Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoi 23341
 Description: The operator norm achieves the minimum of the set of upper bounds, if the operator is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmoi ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))

Proof of Theorem nmoi
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6650 . . 3 (𝑋 = (0g𝑆) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))))
2 fveq2 6645 . . . 4 (𝑋 = (0g𝑆) → (𝐿𝑋) = (𝐿‘(0g𝑆)))
32oveq2d 7151 . . 3 (𝑋 = (0g𝑆) → ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)) = ((𝑁𝐹) · (𝐿‘(0g𝑆))))
41, 3breq12d 5043 . 2 (𝑋 = (0g𝑆) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿‘(0g𝑆)))))
5 2fveq3 6650 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹𝑋)))
6 fveq2 6645 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝐿𝑥) = (𝐿𝑋))
76oveq2d 7151 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑟 · (𝐿𝑥)) = (𝑟 · (𝐿𝑋)))
85, 7breq12d 5043 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑋))))
98rspcv 3566 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑋))))
109ad3antlr 730 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑋))))
11 nmofval.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
1211isnghm 23336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))
1312simplbi 501 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
1413adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
1514simprd 499 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
1612simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ))
1716adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ))
1817simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
19 nmoi.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Base‘𝑆)
20 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
2119, 20ghmf 18357 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
2218, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
23 ffvelrn 6826 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
2422, 23sylancom 591 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
25 nmoi.4 . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (norm‘𝑇)
2620, 25nmcl 23229 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
2715, 24, 26syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
2827adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
2928adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
30 elrege0 12834 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟))
3130simplbi 501 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ (0[,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
3231adantl 485 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
3314simpld 498 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
34 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
3533, 34jca 515 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉))
36 nmoi.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (norm‘𝑆)
37 eqid 2798 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑆) = (0g𝑆)
3819, 36, 37nmrpcl 23233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
39383expa 1115 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
4035, 39sylan 583 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
4140rpregt0d 12427 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → ((𝐿𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝑋)))
4241adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐿𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝑋)))
43 ledivmul2 11510 . . . . . . 7 (((𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝑋))) → (((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟 ↔ (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑋))))
4429, 32, 42, 43syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟 ↔ (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑋))))
4510, 44sylibrd 262 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟))
4645ralrimiva 3149 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟))
4733adantr 484 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
4815adantr 484 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
4918adantr 484 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5028, 40rerpdivcld 12452 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ)
5150rexrd 10682 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ*)
5211, 19, 36, 25nmogelb 23329 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟)))
5347, 48, 49, 51, 52syl31anc 1370 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟)))
5446, 53mpbird 260 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹))
5517simprd 499 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ)
5655adantr 484 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ)
5728, 56, 40ledivmul2d 12475 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹) ↔ (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋))))
5854, 57mpbid 235 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
59 eqid 2798 . . . . . . 7 (0g𝑇) = (0g𝑇)
6037, 59ghmid 18359 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
6118, 60syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
6261fveq2d 6649 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = (𝑀‘(0g𝑇)))
6325, 59nm0 23242 . . . . 5 (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
6415, 63syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
6562, 64eqtrd 2833 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = 0)
6636, 37nm0 23242 . . . . . 6 (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
6733, 66syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
68 0re 10634 . . . . 5 0 ∈ ℝ
6967, 68eqeltrdi 2898 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐿‘(0g𝑆)) ∈ ℝ)
7011nmoge0 23334 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁𝐹))
7133, 15, 18, 70syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐹))
72 0le0 11728 . . . . 5 0 ≤ 0
7372, 67breqtrrid 5068 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝐿‘(0g𝑆)))
7455, 69, 71, 73mulge0d 11208 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 0 ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿‘(0g𝑆))))
7565, 74eqbrtrd 5052 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿‘(0g𝑆))))
764, 58, 75pm2.61ne 3072 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   class class class wbr 5030  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10527  0cc0 10528   · cmul 10533  +∞cpnf 10663  ℝ*cxr 10665   < clt 10666   ≤ cle 10667   / cdiv 11288  ℝ+crp 12379  [,)cico 12730  Basecbs 16477  0gc0g 16707   GrpHom cghm 18350  normcnm 23190  NrmGrpcngp 23191   normOp cnmo 23318   NGHom cnghm 23319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-q 12339  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ico 12734  df-0g 16709  df-topgen 16711  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-ghm 18351  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-xms 22934  df-ms 22935  df-nm 23196  df-ngp 23197  df-nmo 23321  df-nghm 23322 This theorem is referenced by:  nmoix  23342  nmoeq0  23349  nmoco  23350  nmotri  23352  nmoid  23355  nmods  23357
 Copyright terms: Public domain W3C validator