Theorem ltdivmuld 12976

Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltdivmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶) < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem ltdivmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmul1d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltmul1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 12931	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
5		ltdivmul 11988	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐶 · 𝐵)))
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶) < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5088  (class class class)co 7340  ℝcr 10996  0cc0 10997   · cmul 11002   < clt 11137   / cdiv 11765  ℝ⁺crp 12881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-id 5508  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-rp 12882

This theorem is referenced by:  flhalf  13722  expmulnbnd  14130  reccn2  15491  o1rlimmul  15513  bitsfzolem  16332  bitsmod  16334  bitscmp  16336  bitsinv1lem  16339  nrginvrcnlem  24560  logdivlti  26510  logcnlem4  26535  logdiflbnd  26886  lgamcvg2  26946  ftalem1  26964  ftalem2  26965  bposlem2  27177  pntrlog2bndlem2  27470  pntrlog2bndlem4  27472  pntlemc  27487  pntlemb  27489  ostth3  27530  sinccvglem  35662  knoppndvlem18  36520  itg2addnclem2  37669  areacirclem1  37705  cvgdvgrat  44303  binomcxplemnotnn0  44346