Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p2 40078
Description: Rewrite 𝐴 in more suitable form. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p2.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p2.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p1p2.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p2.4 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p2 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p1p2
StepHypRef Expression
1 aks4d1p1p2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnred 11988 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3 2re 12047 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
5 2pos 12076 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
65a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 2)
71nngt0d 12022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝑁)
8 1red 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9 1lt2 12144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 < 2)
118, 10ltned 11111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≠ 2)
1211necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≠ 1)
134, 6, 2, 7, 12relogbcld 39981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14 5nn0 12253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℕ0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
1613, 15reexpcld 13881 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17 ceilcl 13562 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1918zred 12426 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20 aks4d1p1p2.3 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
2221eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
2319, 22mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
24 0red 10978 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2515nn0zd 12424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 5 ∈ ℤ)
26 3re 12053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
28 1lt3 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 3
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 < 3)
30 aks4d1p1p2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
318, 27, 2, 29, 30ltletrd 11135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 < 𝑁)
322, 7elrpd 12769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
33 2rp 12735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ+
3433, 9pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2))
36 logbgt0b 25943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)) → (0 < (2 logb 𝑁) ↔ 1 < 𝑁))
3732, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 < (2 logb 𝑁) ↔ 1 < 𝑁))
3831, 37mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (2 logb 𝑁))
39 expgt0 13816 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑁)) → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
4013, 25, 38, 39syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
41 ceilge 13565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4216, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4324, 16, 19, 40, 42ltletrd 11135 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4421breq2d 5086 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
4543, 44mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐵)
464, 6, 23, 45, 12relogbcld 39981 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
4746flcld 13518 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
48 7re 12066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
50 1lt7 12164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 7
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 < 7)
522, 303lexlogpow5ineq3 40065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
538, 49, 16, 51, 52lttrd 11136 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 < ((2 logb 𝑁)↑5))
548, 16, 19, 53, 42ltletrd 11135 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
5521breq2d 5086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 < 𝐵 ↔ 1 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
5654, 55mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < 𝐵)
5723, 45elrpd 12769 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
58 logbgt0b 25943 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)) → (0 < (2 logb 𝐵) ↔ 1 < 𝐵))
5957, 35, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 < (2 logb 𝐵) ↔ 1 < 𝐵))
6056, 59mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (2 logb 𝐵))
6124, 46, 60ltled 11123 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
62 0zd 12331 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
63 flge 13525 . . . . . . . . . . 11 (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
6446, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
6561, 64mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
6647, 65jca 512 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
67 elnn0z 12332 . . . . . . . 8 ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
6866, 67sylibr 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
692, 68reexpcld 13881 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ)
70 fzfid 13693 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
712adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
72 elfznn 13285 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
7372adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
74 nnnn0 12240 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7671, 75reexpcld 13881 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℝ)
77 1red 10976 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
7876, 77resubcld 11403 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℝ)
7970, 78fprodrecl 15663 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℝ)
8069, 79remulcld 11005 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
81 aks4d1p1p2.2 . . . . . . 7 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
8281a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
8382eleq1d 2823 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℝ))
8480, 83mpbird 256 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
851nnnn0d 12293 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8685nn0ge0d 12296 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
8716, 8readdcld 11004 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
8816ltp1d 11905 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
8924, 16, 87, 40, 88lttrd 11136 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
904, 6, 87, 89, 12relogbcld 39981 . . . . . 6 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
9113resqcld 13965 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
9291flcld 13518 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
9392zred 12426 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
94 0lt1 11497 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 1)
964, 6, 4, 6, 12relogbcld 39981 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
9796resqcld 13965 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ∈ ℝ)
98 2nn0 12250 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
1008leidd 11541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ 1)
1014recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
10224, 6gtned 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ≠ 0)
103 logbid1 25918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
104101, 102, 12, 103syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
105104eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
106100, 105breqtrd 5100 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ (2 logb 2))
10796, 99, 106expge1d 13883 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ ((2 logb 2)↑2))
108105eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
109108oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) = (1↑2))
11099nn0zd 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
111 1exp 13812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℤ → (1↑2) = 1)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1↑2) = 1)
113109, 112eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) = 1)
1144leidd 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ≤ 2)
115 1nn0 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℕ0
1163, 115nn0addge1i 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ≤ (2 + 1)
117 2p1e3 12115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 + 1) = 3
118116, 117breqtri 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≤ 3
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 2 ≤ 3)
1204, 27, 2, 119, 30letrd 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
121110, 114, 4, 6, 2, 7, 120logblebd 39984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁))
1228, 96, 13, 106, 121letrd 11132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ≤ (2 logb 𝑁))
12313, 99, 122expge1d 13883 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
124113, 123eqbrtrd 5096 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
125 1z 12350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℤ
126 zsqcl 13848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℤ → (1↑2) ∈ ℤ)
127125, 126ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1↑2) ∈ ℤ
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1↑2) ∈ ℤ)
129109eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ ↔ (1↑2) ∈ ℤ))
130128, 129mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ)
13191, 130jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ))
132 flge 13525 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ) → (((2 logb 2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((2 logb 2)↑2) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 logb 2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((2 logb 2)↑2) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
134124, 133mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
1358, 97, 93, 107, 134letrd 11132 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
13624, 8, 93, 95, 135ltletrd 11135 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
13792, 136jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
138 elnnz 12329 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
139138bicomi 223 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↔ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ)
140139a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↔ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ))
141137, 140mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ)
142141nnnn0d 12293 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ0)
143 arisum 15572 . . . . . . . 8 ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘 = ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))
144142, 143syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘 = ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))
14573nnred 11988 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
14670, 145fsumrecl 15446 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘 ∈ ℝ)
147144, 146eqeltrrd 2840 . . . . . 6 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2) ∈ ℝ)
14890, 147readdcld 11004 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)) ∈ ℝ)
1492, 86, 148recxpcld 25878 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) ∈ ℝ)
150 4nn0 12252 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
151150a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
15213, 151reexpcld 13881 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℝ)
153152, 91readdcld 11004 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
154153rehalfcld 12220 . . . . . 6 (𝜑 → ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2) ∈ ℝ)
15590, 154readdcld 11004 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)) ∈ ℝ)
1562, 86, 155recxpcld 25878 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))) ∈ ℝ)
157 reflcl 13516 . . . . . . . . . . 11 ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
15846, 157syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
1592, 86, 158recxpcld 25878 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ)
16032, 146rpcxpcld 25887 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘) ∈ ℝ+)
16132, 141aks4d1p1p1 40071 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) = (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘))
162161eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘) ∈ ℝ+))
163160, 162mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ+)
164163rpregt0d 12778 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
165164simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ)
166159, 165remulcld 11005 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) ∈ ℝ)
1672, 86, 90recxpcld 25878 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) ∈ ℝ)
168167, 165remulcld 11005 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) ∈ ℝ)
16970, 76fprodrecl 15663 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘) ∈ ℝ)
1702, 68, 86expge0d 13882 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
171 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝜑
172 0red 10978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ∈ ℝ)
1731nnge1d 12021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
174173adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ 𝑁)
17571, 75, 174expge1d 13883 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ (𝑁𝑘))
17676recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℂ)
177176subid1d 11321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 0) = (𝑁𝑘))
178177breq2d 5086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 ≤ ((𝑁𝑘) − 0) ↔ 1 ≤ (𝑁𝑘)))
179175, 178mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ ((𝑁𝑘) − 0))
18077, 76, 172, 179lesubd 11579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ≤ ((𝑁𝑘) − 1))
18176lem1d 11908 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ≤ (𝑁𝑘))
182171, 70, 78, 180, 76, 181fprodle 15706 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ≤ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘))
18379, 169, 69, 170, 182lemul2ad 11915 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘)))
18482breq1d 5084 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘)) ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘))))
185183, 184mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘)))
18671recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
187 cxpexp 25823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑐𝑘) = (𝑁𝑘))
188186, 75, 187syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑐𝑘) = (𝑁𝑘))
189188eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) = (𝑁𝑐𝑘))
190189prodeq2dv 15633 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘))
191190oveq2d 7291 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
192185, 191breqtrd 5100 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
1932recnd 11003 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
194 cxpexp 25823 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0) → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) = (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
195193, 68, 194syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) = (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
196195oveq1d 7290 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
197196eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) = ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
198192, 197breqtrd 5100 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≤ ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
199159, 167, 1643jca 1127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) ∈ ℝ ∧ (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘))))
2001, 20, 30aks4d1p1p3 40077 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
201 ltmul1a 11824 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) ∈ ℝ ∧ (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘))) ∧ (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))) → ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) < ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
202199, 200, 201syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) < ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
20384, 166, 168, 198, 202lelttrd 11133 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
204161oveq2d 7291 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) = ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘)))
205203, 204breqtrd 5100 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘)))
206144oveq2d 7291 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘) = (𝑁𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)))
207206oveq2d 7291 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘)) = ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
208205, 207breqtrd 5100 . . . . 5 (𝜑𝐴 < ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
20924, 7gtned 11110 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ≠ 0)
21090recnd 11003 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℂ)
211141nncnd 11989 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℂ)
212211sqcld 13862 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ∈ ℂ)
213212, 211addcld 10994 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ ℂ)
214213halfcld 12218 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2) ∈ ℂ)
215193, 209, 210, 214cxpaddd 25872 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) = ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
216215eqcomd 2744 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) = (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
217208, 216breqtrd 5100 . . . 4 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
218 reflcl 13516 . . . . . . . . . 10 (((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
21991, 218syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
220219resqcld 13965 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ∈ ℝ)
221220, 219readdcld 11004 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ ℝ)
22233a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
22391, 99reexpcld 13881 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) ∈ ℝ)
224 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝜑)
225142nn0ge0d 12296 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
226 flle 13519 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
22791, 226syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
228219, 91, 99, 225, 227leexp1ad 39980 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ≤ (((2 logb 𝑁)↑2)↑2))
229224, 228syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ≤ (((2 logb 𝑁)↑2)↑2))
23013recnd 11003 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℂ)
231230, 99, 99expmuld 13867 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)) = (((2 logb 𝑁)↑2)↑2))
232231eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)))
233 2t2e4 12137 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 2) = 4
234233oveq2i 7286 . . . . . . . . . . . 12 ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)) = ((2 logb 𝑁)↑4)
235234a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)) = ((2 logb 𝑁)↑4))
236232, 235eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑4))
237223, 236eqled 11078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑4))
238220, 223, 152, 229, 237letrd 11132 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑4))
239220, 219, 152, 91, 238, 227le2addd 11594 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ≤ (((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)))
240221, 153, 222, 239lediv1dd 12830 . . . . . 6 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2) ≤ ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))
241147, 154, 90, 240leadd2dd 11590 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)) ≤ ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)))
2422, 31, 148, 155cxpled 25875 . . . . 5 (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)) ≤ ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)) ↔ (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) ≤ (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)))))
243241, 242mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) ≤ (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))))
24484, 149, 156, 217, 243ltletrd 11135 . . 3 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))))
245152recnd 11003 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℂ)
24691recnd 11003 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
247245, 246, 101, 102divdird 11789 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2) = ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))
248247oveq2d 7291 . . . 4 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)) = ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2))))
249248oveq2d 7291 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))) = (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))))
250244, 249breqtrd 5100 . 2 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))))
251245, 101, 102divcld 11751 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑4) / 2) ∈ ℂ)
252246, 101, 102divcld 11751 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) / 2) ∈ ℂ)
253251, 252addcomd 11177 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)))
254253oveq2d 7291 . . . 4 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2))) = ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
255210, 252, 251addassd 10997 . . . . 5 (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)) = ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
256255eqcomd 2744 . . . 4 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))) = (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)))
257254, 256eqtrd 2778 . . 3 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2))) = (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)))
258257oveq2d 7291 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))) = (𝑁𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
259250, 258breqtrd 5100 1 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205   / cdiv 11632  cn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  7c7 12033  0cn0 12233  cz 12319  +crp 12730  ...cfz 13239  cfl 13510  cceil 13511  cexp 13782  Σcsu 15397  cprod 15615  𝑐ccxp 25711   logb clogb 25914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-ceil 13513  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-prod 15616  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713  df-logb 25915
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p4  40079
  Copyright terms: Public domain W3C validator