Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem42 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem42 44357
Description: This lemma is used to prove that π‘₯ built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x > 1 - Ξ΅ on B. Here 𝑋 is used to represent π‘₯ in the paper, and E is used to represent Ξ΅ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem42.1 β„²π‘–πœ‘
stoweidlem42.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem42.3 β„²π‘‘π‘Œ
stoweidlem42.4 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
stoweidlem42.5 𝑋 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
stoweidlem42.6 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem42.7 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
stoweidlem42.8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem42.9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
stoweidlem42.10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
stoweidlem42.11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem42.12 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
stoweidlem42.13 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem42.14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
stoweidlem42.15 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
stoweidlem42.16 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑇)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem42 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑖   𝐡,𝑖   𝑖,𝑀   𝑓,𝑔,𝑑,𝑇   𝑓,𝑖,𝑇   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝑀,𝑔   π‘ˆ,𝑓,𝑔,𝑑   𝑓,π‘Œ,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑖,𝐸   π‘ˆ,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑖)   𝐡(𝑑,𝑓,𝑔)   𝑃(𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐸(𝑑,𝑓,𝑔)   𝐹(𝑑,𝑖)   𝑀(𝑑)   𝑋(𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)   π‘Œ(𝑑,𝑖)   𝑍(𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem42
Dummy variables π‘Ž 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem42.2 . 2 β„²π‘‘πœ‘
2 1red 11163 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
3 stoweidlem42.11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
43rpred 12964 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
52, 4resubcld 11590 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐸) ∈ ℝ)
65adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) ∈ ℝ)
7 stoweidlem42.8 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
84, 7nndivred 12214 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) ∈ ℝ)
92, 8resubcld 11590 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ)
109adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ)
117nnnn0d 12480 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
1310, 12reexpcld 14075 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ((1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀))↑𝑀) ∈ ℝ)
14 elnnuz 12814 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
157, 14sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
17 stoweidlem42.1 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘–πœ‘
18 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖 𝑑 ∈ 𝐡
1917, 18nfan 1903 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡)
20 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖 π‘Ž ∈ (1...𝑀)
2119, 20nfan 1903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (1...𝑀))
22 stoweidlem42.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
23 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖𝑇
24 nfmpt1 5218 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
2523, 24nfmpt 5217 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
2622, 25nfcxfr 2906 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖𝐹
27 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖𝑑
2826, 27nffv 6857 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜π‘‘)
29 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘–π‘Ž
3028, 29nffv 6857 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘Ž)
3130nfel1 2924 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ
3221, 31nfim 1900 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
33 eleq1 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘Ž β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ π‘Ž ∈ (1...𝑀)))
3433anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘Ž β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (1...𝑀))))
35 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘Ž β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘Ž))
3635eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘Ž β†’ (((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) ∈ ℝ ↔ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ))
3734, 36imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘Ž β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) ∈ ℝ) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)))
38 stoweidlem42.16 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑇)
3938sselda 3949 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
40 ovex 7395 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) ∈ V
41 mptexg 7176 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑀) ∈ V β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V)
4240, 41mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V)
4322fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
4439, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
45 stoweidlem42.9 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
4645ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ)
47 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ πœ‘)
4847, 46jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ))
49 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (𝑓 ∈ π‘Œ ↔ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ))
5049anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ)))
51 feq1 6654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
5250, 51imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)))
53 stoweidlem42.13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
5452, 53vtoclg 3528 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
5546, 48, 54sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
5655adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
5739adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
5856, 57ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
5944, 58fvmpt2d 6966 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
6059, 58eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) ∈ ℝ)
6132, 37, 60chvarfv 2234 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
62 remulcl 11143 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž Β· 𝑗) ∈ ℝ)
6362adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) β†’ (π‘Ž Β· 𝑗) ∈ ℝ)
6416, 61, 63seqcl 13935 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€) ∈ ℝ)
653rpcnd 12966 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
667nncnd 12176 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
677nnne0d 12210 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
6865, 66, 67divcan1d 11939 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀) = 𝐸)
6968eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 = ((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀))
7069oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐸) = (1 βˆ’ ((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)))
71 1cnd 11157 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
7265, 66, 67divcld 11938 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) ∈ β„‚)
7372, 66mulcld 11182 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀) ∈ β„‚)
7471, 73negsubd 11525 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 + -((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)) = (1 βˆ’ ((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)))
7572, 66mulneg1d 11615 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-(𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀) = -((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀))
7675eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀) = (-(𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀))
7776oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 + -((𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)) = (1 + (-(𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)))
7870, 74, 773eqtr2d 2783 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐸) = (1 + (-(𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)))
798renegcld 11589 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -(𝐸 / 𝑀) ∈ ℝ)
807nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
81 3re 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 3 ∈ ℝ)
83 3ne0 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 β‰  0
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 3 β‰  0)
8582, 84rereccld 11989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (1 / 3) ∈ ℝ)
86 stoweidlem42.12 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
87 1lt3 12333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 3
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 1 < 3)
89 0lt1 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 1
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
91 3pos 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 3
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 0 < 3)
93 ltdiv2 12048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) β†’ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < (1 / 1)))
942, 90, 82, 92, 2, 90, 93syl222anc 1387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < (1 / 1)))
9588, 94mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (1 / 3) < (1 / 1))
96 1div1e1 11852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 1) = 1
9795, 96breqtrdi 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (1 / 3) < 1)
984, 85, 2, 86, 97lttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐸 < 1)
997nnge1d 12208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑀)
1004, 2, 80, 98, 99ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐸 < 𝑀)
1014, 80, 100ltled 11310 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ≀ 𝑀)
1023rpregt0d 12970 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
1037nngt0d 12209 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
104 lediv2 12052 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) β†’ (𝐸 ≀ 𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≀ (𝐸 / 𝐸)))
105102, 80, 103, 102, 104syl121anc 1376 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 ≀ 𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≀ (𝐸 / 𝐸)))
106101, 105mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) ≀ (𝐸 / 𝐸))
1073rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0))
108 divid 11849 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0) β†’ (𝐸 / 𝐸) = 1)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝐸) = 1)
110106, 109breqtrd 5136 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) ≀ 1)
1118, 2lenegd 11741 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑀) ≀ 1 ↔ -1 ≀ -(𝐸 / 𝑀)))
112110, 111mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -1 ≀ -(𝐸 / 𝑀))
113 bernneq 14139 . . . . . . . . . 10 ((-(𝐸 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ -1 ≀ -(𝐸 / 𝑀)) β†’ (1 + (-(𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)) ≀ ((1 + -(𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
11479, 11, 112, 113syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 + (-(𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)) ≀ ((1 + -(𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
11571, 72negsubd 11525 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 + -(𝐸 / 𝑀)) = (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)))
116115oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 + -(𝐸 / 𝑀))↑𝑀) = ((1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
117114, 116breqtrd 5136 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 + (-(𝐸 / 𝑀) Β· 𝑀)) ≀ ((1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
11878, 117eqbrtrd 5132 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐸) ≀ ((1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
119118adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) ≀ ((1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀))↑𝑀))
120 eqid 2737 . . . . . . 7 seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘)) = seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))
1217adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
122 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
12319, 58, 122fmptdf 7070 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)):(1...𝑀)βŸΆβ„)
12444feq1d 6658 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘):(1...𝑀)βŸΆβ„ ↔ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)):(1...𝑀)βŸΆβ„))
125123, 124mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‘):(1...𝑀)βŸΆβ„)
126 stoweidlem42.10 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
127126r19.21bi 3237 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
128127an32s 651 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
129128, 59breqtrrd 5138 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–))
13072addid2d 11363 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0 + (𝐸 / 𝑀)) = (𝐸 / 𝑀))
131 lediv2 12052 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) β†’ (1 ≀ 𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≀ (𝐸 / 1)))
1322, 90, 80, 103, 102, 131syl221anc 1382 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (1 ≀ 𝑀 ↔ (𝐸 / 𝑀) ≀ (𝐸 / 1)))
13399, 132mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) ≀ (𝐸 / 1))
13465div1d 11930 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 1) = 𝐸)
135133, 134breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) ≀ 𝐸)
1368, 4, 2, 135, 98lelttrd 11320 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑀) < 1)
137130, 136eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 + (𝐸 / 𝑀)) < 1)
138 0red 11165 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
139138, 8, 2ltaddsubd 11762 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((0 + (𝐸 / 𝑀)) < 1 ↔ 0 < (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀))))
140137, 139mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)))
1419, 140elrpd 12961 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ+)
142141adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) ∈ ℝ+)
14328, 19, 120, 121, 125, 129, 142stoweidlem3 44318 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ((1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀))↑𝑀) < (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
1446, 13, 64, 119, 143lelttrd 11320 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
145 stoweidlem42.7 . . . . . . 7 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
146145fvmpt2 6964 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
14739, 64, 146syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
148144, 147breqtrrd 5138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘β€˜π‘‘))
149 simpl 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ πœ‘)
150 stoweidlem42.3 . . . . . 6 β„²π‘‘π‘Œ
151 stoweidlem42.4 . . . . . 6 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
152 stoweidlem42.5 . . . . . 6 𝑋 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
153 stoweidlem42.15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
154 stoweidlem42.14 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
15517, 150, 151, 152, 22, 145, 153, 7, 45, 53, 154fmuldfeq 43898 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
156149, 39, 155syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
157148, 156breqtrrd 5138 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘))
158157ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐡 β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘)))
1591, 158ralrimi 3243 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2888   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  3c3 12216  β„•0cn0 12420  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  ...cfz 13431  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  stoweidlem51  44366
  Copyright terms: Public domain W3C validator