Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem42 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem42 45353
Description: This lemma is used to prove that π‘₯ built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x > 1 - Ξ΅ on B. Here 𝑋 is used to represent π‘₯ in the paper, and E is used to represent Ξ΅ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem42.1 β„²π‘–πœ‘
stoweidlem42.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem42.3 β„²π‘‘π‘Œ
stoweidlem42.4 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
stoweidlem42.5 𝑋 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
stoweidlem42.6 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem42.7 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
stoweidlem42.8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem42.9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
stoweidlem42.10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
stoweidlem42.11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem42.12 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
stoweidlem42.13 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem42.14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
stoweidlem42.15 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
stoweidlem42.16 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑇)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem42 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑖   𝐡,𝑖   𝑖,𝑀   𝑓,𝑔,𝑑,𝑇   𝑓,𝑖,𝑇   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝑀,𝑔   π‘ˆ,𝑓,𝑔,𝑑   𝑓,π‘Œ,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑖,𝐸   π‘ˆ,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑖)   𝐡(𝑑,𝑓,𝑔)   𝑃(𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐸(𝑑,𝑓,𝑔)   𝐹(𝑑,𝑖)   𝑀(𝑑)   𝑋(𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)   π‘Œ(𝑑,𝑖)   𝑍(𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem42
Dummy variables π‘Ž 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem42.2 . 2 β„²π‘‘πœ‘
2 1red 11237 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
3 stoweidlem42.11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
43rpred 13040 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
52, 4resubcld 11664 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐸) ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) ∈ ℝ)
7 stoweidlem42.8 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
84, 7nndivred 12288 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) ∈ ℝ)
92, 8resubcld 11664 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ)
117nnnn0d 12554 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
1310, 12reexpcld 14151 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ((1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀))↑𝑀) ∈ ℝ)
14 elnnuz 12888 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
157, 14sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
17 stoweidlem42.1 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘–πœ‘
18 nfv 1910 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖 𝑑 ∈ 𝐡
1917, 18nfan 1895 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡)
20 nfv 1910 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖 π‘Ž ∈ (1...𝑀)
2119, 20nfan 1895 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (1...𝑀))
22 stoweidlem42.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
23 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖𝑇
24 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
2523, 24nfmpt 5249 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
2622, 25nfcxfr 2896 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖𝐹
27 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖𝑑
2826, 27nffv 6901 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜π‘‘)
29 nfcv 2898 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘–π‘Ž
3028, 29nffv 6901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘Ž)
3130nfel1 2914 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ
3221, 31nfim 1892 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
33 eleq1 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘Ž β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ π‘Ž ∈ (1...𝑀)))
3433anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘Ž β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (1...𝑀))))
35 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘Ž β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘Ž))
3635eleq1d 2813 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘Ž β†’ (((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) ∈ ℝ ↔ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ))
3734, 36imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘Ž β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) ∈ ℝ) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)))
38 stoweidlem42.16 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑇)
3938sselda 3978 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
40 ovex 7447 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) ∈ V
41 mptexg 7227 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑀) ∈ V β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V)
4240, 41mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V)
4322fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
4439, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
45 stoweidlem42.9 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
4645ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ)
47 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ πœ‘)
4847, 46jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ))
49 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (𝑓 ∈ π‘Œ ↔ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ))
5049anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ)))
51 feq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
5250, 51imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)))
53 stoweidlem42.13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
5452, 53vtoclg 3538 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
5546, 48, 54sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
5655adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
5739adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
5856, 57ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
5944, 58fvmpt2d 7012 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
6059, 58eqeltrd 2828 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) ∈ ℝ)
6132, 37, 60chvarfv 2226 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
62 remulcl 11215 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž Β· 𝑗) ∈ ℝ)
6362adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ (π‘Ž Β· 𝑗) ∈ ℝ)
6416, 61, 63seqcl 14011 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€) ∈ ℝ)
653rpcnd 13042 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
667nncnd 12250 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
677nnne0d 12284 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
6865, 66, 67divcan1d 12013 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀) = 𝐸)
6968eqcomd 2733 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 = ((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀))
7069oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐸) = (1 βˆ’ ((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)))
71 1cnd 11231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
7265, 66, 67divcld 12012 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) ∈ β„‚)
7372, 66mulcld 11256 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀) ∈ β„‚)
7471, 73negsubd 11599 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 + -((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)) = (1 βˆ’ ((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)))
7572, 66mulneg1d 11689 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-(𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀) = -((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀))
7675eqcomd 2733 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀) = (-(𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀))
7776oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 + -((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)) = (1 + (-(𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)))
7870, 74, 773eqtr2d 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐸) = (1 + (-(𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)))
798renegcld 11663 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -(𝐸 / 𝑀) ∈ ℝ)
807nnred 12249 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
81 3re 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 3 ∈ ℝ)
83 3ne0 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 β‰  0
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 3 β‰  0)
8582, 84rereccld 12063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (1 / 3) ∈ ℝ)
86 stoweidlem42.12 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
87 1lt3 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 3
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 1 < 3)
89 0lt1 11758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 1
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
91 3pos 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 3
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 0 < 3)
93 ltdiv2 12122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) β†’ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < (1 / 1)))
942, 90, 82, 92, 2, 90, 93syl222anc 1384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < (1 / 1)))
9588, 94mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (1 / 3) < (1 / 1))
96 1div1e1 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 1) = 1
9795, 96breqtrdi 5183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (1 / 3) < 1)
984, 85, 2, 86, 97lttrd 11397 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐸 < 1)
997nnge1d 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑀)
1004, 2, 80, 98, 99ltletrd 11396 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐸 < 𝑀)
1014, 80, 100ltled 11384 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ≀ 𝑀)
1023rpregt0d 13046 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
1037nngt0d 12283 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
104 lediv2 12126 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) β†’ (𝐸 ≀ 𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≀ (𝐸 / 𝐸)))
105102, 80, 103, 102, 104syl121anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 ≀ 𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≀ (𝐸 / 𝐸)))
106101, 105mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) ≀ (𝐸 / 𝐸))
1073rpcnne0d 13049 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0))
108 divid 11923 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0) β†’ (𝐸 / 𝐸) = 1)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝐸) = 1)
110106, 109breqtrd 5168 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) ≀ 1)
1118, 2lenegd 11815 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑀) ≀ 1 ↔ -1 ≀ -(𝐸 / 𝑀)))
112110, 111mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -1 ≀ -(𝐸 / 𝑀))
113 bernneq 14215 . . . . . . . . . 10 ((-(𝐸 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ -1 ≀ -(𝐸 / 𝑀)) β†’ (1 + (-(𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)) ≀ ((1 + -(𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
11479, 11, 112, 113syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 + (-(𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)) ≀ ((1 + -(𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
11571, 72negsubd 11599 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 + -(𝐸 / 𝑀)) = (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)))
116115oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 + -(𝐸 / 𝑀))↑𝑀) = ((1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
117114, 116breqtrd 5168 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 + (-(𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)) ≀ ((1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
11878, 117eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐸) ≀ ((1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
119118adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) ≀ ((1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
120 eqid 2727 . . . . . . 7 seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘)) = seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))
1217adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
122 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
12319, 58, 122fmptdf 7121 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)):(1...𝑀)βŸΆβ„)
12444feq1d 6701 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘):(1...𝑀)βŸΆβ„ ↔ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)):(1...𝑀)βŸΆβ„))
125123, 124mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‘):(1...𝑀)βŸΆβ„)
126 stoweidlem42.10 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
127126r19.21bi 3243 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
128127an32s 651 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
129128, 59breqtrrd 5170 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–))
13072addlidd 11437 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0 + (𝐸 / 𝑀)) = (𝐸 / 𝑀))
131 lediv2 12126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) β†’ (1 ≀ 𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≀ (𝐸 / 1)))
1322, 90, 80, 103, 102, 131syl221anc 1379 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (1 ≀ 𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≀ (𝐸 / 1)))
13399, 132mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) ≀ (𝐸 / 1))
13465div1d 12004 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 1) = 𝐸)
135133, 134breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) ≀ 𝐸)
1368, 4, 2, 135, 98lelttrd 11394 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) < 1)
137130, 136eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 + (𝐸 / 𝑀)) < 1)
138 0red 11239 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
139138, 8, 2ltaddsubd 11836 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((0 + (𝐸 / 𝑀)) < 1 ↔ 0 < (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀))))
140137, 139mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)))
1419, 140elrpd 13037 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ+)
142141adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ+)
14328, 19, 120, 121, 125, 129, 142stoweidlem3 45314 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ((1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀))↑𝑀) < (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
1446, 13, 64, 119, 143lelttrd 11394 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
145 stoweidlem42.7 . . . . . . 7 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
146145fvmpt2 7010 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
14739, 64, 146syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
148144, 147breqtrrd 5170 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘β€˜π‘‘))
149 simpl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ πœ‘)
150 stoweidlem42.3 . . . . . 6 β„²π‘‘π‘Œ
151 stoweidlem42.4 . . . . . 6 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
152 stoweidlem42.5 . . . . . 6 𝑋 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
153 stoweidlem42.15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
154 stoweidlem42.14 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
15517, 150, 151, 152, 22, 145, 153, 7, 45, 53, 154fmuldfeq 44894 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
156149, 39, 155syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
157148, 156breqtrrd 5170 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘))
158157ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐡 β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘)))
1591, 158ralrimi 3249 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  β„²wnf 1778   ∈ wcel 2099  β„²wnfc 2878   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  β„•cn 12234  3c3 12290  β„•0cn0 12494  β„€β‰₯cuz 12844  β„+crp 12998  ...cfz 13508  seqcseq 13990  β†‘cexp 14050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051
This theorem is referenced by:  stoweidlem51  45362
  Copyright terms: Public domain W3C validator