Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p2 41241
Description: Rewrite ๐ด in more suitable form. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
aks4d1p1p2.2 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
aks4d1p1p2.3 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
aks4d1p1p2.4 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘โ†‘๐‘(((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem aks4d1p1p2
StepHypRef Expression
1 aks4d1p1p2.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
21nnred 12231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3 2re 12290 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
5 2pos 12319 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
65a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
71nngt0d 12265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
8 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
9 1lt2 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 1 < 2)
118, 10ltned 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  2)
1211necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  1)
134, 6, 2, 7, 12relogbcld 41144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„)
14 5nn0 12496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 โˆˆ โ„•0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 5 โˆˆ โ„•0)
1613, 15reexpcld 14132 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„)
17 ceilcl 13811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค)
1918zred 12670 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„)
20 aks4d1p1p2.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
2221eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„))
2319, 22mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
24 0red 11221 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2515nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 5 โˆˆ โ„ค)
26 3re 12296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 โˆˆ โ„
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
28 1lt3 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 3
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 < 3)
30 aks4d1p1p2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
318, 27, 2, 29, 30ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐‘)
322, 7elrpd 13017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
33 2rp 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„+
3433, 9pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 โˆˆ โ„+ โˆง 1 < 2)
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆˆ โ„+ โˆง 1 < 2))
36 logbgt0b 26534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง (2 โˆˆ โ„+ โˆง 1 < 2)) โ†’ (0 < (2 logb ๐‘) โ†” 1 < ๐‘))
3732, 35, 36syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (0 < (2 logb ๐‘) โ†” 1 < ๐‘))
3831, 37mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < (2 logb ๐‘))
39 expgt0 14065 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 5 โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (2 logb ๐‘)) โ†’ 0 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
4013, 25, 38, 39syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
41 ceilge 13814 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โ‰ค (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
4216, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โ‰ค (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
4324, 16, 19, 40, 42ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
4421breq2d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ต โ†” 0 < (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))))
4543, 44mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)
464, 6, 23, 45, 12relogbcld 41144 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐ต) โˆˆ โ„)
4746flcld 13767 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
48 7re 12309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 โˆˆ โ„
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 7 โˆˆ โ„)
50 1lt7 12407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 7
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 < 7)
522, 303lexlogpow5ineq3 41228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 7 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
538, 49, 16, 51, 52lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
548, 16, 19, 53, 42ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 < (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
5521breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ต โ†” 1 < (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))))
5654, 55mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ต)
5723, 45elrpd 13017 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
58 logbgt0b 26534 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง (2 โˆˆ โ„+ โˆง 1 < 2)) โ†’ (0 < (2 logb ๐ต) โ†” 1 < ๐ต))
5957, 35, 58syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0 < (2 logb ๐ต) โ†” 1 < ๐ต))
6056, 59mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < (2 logb ๐ต))
6124, 46, 60ltled 11366 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (2 logb ๐ต))
62 0zd 12574 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
63 flge 13774 . . . . . . . . . . 11 (((2 logb ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โ‰ค (2 logb ๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
6446, 62, 63syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (2 logb ๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
6561, 64mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))
6647, 65jca 510 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
67 elnn0z 12575 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0 โ†” ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
6866, 67sylibr 233 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
692, 68reexpcld 14132 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„)
70 fzfid 13942 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆˆ Fin)
712adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
72 elfznn 13534 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
7372adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
74 nnnn0 12483 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7671, 75reexpcld 14132 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
77 1red 11219 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
7876, 77resubcld 11646 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
7970, 78fprodrecl 15901 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
8069, 79remulcld 11248 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
81 aks4d1p1p2.2 . . . . . . 7 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
8281a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
8382eleq1d 2816 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„))
8480, 83mpbird 256 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
851nnnn0d 12536 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
8685nn0ge0d 12539 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
8716, 8readdcld 11247 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1) โˆˆ โ„)
8816ltp1d 12148 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) < (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))
8924, 16, 87, 40, 88lttrd 11379 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))
904, 6, 87, 89, 12relogbcld 41144 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) โˆˆ โ„)
9113resqcld 14094 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„)
9291flcld 13767 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
9392zred 12670 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
94 0lt1 11740 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
964, 6, 4, 6, 12relogbcld 41144 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 2) โˆˆ โ„)
9796resqcld 14094 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb 2)โ†‘2) โˆˆ โ„)
98 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โˆˆ โ„•0
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
1008leidd 11784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค 1)
1014recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
10224, 6gtned 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
103 logbid1 26509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0 โˆง 2 โ‰  1) โ†’ (2 logb 2) = 1)
104101, 102, 12, 103syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 2) = 1)
105104eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 = (2 logb 2))
106100, 105breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (2 logb 2))
10796, 99, 106expge1d 14134 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ((2 logb 2)โ†‘2))
108105eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 2) = 1)
109108oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb 2)โ†‘2) = (1โ†‘2))
11099nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
111 1exp 14061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘2) = 1)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘2) = 1)
113109, 112eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb 2)โ†‘2) = 1)
1144leidd 11784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค 2)
115 1nn0 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 โˆˆ โ„•0
1163, 115nn0addge1i 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 โ‰ค (2 + 1)
117 2p1e3 12358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 + 1) = 3
118116, 117breqtri 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 โ‰ค 3
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค 3)
1204, 27, 2, 119, 30letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)
121110, 114, 4, 6, 2, 7, 120logblebd 41147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 2) โ‰ค (2 logb ๐‘))
1228, 96, 13, 106, 121letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (2 logb ๐‘))
12313, 99, 122expge1d 14134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2))
124113, 123eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb 2)โ†‘2) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2))
125 1z 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„ค
126 zsqcl 14098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
127125, 126ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1โ†‘2) โˆˆ โ„ค
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
129109eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค โ†” (1โ†‘2) โˆˆ โ„ค))
130128, 129mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
13191, 130jca 510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง ((2 logb 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค))
132 flge 13774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง ((2 logb 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 logb 2)โ†‘2) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2) โ†” ((2 logb 2)โ†‘2) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb 2)โ†‘2) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2) โ†” ((2 logb 2)โ†‘2) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))))
134124, 133mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb 2)โ†‘2) โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))
1358, 97, 93, 107, 134letrd 11375 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))
13624, 8, 93, 95, 135ltletrd 11378 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))
13792, 136jca 510 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))))
138 elnnz 12572 . . . . . . . . . . . 12 ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„• โ†” ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))))
139138bicomi 223 . . . . . . . . . . 11 (((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†” (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„•)
140139a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†” (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„•))
141137, 140mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„•)
142141nnnn0d 12536 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„•0)
143 arisum 15810 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜ = ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))
144142, 143syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜ = ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))
14573nnred 12231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
14670, 145fsumrecl 15684 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜ โˆˆ โ„)
147144, 146eqeltrrd 2832 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2) โˆˆ โ„)
14890, 147readdcld 11247 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2)) โˆˆ โ„)
1492, 86, 148recxpcld 26467 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))) โˆˆ โ„)
150 4nn0 12495 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„•0
151150a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„•0)
15213, 151reexpcld 14132 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘4) โˆˆ โ„)
153152, 91readdcld 11247 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
154153rehalfcld 12463 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2) โˆˆ โ„)
15590, 154readdcld 11247 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2)) โˆˆ โ„)
1562, 86, 155recxpcld 26467 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2))) โˆˆ โ„)
157 reflcl 13765 . . . . . . . . . . 11 ((2 logb ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„)
15846, 157syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„)
1592, 86, 158recxpcld 26467 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„)
16032, 146rpcxpcld 26477 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜) โˆˆ โ„+)
16132, 141aks4d1p1p1 41234 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) = (๐‘โ†‘๐‘ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜))
162161eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) โˆˆ โ„+ โ†” (๐‘โ†‘๐‘ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜) โˆˆ โ„+))
163160, 162mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
164163rpregt0d 13026 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
165164simpld 493 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
166159, 165remulcld 11248 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
1672, 86, 90recxpcld 26467 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) โˆˆ โ„)
168167, 165remulcld 11248 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
16970, 76fprodrecl 15901 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
1702, 68, 86expge0d 14133 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
171 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
172 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
1731nnge1d 12264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
174173adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
17571, 75, 174expge1d 14134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘˜))
17676recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
177176subid1d 11564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 0) = (๐‘โ†‘๐‘˜))
178177breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (1 โ‰ค ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 0) โ†” 1 โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘˜)))
179175, 178mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 1 โ‰ค ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 0))
18077, 76, 172, 179lesubd 11822 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
18176lem1d 12151 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘˜))
182171, 70, 78, 180, 76, 181fprodle 15944 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜))
18379, 169, 69, 170, 182lemul2ad 12158 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โ‰ค ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜)))
18482breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜)) โ†” ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โ‰ค ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜))))
185183, 184mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜)))
18671recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
187 cxpexp 26412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) = (๐‘โ†‘๐‘˜))
188186, 75, 187syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) = (๐‘โ†‘๐‘˜))
189188eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) = (๐‘โ†‘๐‘๐‘˜))
190189prodeq2dv 15871 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜))
191190oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘˜)) = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
192185, 191breqtrd 5173 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
1932recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
194 cxpexp 26412 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) = (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
195193, 68, 194syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) = (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
196195oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)) = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
197196eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)) = ((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
198192, 197breqtrd 5173 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
199159, 167, 1643jca 1126 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) โˆˆ โ„ โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜))))
2001, 20, 30aks4d1p1p3 41240 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) < (๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))))
201 ltmul1a 12067 . . . . . . . . 9 ((((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) โˆˆ โ„ โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜))) โˆง (๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) < (๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)) < ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
202199, 200, 201syl2anc 582 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)) < ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
20384, 166, 168, 198, 202lelttrd 11376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)))
204161oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))(๐‘โ†‘๐‘๐‘˜)) = ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜)))
205203, 204breqtrd 5173 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜)))
206144oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜) = (๐‘โ†‘๐‘((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2)))
207206oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))๐‘˜)) = ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท (๐‘โ†‘๐‘((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))))
208205, 207breqtrd 5173 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท (๐‘โ†‘๐‘((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))))
20924, 7gtned 11353 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
21090recnd 11246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) โˆˆ โ„‚)
211141nncnd 12232 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
212211sqcld 14113 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
213212, 211addcld 11237 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
214213halfcld 12461 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2) โˆˆ โ„‚)
215193, 209, 210, 214cxpaddd 26461 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))) = ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท (๐‘โ†‘๐‘((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))))
216215eqcomd 2736 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))) ยท (๐‘โ†‘๐‘((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))) = (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))))
217208, 216breqtrd 5173 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))))
218 reflcl 13765 . . . . . . . . . 10 (((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
21991, 218syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
220219resqcld 14094 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) โˆˆ โ„)
221220, 219readdcld 11247 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆˆ โ„)
22233a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
22391, 99reexpcld 14132 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘2)โ†‘2) โˆˆ โ„)
224 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐œ‘)
225142nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))
226 flle 13768 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2))
22791, 226syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘2))
228219, 91, 99, 225, 227leexp1ad 41143 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) โ‰ค (((2 logb ๐‘)โ†‘2)โ†‘2))
229224, 228syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) โ‰ค (((2 logb ๐‘)โ†‘2)โ†‘2))
23013recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„‚)
231230, 99, 99expmuld 14118 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘(2 ยท 2)) = (((2 logb ๐‘)โ†‘2)โ†‘2))
232231eqcomd 2736 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘2)โ†‘2) = ((2 logb ๐‘)โ†‘(2 ยท 2)))
233 2t2e4 12380 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยท 2) = 4
234233oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . 12 ((2 logb ๐‘)โ†‘(2 ยท 2)) = ((2 logb ๐‘)โ†‘4)
235234a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘(2 ยท 2)) = ((2 logb ๐‘)โ†‘4))
236232, 235eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘2)โ†‘2) = ((2 logb ๐‘)โ†‘4))
237223, 236eqled 11321 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘2)โ†‘2) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘4))
238220, 223, 152, 229, 237letrd 11375 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘4))
239220, 219, 152, 91, 238, 227le2addd 11837 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ‰ค (((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)))
240221, 153, 222, 239lediv1dd 13078 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2) โ‰ค ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2))
241147, 154, 90, 240leadd2dd 11833 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2)) โ‰ค ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2)))
2422, 31, 148, 155cxpled 26464 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2)) โ‰ค ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2)) โ†” (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2)))))
243241, 242mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))โ†‘2) + (โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) / 2))) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2))))
24484, 149, 156, 217, 243ltletrd 11378 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2))))
245152recnd 11246 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘4) โˆˆ โ„‚)
24691recnd 11246 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
247245, 246, 101, 102divdird 12032 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2) = ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)))
248247oveq2d 7427 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2)) = ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2))))
249248oveq2d 7427 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) + ((2 logb ๐‘)โ†‘2)) / 2))) = (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)))))
250244, 249breqtrd 5173 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)))))
251245, 101, 102divcld 11994 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) โˆˆ โ„‚)
252246, 101, 102divcld 11994 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„‚)
253251, 252addcomd 11420 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) = ((((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2)))
254253oveq2d 7427 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2))) = ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2))))
255210, 252, 251addassd 11240 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2)) = ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2))))
256255eqcomd 2736 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2))) = (((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2)))
257254, 256eqtrd 2770 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2))) = (((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2)))
258257oveq2d 7427 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + ((((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)))) = (๐‘โ†‘๐‘(((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2))))
259250, 258breqtrd 5173 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘โ†‘๐‘(((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  7c7 12276  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978  ...cfz 13488  โŒŠcfl 13759  โŒˆcceil 13760  โ†‘cexp 14031  ฮฃcsu 15636  โˆcprod 15853  โ†‘๐‘ccxp 26300   logb clogb 26505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-ceil 13762  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-prod 15854  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-cxp 26302  df-logb 26506
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p4  41242
  Copyright terms: Public domain W3C validator