Theorem aks4d1p1p2 42783

Description: Rewrite 𝐴 in more suitable form. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p1p2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p2.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p1p2.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p2.4	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p1p2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p1p2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p1p2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnred 12247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2re 12314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
5		2pos 12344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
7	1	nngt0d 12284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
8		1red 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9		1lt2 12412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
11	8, 10	ltned 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
12	11	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
13	4, 6, 2, 7, 12	relogbcld 42687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14		5nn0 12523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
16	13, 15	reexpcld 14198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17		ceilcl 13874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
19	18	zred 12699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20		aks4d1p1p2.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
22	21	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
23	19, 22	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
24		0red 11210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25	15	nn0zd 12615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℤ)
26		3re 12320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
28		1lt3 12415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 3
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 3)
30		aks4d1p1p2.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
31	8, 27, 2, 29, 30	ltletrd 11369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
32	2, 7	elrpd 13056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
33		2rp 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ+
34	33, 9	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2))
36		logbgt0b 26934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)) → (0 < (2 logb 𝑁) ↔ 1 < 𝑁))
37	32, 35, 36	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 < (2 logb 𝑁) ↔ 1 < 𝑁))
38	31, 37	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 logb 𝑁))
39		expgt0 14130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑁)) → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
40	13, 25, 38, 39	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
41		ceilge 13877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
42	16, 41	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
43	24, 16, 19, 40, 42	ltletrd 11369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
44	21	breq2d 5120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
45	43, 44	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
46	4, 6, 23, 45, 12	relogbcld 42687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
47	46	flcld 13830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
48		7re 12333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 7 ∈ ℝ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
50		1lt7 12433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 7
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 < 7)
52	2, 30	3lexlogpow5ineq3 42770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
53	8, 49, 16, 51, 52	lttrd 11370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 < ((2 logb 𝑁)↑5))
54	8, 16, 19, 53, 42	ltletrd 11369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
55	21	breq2d 5120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐵 ↔ 1 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
56	54, 55	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
57	23, 45	elrpd 13056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
58		logbgt0b 26934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)) → (0 < (2 logb 𝐵) ↔ 1 < 𝐵))
59	57, 35, 58	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 < (2 logb 𝐵) ↔ 1 < 𝐵))
60	56, 59	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 logb 𝐵))
61	24, 46, 60	ltled 11357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
62		0zd 12602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
63		flge 13837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
64	46, 62, 63	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
65	61, 64	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
66	47, 65	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
67		elnn0z 12603	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
68	66, 67	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
69	2, 68	reexpcld 14198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ)
70		fzfid 14008	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
71	2	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
72		elfznn 13580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
73	72	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
74		nnnn0 12510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
75	73, 74	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76	71, 75	reexpcld 14198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℝ)
77		1red 11208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
78	76, 77	resubcld 11641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
79	70, 78	fprodrecl 16006	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
80	69, 79	remulcld 11238	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
81		aks4d1p1p2.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
82	81	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
83	82	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℝ))
84	80, 83	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
85	1	nnnn0d 12564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
86	85	nn0ge0d 12567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
87	16, 8	readdcld 11237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
88	16	ltp1d 12144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
89	24, 16, 87, 40, 88	lttrd 11370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
90	4, 6, 87, 89, 12	relogbcld 42687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
91	13	resqcld 14160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
92	91	flcld 13830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
93	92	zred 12699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
94		0lt1 11735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
96	4, 6, 4, 6, 12	relogbcld 42687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
97	96	resqcld 14160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ∈ ℝ)
98		2nn0 12520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ0
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
100	8	leidd 11779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 1)
101	4	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
102	24, 6	gtned 11344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
103		logbid1 26909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
104	101, 102, 12, 103	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
105	104	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
106	100, 105	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (2 logb 2))
107	96, 99, 106	expge1d 14200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((2 logb 2)↑2))
108	105	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
109	108	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) = (1↑2))
110	99	nn0zd 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
111		1exp 14126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1↑2) = 1)
112	110, 111	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1↑2) = 1)
113	109, 112	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) = 1)
114	4	leidd 11779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
115		1nn0 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℕ0
116	3, 115	nn0addge1i 12551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ≤ (2 + 1)
117		2p1e3 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 + 1) = 3
118	116, 117	breqtri 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ≤ 3
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 3)
120	4, 27, 2, 119, 30	letrd 11366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
121	110, 114, 4, 6, 2, 7, 120	logblebd 42690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁))
122	8, 96, 13, 106, 121	letrd 11366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (2 logb 𝑁))
123	13, 99, 122	expge1d 14200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
124	113, 123	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
125		1z 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℤ
126		zsqcl 14164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1↑2) ∈ ℤ)
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1↑2) ∈ ℤ
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1↑2) ∈ ℤ)
129	109	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ ↔ (1↑2) ∈ ℤ))
130	128, 129	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ)
131	91, 130	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ))
132		flge 13837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ) → (((2 logb 2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((2 logb 2)↑2) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
133	131, 132	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((2 logb 2)↑2) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
134	124, 133	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
135	8, 97, 93, 107, 134	letrd 11366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
136	24, 8, 93, 95, 135	ltletrd 11369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
137	92, 136	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
138		elnnz 12600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
139	138	bicomi 227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↔ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ)
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↔ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ))
141	137, 140	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ)
142	141	nnnn0d 12564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ0)
143		arisum 15913	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘 = ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))
144	142, 143	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘 = ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))
145	73	nnred 12247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
146	70, 145	fsumrecl 15784	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘 ∈ ℝ)
147	144, 146	eqeltrrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2) ∈ ℝ)
148	90, 147	readdcld 11237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)) ∈ ℝ)
149	2, 86, 148	recxpcld 26864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) ∈ ℝ)
150		4nn0 12522	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
151	150	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
152	13, 151	reexpcld 14198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℝ)
153	152, 91	readdcld 11237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
154	153	rehalfcld 12490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2) ∈ ℝ)
155	90, 154	readdcld 11237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)) ∈ ℝ)
156	2, 86, 155	recxpcld 26864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))) ∈ ℝ)
157		reflcl 13828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
158	46, 157	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
159	2, 86, 158	recxpcld 26864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ)
160	32, 146	rpcxpcld 26874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘) ∈ ℝ+)
161	32, 141	aks4d1p1p1 42776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘) = (𝑁↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘))
162	161	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝑁↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘) ∈ ℝ+))
163	160, 162	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘) ∈ ℝ+)
164	163	rpregt0d 13065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
165	164	simpld 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘) ∈ ℝ)
166	159, 165	remulcld 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)) ∈ ℝ)
167	2, 86, 90	recxpcld 26864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) ∈ ℝ)
168	167, 165	remulcld 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)) ∈ ℝ)
169	70, 76	fprodrecl 16006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘) ∈ ℝ)
170	2, 68, 86	expge0d 14199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
171		nfv 1942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
172		0red 11210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ∈ ℝ)
173	1	nnge1d 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
174	173	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ 𝑁)
175	71, 75, 174	expge1d 14200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ (𝑁↑𝑘))
176	76	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℂ)
177	176	subid1d 11557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 0) = (𝑁↑𝑘))
178	177	breq2d 5120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 ≤ ((𝑁↑𝑘) − 0) ↔ 1 ≤ (𝑁↑𝑘)))
179	175, 178	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ ((𝑁↑𝑘) − 0))
180	77, 76, 172, 179	lesubd 11817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ≤ ((𝑁↑𝑘) − 1))
181	76	lem1d 12147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ≤ (𝑁↑𝑘))
182	171, 70, 78, 180, 76, 181	fprodle 16049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ≤ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘))
183	79, 169, 69, 170, 182	lemul2ad 12154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘)))
184	82	breq1d 5118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘)) ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘))))
185	183, 184	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘)))
186	71	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
187		cxpexp 26809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑐𝑘) = (𝑁↑𝑘))
188	186, 75, 187	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑐𝑘) = (𝑁↑𝑘))
189	188	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) = (𝑁↑𝑐𝑘))
190	189	prodeq2dv 15975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘))
191	190	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
192	185, 191	breqtrd 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
193	2	recnd 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
194		cxpexp 26809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) = (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
195	193, 68, 194	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) = (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
196	195	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
197	196	eqcomd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)) = ((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
198	192, 197	breqtrd 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
199	159, 167, 164	3jca 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ ∧ (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) ∈ ℝ ∧ (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘))))
200	1, 20, 30	aks4d1p1p3 42782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
201		ltmul1a 12063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ ∧ (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) ∈ ℝ ∧ (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘))) ∧ (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))) → ((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)) < ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
202	199, 200, 201	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)) < ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
203	84, 166, 168, 198, 202	lelttrd 11367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
204	161	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)) = ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘)))
205	203, 204	breqtrd 5136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘)))
206	144	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘) = (𝑁↑𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)))
207	206	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘)) = ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁↑𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
208	205, 207	breqtrd 5136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁↑𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
209	24, 7	gtned 11344	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
210	90	recnd 11236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℂ)
211	141	nncnd 12248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℂ)
212	211	sqcld 14179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ∈ ℂ)
213	212, 211	addcld 11227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ ℂ)
214	213	halfcld 12488	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2) ∈ ℂ)
215	193, 209, 210, 214	cxpaddd 26858	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) = ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁↑𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
216	215	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁↑𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) = (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
217	208, 216	breqtrd 5136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
218		reflcl 13828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
219	91, 218	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
220	219	resqcld 14160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ∈ ℝ)
221	220, 219	readdcld 11237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ ℝ)
222	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
223	91, 99	reexpcld 14198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) ∈ ℝ)
224		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
225	142	nn0ge0d 12567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
226		flle 13831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
227	91, 226	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
228	219, 91, 99, 225, 227	leexp1ad 14211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ≤ (((2 logb 𝑁)↑2)↑2))
229	224, 228	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ≤ (((2 logb 𝑁)↑2)↑2))
230	13	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℂ)
231	230, 99, 99	expmuld 14184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)) = (((2 logb 𝑁)↑2)↑2))
232	231	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)))
233		2t2e4 12403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 2) = 4
234	233	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)) = ((2 logb 𝑁)↑4)
235	234	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)) = ((2 logb 𝑁)↑4))
236	232, 235	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑4))
237	223, 236	eqled 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑4))
238	220, 223, 152, 229, 237	letrd 11366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑4))
239	220, 219, 152, 91, 238, 227	le2addd 11832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ≤ (((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)))
240	221, 153, 222, 239	lediv1dd 13117	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2) ≤ ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))
241	147, 154, 90, 240	leadd2dd 11828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)) ≤ ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)))
242	2, 31, 148, 155	cxpled 26861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)) ≤ ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)) ↔ (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) ≤ (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)))))
243	241, 242	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) ≤ (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))))
244	84, 149, 156, 217, 243	ltletrd 11369	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))))
245	152	recnd 11236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℂ)
246	91	recnd 11236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
247	245, 246, 101, 102	divdird 12028	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2) = ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))
248	247	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)) = ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2))))
249	248	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))) = (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))))
250	244, 249	breqtrd 5136	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))))
251	245, 101, 102	divcld 11990	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑4) / 2) ∈ ℂ)
252	246, 101, 102	divcld 11990	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) / 2) ∈ ℂ)
253	251, 252	addcomd 11411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)))
254	253	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2))) = ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
255	210, 252, 251	addassd 11230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)) = ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
256	255	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))) = (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)))
257	254, 256	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2))) = (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)))
258	257	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))) = (𝑁↑𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
259	250, 258	breqtrd 5136	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440   / cdiv 11870  ℕcn 12232  2c2 12294  3c3 12295  4c4 12296  5c5 12297  7c7 12299  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ℝ⁺crp 13015  ...cfz 13534  ⌊cfl 13822  ⌈cceil 13823  ↑cexp 14096  Σcsu 15736  ∏cprod 15956  ↑_𝑐ccxp 26696   log_b clogb 26905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-ceil 13825  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-prod 15957  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-limc 26004  df-dv 26005  df-log 26697  df-cxp 26698  df-logb 26906

This theorem is referenced by:  aks4d1p1p4  42784