Theorem nmoi 24842

Description: The operator norm achieves the minimum of the set of upper bounds, if the operator is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoi	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))

Proof of Theorem nmoi

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6876	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))))
2		fveq2 6871	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝐿‘𝑋) = (𝐿‘(0g‘𝑆)))
3	2	oveq2d 7416	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆))))
4	1, 3	breq12d 5117	. 2 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆)))))
5		2fveq3 6876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘𝑋)))
6		fveq2 6871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘𝑋))
7	6	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) = (𝑟 · (𝐿‘𝑋)))
8	5, 7	breq12d 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
9	8	rspcv 3580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
10	9	ad3antlr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
11		nmofval.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
12	11	isnghm 24837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
13	12	simplbi 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
14	13	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
15	14	simprd 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16	12	simprbi 502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
17	16	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
18	17	simpld 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
19		nmoi.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
20		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
21	19, 20	ghmf 19278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
22	18, 21	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
23		ffvelcdm 7066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
24	22, 23	sylancom 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
25		nmoi.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
26	20, 25	nmcl 24730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
27	15, 24, 26	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
28	27	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
29	28	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
30		elrege0 13469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟))
31	30	simplbi 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
32	31	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
33	14	simpld 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
34		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	33, 34	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
36		nmoi.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
37		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
38	19, 36, 37	nmrpcl 24734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
39	38	3expa 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
40	35, 39	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
41	40	rpregt0d 13054	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝑋)))
42	41	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝑋)))
43		ledivmul2 12082	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝑋))) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟 ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
44	29, 32, 42, 43	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟 ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
45	10, 44	sylibrd 262	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟))
46	45	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟))
47	33	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
48	15	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
49	18	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
50	28, 40	rerpdivcld 13079	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ)
51	50	rexrd 11247	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*)
52	11, 19, 36, 25	nmogelb 24830	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟)))
53	47, 48, 49, 51, 52	syl31anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟)))
54	46, 53	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹))
55	17	simprd 500	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
56	55	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
57	28, 56, 40	ledivmul2d 13102	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋))))
58	54, 57	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
59		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
60	37, 59	ghmid 19280	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
61	18, 60	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
62	61	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
63	25, 59	nm0 24743	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
64	15, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
65	62, 64	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = 0)
66	36, 37	nm0 24743	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
67	33, 66	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
68		0re 11198	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
69	67, 68	eqeltrdi 2873	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) ∈ ℝ)
70	11	nmoge0 24835	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
71	33, 15, 18, 70	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
72		0le0 12330	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
73	72, 67	breqtrrid 5142	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐿‘(0g‘𝑆)))
74	55, 69, 71, 73	mulge0d 11779	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆))))
75	65, 74	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆))))
76	4, 58, 75	pm2.61ne 3045	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079   class class class wbr 5104  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088   · cmul 11093  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232   / cdiv 11859  ℝ⁺crp 13004  [,)cico 13362  Basecbs 17257  0_gc0g 17480   GrpHom cghm 19271  normcnm 24690  NrmGrpcngp 24691   normOp cnmo 24819   NGHom cnghm 24820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ico 13366  df-0g 17482  df-topgen 17484  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-ghm 19272  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-top 23008  df-topon 23025  df-topsp 23047  df-bases 23060  df-xms 24434  df-ms 24435  df-nm 24696  df-ngp 24697  df-nmo 24822  df-nghm 24823

This theorem is referenced by:  nmoix  24843  nmoeq0  24850  nmoco  24851  nmotri  24853  nmoid  24856  nmods  24858