Theorem nmoi 24922

Description: The operator norm achieves the minimum of the set of upper bounds, if the operator is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoi	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))

Proof of Theorem nmoi

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6893	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))))
2		fveq2 6888	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝐿‘𝑋) = (𝐿‘(0g‘𝑆)))
3	2	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆))))
4	1, 3	breq12d 5127	. 2 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆)))))
5		2fveq3 6893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘𝑋)))
6		fveq2 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘𝑋))
7	6	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) = (𝑟 · (𝐿‘𝑋)))
8	5, 7	breq12d 5127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
9	8	rspcv 3580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
10	9	ad3antlr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
11		nmofval.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
12	11	isnghm 24917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
13	12	simplbi 502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
15	14	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16	12	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
18	17	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
19		nmoi.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
20		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
21	19, 20	ghmf 19321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
22	18, 21	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
23		ffvelcdm 7083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
24	22, 23	sylancom 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
25		nmoi.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
26	20, 25	nmcl 24810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
27	15, 24, 26	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
28	27	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
30		elrege0 13499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟))
31	30	simplbi 502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
32	31	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
33	14	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
34		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	33, 34	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
36		nmoi.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
37		eqid 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
38	19, 36, 37	nmrpcl 24814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
39	38	3expa 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
40	35, 39	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
41	40	rpregt0d 13084	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝑋)))
42	41	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝑋)))
43		ledivmul2 12112	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝑋))) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟 ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
44	29, 32, 42, 43	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟 ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑋))))
45	10, 44	sylibrd 262	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟))
46	45	ralrimiva 3160	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟))
47	33	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
48	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
49	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
50	28, 40	rerpdivcld 13109	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ)
51	50	rexrd 11277	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*)
52	11, 19, 36, 25	nmogelb 24910	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟)))
53	47, 48, 49, 51, 52	syl31anc 1400	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿‘𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ 𝑟)))
54	46, 53	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹))
55	17	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
56	55	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
57	28, 56, 40	ledivmul2d 13132	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋))))
58	54, 57	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
59		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
60	37, 59	ghmid 19323	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
61	18, 60	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
62	61	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
63	25, 59	nm0 24823	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
64	15, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
65	62, 64	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = 0)
66	36, 37	nm0 24823	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
67	33, 66	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
68		0re 11228	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
69	67, 68	eqeltrdi 2874	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) ∈ ℝ)
70	11	nmoge0 24915	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
71	33, 15, 18, 70	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
72		0le0 12360	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
73	72, 67	breqtrrid 5154	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐿‘(0g‘𝑆)))
74	55, 69, 71, 73	mulge0d 11809	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆))))
75	65, 74	eqbrtrd 5138	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘(0g‘𝑆))))
76	4, 58, 75	pm2.61ne 3046	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082   class class class wbr 5114  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118   · cmul 11123  +∞cpnf 11258  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ≤ cle 11262   / cdiv 11889  ℝ⁺crp 13034  [,)cico 13392  Basecbs 17294  0_gc0g 17517   GrpHom cghm 19314  normcnm 24770  NrmGrpcngp 24771   normOp cnmo 24899   NGHom cnghm 24900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ico 13396  df-0g 17519  df-topgen 17521  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-ghm 19315  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-xms 24514  df-ms 24515  df-nm 24776  df-ngp 24777  df-nmo 24902  df-nghm 24903

This theorem is used by:  nmoix  24923  nmoeq0  24930  nmoco  24931  nmotri  24933  nmoid  24936  nmods  24938