Theorem stirlinglem5 43294

Description: If 𝑇 is between 0 and 1, then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log((1+T)/(1-T)). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem5.1	⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)))
stirlinglem5.2	⊢ 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))
stirlinglem5.3	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)))
stirlinglem5.4	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)))))
stirlinglem5.5	⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
stirlinglem5.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
stirlinglem5.7	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑇) < 1)

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem5	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + 𝑇) / (1 − 𝑇))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑗   𝑇,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝐻(𝑗)

Proof of Theorem stirlinglem5

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12477	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		stirlinglem5.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)))
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))))
5		1cnd 10828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
6	5	negcld 11176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
7		nnm1nn0 12131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
8	7	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
9	6, 8	expcld 13716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
10		nncn 11838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
11	10	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
12		stirlinglem5.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
13	12	rpred 12628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
14	13	recnd 10861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
15	14	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
16		nnnn0 12097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
18	15, 17	expcld 13716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑇↑𝑗) ∈ ℂ)
19		nnne0 11864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
20	19	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ≠ 0)
21	9, 11, 18, 20	div32d 11631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (𝑇↑𝑗)) = ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)))
22	5, 15	pncan2d 11191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 + 𝑇) − 1) = 𝑇)
23	22	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑇 = ((1 + 𝑇) − 1))
24	23	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑇↑𝑗) = (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗))
25	24	oveq2d 7229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (𝑇↑𝑗)) = (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))
26	21, 25	eqtr3d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))
27	26	mpteq2dva 5150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗))))
28	4, 27	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗))))
29	28	seqeq3d 13582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐷) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))))
30		1cnd 10828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
31	30, 14	addcld 10852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑇) ∈ ℂ)
32		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
33	32	cnmetdval 23668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (1 + 𝑇) ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) = (abs‘(1 − (1 + 𝑇))))
34	30, 31, 33	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) = (abs‘(1 − (1 + 𝑇))))
35		1m1e0 11902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − 1) = 0
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
37	36	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) − 𝑇) = (0 − 𝑇))
38	30, 30, 14	subsub4d 11220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) − 𝑇) = (1 − (1 + 𝑇)))
39		df-neg 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -𝑇 = (0 − 𝑇)
40	39	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 − 𝑇) = -𝑇
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 − 𝑇) = -𝑇)
42	37, 38, 41	3eqtr3d 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 + 𝑇)) = -𝑇)
43	42	fveq2d 6721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − (1 + 𝑇))) = (abs‘-𝑇))
44	14	absnegd 15013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝑇) = (abs‘𝑇))
45		stirlinglem5.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑇) < 1)
46	44, 45	eqbrtrd 5075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝑇) < 1)
47	43, 46	eqbrtrd 5075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − (1 + 𝑇))) < 1)
48	34, 47	eqbrtrd 5075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) < 1)
49		cnxmet 23670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
51		1red 10834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
52	51	rexrd 10883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
53		elbl2 23288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ (1 + 𝑇) ∈ ℂ)) → ((1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) < 1))
54	50, 52, 30, 31, 53	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) < 1))
55	48, 54	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
56		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
57	56	logtayl2 25550	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))) ⇝ (log‘(1 + 𝑇)))
58	55, 57	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))) ⇝ (log‘(1 + 𝑇)))
59	29, 58	eqbrtrd 5075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐷) ⇝ (log‘(1 + 𝑇)))
60		seqex 13576	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , 𝐹) ∈ V
61	60	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
62		stirlinglem5.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)))
64	63	seqeq3d 13582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐸) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))))
65		logtayl 25548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑇) < 1) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))) ⇝ -(log‘(1 − 𝑇)))
66	14, 45, 65	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))) ⇝ -(log‘(1 − 𝑇)))
67	64, 66	eqbrtrd 5075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐸) ⇝ -(log‘(1 − 𝑇)))
68		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
69	68, 1	eleqtrdi 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
70		oveq1 7220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 − 1) = (𝑛 − 1))
71	70	oveq2d 7229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑(𝑛 − 1)))
72		oveq2 7221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑇↑𝑗) = (𝑇↑𝑛))
73		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → 𝑗 = 𝑛)
74	72, 73	oveq12d 7231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝑇↑𝑗) / 𝑗) = ((𝑇↑𝑛) / 𝑛))
75	71, 74	oveq12d 7231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
76		elfznn 13141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
77	76	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
78		1cnd 10828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
79	78	negcld 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
80		nnm1nn0 12131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
81	79, 80	expcld 13716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
82	77, 81	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
83	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑇 ∈ ℂ)
84	77	nnnn0d 12150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
85	83, 84	expcld 13716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝑇↑𝑛) ∈ ℂ)
86	77	nncnd 11846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℂ)
87	77	nnne0d 11880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ≠ 0)
88	85, 86, 87	divcld 11608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑇↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
89	82, 88	mulcld 10853	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
90	3, 75, 77, 89	fvmptd3 6841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐷‘𝑛) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
91	90, 89	eqeltrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐷‘𝑛) ∈ ℂ)
92		addcl 10811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
93	92	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
94	69, 91, 93	seqcl 13596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐷)‘𝑘) ∈ ℂ)
95	62, 74, 77, 88	fvmptd3 6841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐸‘𝑛) = ((𝑇↑𝑛) / 𝑛))
96	95, 88	eqeltrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐸‘𝑛) ∈ ℂ)
97	69, 96, 93	seqcl 13596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐸)‘𝑘) ∈ ℂ)
98		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝜑)
99		stirlinglem5.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)))
100	75, 74	oveq12d 7231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
101		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
102	81	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
103	14	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
104	101	nnnn0d 12150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
105	103, 104	expcld 13716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇↑𝑛) ∈ ℂ)
106	101	nncnd 11846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
107	101	nnne0d 11880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
108	105, 106, 107	divcld 11608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
109	102, 108	mulcld 10853	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
110	109, 108	addcld 10852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
111	99, 100, 101, 110	fvmptd3 6841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
112	3, 75, 101, 109	fvmptd3 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
113	112	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = (𝐷‘𝑛))
114	62, 74, 101, 108	fvmptd3 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑛) = ((𝑇↑𝑛) / 𝑛))
115	114	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇↑𝑛) / 𝑛) = (𝐸‘𝑛))
116	113, 115	oveq12d 7231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = ((𝐷‘𝑛) + (𝐸‘𝑛)))
117	111, 116	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐷‘𝑛) + (𝐸‘𝑛)))
118	98, 77, 117	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐷‘𝑛) + (𝐸‘𝑛)))
119	69, 91, 96, 118	seradd 13618	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) = ((seq1( + , 𝐷)‘𝑘) + (seq1( + , 𝐸)‘𝑘)))
120	1, 2, 59, 61, 67, 94, 97, 119	climadd 15193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) + -(log‘(1 − 𝑇))))
121		1rp 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
122	121	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
123	122, 12	rpaddcld 12643	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑇) ∈ ℝ+)
124	123	rpne0d 12633	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑇) ≠ 0)
125	31, 124	logcld 25459	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘(1 + 𝑇)) ∈ ℂ)
126	30, 14	subcld 11189	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
127	13, 51	absltd 14993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑇) < 1 ↔ (-1 < 𝑇 ∧ 𝑇 < 1)))
128	45, 127	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1 < 𝑇 ∧ 𝑇 < 1))
129	128	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 < 1)
130	13, 129	gtned 10967	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝑇)
131	30, 14, 130	subne0d 11198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ≠ 0)
132	126, 131	logcld 25459	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘(1 − 𝑇)) ∈ ℂ)
133	125, 132	negsubd 11195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘(1 + 𝑇)) + -(log‘(1 − 𝑇))) = ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
134	120, 133	breqtrd 5079	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
135		nn0uz 12476	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
136		0zd 12188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
137		stirlinglem5.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
138		2nn0 12107	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
139	138	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
140		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℕ0)
141	139, 140	nn0mulcld 12155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
142		nn0p1nn 12129	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑗) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
143	141, 142	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
144	137, 143	fmpti 6929	. . . . 5 ⊢ 𝐺:ℕ0⟶ℕ
145	144	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ0⟶ℕ)
146		2re 11904	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
147	146	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
148		nn0re 12099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
149	147, 148	remulcld 10863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
150		1red 10834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
151	148, 150	readdcld 10862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
152	147, 151	remulcld 10863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
153		2rp 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
154	153	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
155	148	ltp1d 11762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 < (𝑘 + 1))
156	148, 151, 154, 155	ltmul2dd 12684	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) < (2 · (𝑘 + 1)))
157	149, 152, 150, 156	ltadd1dd 11443	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) < ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
158	137	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1)))
159		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
160	159	oveq2d 7229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 = 𝑘) → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
161	160	oveq1d 7228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
162		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0)
163		2cnd 11908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
164		nn0cn 12100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
165	163, 164	mulcld 10853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
166		1cnd 10828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
167	165, 166	addcld 10852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
168	158, 161, 162, 167	fvmptd 6825	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
169		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
170	169	oveq2d 7229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → (2 · 𝑗) = (2 · (𝑘 + 1)))
171	170	oveq1d 7228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
172		peano2nn0 12130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
173	164, 166	addcld 10852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
174	163, 173	mulcld 10853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
175	174, 166	addcld 10852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑘 + 1)) + 1) ∈ ℂ)
176	158, 171, 172, 175	fvmptd 6825	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
177	157, 168, 176	3brtr4d 5085	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
178	177	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
179		eldifi 4041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 𝑛 ∈ ℕ)
180	179	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ∈ ℕ)
181		1cnd 10828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 1 ∈ ℂ)
182	181	negcld 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → -1 ∈ ℂ)
183	179, 80	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
184	182, 183	expcld 13716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
185	184	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
186	14	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑇 ∈ ℂ)
187	180	nnnn0d 12150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
188	186, 187	expcld 13716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (𝑇↑𝑛) ∈ ℂ)
189	180	nncnd 11846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ∈ ℂ)
190	180	nnne0d 11880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ≠ 0)
191	188, 189, 190	divcld 11608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((𝑇↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
192	185, 191	mulcld 10853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
193	192, 191	addcld 10852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
194	99, 100, 180, 193	fvmptd3 6841	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (𝐹‘𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
195		eldifn 4042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ 𝑛 ∈ ran 𝐺)
196		0nn0 12105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℕ0
197		1nn0 12106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℕ0
198	138, 197	num0h 12305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 = ((2 · 0) + 1)
199		oveq2 7221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 0 → (2 · 𝑗) = (2 · 0))
200	199	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 0 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 0) + 1))
201	200	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 0 → (1 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ 1 = ((2 · 0) + 1)))
202	201	rspcev 3537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 = ((2 · 0) + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1))
203	196, 198, 202	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1)
204		ax-1cn 10787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
205	137	elrnmpt 5825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℂ → (1 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1)))
206	204, 205	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1))
207	203, 206	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ran 𝐺
208	207	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → 1 ∈ ran 𝐺)
209		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∈ ran 𝐺 ↔ 1 ∈ ran 𝐺))
210	208, 209	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → 𝑛 ∈ ran 𝐺)
211	195, 210	nsyl 142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ 𝑛 = 1)
212		nn1m1nn 11851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 = 1 ∨ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
213	179, 212	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 = 1 ∨ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
214	213	ord 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (¬ 𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
215	211, 214	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
216		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑗ℕ
217		nfmpt1 5153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
218	137, 217	nfcxfr 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝐺
219	218	nfrn 5821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑗ran 𝐺
220	216, 219	nfdif 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗(ℕ ∖ ran 𝐺)
221	220	nfcri 2891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)
222	137	elrnmpt 5825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1)))
223	195, 222	mtbid 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
224		ralnex 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ0 ¬ 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
225	223, 224	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ¬ 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
226	225	r19.21bi 3130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
227	226	neqned 2947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑛 ≠ ((2 · 𝑗) + 1))
228	227	necomd 2996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
229	228	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
230		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
231		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑗 ∈ ℕ0)
232	179	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ)
233	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
234		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
235	234	zred 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℝ)
236	233, 235	remulcld 10863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
237		0red 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
238		1red 10834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
239		2cnd 11908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
240	235	recnd 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℂ)
241	239, 240	mulcomd 10854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) = (𝑗 · 2))
242		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑗 ∈ ℕ0)
243		elnn0z 12189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗))
244	242, 243	sylnib 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗))
245		nan 830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗)) ↔ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ¬ 0 ≤ 𝑗))
246	244, 245	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ¬ 0 ≤ 𝑗)
247	246	anabss1 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 0 ≤ 𝑗)
248	235, 237	ltnled 10979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑗))
249	247, 248	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 < 0)
250	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
251	250	rpregt0d 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
252		mulltgt0 42238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 < 0) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑗 · 2) < 0)
253	235, 249, 251, 252	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 · 2) < 0)
254	241, 253	eqbrtrd 5075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) < 0)
255	236, 237, 238, 254	ltadd1dd 11443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) < (0 + 1))
256		1cnd 10828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
257	256	addid2d 11033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (0 + 1) = 1)
258	255, 257	breqtrd 5079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) < 1)
259	236, 238	readdcld 10862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
260	259, 238	ltnled 10979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑗) + 1) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ ((2 · 𝑗) + 1)))
261	258, 260	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 1 ≤ ((2 · 𝑗) + 1))
262		nnge1 11858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑗) + 1))
263	261, 262	nsyl 142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
264	263	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
265		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
266		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ)
267	265, 266	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
268	267	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
269	264, 268	mtand 816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
270	269	neqned 2947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
271	230, 231, 232, 270	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
272	229, 271	pm2.61dan 813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
273	272	neneqd 2945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
274	273	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑗 ∈ ℤ → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛))
275	221, 274	ralrimi 3137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ∀𝑗 ∈ ℤ ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
276		ralnex 3158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℤ ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛 ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
277	275, 276	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
278	179	nnzd 12281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 𝑛 ∈ ℤ)
279		odd2np1 15902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛))
280	278, 279	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛))
281	277, 280	mtbird 328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑛)
282	281	notnotrd 135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 2 ∥ 𝑛)
283	179	nncnd 11846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 𝑛 ∈ ℂ)
284	283, 181	npcand 11193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
285	282, 284	breqtrrd 5081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 2 ∥ ((𝑛 − 1) + 1))
286	183	nn0zd 12280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 − 1) ∈ ℤ)
287		oddp1even 15905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑛 − 1) ↔ 2 ∥ ((𝑛 − 1) + 1)))
288	286, 287	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (¬ 2 ∥ (𝑛 − 1) ↔ 2 ∥ ((𝑛 − 1) + 1)))
289	285, 288	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ 2 ∥ (𝑛 − 1))
290		oexpneg 15906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝑛 − 1)) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -(1↑(𝑛 − 1)))
291	181, 215, 289, 290	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -(1↑(𝑛 − 1)))
292		1exp 13664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑛 − 1)) = 1)
293	286, 292	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (1↑(𝑛 − 1)) = 1)
294	293	negeqd 11072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → -(1↑(𝑛 − 1)) = -1)
295	291, 294	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -1)
296	295	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -1)
297	296	oveq1d 7228	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = (-1 · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
298	297	oveq1d 7228	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = ((-1 · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
299	191	mulm1d 11284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-1 · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = -((𝑇↑𝑛) / 𝑛))
300	299	oveq1d 7228	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1 · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = (-((𝑇↑𝑛) / 𝑛) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
301	191	negcld 11176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → -((𝑇↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
302	301, 191	addcomd 11034	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-((𝑇↑𝑛) / 𝑛) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = (((𝑇↑𝑛) / 𝑛) + -((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
303	191	negidd 11179	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (((𝑇↑𝑛) / 𝑛) + -((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = 0)
304	300, 302, 303	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1 · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = 0)
305	194, 298, 304	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (𝐹‘𝑛) = 0)
306	111, 110	eqeltrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
307	99	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))))
308		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1))
309	308	oveq1d 7228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (𝑗 − 1) = (((2 · 𝑘) + 1) − 1))
310	309	oveq2d 7229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)))
311	308	oveq2d 7229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (𝑇↑𝑗) = (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))
312	311, 308	oveq12d 7231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → ((𝑇↑𝑗) / 𝑗) = ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
313	310, 312	oveq12d 7231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) = ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
314	313, 312	oveq12d 7231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
315	138	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
316		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
317	315, 316	nn0mulcld 12155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
318		nn0p1nn 12129	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
319	317, 318	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
320	166	negcld 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
321	165, 166	pncand 11190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
322	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
323	322, 162	nn0mulcld 12155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
324	321, 323	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) ∈ ℕ0)
325	320, 324	expcld 13716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) ∈ ℂ)
326	325	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) ∈ ℂ)
327	14	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
328	197	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
329	317, 328	nn0addcld 12154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
330	327, 329	expcld 13716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
331		2cnd 11908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
332	164	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
333	331, 332	mulcld 10853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
334		1cnd 10828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
335	333, 334	addcld 10852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
336		0red 10836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
337	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
338	148	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
339	337, 338	remulcld 10863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
340		1red 10834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
341		0le2 11932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 2
342	341	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 2)
343	316	nn0ge0d 12153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
344	337, 338, 342, 343	mulge0d 11409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (2 · 𝑘))
345		0lt1 11354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
346	345	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < 1)
347	339, 340, 344, 346	addgegt0d 11405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < ((2 · 𝑘) + 1))
348	336, 347	gtned 10967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
349	330, 335, 348	divcld 11608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
350	326, 349	mulcld 10853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
351	350, 349	addcld 10852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
352	307, 314, 319, 351	fvmptd 6825	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
353	321	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
354	353	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) = (-1↑(2 · 𝑘)))
355		nn0z 12200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
356		m1expeven 13682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑘)) = 1)
357	355, 356	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = 1)
358	357	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑘)) = 1)
359	354, 358	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) = 1)
360	359	oveq1d 7228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (1 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
361	349	mulid2d 10851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
362	360, 361	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
363	362	oveq1d 7228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
364	349	2timesd 12073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
365	330, 335, 348	divrec2d 11612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1))))
366	365	oveq2d 7229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
367	363, 364, 366	3eqtr2d 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
368	352, 367	eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (𝐹‘((2 · 𝑘) + 1)))
369		stirlinglem5.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)))))
370	369	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1))))))
371		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
372	371	oveq2d 7229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
373	372	oveq1d 7228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
374	373	oveq2d 7229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
375	373	oveq2d 7229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)) = (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))
376	374, 375	oveq12d 7231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1))) = ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1))))
377	376	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
378	335, 348	reccld 11601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
379	378, 330	mulcld 10853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
380	331, 379	mulcld 10853	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))) ∈ ℂ)
381	370, 377, 316, 380	fvmptd 6825	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
382	197	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
383	323, 382	nn0addcld 12154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
384	158, 161, 162, 383	fvmptd 6825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
385	384	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
386	385	fveq2d 6721	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝐺‘𝑘)) = (𝐹‘((2 · 𝑘) + 1)))
387	368, 381, 386	3eqtr4d 2787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
388	135, 1, 136, 2, 145, 178, 305, 306, 387	isercoll2 15232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐻) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))) ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇)))))
389	134, 388	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
390	51, 13	resubcld 11260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
391	14	subidd 11177	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 − 𝑇) = 0)
392	391	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑇 − 𝑇))
393	13, 51, 13, 129	ltsub1dd 11444	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 − 𝑇) < (1 − 𝑇))
394	392, 393	eqbrtrd 5075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝑇))
395	390, 394	elrpd 12625	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ+)
396	123, 395	relogdivd 25514	. 2 ⊢ (𝜑 → (log‘((1 + 𝑇) / (1 − 𝑇))) = ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
397	389, 396	breqtrrd 5081	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + 𝑇) / (1 − 𝑇))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  Vcvv 3408   ∖ cdif 3863   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  ran crn 5552   ∘ ccom 5555  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062  -cneg 11063   / cdiv 11489  ℕcn 11830  2c2 11885  ℕ₀cn0 12090  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  ℝ⁺crp 12586  ...cfz 13095  seqcseq 13574  ↑cexp 13635  abscabs 14797   ⇝ cli 15045   ∥ cdvds 15815  ∞Metcxmet 20348  ballcbl 20350  logclog 25443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-tan 15633  df-pi 15634  df-dvds 15816  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-cmp 22284  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-ulm 25269  df-log 25445

This theorem is referenced by:  stirlinglem6  43295