Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p2 42052
Description: Rewrite 𝐴 in more suitable form. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p2.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p2.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p1p2.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p2.4 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p2 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p1p2
StepHypRef Expression
1 aks4d1p1p2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnred 12279 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3 2re 12338 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
5 2pos 12367 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
65a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 2)
71nngt0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝑁)
8 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9 1lt2 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 < 2)
118, 10ltned 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≠ 2)
1211necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≠ 1)
134, 6, 2, 7, 12relogbcld 41955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14 5nn0 12544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℕ0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
1613, 15reexpcld 14200 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17 ceilcl 13879 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1918zred 12720 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20 aks4d1p1p2.3 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
2221eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
2319, 22mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
24 0red 11262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2515nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 5 ∈ ℤ)
26 3re 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
28 1lt3 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 3
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 < 3)
30 aks4d1p1p2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
318, 27, 2, 29, 30ltletrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 < 𝑁)
322, 7elrpd 13072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
33 2rp 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ+
3433, 9pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2))
36 logbgt0b 26851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)) → (0 < (2 logb 𝑁) ↔ 1 < 𝑁))
3732, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 < (2 logb 𝑁) ↔ 1 < 𝑁))
3831, 37mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (2 logb 𝑁))
39 expgt0 14133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑁)) → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
4013, 25, 38, 39syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
41 ceilge 13882 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4216, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4324, 16, 19, 40, 42ltletrd 11419 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4421breq2d 5160 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
4543, 44mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐵)
464, 6, 23, 45, 12relogbcld 41955 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
4746flcld 13835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
48 7re 12357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
50 1lt7 12455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 7
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 < 7)
522, 303lexlogpow5ineq3 42039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
538, 49, 16, 51, 52lttrd 11420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 < ((2 logb 𝑁)↑5))
548, 16, 19, 53, 42ltletrd 11419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
5521breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 < 𝐵 ↔ 1 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
5654, 55mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < 𝐵)
5723, 45elrpd 13072 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
58 logbgt0b 26851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)) → (0 < (2 logb 𝐵) ↔ 1 < 𝐵))
5957, 35, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 < (2 logb 𝐵) ↔ 1 < 𝐵))
6056, 59mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (2 logb 𝐵))
6124, 46, 60ltled 11407 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
62 0zd 12623 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
63 flge 13842 . . . . . . . . . . 11 (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
6446, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
6561, 64mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
6647, 65jca 511 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
67 elnn0z 12624 . . . . . . . 8 ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
6866, 67sylibr 234 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
692, 68reexpcld 14200 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ)
70 fzfid 14011 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
712adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
72 elfznn 13590 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
7372adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
74 nnnn0 12531 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7671, 75reexpcld 14200 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℝ)
77 1red 11260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
7876, 77resubcld 11689 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℝ)
7970, 78fprodrecl 15986 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℝ)
8069, 79remulcld 11289 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
81 aks4d1p1p2.2 . . . . . . 7 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
8281a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
8382eleq1d 2824 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℝ))
8480, 83mpbird 257 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
851nnnn0d 12585 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8685nn0ge0d 12588 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
8716, 8readdcld 11288 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
8816ltp1d 12196 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
8924, 16, 87, 40, 88lttrd 11420 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
904, 6, 87, 89, 12relogbcld 41955 . . . . . 6 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
9113resqcld 14162 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
9291flcld 13835 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
9392zred 12720 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
94 0lt1 11783 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 1)
964, 6, 4, 6, 12relogbcld 41955 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
9796resqcld 14162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ∈ ℝ)
98 2nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
1008leidd 11827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ 1)
1014recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
10224, 6gtned 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ≠ 0)
103 logbid1 26826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
104101, 102, 12, 103syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
105104eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
106100, 105breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ (2 logb 2))
10796, 99, 106expge1d 14202 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ ((2 logb 2)↑2))
108105eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
109108oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) = (1↑2))
11099nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
111 1exp 14129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℤ → (1↑2) = 1)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1↑2) = 1)
113109, 112eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) = 1)
1144leidd 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ≤ 2)
115 1nn0 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℕ0
1163, 115nn0addge1i 12572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ≤ (2 + 1)
117 2p1e3 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 + 1) = 3
118116, 117breqtri 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≤ 3
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 2 ≤ 3)
1204, 27, 2, 119, 30letrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
121110, 114, 4, 6, 2, 7, 120logblebd 41958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁))
1228, 96, 13, 106, 121letrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ≤ (2 logb 𝑁))
12313, 99, 122expge1d 14202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
124113, 123eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
125 1z 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℤ
126 zsqcl 14166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℤ → (1↑2) ∈ ℤ)
127125, 126ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1↑2) ∈ ℤ
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1↑2) ∈ ℤ)
129109eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ ↔ (1↑2) ∈ ℤ))
130128, 129mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ)
13191, 130jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ))
132 flge 13842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 2)↑2) ∈ ℤ) → (((2 logb 2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((2 logb 2)↑2) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 logb 2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2) ↔ ((2 logb 2)↑2) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
134124, 133mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 logb 2)↑2) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
1358, 97, 93, 107, 134letrd 11416 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
13624, 8, 93, 95, 135ltletrd 11419 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
13792, 136jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
138 elnnz 12621 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
139138bicomi 224 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↔ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ)
140139a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ↔ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ))
141137, 140mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ)
142141nnnn0d 12585 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ0)
143 arisum 15893 . . . . . . . 8 ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘 = ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))
144142, 143syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘 = ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))
14573nnred 12279 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
14670, 145fsumrecl 15767 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘 ∈ ℝ)
147144, 146eqeltrrd 2840 . . . . . 6 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2) ∈ ℝ)
14890, 147readdcld 11288 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)) ∈ ℝ)
1492, 86, 148recxpcld 26780 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) ∈ ℝ)
150 4nn0 12543 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
151150a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
15213, 151reexpcld 14200 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℝ)
153152, 91readdcld 11288 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
154153rehalfcld 12511 . . . . . 6 (𝜑 → ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2) ∈ ℝ)
15590, 154readdcld 11288 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)) ∈ ℝ)
1562, 86, 155recxpcld 26780 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))) ∈ ℝ)
157 reflcl 13833 . . . . . . . . . . 11 ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
15846, 157syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
1592, 86, 158recxpcld 26780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ)
16032, 146rpcxpcld 26790 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘) ∈ ℝ+)
16132, 141aks4d1p1p1 42045 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) = (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘))
162161eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘) ∈ ℝ+))
163160, 162mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ+)
164163rpregt0d 13081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
165164simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ)
166159, 165remulcld 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) ∈ ℝ)
1672, 86, 90recxpcld 26780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) ∈ ℝ)
168167, 165remulcld 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) ∈ ℝ)
16970, 76fprodrecl 15986 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘) ∈ ℝ)
1702, 68, 86expge0d 14201 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
171 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝜑
172 0red 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ∈ ℝ)
1731nnge1d 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
174173adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ 𝑁)
17571, 75, 174expge1d 14202 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ (𝑁𝑘))
17676recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℂ)
177176subid1d 11607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 0) = (𝑁𝑘))
178177breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 ≤ ((𝑁𝑘) − 0) ↔ 1 ≤ (𝑁𝑘)))
179175, 178mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ ((𝑁𝑘) − 0))
18077, 76, 172, 179lesubd 11865 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ≤ ((𝑁𝑘) − 1))
18176lem1d 12199 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ≤ (𝑁𝑘))
182171, 70, 78, 180, 76, 181fprodle 16029 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ≤ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘))
18379, 169, 69, 170, 182lemul2ad 12206 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘)))
18482breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘)) ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘))))
185183, 184mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘)))
18671recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
187 cxpexp 26725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑐𝑘) = (𝑁𝑘))
188186, 75, 187syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑐𝑘) = (𝑁𝑘))
189188eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) = (𝑁𝑐𝑘))
190189prodeq2dv 15955 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘))
191190oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑘)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
192185, 191breqtrd 5174 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≤ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
1932recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
194 cxpexp 26725 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0) → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) = (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
195193, 68, 194syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) = (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
196195oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
197196eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) = ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
198192, 197breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≤ ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
199159, 167, 1643jca 1127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) ∈ ℝ ∧ (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘))))
2001, 20, 30aks4d1p1p3 42051 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
201 ltmul1a 12114 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) ∈ ℝ ∧ (∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘))) ∧ (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))) → ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) < ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
202199, 200, 201syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) < ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
20384, 166, 168, 198, 202lelttrd 11417 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)))
204161oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))(𝑁𝑐𝑘)) = ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘)))
205203, 204breqtrd 5174 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘)))
206144oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘) = (𝑁𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)))
207206oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))𝑘)) = ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
208205, 207breqtrd 5174 . . . . 5 (𝜑𝐴 < ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
20924, 7gtned 11394 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ≠ 0)
21090recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℂ)
211141nncnd 12280 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℂ)
212211sqcld 14181 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ∈ ℂ)
213212, 211addcld 11278 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ ℂ)
214213halfcld 12509 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2) ∈ ℂ)
215193, 209, 210, 214cxpaddd 26774 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) = ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
216215eqcomd 2741 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) · (𝑁𝑐((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) = (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
217208, 216breqtrd 5174 . . . 4 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))))
218 reflcl 13833 . . . . . . . . . 10 (((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
21991, 218syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ∈ ℝ)
220219resqcld 14162 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ∈ ℝ)
221220, 219readdcld 11288 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ ℝ)
22233a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
22391, 99reexpcld 14200 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) ∈ ℝ)
224 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝜑)
225142nn0ge0d 12588 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
226 flle 13836 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
22791, 226syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
228219, 91, 99, 225, 227leexp1ad 41954 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ≤ (((2 logb 𝑁)↑2)↑2))
229224, 228syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ≤ (((2 logb 𝑁)↑2)↑2))
23013recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℂ)
231230, 99, 99expmuld 14186 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)) = (((2 logb 𝑁)↑2)↑2))
232231eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)))
233 2t2e4 12428 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 2) = 4
234233oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . 12 ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)) = ((2 logb 𝑁)↑4)
235234a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(2 · 2)) = ((2 logb 𝑁)↑4))
236232, 235eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑4))
237223, 236eqled 11362 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑4))
238220, 223, 152, 229, 237letrd 11416 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑4))
239220, 219, 152, 91, 238, 227le2addd 11880 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ≤ (((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)))
240221, 153, 222, 239lediv1dd 13133 . . . . . 6 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2) ≤ ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))
241147, 154, 90, 240leadd2dd 11876 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)) ≤ ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)))
2422, 31, 148, 155cxpled 26777 . . . . 5 (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2)) ≤ ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)) ↔ (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) ≤ (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)))))
243241, 242mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))↑2) + (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) / 2))) ≤ (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))))
24484, 149, 156, 217, 243ltletrd 11419 . . 3 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))))
245152recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℂ)
24691recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
247245, 246, 101, 102divdird 12079 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2) = ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))
248247oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2)) = ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2))))
249248oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) + ((2 logb 𝑁)↑2)) / 2))) = (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))))
250244, 249breqtrd 5174 . 2 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))))
251245, 101, 102divcld 12041 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑4) / 2) ∈ ℂ)
252246, 101, 102divcld 12041 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) / 2) ∈ ℂ)
253251, 252addcomd 11461 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)))
254253oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2))) = ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
255210, 252, 251addassd 11281 . . . . 5 (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)) = ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
256255eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑2) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))) = (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)))
257254, 256eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2))) = (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)))
258257oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + ((((2 logb 𝑁)↑4) / 2) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))) = (𝑁𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
259250, 258breqtrd 5174 1 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  7c7 12324  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032  ...cfz 13544  cfl 13827  cceil 13828  cexp 14099  Σcsu 15719  cprod 15936  𝑐ccxp 26612   logb clogb 26822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-ceil 13830  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-prod 15937  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614  df-logb 26823
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p4  42053
  Copyright terms: Public domain W3C validator