≤ ((1 − (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
120 eqid 2737 . . . . . . 7 seq1( · , (𝐹𝑡)) = seq1( · , (𝐹𝑡))
1217adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑀 ∈ ℕ)
122 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡))
12319, 58, 122fmptdf 7137 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)):(1...𝑀)⟶ℝ)
12444feq1d 6720 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝐵) → ((𝐹𝑡):(1...𝑀)⟶ℝ ↔ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)):(1...𝑀)⟶ℝ))
125123, 124mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝐹𝑡):(1...𝑀)⟶ℝ)
126 stoweidlem42.10 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑀)) < ((𝑈𝑖)‘𝑡))
127126r19.21bi 3251 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑡𝐵) → (1 − (𝐸 / 𝑀)) < ((𝑈𝑖)‘𝑡))
128127an32s 652 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (1 − (𝐸 / 𝑀)) < ((𝑈𝑖)‘𝑡))
129128, 59breqtrrd 5171 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (1 − (𝐸 / 𝑀)) < ((𝐹𝑡)‘𝑖))
13072addlidd 11462 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 + (𝐸 / 𝑀)) = (𝐸 / 𝑀))
131 lediv2 12158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≤ (𝐸 / 1)))
1322, 90, 80, 103, 102, 131syl221anc 1383 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≤ (𝐸 / 1)))
13399, 132mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 / 𝑀) ≤ (𝐸 / 1))
13465div1d 12035 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 / 1) = 𝐸)
135133, 134breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 / 𝑀) ≤ 𝐸)
1368, 4, 2, 135, 98lelttrd 11419 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 𝑀) < 1)
137130, 136eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + (𝐸 / 𝑀)) < 1)
138 0red 11264 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
139138, 8, 2ltaddsubd 11863 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((0 + (𝐸 / 𝑀)) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝐸 / 𝑀))))
140137, 139mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (1 − (𝐸 / 𝑀)))
1419, 140elrpd 13074 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ+)
142141adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐵) → (1 − (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ+)
14328, 19, 120, 121, 125, 129, 142stoweidlem3 46018 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐵) → ((1 − (𝐸 / 𝑀))↑𝑀) < (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀))
1446, 13, 64, 119, 143lelttrd 11419 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐵) → (1 − 𝐸) < (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀))
145 stoweidlem42.7 . . . . . . 7 𝑍 = (𝑡𝑇 ↦ (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀))
146145fvmpt2 7027 . . . . . 6 ((𝑡𝑇 ∧ (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀) ∈ ℝ) → (𝑍𝑡) = (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀))
14739, 64, 146syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝑍𝑡) = (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑀))
148144, 147breqtrrd 5171 . . . 4 ((𝜑𝑡𝐵) → (1 − 𝐸) < (𝑍𝑡))
149 simpl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝜑)
150 stoweidlem42.3 . . . . . 6 𝑡𝑌
151 stoweidlem42.4 . . . . . 6 𝑃 = (𝑓𝑌, 𝑔𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
152 stoweidlem42.5 . . . . . 6 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑀)
153 stoweidlem42.15 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ V)
154 stoweidlem42.14 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)
15517, 150, 151, 152, 22, 145, 153, 7, 45, 53, 154fmuldfeq 45598 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑋𝑡) = (𝑍𝑡))
156149, 39, 155syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝑋𝑡) = (𝑍𝑡))
157148, 156breqtrrd 5171 . . 3 ((𝜑𝑡𝐵) → (1 − 𝐸) < (𝑋𝑡))
158157ex 412 . 2 (𝜑 → (𝑡𝐵 → (1 − 𝐸) < (𝑋𝑡)))
1591, 158ralrimi 3257 1 (𝜑 → ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑋𝑡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wnfc 2890  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  3c3 12322  0cn0 12526  cuz 12878  +crp 13034  ...cfz 13547  seqcseq 14042  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  stoweidlem51  46066
  Copyright terms: Public domain W3C validator