Theorem lediv23d 13239

Description: Swap denominator with other side of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdiv23d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltdiv23d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
ltdiv23d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
lediv23d.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lediv23d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem lediv23d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lediv23d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)
2		ltdiv23d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltdiv23d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 13177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5		ltdiv23d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
6	5	rpregt0d 13177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
7		lediv23 12216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵))
9	1, 8	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207   < clt 11350   ≤ cle 11351   / cdiv 11980  ℝ⁺crp 13127

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-rp 13128

This theorem is used by:  aalioulem2  26669  basellem8  27424  pntpbnd2  27923  pntibndlem2  27927