Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p2 40556
Description: Rewrite ๐ด in more suitable form. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
aks4d1p1p2.2 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
aks4d1p1p2.3 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
aks4d1p1p2.4 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘โ†‘๐‘(((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem aks4d1p1p2
StepHypRef Expression
1 aks4d1p1p2.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
21nnred 12175 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3 2re 12234 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
5 2pos 12263 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
65a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
71nngt0d 12209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
8 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
9 1lt2 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 1 < 2)
118, 10ltned 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  2)
1211necomd 3000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  1)
134, 6, 2, 7, 12relogbcld 40459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„)
14 5nn0 12440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 โˆˆ โ„•0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 5 โˆˆ โ„•0)
1613, 15reexpcld 14075 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„)
17 ceilcl 13754 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค)
1918zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„)
20 aks4d1p1p2.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
2221eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„))
2319, 22mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
24 0red 11165 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2515nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 5 โˆˆ โ„ค)
26 3re 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 โˆˆ โ„
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
28 1lt3 12333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 3
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 < 3)
30 aks4d1p1p2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
318, 27, 2, 29, 30ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐‘)
322, 7elrpd 12961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
33 2rp 12927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„+
3433, 9pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 โˆˆ โ„+ โˆง 1 < 2)
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆˆ โ„+ โˆง 1 < 2))
36 logbgt0b 26159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง (2 โˆˆ โ„+ โˆง 1 < 2)) โ†’ (0 < (2 logb ๐‘) โ†” 1 < ๐‘))
3732, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (0 < (2 logb ๐‘) โ†” 1 < ๐‘))
3831, 37mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < (2 logb ๐‘))
39 expgt0 14008 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 5 โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (2 logb ๐‘)) โ†’ 0 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
4013, 25, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
41 ceilge 13757 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โ‰ค (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
4216, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โ‰ค (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
4324, 16, 19, 40, 42ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
4421breq2d 5122 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ต โ†” 0 < (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))))
4543, 44mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)
464, 6, 23, 45, 12relogbcld 40459 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐ต) โˆˆ โ„)
4746flcld 13710 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
48 7re 12253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 โˆˆ โ„
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 7 โˆˆ โ„)
50 1lt7 12351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 7
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 < 7)
522, 303lexlogpow5ineq3 40543 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 7 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
538, 49, 16, 51, 52lttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
548, 16, 19, 53, 42ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 < (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
5521breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ต โ†” 1 < (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))))
5654, 55mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ต)
5723, 45elrpd 12961 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
58 logbgt0b 26159 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง (2 โˆˆ โ„+ โˆง 1 < 2)) โ†’ (0 < (2 logb ๐ต) โ†” 1 < ๐ต))
5957, 35, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0 < (2 logb ๐ต) โ†” 1 < ๐ต))
6056, 59mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < (2 logb ๐ต))
6124, 46, 60ltled 11310 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (2 logb ๐ต))
62 0zd 12518 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
63 flge 13717 . . . . . . . . . . 11 (((2 logb ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โ‰ค (2 logb ๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
6446, 62, 63syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (2 logb ๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
6561, 64mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))
6647, 65jca 513 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
67 elnn0z 12519 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0 โ†” ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
6866, 67sylibr 233 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
692, 68reexpcld 14075 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„)
70 fzfid 13885 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆˆ Fin)
712adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
72 elfznn 13477 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
7372adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
74 nnnn0 12427 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7671, 75reexpcld 14075 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
77 1red 11163 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
7876, 77resubcld 11590 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
7970, 78fprodrecl 15843 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
8069, 79remulcld 11192 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
81 aks4d1p1p2.2 . . . . . . 7 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
8281a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
8382eleq1d 2823 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„))
8480, 83mpbird 257 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
851nnnn0d 12480 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
8685nn0ge0d 12483 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
8716, 8readdcld 11191 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1) โˆˆ โ„)
8816ltp1d 12092 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) < (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))
8924, 16, 87, 40, 88lttrd 11323 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))
904, 6, 87, 89, 12relogbcld 40459 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) โˆˆ โ„)
9113resqcld 14037 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„)
9291flcld 13710 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
9392zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
94 0lt1 11684 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
964, 6, 4, 6, 12relogbcld 40459 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 2) โˆˆ โ„)
9796resqcld 14037 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb 2)โ†‘2) โˆˆ โ„)
98 2nn0 12437 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โˆˆ โ„•0
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
1008leidd 11728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค 1)
1014recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
10224, 6gtned 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
103 logbid1 26134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0 โˆง 2 โ‰  1) โ†’ (2 logb 2) = 1)
104101, 102, 12, 103syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 2) = 1)
105104eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 = (2 logb 2))
106100, 105breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (2 logb 2))
10796, 99, 106expge1d 14077 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ((2 logb 2)โ†‘2))
108105eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 2) = 1)
109108oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb 2)โ†‘2) = (1โ†‘2))
11099nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
111 1exp 14004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘2) = 1)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘2) = 1)
113109, 112eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb 2)โ†‘2) = 1)
1144leidd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค 2)
115 1nn0 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 โˆˆ โ„•0
1163, 115nn0addge1i 12468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 โ‰ค (2 + 1)
117 2p1e3 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 + 1) = 3
118116, 117breqtri 5135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 โ‰ค 3
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค 3)
1204, 27, 2, 119, 30letrd 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)
121110, 114, 4, 6, 2, 7, 120logblebd 40462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 2) โ‰ค (2 logb ๐‘))
1228, 96, 13, 106, 121letrd 11319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (2 logb ๐‘))
12313, 99, 122expge1d 14077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2))
124113, 123eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb 2)โ†‘2) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2))
125 1z 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„ค
126 zsqcl 14041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
127125, 126ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1โ†‘2) โˆˆ โ„ค
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
129109eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค โ†” (1โ†‘2) โˆˆ โ„ค))
130128, 129mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
13191, 130jca 513 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง ((2 logb 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค))
132 flge 13717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง ((2 logb 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 logb 2)โ†‘2) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2) โ†” ((2 logb 2)โ†‘2) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb 2)โ†‘2) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2) โ†” ((2 logb 2)โ†‘2) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))))
134124, 133mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb 2)โ†‘2) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))
1358, 97, 93, 107, 134letrd 11319 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))
13624, 8, 93, 95, 135ltletrd 11322 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))
13792, 136jca 513 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))))
138 elnnz 12516 . . . . . . . . . . . 12 ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„• โ†” ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))))
139138bicomi 223 . . . . . . . . . . 11 (((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†” (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„•)
140139a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†” (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„•))
141137, 140mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„•)
142141nnnn0d 12480 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„•0)
143 arisum 15752 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜ = ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))
144142, 143syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜ = ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))
14573nnred 12175 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
14670, 145fsumrecl 15626 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜ โˆˆ โ„)
147144, 146eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2) โˆˆ โ„)
14890, 147readdcld 11191 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2)) โˆˆ โ„)
1492, 86, 148recxpcld 26094 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))) โˆˆ โ„)
150 4nn0 12439 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„•0
151150a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„•0)
15213, 151reexpcld 14075 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘4) โˆˆ โ„)
153152, 91readdcld 11191 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
154153rehalfcld 12407 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2) โˆˆ โ„)
15590, 154readdcld 11191 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2)) โˆˆ โ„)
1562, 86, 155recxpcld 26094 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2))) โˆˆ โ„)
157 reflcl 13708 . . . . . . . . . . 11 ((2 logb ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„)
15846, 157syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„)
1592, 86, 158recxpcld 26094 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„)
16032, 146rpcxpcld 26103 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜) โˆˆ โ„+)
16132, 141aks4d1p1p1 40549 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) = (๐‘โ†‘๐‘ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜))
162161eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) โˆˆ โ„+ โ†” (๐‘โ†‘๐‘ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜) โˆˆ โ„+))
163160, 162mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
164163rpregt0d 12970 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
165164simpld 496 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
166159, 165remulcld 11192 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
1672, 86, 90recxpcld 26094 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) โˆˆ โ„)
168167, 165remulcld 11192 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
16970, 76fprodrecl 15843 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
1702, 68, 86expge0d 14076 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
171 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
172 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
1731nnge1d 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
174173adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
17571, 75, 174expge1d 14077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘˜))
17676recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
177176subid1d 11508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 0) = (๐‘โ†‘๐‘˜))
178177breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (1 โ‰ค ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 0) โ†” 1 โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘˜)))
179175, 178mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 1 โ‰ค ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 0))
18077, 76, 172, 179lesubd 11766 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
18176lem1d 12095 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘˜))
182171, 70, 78, 180, 76, 181fprodle 15886 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜))
18379, 169, 69, 170, 182lemul2ad 12102 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โ‰ค ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜)))
18482breq1d 5120 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜)) โ†” ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โ‰ค ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜))))
185183, 184mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜)))
18671recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
187 cxpexp 26039 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) = (๐‘โ†‘๐‘˜))
188186, 75, 187syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) = (๐‘โ†‘๐‘˜))
189188eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) = (๐‘โ†‘๐‘๐‘˜))
190189prodeq2dv 15813 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜))
191190oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜)) = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
192185, 191breqtrd 5136 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
1932recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
194 cxpexp 26039 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) = (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
195193, 68, 194syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) = (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
196195oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)) = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
197196eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)) = ((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
198192, 197breqtrd 5136 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
199159, 167, 1643jca 1129 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) โˆˆ โ„ โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜))))
2001, 20, 30aks4d1p1p3 40555 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) < (๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))))
201 ltmul1a 12011 . . . . . . . . 9 ((((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) โˆˆ โ„ โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜))) โˆง (๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) < (๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)) < ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
202199, 200, 201syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)) < ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
20384, 166, 168, 198, 202lelttrd 11320 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
204161oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)) = ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜)))
205203, 204breqtrd 5136 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜)))
206144oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜) = (๐‘โ†‘๐‘((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2)))
207206oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜)) = ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท (๐‘โ†‘๐‘((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))))
208205, 207breqtrd 5136 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท (๐‘โ†‘๐‘((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))))
20924, 7gtned 11297 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
21090recnd 11190 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) โˆˆ โ„‚)
211141nncnd 12176 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
212211sqcld 14056 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
213212, 211addcld 11181 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
214213halfcld 12405 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2) โˆˆ โ„‚)
215193, 209, 210, 214cxpaddd 26088 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))) = ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท (๐‘โ†‘๐‘((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))))
216215eqcomd 2743 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท (๐‘โ†‘๐‘((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))) = (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))))
217208, 216breqtrd 5136 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))))
218 reflcl 13708 . . . . . . . . . 10 (((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
21991, 218syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
220219resqcld 14037 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) โˆˆ โ„)
221220, 219readdcld 11191 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆˆ โ„)
22233a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
22391, 99reexpcld 14075 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘2)โ†‘2) โˆˆ โ„)
224 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐œ‘)
225142nn0ge0d 12483 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))
226 flle 13711 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2))
22791, 226syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2))
228219, 91, 99, 225, 227leexp1ad 40458 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) โ‰ค (((2 logb ๐‘)โ†‘2)โ†‘2))
229224, 228syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) โ‰ค (((2 logb ๐‘)โ†‘2)โ†‘2))
23013recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„‚)
231230, 99, 99expmuld 14061 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘(2 ยท 2)) = (((2 logb ๐‘)โ†‘2)โ†‘2))
232231eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘2)โ†‘2) = ((2 logb ๐‘)โ†‘(2 ยท 2)))
233 2t2e4 12324 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยท 2) = 4
234233oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((2 logb ๐‘)โ†‘(2 ยท 2)) = ((2 logb ๐‘)โ†‘4)
235234a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘(2 ยท 2)) = ((2 logb ๐‘)โ†‘4))
236232, 235eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘2)โ†‘2) = ((2 logb ๐‘)โ†‘4))
237223, 236eqled 11265 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘2)โ†‘2) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘4))
238220, 223, 152, 229, 237letrd 11319 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘4))
239220, 219, 152, 91, 238, 227le2addd 11781 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ‰ค (((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)))
240221, 153, 222, 239lediv1dd 13022 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2) โ‰ค ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2))
241147, 154, 90, 240leadd2dd 11777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2)) โ‰ค ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2)))
2422, 31, 148, 155cxpled 26091 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2)) โ‰ค ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2)) โ†” (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2)))))
243241, 242mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2))))
24484, 149, 156, 217, 243ltletrd 11322 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2))))
245152recnd 11190 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘4) โˆˆ โ„‚)
24691recnd 11190 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
247245, 246, 101, 102divdird 11976 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2) = ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)))
248247oveq2d 7378 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2)) = ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2))))
249248oveq2d 7378 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2))) = (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)))))
250244, 249breqtrd 5136 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)))))
251245, 101, 102divcld 11938 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) โˆˆ โ„‚)
252246, 101, 102divcld 11938 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„‚)
253251, 252addcomd 11364 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) = ((((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2)))
254253oveq2d 7378 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2))) = ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2))))
255210, 252, 251addassd 11184 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2)) = ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2))))
256255eqcomd 2743 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2))) = (((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2)))
257254, 256eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2))) = (((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2)))
258257oveq2d 7378 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)))) = (๐‘โ†‘๐‘(((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2))))
259250, 258breqtrd 5136 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘โ†‘๐‘(((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  7c7 12220  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„+crp 12922  ...cfz 13431  โŒŠcfl 13702  โŒˆcceil 13703  โ†‘cexp 13974  ฮฃcsu 15577  โˆcprod 15795  โ†‘๐‘ccxp 25927   logb clogb 26130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-ceil 13705  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-prod 15796  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-logb 26131
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p4  40557
  Copyright terms: Public domain W3C validator