Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p2 40527
Description: Rewrite 𝐴 in more suitable form. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p2.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p2.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p1p2.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p2.4 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p2 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p1p2
StepHypRef Expression
1 aks4d1p1p2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnred 12168 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3 2re 12227 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
5 2pos 12256 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
65a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 2)
71nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝑁)
8 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9 1lt2 12324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 < 2)
118, 10ltned 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≠ 2)
1211necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≠ 1)
134, 6, 2, 7, 12relogbcld 40430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14 5nn0 12433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℕ0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
1613, 15reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17 ceilcl 13747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1918zred 12607 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20 aks4d1p1p2.3 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
2221eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
2319, 22mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
24 0red 11158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2515nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 5 ∈ ℤ)
26 3re 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
28 1lt3 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 3
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 < 3)
30 aks4d1p1p2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
318, 27, 2, 29, 30ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 < 𝑁)
322, 7elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
33 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ+
3433, 9pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2))
36 logbgt0b 26143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)) → (0 < (2 logb 𝑁) ↔ 1 < 𝑁))
3732, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 < (2 logb 𝑁) ↔ 1 < 𝑁))
3831, 37mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (2 logb 𝑁))
39 expgt0 14001 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑁)) → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
4013, 25, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
41 ceilge 13750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4216, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4324, 16, 19, 40, 42ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4421breq2d 5117 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
4543, 44mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐵)
464, 6, 23, 45, 12relogbcld 40430 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
4746flcld 13703 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
48 7re 12246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
50 1lt7 12344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 7
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 < 7)
522, 303lexlogpow5ineq3 40514 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
538, 49, 16, 51, 52lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 < ((2 logb 𝑁)↑5))
548, 16, 19, 53, 42ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
5521breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 < 𝐵 ↔ 1 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
5654, 55mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < 𝐵)
5723, 45elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
58 logbgt0b 26143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)) → (0 < (2 logb 𝐵) ↔ 1 < 𝐵))
5957, 35, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 < (2 logb 𝐵) ↔ 1 < 𝐵))
6056, 59mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (2 logb 𝐵))
6124, 46, 60ltled 11303 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
62 0zd 12511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
63 flge 13710 . . . . . . . . . . 11 (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
6446, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
6561, 64mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
6647, 65jca 512 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
67 elnn0z 12512 . . . . . . . 8 ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
6866, 67sylibr 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
692, 68reexpcld 14068 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ)
70 fzfid 13878 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
712adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
72 elfznn 13470 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
7372adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
74 nnnn0 12420 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7671, 75reexpcld 14068 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℝ)
77 1red 11156 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
7876, 77resubcld 11583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℝ)
7970, 78fprodrecl 15836 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℝ)
8069, 79remulcld 11185 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
81 aks4d1p1p2.2 . . . . . . 7 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
8281a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
8382eleq1d 2822 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℝ))
8480, 83mpbird 256 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
851nnnn0d 12473 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8685nn0ge0d 12476 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
8716, 8readdcld 11184 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
8816ltp1d 12085 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
8924, 16, 87, 40, 88lttrd 11316 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
904, 6, 87, 89, 12relogbcld 40430 . . . . . 6 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
9113resqcld 14030 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
9291flcld 13703 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
9392zred 12607 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
94 0lt1 11677 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 1)
964, 6, 4, 6, 12relogbcld 40430 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
9796resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ∈ ℝ)
98 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
1008leidd 11721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ 1)
1014recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
10224, 6gtned 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ≠ 0)
103 logbid1 26118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
104101, 102, 12, 103syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
105104eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
106100, 105breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ (2 logb 2))
10796, 99, 106expge1d 14070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ ((2 logb 2)↑2))
108105eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
109108oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) = (1↑2))
11099nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
111 1exp 13997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℤ → (1↑2) = 1)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1↑2) = 1)
113109, 112eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) = 1)
1144leidd 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ≤ 2)
115 1nn0 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℕ0
1163, 115nn0addge1i 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ≤ (2 + 1)
117 2p1e3 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 + 1) = 3
118116, 117breqtri 5130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≤ 3
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 2 ≤ 3)
1204, 27, 2, 119, 30letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
121110, 114, 4, 6, 2, 7, 120logblebd 40433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁))
1228, 96, 13, 106, 121letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ≤ (2 logb 𝑁))
12313, 99, 122expge1d 14070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
124113, 123eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
125 1z 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℤ
126 zsqcl 14034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℤ → (1↑2) ∈ ℤ)
127125, 126ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1↑2) ∈ ℤ
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1↑2) ∈ ℤ)
129109eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ ↔ (1↑2) ∈ ℤ))
130128, 129mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ)
13191, 130jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ))
132 flge 13710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ) → (((2 logb 2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((2 logb 2)↑2) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 logb 2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((2 logb 2)↑2) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
134124, 133mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
1358, 97, 93, 107, 134letrd 11312 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
13624, 8, 93, 95, 135ltletrd 11315 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
13792, 136jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
138 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
139138bicomi 223 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↔ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ)
140139a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↔ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ))
141137, 140mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ)
142141nnnn0d 12473 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ0)
143 arisum 15745 . . . . . . . 8 ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘 = ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))
144142, 143syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘 = ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))
14573nnred 12168 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
14670, 145fsumrecl 15619 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘 ∈ ℝ)
147144, 146eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2) ∈ ℝ)
14890, 147readdcld 11184 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)) ∈ ℝ)
1492, 86, 148recxpcld 26078 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) ∈ ℝ)
150 4nn0 12432 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
151150a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
15213, 151reexpcld 14068 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℝ)
153152, 91readdcld 11184 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
154153rehalfcld 12400 . . . . . 6 (𝜑 → ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2) ∈ ℝ)
15590, 154readdcld 11184 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)) ∈ ℝ)
1562, 86, 155recxpcld 26078 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))) ∈ ℝ)
157 reflcl 13701 . . . . . . . . . . 11 ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
15846, 157syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
1592, 86, 158recxpcld 26078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ)
16032, 146rpcxpcld 26087 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘) ∈ ℝ+)
16132, 141aks4d1p1p1 40520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) = (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘))
162161eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘) ∈ ℝ+))
163160, 162mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ+)
164163rpregt0d 12963 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
165164simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ)
166159, 165remulcld 11185 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) ∈ ℝ)
1672, 86, 90recxpcld 26078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) ∈ ℝ)
168167, 165remulcld 11185 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) ∈ ℝ)
16970, 76fprodrecl 15836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘) ∈ ℝ)
1702, 68, 86expge0d 14069 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
171 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝜑
172 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ∈ ℝ)
1731nnge1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
174173adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ 𝑁)
17571, 75, 174expge1d 14070 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ (𝑁𝑘))
17676recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℂ)
177176subid1d 11501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 0) = (𝑁𝑘))
178177breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 ≤ ((𝑁𝑘) − 0) ↔ 1 ≤ (𝑁𝑘)))
179175, 178mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ ((𝑁𝑘) − 0))
18077, 76, 172, 179lesubd 11759 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ≤ ((𝑁𝑘) − 1))
18176lem1d 12088 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ≤ (𝑁𝑘))
182171, 70, 78, 180, 76, 181fprodle 15879 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ≤ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘))
18379, 169, 69, 170, 182lemul2ad 12095 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘)))
18482breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘)) ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘))))
185183, 184mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘)))
18671recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
187 cxpexp 26023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑐𝑘) = (𝑁𝑘))
188186, 75, 187syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑐𝑘) = (𝑁𝑘))
189188eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) = (𝑁𝑐𝑘))
190189prodeq2dv 15806 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘))
191190oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
192185, 191breqtrd 5131 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
1932recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
194 cxpexp 26023 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0) → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) = (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
195193, 68, 194syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) = (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
196195oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
197196eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) = ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
198192, 197breqtrd 5131 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≤ ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
199159, 167, 1643jca 1128 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) ∈ ℝ ∧ (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘))))
2001, 20, 30aks4d1p1p3 40526 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
201 ltmul1a 12004 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) ∈ ℝ ∧ (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘))) ∧ (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))) → ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) < ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
202199, 200, 201syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) < ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
20384, 166, 168, 198, 202lelttrd 11313 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
204161oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) = ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘)))
205203, 204breqtrd 5131 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘)))
206144oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘) = (𝑁𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)))
207206oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘)) = ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
208205, 207breqtrd 5131 . . . . 5 (𝜑𝐴 < ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
20924, 7gtned 11290 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ≠ 0)
21090recnd 11183 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℂ)
211141nncnd 12169 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℂ)
212211sqcld 14049 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ∈ ℂ)
213212, 211addcld 11174 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ ℂ)
214213halfcld 12398 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2) ∈ ℂ)
215193, 209, 210, 214cxpaddd 26072 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) = ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
216215eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) = (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
217208, 216breqtrd 5131 . . . 4 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
218 reflcl 13701 . . . . . . . . . 10 (((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
21991, 218syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
220219resqcld 14030 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ∈ ℝ)
221220, 219readdcld 11184 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ ℝ)
22233a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
22391, 99reexpcld 14068 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) ∈ ℝ)
224 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝜑)
225142nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
226 flle 13704 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
22791, 226syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
228219, 91, 99, 225, 227leexp1ad 40429 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ≤ (((2 logb 𝑁)↑2)↑2))
229224, 228syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ≤ (((2 logb 𝑁)↑2)↑2))
23013recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℂ)
231230, 99, 99expmuld 14054 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)) = (((2 logb 𝑁)↑2)↑2))
232231eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)))
233 2t2e4 12317 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 2) = 4
234233oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . 12 ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)) = ((2 logb 𝑁)↑4)
235234a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)) = ((2 logb 𝑁)↑4))
236232, 235eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑4))
237223, 236eqled 11258 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑4))
238220, 223, 152, 229, 237letrd 11312 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑4))
239220, 219, 152, 91, 238, 227le2addd 11774 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ≤ (((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)))
240221, 153, 222, 239lediv1dd 13015 . . . . . 6 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2) ≤ ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))
241147, 154, 90, 240leadd2dd 11770 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)) ≤ ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)))
2422, 31, 148, 155cxpled 26075 . . . . 5 (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)) ≤ ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)) ↔ (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) ≤ (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)))))
243241, 242mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) ≤ (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))))
24484, 149, 156, 217, 243ltletrd 11315 . . 3 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))))
245152recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℂ)
24691recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
247245, 246, 101, 102divdird 11969 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2) = ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))
248247oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)) = ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2))))
249248oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))) = (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))))
250244, 249breqtrd 5131 . 2 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))))
251245, 101, 102divcld 11931 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑4) / 2) ∈ ℂ)
252246, 101, 102divcld 11931 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) / 2) ∈ ℂ)
253251, 252addcomd 11357 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)))
254253oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2))) = ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
255210, 252, 251addassd 11177 . . . . 5 (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)) = ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
256255eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))) = (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)))
257254, 256eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2))) = (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)))
258257oveq2d 7373 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))) = (𝑁𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
259250, 258breqtrd 5131 1 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  5c5 12211  7c7 12213  0cn0 12413  cz 12499  +crp 12915  ...cfz 13424  cfl 13695  cceil 13696  cexp 13967  Σcsu 15570  cprod 15788  𝑐ccxp 25911   logb clogb 26114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-ceil 13698  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-prod 15789  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-logb 26115
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p4  40528
  Copyright terms: Public domain W3C validator