Theorem nmoi 24092

Description: The operator norm achieves the minimum of the set of upper bounds, if the operator is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoi	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))

Proof of Theorem nmoi

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6847	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))))
2		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝐿‘𝑋) = (𝐿‘(0g‘𝑆)))
3	2	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆))))
4	1, 3	breq12d 5118	. 2 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆)))))
5		2fveq3 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘𝑋)))
6		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘𝑋))
7	6	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) = (𝑟 · (𝐿‘𝑋)))
8	5, 7	breq12d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
9	8	rspcv 3577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
10	9	ad3antlr 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
11		nmofval.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
12	11	isnghm 24087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
13	12	simplbi 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
15	14	simprd 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16	12	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
18	17	simpld 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
19		nmoi.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
20		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
21	19, 20	ghmf 19012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
22	18, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
23		ffvelcdm 7032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
24	22, 23	sylancom 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
25		nmoi.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
26	20, 25	nmcl 23972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
27	15, 24, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
28	27	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
30		elrege0 13371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟))
31	30	simplbi 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
32	31	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
33	14	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
34		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	33, 34	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
36		nmoi.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
37		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
38	19, 36, 37	nmrpcl 23976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
39	38	3expa 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
40	35, 39	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
41	40	rpregt0d 12963	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝑋)))
42	41	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝑋)))
43		ledivmul2 12034	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝑋))) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟 ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
44	29, 32, 42, 43	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟 ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
45	10, 44	sylibrd 258	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟))
46	45	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟))
47	33	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
48	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
49	18	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
50	28, 40	rerpdivcld 12988	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ)
51	50	rexrd 11205	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*)
52	11, 19, 36, 25	nmogelb 24080	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟)))
53	47, 48, 49, 51, 52	syl31anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟)))
54	46, 53	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹))
55	17	simprd 496	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
56	55	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
57	28, 56, 40	ledivmul2d 13011	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋))))
58	54, 57	mpbid 231	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
59		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
60	37, 59	ghmid 19014	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
61	18, 60	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
62	61	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
63	25, 59	nm0 23985	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
64	15, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
65	62, 64	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = 0)
66	36, 37	nm0 23985	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
67	33, 66	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
68		0re 11157	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
69	67, 68	eqeltrdi 2846	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) ∈ ℝ)
70	11	nmoge0 24085	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
71	33, 15, 18, 70	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
72		0le0 12254	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
73	72, 67	breqtrrid 5143	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐿‘(0g‘𝑆)))
74	55, 69, 71, 73	mulge0d 11732	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆))))
75	65, 74	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆))))
76	4, 58, 75	pm2.61ne 3030	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   class class class wbr 5105  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  ℝ⁺crp 12915  [,)cico 13266  Basecbs 17083  0_gc0g 17321   GrpHom cghm 19005  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933   normOp cnmo 24069   NGHom cnghm 24070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-ghm 19006  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nmo 24072  df-nghm 24073

This theorem is referenced by:  nmoix  24093  nmoeq0  24100  nmoco  24101  nmotri  24103  nmoid  24106  nmods  24108