MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ledivmul2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ledivmul2d 12927
Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
ltmul1d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
ltmul1d.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
Assertion
Ref Expression
ledivmul2d (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem ledivmul2d
StepHypRef Expression
1 ltmul1d.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 ltmul1d.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 ltmul1d.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
43rpregt0d 12879 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ))
5 ledivmul2 11955 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
61, 2, 4, 5syl3anc 1370 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2105   class class class wbr 5092  (class class class)co 7337  โ„cr 10971  0cc0 10972   ยท cmul 10977   < clt 11110   โ‰ค cle 11111   / cdiv 11733  โ„+crp 12831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-rp 12832
This theorem is referenced by:  nmoi  23998  nmoleub  24001  nmoleub2lem3  24384  nmoleub3  24388  ulmdvlem1  25665  fsumharmonic  26267  bposlem1  26538  chpo1ubb  26735  chpdifbndlem1  26807  selberg3lem1  26811  pntrlog2bndlem2  26832  pntrlog2bndlem4  26834  pntrlog2bndlem6  26837  pntibndlem2  26845  pntlemo  26861  knoppndvlem18  34805  geomcau  36022  aks4d1p8  40349
  Copyright terms: Public domain W3C validator