Theorem nmoi 24676

Description: The operator norm achieves the minimum of the set of upper bounds, if the operator is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoi	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))

Proof of Theorem nmoi

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6840	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))))
2		fveq2 6835	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝐿‘𝑋) = (𝐿‘(0g‘𝑆)))
3	2	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆))))
4	1, 3	breq12d 5112	. 2 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆)))))
5		2fveq3 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘𝑋)))
6		fveq2 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘𝑋))
7	6	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) = (𝑟 · (𝐿‘𝑋)))
8	5, 7	breq12d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
9	8	rspcv 3573	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
10	9	ad3antlr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
11		nmofval.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
12	11	isnghm 24671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
13	12	simplbi 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
15	14	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16	12	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
18	17	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
19		nmoi.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
20		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
21	19, 20	ghmf 19153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
22	18, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
23		ffvelcdm 7028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
24	22, 23	sylancom 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
25		nmoi.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
26	20, 25	nmcl 24564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
27	15, 24, 26	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
30		elrege0 13374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟))
31	30	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
33	14	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
34		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	33, 34	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
36		nmoi.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
37		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
38	19, 36, 37	nmrpcl 24568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
39	38	3expa 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
40	35, 39	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
41	40	rpregt0d 12959	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝑋)))
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝑋)))
43		ledivmul2 12025	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝑋))) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟 ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
44	29, 32, 42, 43	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟 ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
45	10, 44	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟))
46	45	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟))
47	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
48	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
49	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
50	28, 40	rerpdivcld 12984	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ)
51	50	rexrd 11186	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*)
52	11, 19, 36, 25	nmogelb 24664	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟)))
53	47, 48, 49, 51, 52	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟)))
54	46, 53	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹))
55	17	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
56	55	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
57	28, 56, 40	ledivmul2d 13007	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋))))
58	54, 57	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
59		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
60	37, 59	ghmid 19155	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
61	18, 60	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
62	61	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
63	25, 59	nm0 24577	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
64	15, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
65	62, 64	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = 0)
66	36, 37	nm0 24577	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
67	33, 66	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
68		0re 11138	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
69	67, 68	eqeltrdi 2845	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) ∈ ℝ)
70	11	nmoge0 24669	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
71	33, 15, 18, 70	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
72		0le0 12250	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
73	72, 67	breqtrrid 5137	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐿‘(0g‘𝑆)))
74	55, 69, 71, 73	mulge0d 11718	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆))))
75	65, 74	eqbrtrd 5121	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆))))
76	4, 58, 75	pm2.61ne 3018	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   class class class wbr 5099  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030   · cmul 11035  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℝ⁺crp 12909  [,)cico 13267  Basecbs 17140  0_gc0g 17363   GrpHom cghm 19145  normcnm 24524  NrmGrpcngp 24525   normOp cnmo 24653   NGHom cnghm 24654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ico 13271  df-0g 17365  df-topgen 17367  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-ghm 19146  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-xms 24268  df-ms 24269  df-nm 24530  df-ngp 24531  df-nmo 24656  df-nghm 24657

This theorem is referenced by:  nmoix  24677  nmoeq0  24684  nmoco  24685  nmotri  24687  nmoid  24690  nmods  24692