Theorem aks4d1p1p2 42065

Description: Rewrite 𝐴 in more suitable form. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p1p2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p2.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p1p2.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p2.4	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p1p2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p1p2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p1p2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnred 12208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2re 12267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
5		2pos 12296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
7	1	nngt0d 12242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
8		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9		1lt2 12359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
11	8, 10	ltned 11317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
12	11	necomd 2981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
13	4, 6, 2, 7, 12	relogbcld 41968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14		5nn0 12469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
16	13, 15	reexpcld 14135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17		ceilcl 13811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
19	18	zred 12645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20		aks4d1p1p2.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
22	21	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
23	19, 22	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
24		0red 11184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25	15	nn0zd 12562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℤ)
26		3re 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
28		1lt3 12361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 3
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 3)
30		aks4d1p1p2.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
31	8, 27, 2, 29, 30	ltletrd 11341	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
32	2, 7	elrpd 12999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
33		2rp 12963	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ+
34	33, 9	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2))
36		logbgt0b 26710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)) → (0 < (2 logb 𝑁) ↔ 1 < 𝑁))
37	32, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 < (2 logb 𝑁) ↔ 1 < 𝑁))
38	31, 37	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 logb 𝑁))
39		expgt0 14067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑁)) → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
40	13, 25, 38, 39	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
41		ceilge 13814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
42	16, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
43	24, 16, 19, 40, 42	ltletrd 11341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
44	21	breq2d 5122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
45	43, 44	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
46	4, 6, 23, 45, 12	relogbcld 41968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
47	46	flcld 13767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
48		7re 12286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 7 ∈ ℝ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
50		1lt7 12379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 7
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 < 7)
52	2, 30	3lexlogpow5ineq3 42052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
53	8, 49, 16, 51, 52	lttrd 11342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 < ((2 logb 𝑁)↑5))
54	8, 16, 19, 53, 42	ltletrd 11341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
55	21	breq2d 5122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐵 ↔ 1 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
56	54, 55	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
57	23, 45	elrpd 12999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
58		logbgt0b 26710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)) → (0 < (2 logb 𝐵) ↔ 1 < 𝐵))
59	57, 35, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 < (2 logb 𝐵) ↔ 1 < 𝐵))
60	56, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 logb 𝐵))
61	24, 46, 60	ltled 11329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
62		0zd 12548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
63		flge 13774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
64	46, 62, 63	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
65	61, 64	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
66	47, 65	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
67		elnn0z 12549	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
68	66, 67	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
69	2, 68	reexpcld 14135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ)
70		fzfid 13945	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
71	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
72		elfznn 13521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
74		nnnn0 12456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76	71, 75	reexpcld 14135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℝ)
77		1red 11182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
78	76, 77	resubcld 11613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
79	70, 78	fprodrecl 15926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
80	69, 79	remulcld 11211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
81		aks4d1p1p2.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
82	81	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
83	82	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℝ))
84	80, 83	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
85	1	nnnn0d 12510	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
86	85	nn0ge0d 12513	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
87	16, 8	readdcld 11210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
88	16	ltp1d 12120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
89	24, 16, 87, 40, 88	lttrd 11342	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
90	4, 6, 87, 89, 12	relogbcld 41968	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
91	13	resqcld 14097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
92	91	flcld 13767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
93	92	zred 12645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
94		0lt1 11707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
96	4, 6, 4, 6, 12	relogbcld 41968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
97	96	resqcld 14097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ∈ ℝ)
98		2nn0 12466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ0
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
100	8	leidd 11751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 1)
101	4	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
102	24, 6	gtned 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
103		logbid1 26685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
104	101, 102, 12, 103	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
105	104	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
106	100, 105	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (2 logb 2))
107	96, 99, 106	expge1d 14137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((2 logb 2)↑2))
108	105	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
109	108	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) = (1↑2))
110	99	nn0zd 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
111		1exp 14063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1↑2) = 1)
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1↑2) = 1)
113	109, 112	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) = 1)
114	4	leidd 11751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
115		1nn0 12465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℕ0
116	3, 115	nn0addge1i 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ≤ (2 + 1)
117		2p1e3 12330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 + 1) = 3
118	116, 117	breqtri 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ≤ 3
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 3)
120	4, 27, 2, 119, 30	letrd 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
121	110, 114, 4, 6, 2, 7, 120	logblebd 41971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁))
122	8, 96, 13, 106, 121	letrd 11338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (2 logb 𝑁))
123	13, 99, 122	expge1d 14137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
124	113, 123	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
125		1z 12570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℤ
126		zsqcl 14101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1↑2) ∈ ℤ)
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1↑2) ∈ ℤ
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1↑2) ∈ ℤ)
129	109	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ ↔ (1↑2) ∈ ℤ))
130	128, 129	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ)
131	91, 130	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ))
132		flge 13774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ) → (((2 logb 2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((2 logb 2)↑2) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((2 logb 2)↑2) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
134	124, 133	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
135	8, 97, 93, 107, 134	letrd 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
136	24, 8, 93, 95, 135	ltletrd 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
137	92, 136	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
138		elnnz 12546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
139	138	bicomi 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↔ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ)
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↔ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ))
141	137, 140	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ)
142	141	nnnn0d 12510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ0)
143		arisum 15833	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘 = ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))
144	142, 143	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘 = ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))
145	73	nnred 12208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
146	70, 145	fsumrecl 15707	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘 ∈ ℝ)
147	144, 146	eqeltrrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2) ∈ ℝ)
148	90, 147	readdcld 11210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)) ∈ ℝ)
149	2, 86, 148	recxpcld 26639	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) ∈ ℝ)
150		4nn0 12468	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
151	150	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
152	13, 151	reexpcld 14135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℝ)
153	152, 91	readdcld 11210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
154	153	rehalfcld 12436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2) ∈ ℝ)
155	90, 154	readdcld 11210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)) ∈ ℝ)
156	2, 86, 155	recxpcld 26639	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))) ∈ ℝ)
157		reflcl 13765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
158	46, 157	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
159	2, 86, 158	recxpcld 26639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ)
160	32, 146	rpcxpcld 26649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘) ∈ ℝ+)
161	32, 141	aks4d1p1p1 42058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘) = (𝑁↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘))
162	161	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝑁↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘) ∈ ℝ+))
163	160, 162	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘) ∈ ℝ+)
164	163	rpregt0d 13008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
165	164	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘) ∈ ℝ)
166	159, 165	remulcld 11211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)) ∈ ℝ)
167	2, 86, 90	recxpcld 26639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) ∈ ℝ)
168	167, 165	remulcld 11211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)) ∈ ℝ)
169	70, 76	fprodrecl 15926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘) ∈ ℝ)
170	2, 68, 86	expge0d 14136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
171		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
172		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ∈ ℝ)
173	1	nnge1d 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
174	173	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ 𝑁)
175	71, 75, 174	expge1d 14137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ (𝑁↑𝑘))
176	76	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℂ)
177	176	subid1d 11529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 0) = (𝑁↑𝑘))
178	177	breq2d 5122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 ≤ ((𝑁↑𝑘) − 0) ↔ 1 ≤ (𝑁↑𝑘)))
179	175, 178	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ ((𝑁↑𝑘) − 0))
180	77, 76, 172, 179	lesubd 11789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ≤ ((𝑁↑𝑘) − 1))
181	76	lem1d 12123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ≤ (𝑁↑𝑘))
182	171, 70, 78, 180, 76, 181	fprodle 15969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ≤ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘))
183	79, 169, 69, 170, 182	lemul2ad 12130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘)))
184	82	breq1d 5120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘)) ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘))))
185	183, 184	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘)))
186	71	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
187		cxpexp 26584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑐𝑘) = (𝑁↑𝑘))
188	186, 75, 187	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑐𝑘) = (𝑁↑𝑘))
189	188	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) = (𝑁↑𝑐𝑘))
190	189	prodeq2dv 15895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘))
191	190	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑘)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
192	185, 191	breqtrd 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
193	2	recnd 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
194		cxpexp 26584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) = (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
195	193, 68, 194	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) = (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
196	195	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
197	196	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)) = ((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
198	192, 197	breqtrd 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
199	159, 167, 164	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ ∧ (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) ∈ ℝ ∧ (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘))))
200	1, 20, 30	aks4d1p1p3 42064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
201		ltmul1a 12038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ ∧ (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) ∈ ℝ ∧ (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘))) ∧ (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))) → ((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)) < ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
202	199, 200, 201	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)) < ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
203	84, 166, 168, 198, 202	lelttrd 11339	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)))
204	161	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁↑𝑐𝑘)) = ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘)))
205	203, 204	breqtrd 5136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘)))
206	144	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘) = (𝑁↑𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)))
207	206	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘)) = ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁↑𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
208	205, 207	breqtrd 5136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁↑𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
209	24, 7	gtned 11316	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
210	90	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℂ)
211	141	nncnd 12209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℂ)
212	211	sqcld 14116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ∈ ℂ)
213	212, 211	addcld 11200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ ℂ)
214	213	halfcld 12434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2) ∈ ℂ)
215	193, 209, 210, 214	cxpaddd 26633	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) = ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁↑𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
216	215	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁↑𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) = (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
217	208, 216	breqtrd 5136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
218		reflcl 13765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
219	91, 218	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
220	219	resqcld 14097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ∈ ℝ)
221	220, 219	readdcld 11210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ ℝ)
222	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
223	91, 99	reexpcld 14135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) ∈ ℝ)
224		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
225	142	nn0ge0d 12513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
226		flle 13768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
227	91, 226	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
228	219, 91, 99, 225, 227	leexp1ad 14148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ≤ (((2 logb 𝑁)↑2)↑2))
229	224, 228	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ≤ (((2 logb 𝑁)↑2)↑2))
230	13	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℂ)
231	230, 99, 99	expmuld 14121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)) = (((2 logb 𝑁)↑2)↑2))
232	231	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)))
233		2t2e4 12352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 2) = 4
234	233	oveq2i 7401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)) = ((2 logb 𝑁)↑4)
235	234	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)) = ((2 logb 𝑁)↑4))
236	232, 235	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑4))
237	223, 236	eqled 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑4))
238	220, 223, 152, 229, 237	letrd 11338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑4))
239	220, 219, 152, 91, 238, 227	le2addd 11804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ≤ (((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)))
240	221, 153, 222, 239	lediv1dd 13060	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2) ≤ ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))
241	147, 154, 90, 240	leadd2dd 11800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)) ≤ ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)))
242	2, 31, 148, 155	cxpled 26636	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)) ≤ ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)) ↔ (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) ≤ (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)))))
243	241, 242	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) ≤ (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))))
244	84, 149, 156, 217, 243	ltletrd 11341	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))))
245	152	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℂ)
246	91	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
247	245, 246, 101, 102	divdird 12003	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2) = ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))
248	247	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)) = ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2))))
249	248	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))) = (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))))
250	244, 249	breqtrd 5136	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))))
251	245, 101, 102	divcld 11965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑4) / 2) ∈ ℂ)
252	246, 101, 102	divcld 11965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) / 2) ∈ ℂ)
253	251, 252	addcomd 11383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)))
254	253	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2))) = ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
255	210, 252, 251	addassd 11203	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)) = ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
256	255	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))) = (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)))
257	254, 256	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2))) = (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)))
258	257	oveq2d 7406	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))) = (𝑁↑𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
259	250, 258	breqtrd 5136	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  7c7 12253  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℝ⁺crp 12958  ...cfz 13475  ⌊cfl 13759  ⌈cceil 13760  ↑cexp 14033  Σcsu 15659  ∏cprod 15876  ↑_𝑐ccxp 26471   log_b clogb 26681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-ceil 13762  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-prod 15877  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473  df-logb 26682

This theorem is referenced by:  aks4d1p1p4  42066