MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoi 24749
Description: The operator norm achieves the minimum of the set of upper bounds, if the operator is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmoi ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))

Proof of Theorem nmoi
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6911 . . 3 (𝑋 = (0g𝑆) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))))
2 fveq2 6906 . . . 4 (𝑋 = (0g𝑆) → (𝐿𝑋) = (𝐿‘(0g𝑆)))
32oveq2d 7447 . . 3 (𝑋 = (0g𝑆) → ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)) = ((𝑁𝐹) · (𝐿‘(0g𝑆))))
41, 3breq12d 5156 . 2 (𝑋 = (0g𝑆) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿‘(0g𝑆)))))
5 2fveq3 6911 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹𝑋)))
6 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝐿𝑥) = (𝐿𝑋))
76oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑟 · (𝐿𝑥)) = (𝑟 · (𝐿𝑋)))
85, 7breq12d 5156 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑋))))
98rspcv 3618 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑋))))
109ad3antlr 731 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑋))))
11 nmofval.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
1211isnghm 24744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))
1312simplbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
1514simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
1612simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ))
1817simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
19 nmoi.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Base‘𝑆)
20 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
2119, 20ghmf 19238 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
2218, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
23 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
2422, 23sylancom 588 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
25 nmoi.4 . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (norm‘𝑇)
2620, 25nmcl 24629 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
2715, 24, 26syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
2827adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
30 elrege0 13494 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟))
3130simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ (0[,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
3231adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
3314simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
34 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
3533, 34jca 511 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉))
36 nmoi.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (norm‘𝑆)
37 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑆) = (0g𝑆)
3819, 36, 37nmrpcl 24633 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
39383expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
4035, 39sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
4140rpregt0d 13083 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → ((𝐿𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝑋)))
4241adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐿𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝑋)))
43 ledivmul2 12147 . . . . . . 7 (((𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝑋))) → (((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟 ↔ (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑋))))
4429, 32, 42, 43syl3anc 1373 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟 ↔ (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑋))))
4510, 44sylibrd 259 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟))
4645ralrimiva 3146 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟))
4733adantr 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
4815adantr 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
4918adantr 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5028, 40rerpdivcld 13108 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ)
5150rexrd 11311 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ*)
5211, 19, 36, 25nmogelb 24737 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟)))
5347, 48, 49, 51, 52syl31anc 1375 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟)))
5446, 53mpbird 257 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹))
5517simprd 495 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ)
5655adantr 480 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ)
5728, 56, 40ledivmul2d 13131 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹) ↔ (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋))))
5854, 57mpbid 232 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
59 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑇) = (0g𝑇)
6037, 59ghmid 19240 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
6118, 60syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
6261fveq2d 6910 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = (𝑀‘(0g𝑇)))
6325, 59nm0 24642 . . . . 5 (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
6415, 63syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
6562, 64eqtrd 2777 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = 0)
6636, 37nm0 24642 . . . . . 6 (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
6733, 66syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
68 0re 11263 . . . . 5 0 ∈ ℝ
6967, 68eqeltrdi 2849 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐿‘(0g𝑆)) ∈ ℝ)
7011nmoge0 24742 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁𝐹))
7133, 15, 18, 70syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐹))
72 0le0 12367 . . . . 5 0 ≤ 0
7372, 67breqtrrid 5181 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝐿‘(0g𝑆)))
7455, 69, 71, 73mulge0d 11840 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 0 ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿‘(0g𝑆))))
7565, 74eqbrtrd 5165 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿‘(0g𝑆))))
764, 58, 75pm2.61ne 3027 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  +crp 13034  [,)cico 13389  Basecbs 17247  0gc0g 17484   GrpHom cghm 19230  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590   normOp cnmo 24726   NGHom cnghm 24727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-ghm 19231  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nmo 24729  df-nghm 24730
This theorem is referenced by:  nmoix  24750  nmoeq0  24757  nmoco  24758  nmotri  24760  nmoid  24763  nmods  24765
  Copyright terms: Public domain W3C validator