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Theorem nmoi 24108
Description: The operator norm achieves the minimum of the set of upper bounds, if the operator is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoi.3 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmoi.4 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
nmoi ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))

Proof of Theorem nmoi
Dummy variables π‘Ÿ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6848 . . 3 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
2 fveq2 6843 . . . 4 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) = (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)))
32oveq2d 7374 . . 3 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)) = ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
41, 3breq12d 5119 . 2 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)) ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)))))
5 2fveq3 6848 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)))
6 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΏβ€˜π‘₯) = (πΏβ€˜π‘‹))
76oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) = (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
85, 7breq12d 5119 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘‹))))
98rspcv 3576 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘‹))))
109ad3antlr 730 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘‹))))
11 nmofval.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
1211isnghm 24103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ)))
1312simplbi 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
1413adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
1514simprd 497 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
1612simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ))
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ))
1817simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
19 nmoi.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
2119, 20ghmf 19017 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
2218, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
23 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
2422, 23sylancom 589 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
25 nmoi.4 . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
2620, 25nmcl 23988 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
2715, 24, 26syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
2827adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
2928adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
30 elrege0 13377 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘Ÿ))
3130simplbi 499 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
3231adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
3314simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
34 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3533, 34jca 513 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
36 nmoi.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
37 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
3819, 36, 37nmrpcl 23992 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
39383expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
4035, 39sylan 581 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
4140rpregt0d 12968 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 0 < (πΏβ€˜π‘‹)))
4241adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 0 < (πΏβ€˜π‘‹)))
43 ledivmul2 12039 . . . . . . 7 (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ ((πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 0 < (πΏβ€˜π‘‹))) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ π‘Ÿ ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘‹))))
4429, 32, 42, 43syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ π‘Ÿ ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘‹))))
4510, 44sylibrd 259 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ π‘Ÿ))
4645ralrimiva 3140 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)(βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ π‘Ÿ))
4733adantr 482 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
4815adantr 482 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
4918adantr 482 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5028, 40rerpdivcld 12993 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
5150rexrd 11210 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ*)
5211, 19, 36, 25nmogelb 24096 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ*) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)(βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ π‘Ÿ)))
5347, 48, 49, 51, 52syl31anc 1374 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)(βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ π‘Ÿ)))
5446, 53mpbird 257 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘β€˜πΉ))
5517simprd 497 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ)
5655adantr 482 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ)
5728, 56, 40ledivmul2d 13016 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘β€˜πΉ) ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹))))
5854, 57mpbid 231 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
59 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
6037, 59ghmid 19019 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
6118, 60syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
6261fveq2d 6847 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)))
6325, 59nm0 24001 . . . . 5 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
6415, 63syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
6562, 64eqtrd 2773 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = 0)
6636, 37nm0 24001 . . . . . 6 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = 0)
6733, 66syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = 0)
68 0re 11162 . . . . 5 0 ∈ ℝ
6967, 68eqeltrdi 2842 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) ∈ ℝ)
7011nmoge0 24101 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ))
7133, 15, 18, 70syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ))
72 0le0 12259 . . . . 5 0 ≀ 0
7372, 67breqtrrid 5144 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)))
7455, 69, 71, 73mulge0d 11737 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
7565, 74eqbrtrd 5128 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
764, 58, 75pm2.61ne 3027 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  0cc0 11056   Β· cmul 11061  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   / cdiv 11817  β„+crp 12920  [,)cico 13272  Basecbs 17088  0gc0g 17326   GrpHom cghm 19010  normcnm 23948  NrmGrpcngp 23949   normOp cnmo 24085   NGHom cnghm 24086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ico 13276  df-0g 17328  df-topgen 17330  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-ghm 19011  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-xms 23689  df-ms 23690  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nmo 24088  df-nghm 24089
This theorem is referenced by:  nmoix  24109  nmoeq0  24116  nmoco  24117  nmotri  24119  nmoid  24122  nmods  24124
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