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Theorem nmoi 24245
Description: The operator norm achieves the minimum of the set of upper bounds, if the operator is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoi.3 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmoi.4 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
nmoi ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))

Proof of Theorem nmoi
Dummy variables π‘Ÿ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6897 . . 3 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
2 fveq2 6892 . . . 4 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) = (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)))
32oveq2d 7425 . . 3 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)) = ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
41, 3breq12d 5162 . 2 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)) ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)))))
5 2fveq3 6897 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)))
6 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΏβ€˜π‘₯) = (πΏβ€˜π‘‹))
76oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) = (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
85, 7breq12d 5162 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘‹))))
98rspcv 3609 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘‹))))
109ad3antlr 730 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘‹))))
11 nmofval.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
1211isnghm 24240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ)))
1312simplbi 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
1413adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
1514simprd 497 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
1612simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ))
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ))
1817simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
19 nmoi.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
2119, 20ghmf 19096 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
2218, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
23 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
2422, 23sylancom 589 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
25 nmoi.4 . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
2620, 25nmcl 24125 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
2715, 24, 26syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
2827adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
2928adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
30 elrege0 13431 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘Ÿ))
3130simplbi 499 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
3231adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
3314simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
34 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3533, 34jca 513 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
36 nmoi.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
37 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
3819, 36, 37nmrpcl 24129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
39383expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
4035, 39sylan 581 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
4140rpregt0d 13022 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 0 < (πΏβ€˜π‘‹)))
4241adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 0 < (πΏβ€˜π‘‹)))
43 ledivmul2 12093 . . . . . . 7 (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ ((πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 0 < (πΏβ€˜π‘‹))) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ π‘Ÿ ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘‹))))
4429, 32, 42, 43syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ π‘Ÿ ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘‹))))
4510, 44sylibrd 259 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ π‘Ÿ))
4645ralrimiva 3147 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)(βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ π‘Ÿ))
4733adantr 482 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
4815adantr 482 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
4918adantr 482 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5028, 40rerpdivcld 13047 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
5150rexrd 11264 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ*)
5211, 19, 36, 25nmogelb 24233 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ*) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)(βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ π‘Ÿ)))
5347, 48, 49, 51, 52syl31anc 1374 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞)(βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ π‘Ÿ)))
5446, 53mpbird 257 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘β€˜πΉ))
5517simprd 497 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ)
5655adantr 482 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ)
5728, 56, 40ledivmul2d 13070 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) / (πΏβ€˜π‘‹)) ≀ (π‘β€˜πΉ) ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹))))
5854, 57mpbid 231 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
59 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
6037, 59ghmid 19098 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
6118, 60syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
6261fveq2d 6896 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)))
6325, 59nm0 24138 . . . . 5 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
6415, 63syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
6562, 64eqtrd 2773 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = 0)
6636, 37nm0 24138 . . . . . 6 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = 0)
6733, 66syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = 0)
68 0re 11216 . . . . 5 0 ∈ ℝ
6967, 68eqeltrdi 2842 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) ∈ ℝ)
7011nmoge0 24238 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ))
7133, 15, 18, 70syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ))
72 0le0 12313 . . . . 5 0 ≀ 0
7372, 67breqtrrid 5187 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)))
7455, 69, 71, 73mulge0d 11791 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
7565, 74eqbrtrd 5171 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
764, 58, 75pm2.61ne 3028 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„+crp 12974  [,)cico 13326  Basecbs 17144  0gc0g 17385   GrpHom cghm 19089  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086   normOp cnmo 24222   NGHom cnghm 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-ghm 19090  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nmo 24225  df-nghm 24226
This theorem is referenced by:  nmoix  24246  nmoeq0  24253  nmoco  24254  nmotri  24256  nmoid  24259  nmods  24261
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