Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 2fveq3 6848 |
. . 3
β’ (π = (0gβπ) β (πβ(πΉβπ)) = (πβ(πΉβ(0gβπ)))) |
2 | | fveq2 6843 |
. . . 4
β’ (π = (0gβπ) β (πΏβπ) = (πΏβ(0gβπ))) |
3 | 2 | oveq2d 7374 |
. . 3
β’ (π = (0gβπ) β ((πβπΉ) Β· (πΏβπ)) = ((πβπΉ) Β· (πΏβ(0gβπ)))) |
4 | 1, 3 | breq12d 5119 |
. 2
β’ (π = (0gβπ) β ((πβ(πΉβπ)) β€ ((πβπΉ) Β· (πΏβπ)) β (πβ(πΉβ(0gβπ))) β€ ((πβπΉ) Β· (πΏβ(0gβπ))))) |
5 | | 2fveq3 6848 |
. . . . . . . . 9
β’ (π₯ = π β (πβ(πΉβπ₯)) = (πβ(πΉβπ))) |
6 | | fveq2 6843 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π₯ = π β (πΏβπ₯) = (πΏβπ)) |
7 | 6 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . 9
β’ (π₯ = π β (π Β· (πΏβπ₯)) = (π Β· (πΏβπ))) |
8 | 5, 7 | breq12d 5119 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = π β ((πβ(πΉβπ₯)) β€ (π Β· (πΏβπ₯)) β (πβ(πΉβπ)) β€ (π Β· (πΏβπ)))) |
9 | 8 | rspcv 3576 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β (βπ₯ β π (πβ(πΉβπ₯)) β€ (π Β· (πΏβπ₯)) β (πβ(πΉβπ)) β€ (π Β· (πΏβπ)))) |
10 | 9 | ad3antlr 730 |
. . . . . 6
β’ ((((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β§ π β (0[,)+β)) β (βπ₯ β π (πβ(πΉβπ₯)) β€ (π Β· (πΏβπ₯)) β (πβ(πΉβπ)) β€ (π Β· (πΏβπ)))) |
11 | | nmofval.1 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ π = (π normOp π) |
12 | 11 | isnghm 24103 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (πΉ β (π NGHom π) β ((π β NrmGrp β§ π β NrmGrp) β§ (πΉ β (π GrpHom π) β§ (πβπΉ) β β))) |
13 | 12 | simplbi 499 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (πΉ β (π NGHom π) β (π β NrmGrp β§ π β NrmGrp)) |
14 | 13 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β (π β NrmGrp β§ π β NrmGrp)) |
15 | 14 | simprd 497 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β π β NrmGrp) |
16 | 12 | simprbi 498 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (πΉ β (π NGHom π) β (πΉ β (π GrpHom π) β§ (πβπΉ) β β)) |
17 | 16 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β (πΉ β (π GrpHom π) β§ (πβπΉ) β β)) |
18 | 17 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β πΉ β (π GrpHom π)) |
19 | | nmoi.2 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ π = (Baseβπ) |
20 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(Baseβπ) =
(Baseβπ) |
21 | 19, 20 | ghmf 19017 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (πΉ β (π GrpHom π) β πΉ:πβΆ(Baseβπ)) |
22 | 18, 21 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β πΉ:πβΆ(Baseβπ)) |
23 | | ffvelcdm 7033 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΉ:πβΆ(Baseβπ) β§ π β π) β (πΉβπ) β (Baseβπ)) |
24 | 22, 23 | sylancom 589 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β (πΉβπ) β (Baseβπ)) |
25 | | nmoi.4 |
. . . . . . . . . . 11
β’ π = (normβπ) |
26 | 20, 25 | nmcl 23988 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β NrmGrp β§ (πΉβπ) β (Baseβπ)) β (πβ(πΉβπ)) β β) |
27 | 15, 24, 26 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β (πβ(πΉβπ)) β β) |
28 | 27 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β (πβ(πΉβπ)) β β) |
29 | 28 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β§ π β (0[,)+β)) β (πβ(πΉβπ)) β β) |
30 | | elrege0 13377 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (0[,)+β) β
(π β β β§ 0
β€ π)) |
31 | 30 | simplbi 499 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (0[,)+β) β
π β
β) |
32 | 31 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β§ π β (0[,)+β)) β π β
β) |
33 | 14 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β π β NrmGrp) |
34 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β π β π) |
35 | 33, 34 | jca 513 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β (π β NrmGrp β§ π β π)) |
36 | | nmoi.3 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ πΏ = (normβπ) |
37 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(0gβπ) = (0gβπ) |
38 | 19, 36, 37 | nmrpcl 23992 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β NrmGrp β§ π β π β§ π β (0gβπ)) β (πΏβπ) β
β+) |
39 | 38 | 3expa 1119 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β NrmGrp β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β (πΏβπ) β
β+) |
40 | 35, 39 | sylan 581 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β (πΏβπ) β
β+) |
41 | 40 | rpregt0d 12968 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β ((πΏβπ) β β β§ 0 < (πΏβπ))) |
42 | 41 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β§ π β (0[,)+β)) β ((πΏβπ) β β β§ 0 < (πΏβπ))) |
43 | | ledivmul2 12039 |
. . . . . . 7
β’ (((πβ(πΉβπ)) β β β§ π β β β§ ((πΏβπ) β β β§ 0 < (πΏβπ))) β (((πβ(πΉβπ)) / (πΏβπ)) β€ π β (πβ(πΉβπ)) β€ (π Β· (πΏβπ)))) |
44 | 29, 32, 42, 43 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β§ π β (0[,)+β)) β (((πβ(πΉβπ)) / (πΏβπ)) β€ π β (πβ(πΉβπ)) β€ (π Β· (πΏβπ)))) |
45 | 10, 44 | sylibrd 259 |
. . . . 5
β’ ((((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β§ π β (0[,)+β)) β (βπ₯ β π (πβ(πΉβπ₯)) β€ (π Β· (πΏβπ₯)) β ((πβ(πΉβπ)) / (πΏβπ)) β€ π)) |
46 | 45 | ralrimiva 3140 |
. . . 4
β’ (((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β βπ β (0[,)+β)(βπ₯ β π (πβ(πΉβπ₯)) β€ (π Β· (πΏβπ₯)) β ((πβ(πΉβπ)) / (πΏβπ)) β€ π)) |
47 | 33 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ (((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β π β NrmGrp) |
48 | 15 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ (((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β π β NrmGrp) |
49 | 18 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ (((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β πΉ β (π GrpHom π)) |
50 | 28, 40 | rerpdivcld 12993 |
. . . . . 6
β’ (((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β ((πβ(πΉβπ)) / (πΏβπ)) β β) |
51 | 50 | rexrd 11210 |
. . . . 5
β’ (((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β ((πβ(πΉβπ)) / (πΏβπ)) β
β*) |
52 | 11, 19, 36, 25 | nmogelb 24096 |
. . . . 5
β’ (((π β NrmGrp β§ π β NrmGrp β§ πΉ β (π GrpHom π)) β§ ((πβ(πΉβπ)) / (πΏβπ)) β β*) β
(((πβ(πΉβπ)) / (πΏβπ)) β€ (πβπΉ) β βπ β (0[,)+β)(βπ₯ β π (πβ(πΉβπ₯)) β€ (π Β· (πΏβπ₯)) β ((πβ(πΉβπ)) / (πΏβπ)) β€ π))) |
53 | 47, 48, 49, 51, 52 | syl31anc 1374 |
. . . 4
β’ (((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β (((πβ(πΉβπ)) / (πΏβπ)) β€ (πβπΉ) β βπ β (0[,)+β)(βπ₯ β π (πβ(πΉβπ₯)) β€ (π Β· (πΏβπ₯)) β ((πβ(πΉβπ)) / (πΏβπ)) β€ π))) |
54 | 46, 53 | mpbird 257 |
. . 3
β’ (((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β ((πβ(πΉβπ)) / (πΏβπ)) β€ (πβπΉ)) |
55 | 17 | simprd 497 |
. . . . 5
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β (πβπΉ) β β) |
56 | 55 | adantr 482 |
. . . 4
β’ (((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β (πβπΉ) β β) |
57 | 28, 56, 40 | ledivmul2d 13016 |
. . 3
β’ (((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β (((πβ(πΉβπ)) / (πΏβπ)) β€ (πβπΉ) β (πβ(πΉβπ)) β€ ((πβπΉ) Β· (πΏβπ)))) |
58 | 54, 57 | mpbid 231 |
. 2
β’ (((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β§ π β (0gβπ)) β (πβ(πΉβπ)) β€ ((πβπΉ) Β· (πΏβπ))) |
59 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’
(0gβπ) = (0gβπ) |
60 | 37, 59 | ghmid 19019 |
. . . . . 6
β’ (πΉ β (π GrpHom π) β (πΉβ(0gβπ)) = (0gβπ)) |
61 | 18, 60 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β (πΉβ(0gβπ)) = (0gβπ)) |
62 | 61 | fveq2d 6847 |
. . . 4
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β (πβ(πΉβ(0gβπ))) = (πβ(0gβπ))) |
63 | 25, 59 | nm0 24001 |
. . . . 5
β’ (π β NrmGrp β (πβ(0gβπ)) = 0) |
64 | 15, 63 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β (πβ(0gβπ)) = 0) |
65 | 62, 64 | eqtrd 2773 |
. . 3
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β (πβ(πΉβ(0gβπ))) = 0) |
66 | 36, 37 | nm0 24001 |
. . . . . 6
β’ (π β NrmGrp β (πΏβ(0gβπ)) = 0) |
67 | 33, 66 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β (πΏβ(0gβπ)) = 0) |
68 | | 0re 11162 |
. . . . 5
β’ 0 β
β |
69 | 67, 68 | eqeltrdi 2842 |
. . . 4
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β (πΏβ(0gβπ)) β
β) |
70 | 11 | nmoge0 24101 |
. . . . 5
β’ ((π β NrmGrp β§ π β NrmGrp β§ πΉ β (π GrpHom π)) β 0 β€ (πβπΉ)) |
71 | 33, 15, 18, 70 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β 0 β€ (πβπΉ)) |
72 | | 0le0 12259 |
. . . . 5
β’ 0 β€
0 |
73 | 72, 67 | breqtrrid 5144 |
. . . 4
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β 0 β€ (πΏβ(0gβπ))) |
74 | 55, 69, 71, 73 | mulge0d 11737 |
. . 3
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β 0 β€ ((πβπΉ) Β· (πΏβ(0gβπ)))) |
75 | 65, 74 | eqbrtrd 5128 |
. 2
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β (πβ(πΉβ(0gβπ))) β€ ((πβπΉ) Β· (πΏβ(0gβπ)))) |
76 | 4, 58, 75 | pm2.61ne 3027 |
1
β’ ((πΉ β (π NGHom π) β§ π β π) β (πβ(πΉβπ)) β€ ((πβπΉ) Β· (πΏβπ))) |