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Theorem stirlinglem5 45601
Description: If 𝑇 is between 0 and 1, then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log((1+T)/(1-T)). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem5.1 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
stirlinglem5.2 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗))
stirlinglem5.3 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
stirlinglem5.4 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)))))
stirlinglem5.5 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
stirlinglem5.6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
stirlinglem5.7 (𝜑 → (abs‘𝑇) < 1)
Assertion
Ref Expression
stirlinglem5 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + 𝑇) / (1 − 𝑇))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑗   𝑇,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝐻(𝑗)

Proof of Theorem stirlinglem5
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12898 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12626 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 stirlinglem5.1 . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗))))
5 1cnd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
65negcld 11590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
7 nnm1nn0 12546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
87adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
96, 8expcld 14146 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
10 nncn 12253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
1110adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
12 stirlinglem5.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
1312rpred 13051 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1413recnd 11274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
1514adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
16 nnnn0 12512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
1716adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1815, 17expcld 14146 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑇𝑗) ∈ ℂ)
19 nnne0 12279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
2019adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ≠ 0)
219, 11, 18, 20div32d 12046 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (𝑇𝑗)) = ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
225, 15pncan2d 11605 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((1 + 𝑇) − 1) = 𝑇)
2322eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑇 = ((1 + 𝑇) − 1))
2423oveq1d 7434 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑇𝑗) = (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗))
2524oveq2d 7435 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (𝑇𝑗)) = (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))
2621, 25eqtr3d 2767 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))
2726mpteq2dva 5249 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗))))
284, 27eqtrd 2765 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗))))
2928seqeq3d 14010 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , 𝐷) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))))
30 1cnd 11241 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3130, 14addcld 11265 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + 𝑇) ∈ ℂ)
32 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3332cnmetdval 24731 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (1 + 𝑇) ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) = (abs‘(1 − (1 + 𝑇))))
3430, 31, 33syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) = (abs‘(1 − (1 + 𝑇))))
35 1m1e0 12317 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 1) = 0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
3736oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 − 1) − 𝑇) = (0 − 𝑇))
3830, 30, 14subsub4d 11634 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 − 1) − 𝑇) = (1 − (1 + 𝑇)))
39 df-neg 11479 . . . . . . . . . . . . . 14 -𝑇 = (0 − 𝑇)
4039eqcomi 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (0 − 𝑇) = -𝑇
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 − 𝑇) = -𝑇)
4237, 38, 413eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − (1 + 𝑇)) = -𝑇)
4342fveq2d 6900 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(1 − (1 + 𝑇))) = (abs‘-𝑇))
4414absnegd 15432 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝑇) = (abs‘𝑇))
45 stirlinglem5.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝑇) < 1)
4644, 45eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘-𝑇) < 1)
4743, 46eqbrtrd 5171 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(1 − (1 + 𝑇))) < 1)
4834, 47eqbrtrd 5171 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) < 1)
49 cnxmet 24733 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
51 1red 11247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5251rexrd 11296 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
53 elbl2 24340 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ (1 + 𝑇) ∈ ℂ)) → ((1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) < 1))
5450, 52, 30, 31, 53syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) < 1))
5548, 54mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
56 eqid 2725 . . . . . . . 8 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
5756logtayl2 26641 . . . . . . 7 ((1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))) ⇝ (log‘(1 + 𝑇)))
5855, 57syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))) ⇝ (log‘(1 + 𝑇)))
5929, 58eqbrtrd 5171 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐷) ⇝ (log‘(1 + 𝑇)))
60 seqex 14004 . . . . . 6 seq1( + , 𝐹) ∈ V
6160a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
62 stirlinglem5.2 . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗))
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
6463seqeq3d 14010 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , 𝐸) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗))))
65 logtayl 26639 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑇) < 1) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗))) ⇝ -(log‘(1 − 𝑇)))
6614, 45, 65syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇𝑗) / 𝑗))) ⇝ -(log‘(1 − 𝑇)))
6764, 66eqbrtrd 5171 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐸) ⇝ -(log‘(1 − 𝑇)))
68 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
6968, 1eleqtrdi 2835 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
70 oveq1 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 − 1) = (𝑛 − 1))
7170oveq2d 7435 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑(𝑛 − 1)))
72 oveq2 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑛 → (𝑇𝑗) = (𝑇𝑛))
73 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑛𝑗 = 𝑛)
7472, 73oveq12d 7437 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 → ((𝑇𝑗) / 𝑗) = ((𝑇𝑛) / 𝑛))
7571, 74oveq12d 7437 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
76 elfznn 13565 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
7776adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
78 1cnd 11241 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
7978negcld 11590 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
80 nnm1nn0 12546 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
8179, 80expcld 14146 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
8277, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
8314ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑇 ∈ ℂ)
8477nnnn0d 12565 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
8583, 84expcld 14146 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
8677nncnd 12261 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℂ)
8777nnne0d 12295 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ≠ 0)
8885, 86, 87divcld 12023 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑇𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
8982, 88mulcld 11266 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
903, 75, 77, 89fvmptd3 7027 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐷𝑛) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
9190, 89eqeltrd 2825 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐷𝑛) ∈ ℂ)
92 addcl 11222 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
9392adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
9469, 91, 93seqcl 14023 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐷)‘𝑘) ∈ ℂ)
9562, 74, 77, 88fvmptd3 7027 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐸𝑛) = ((𝑇𝑛) / 𝑛))
9695, 88eqeltrd 2825 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐸𝑛) ∈ ℂ)
9769, 96, 93seqcl 14023 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐸)‘𝑘) ∈ ℂ)
98 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝜑)
99 stirlinglem5.3 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗)))
10075, 74oveq12d 7437 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 → (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
101 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
10281adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
10314adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
104101nnnn0d 12565 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
105103, 104expcld 14146 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
106101nncnd 12261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
107101nnne0d 12295 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
108105, 106, 107divcld 12023 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
109102, 108mulcld 11266 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
110109, 108addcld 11265 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
11199, 100, 101, 110fvmptd3 7027 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
1123, 75, 101, 109fvmptd3 7027 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
113112eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = (𝐷𝑛))
11462, 74, 101, 108fvmptd3 7027 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑛) = ((𝑇𝑛) / 𝑛))
115114eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑛) / 𝑛) = (𝐸𝑛))
116113, 115oveq12d 7437 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = ((𝐷𝑛) + (𝐸𝑛)))
117111, 116eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = ((𝐷𝑛) + (𝐸𝑛)))
11898, 77, 117syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐹𝑛) = ((𝐷𝑛) + (𝐸𝑛)))
11969, 91, 96, 118seradd 14045 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) = ((seq1( + , 𝐷)‘𝑘) + (seq1( + , 𝐸)‘𝑘)))
1201, 2, 59, 61, 67, 94, 97, 119climadd 15612 . . . 4 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) + -(log‘(1 − 𝑇))))
121 1rp 13013 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
122121a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
123122, 12rpaddcld 13066 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑇) ∈ ℝ+)
124123rpne0d 13056 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + 𝑇) ≠ 0)
12531, 124logcld 26549 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(1 + 𝑇)) ∈ ℂ)
12630, 14subcld 11603 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
12713, 51absltd 15412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝑇) < 1 ↔ (-1 < 𝑇𝑇 < 1)))
12845, 127mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 < 𝑇𝑇 < 1))
129128simprd 494 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 < 1)
13013, 129gtned 11381 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≠ 𝑇)
13130, 14, 130subne0d 11612 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝑇) ≠ 0)
132126, 131logcld 26549 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(1 − 𝑇)) ∈ ℂ)
133125, 132negsubd 11609 . . . 4 (𝜑 → ((log‘(1 + 𝑇)) + -(log‘(1 − 𝑇))) = ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
134120, 133breqtrd 5175 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
135 nn0uz 12897 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
136 0zd 12603 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
137 stirlinglem5.5 . . . . . 6 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
138 2nn0 12522 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
139138a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
140 id 22 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0)
141139, 140nn0mulcld 12570 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
142 nn0p1nn 12544 . . . . . . 7 ((2 · 𝑗) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
143141, 142syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
144137, 143fmpti 7121 . . . . 5 𝐺:ℕ0⟶ℕ
145144a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺:ℕ0⟶ℕ)
146 2re 12319 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
147146a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
148 nn0re 12514 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
149147, 148remulcld 11276 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
150 1red 11247 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
151148, 150readdcld 11275 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
152147, 151remulcld 11276 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
153 2rp 13014 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
154153a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
155148ltp1d 12177 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 < (𝑘 + 1))
156148, 151, 154, 155ltmul2dd 13107 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) < (2 · (𝑘 + 1)))
157149, 152, 150, 156ltadd1dd 11857 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) < ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
158137a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1)))
159 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
160159oveq2d 7435 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = 𝑘) → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
161160oveq1d 7434 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = 𝑘) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
162 id 22 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)
163 2cnd 12323 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
164 nn0cn 12515 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
165163, 164mulcld 11266 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
166 1cnd 11241 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
167165, 166addcld 11265 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
168158, 161, 162, 167fvmptd 7011 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
169 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
170169oveq2d 7435 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = (𝑘 + 1)) → (2 · 𝑗) = (2 · (𝑘 + 1)))
171170oveq1d 7434 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 = (𝑘 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
172 peano2nn0 12545 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
173164, 166addcld 11265 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
174163, 173mulcld 11266 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
175174, 166addcld 11265 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑘 + 1)) + 1) ∈ ℂ)
176158, 171, 172, 175fvmptd 7011 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
177157, 168, 1763brtr4d 5181 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
178177adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
179 eldifi 4123 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 𝑛 ∈ ℕ)
180179adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ∈ ℕ)
181 1cnd 11241 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 1 ∈ ℂ)
182181negcld 11590 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → -1 ∈ ℂ)
183179, 80syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
184182, 183expcld 14146 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
185184adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
18614adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑇 ∈ ℂ)
187180nnnn0d 12565 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
188186, 187expcld 14146 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
189180nncnd 12261 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ∈ ℂ)
190180nnne0d 12295 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ≠ 0)
191188, 189, 190divcld 12023 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((𝑇𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
192185, 191mulcld 11266 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
193192, 191addcld 11265 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
19499, 100, 180, 193fvmptd3 7027 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
195 eldifn 4124 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ 𝑛 ∈ ran 𝐺)
196 0nn0 12520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℕ0
197 1nn0 12521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℕ0
198138, 197num0h 12722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = ((2 · 0) + 1)
199 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 0 → (2 · 𝑗) = (2 · 0))
200199oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 0 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 0) + 1))
201200eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 0 → (1 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ 1 = ((2 · 0) + 1)))
202201rspcev 3606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 = ((2 · 0) + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1))
203196, 198, 202mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1)
204 ax-1cn 11198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
205137elrnmpt 5958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℂ → (1 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1)))
206204, 205ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1))
207203, 206mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ran 𝐺
208207a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → 1 ∈ ran 𝐺)
209 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝑛 ∈ ran 𝐺 ↔ 1 ∈ ran 𝐺))
210208, 209mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → 𝑛 ∈ ran 𝐺)
211195, 210nsyl 140 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ 𝑛 = 1)
212 nn1m1nn 12266 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 = 1 ∨ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
213179, 212syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 = 1 ∨ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
214213ord 862 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (¬ 𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
215211, 214mpd 15 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
216 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗
217 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗(𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
218137, 217nfcxfr 2889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝐺
219218nfrn 5954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗ran 𝐺
220216, 219nfdif 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗(ℕ ∖ ran 𝐺)
221220nfcri 2882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)
222137elrnmpt 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1)))
223195, 222mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
224 ralnex 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑗 ∈ ℕ0 ¬ 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
225223, 224sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ¬ 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
226225r19.21bi 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
227226neqned 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑛 ≠ ((2 · 𝑗) + 1))
228227necomd 2985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
229228adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
230 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
231 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑗 ∈ ℕ0)
232179ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ)
233146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
234 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
235234zred 12699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℝ)
236233, 235remulcld 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
237 0red 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
238 1red 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
239 2cnd 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
240235recnd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℂ)
241239, 240mulcomd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) = (𝑗 · 2))
242 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑗 ∈ ℕ0)
243 elnn0z 12604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 ∈ ℕ0 ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗))
244242, 243sylnib 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗))
245 nan 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗)) ↔ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ¬ 0 ≤ 𝑗))
246244, 245mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ¬ 0 ≤ 𝑗)
247246anabss1 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 0 ≤ 𝑗)
248235, 237ltnled 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑗))
249247, 248mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 < 0)
250153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
251250rpregt0d 13057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
252 mulltgt0 44523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 < 0) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑗 · 2) < 0)
253235, 249, 251, 252syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 · 2) < 0)
254241, 253eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) < 0)
255236, 237, 238, 254ltadd1dd 11857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) < (0 + 1))
256 1cnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
257256addlidd 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (0 + 1) = 1)
258255, 257breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) < 1)
259236, 238readdcld 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
260259, 238ltnled 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑗) + 1) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ ((2 · 𝑗) + 1)))
261258, 260mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 1 ≤ ((2 · 𝑗) + 1))
262 nnge1 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑗) + 1))
263261, 262nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
264263adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
265 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
266 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ)
267265, 266eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
268267adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
269264, 268mtand 814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
270269neqned 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
271230, 231, 232, 270syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
272229, 271pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
273272neneqd 2934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
274273ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑗 ∈ ℤ → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛))
275221, 274ralrimi 3244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ∀𝑗 ∈ ℤ ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
276 ralnex 3061 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑗 ∈ ℤ ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛 ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
277275, 276sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
278179nnzd 12618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 𝑛 ∈ ℤ)
279 odd2np1 16321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛))
280278, 279syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛))
281277, 280mtbird 324 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑛)
282281notnotrd 133 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 2 ∥ 𝑛)
283179nncnd 12261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 𝑛 ∈ ℂ)
284283, 181npcand 11607 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
285282, 284breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 2 ∥ ((𝑛 − 1) + 1))
286183nn0zd 12617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 − 1) ∈ ℤ)
287 oddp1even 16324 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 − 1) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑛 − 1) ↔ 2 ∥ ((𝑛 − 1) + 1)))
288286, 287syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (¬ 2 ∥ (𝑛 − 1) ↔ 2 ∥ ((𝑛 − 1) + 1)))
289285, 288mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ 2 ∥ (𝑛 − 1))
290 oexpneg 16325 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝑛 − 1)) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -(1↑(𝑛 − 1)))
291181, 215, 289, 290syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -(1↑(𝑛 − 1)))
292 1exp 14092 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 − 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑛 − 1)) = 1)
293286, 292syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (1↑(𝑛 − 1)) = 1)
294293negeqd 11486 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → -(1↑(𝑛 − 1)) = -1)
295291, 294eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -1)
296295adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -1)
297296oveq1d 7434 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = (-1 · ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
298297oveq1d 7434 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = ((-1 · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
299191mulm1d 11698 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-1 · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = -((𝑇𝑛) / 𝑛))
300299oveq1d 7434 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1 · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = (-((𝑇𝑛) / 𝑛) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)))
301191negcld 11590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → -((𝑇𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
302301, 191addcomd 11448 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-((𝑇𝑛) / 𝑛) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = (((𝑇𝑛) / 𝑛) + -((𝑇𝑛) / 𝑛)))
303191negidd 11593 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (((𝑇𝑛) / 𝑛) + -((𝑇𝑛) / 𝑛)) = 0)
304300, 302, 3033eqtrd 2769 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1 · ((𝑇𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇𝑛) / 𝑛)) = 0)
305194, 298, 3043eqtrd 2769 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = 0)
306111, 110eqeltrd 2825 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
30799a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗))))
308 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1))
309308oveq1d 7434 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (𝑗 − 1) = (((2 · 𝑘) + 1) − 1))
310309oveq2d 7435 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)))
311308oveq2d 7435 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (𝑇𝑗) = (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))
312311, 308oveq12d 7437 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → ((𝑇𝑗) / 𝑗) = ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
313310, 312oveq12d 7437 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
314313, 312oveq12d 7437 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
315138a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
316 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
317315, 316nn0mulcld 12570 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
318 nn0p1nn 12544 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
319317, 318syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
320166negcld 11590 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
321165, 166pncand 11604 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
322138a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
323322, 162nn0mulcld 12570 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
324321, 323eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) ∈ ℕ0)
325320, 324expcld 14146 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) ∈ ℂ)
326325adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) ∈ ℂ)
32714adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
328197a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
329317, 328nn0addcld 12569 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
330327, 329expcld 14146 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
331 2cnd 12323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
332164adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
333331, 332mulcld 11266 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
334 1cnd 11241 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
335333, 334addcld 11265 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
336 0red 11249 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
337146a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
338148adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
339337, 338remulcld 11276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
340 1red 11247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
341 0le2 12347 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 2
342341a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 2)
343316nn0ge0d 12568 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
344337, 338, 342, 343mulge0d 11823 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (2 · 𝑘))
345 0lt1 11768 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
346345a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < 1)
347339, 340, 344, 346addgegt0d 11819 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < ((2 · 𝑘) + 1))
348336, 347gtned 11381 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
349330, 335, 348divcld 12023 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
350326, 349mulcld 11266 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
351350, 349addcld 11265 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
352307, 314, 319, 351fvmptd 7011 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
353321adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
354353oveq2d 7435 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) = (-1↑(2 · 𝑘)))
355 nn0z 12616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
356 m1expeven 14110 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑘)) = 1)
357355, 356syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = 1)
358357adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑘)) = 1)
359354, 358eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) = 1)
360359oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (1 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
361349mullidd 11264 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
362360, 361eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
363362oveq1d 7434 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
3643492timesd 12488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
365330, 335, 348divrec2d 12027 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1))))
366365oveq2d 7435 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
367363, 364, 3663eqtr2d 2771 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
368352, 367eqtr2d 2766 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (𝐹‘((2 · 𝑘) + 1)))
369 stirlinglem5.4 . . . . . . 7 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)))))
370369a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1))))))
371 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
372371oveq2d 7435 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
373372oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
374373oveq2d 7435 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
375373oveq2d 7435 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)) = (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))
376374, 375oveq12d 7437 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1))) = ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1))))
377376oveq2d 7435 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
378335, 348reccld 12016 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
379378, 330mulcld 11266 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
380331, 379mulcld 11266 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))) ∈ ℂ)
381370, 377, 316, 380fvmptd 7011 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
382197a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
383323, 382nn0addcld 12569 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
384158, 161, 162, 383fvmptd 7011 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
385384adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
386385fveq2d 6900 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝐺𝑘)) = (𝐹‘((2 · 𝑘) + 1)))
387368, 381, 3863eqtr4d 2775 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
388135, 1, 136, 2, 145, 178, 305, 306, 387isercoll2 15651 . . 3 (𝜑 → (seq0( + , 𝐻) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))) ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇)))))
389134, 388mpbird 256 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
39051, 13resubcld 11674 . . . 4 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
39114subidd 11591 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝑇) = 0)
392391eqcomd 2731 . . . . 5 (𝜑 → 0 = (𝑇𝑇))
39313, 51, 13, 129ltsub1dd 11858 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝑇) < (1 − 𝑇))
394392, 393eqbrtrd 5171 . . . 4 (𝜑 → 0 < (1 − 𝑇))
395390, 394elrpd 13048 . . 3 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ+)
396123, 395relogdivd 26605 . 2 (𝜑 → (log‘((1 + 𝑇) / (1 − 𝑇))) = ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
397389, 396breqtrrd 5177 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + 𝑇) / (1 − 𝑇))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  cdif 3941   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ran crn 5679  ccom 5682  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  -cneg 11477   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  +crp 13009  ...cfz 13519  seqcseq 14002  cexp 14062  abscabs 15217  cli 15464  cdvds 16234  ∞Metcxmet 21281  ballcbl 21283  logclog 26533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-tan 16051  df-pi 16052  df-dvds 16235  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840  df-ulm 26358  df-log 26535
This theorem is referenced by:  stirlinglem6  45602
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