Theorem stirlinglem5 40771

Description: If 𝑇 is between 0 and 1, then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log((1+T)/(1-T)). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem5.1	⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)))
stirlinglem5.2	⊢ 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))
stirlinglem5.3	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)))
stirlinglem5.4	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)))))
stirlinglem5.5	⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
stirlinglem5.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
stirlinglem5.7	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑇) < 1)

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem5	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + 𝑇) / (1 − 𝑇))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑗   𝑇,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝐻(𝑗)

Proof of Theorem stirlinglem5

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11937	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 11670	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		stirlinglem5.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)))
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))))
5		1cnd 10317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
6	5	negcld 10661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
7		nnm1nn0 11596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
8	7	adantl 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
9	6, 8	expcld 13227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
10		nncn 11310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
11	10	adantl 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
12		stirlinglem5.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
13	12	rpred 12082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
14	13	recnd 10350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
15	14	adantr 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
16		nnnn0 11562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
18	15, 17	expcld 13227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑇↑𝑗) ∈ ℂ)
19		nnne0 11335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
20	19	adantl 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ≠ 0)
21	9, 11, 18, 20	div32d 11106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (𝑇↑𝑗)) = ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)))
22	5, 15	pncan2d 10676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 + 𝑇) − 1) = 𝑇)
23	22	eqcomd 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑇 = ((1 + 𝑇) − 1))
24	23	oveq1d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑇↑𝑗) = (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗))
25	24	oveq2d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (𝑇↑𝑗)) = (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))
26	21, 25	eqtr3d 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))
27	26	mpteq2dva 4934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗))))
28	4, 27	eqtrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗))))
29	28	seqeq3d 13028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐷) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))))
30		1cnd 10317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
31	30, 14	addcld 10341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑇) ∈ ℂ)
32		eqid 2805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
33	32	cnmetdval 22783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (1 + 𝑇) ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) = (abs‘(1 − (1 + 𝑇))))
34	30, 31, 33	syl2anc 575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) = (abs‘(1 − (1 + 𝑇))))
35		1m1e0 11369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − 1) = 0
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
37	36	oveq1d 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) − 𝑇) = (0 − 𝑇))
38	30, 30, 14	subsub4d 10705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) − 𝑇) = (1 − (1 + 𝑇)))
39		df-neg 10551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -𝑇 = (0 − 𝑇)
40	39	eqcomi 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 − 𝑇) = -𝑇
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 − 𝑇) = -𝑇)
42	37, 38, 41	3eqtr3d 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 + 𝑇)) = -𝑇)
43	42	fveq2d 6409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − (1 + 𝑇))) = (abs‘-𝑇))
44	14	absnegd 14407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝑇) = (abs‘𝑇))
45		stirlinglem5.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑇) < 1)
46	44, 45	eqbrtrd 4862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝑇) < 1)
47	43, 46	eqbrtrd 4862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − (1 + 𝑇))) < 1)
48	34, 47	eqbrtrd 4862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) < 1)
49		cnxmet 22785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
51		1red 10323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
52	51	rexrd 10371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
53		elbl2 22404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ (1 + 𝑇) ∈ ℂ)) → ((1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) < 1))
54	50, 52, 30, 31, 53	syl22anc 858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )(1 + 𝑇)) < 1))
55	48, 54	mpbird 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
56		eqid 2805	. . . . . . . 8 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
57	56	logtayl2 24618	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 𝑇) ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))) ⇝ (log‘(1 + 𝑇)))
58	55, 57	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) / 𝑗) · (((1 + 𝑇) − 1)↑𝑗)))) ⇝ (log‘(1 + 𝑇)))
59	29, 58	eqbrtrd 4862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐷) ⇝ (log‘(1 + 𝑇)))
60		seqex 13022	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , 𝐹) ∈ V
61	60	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
62		stirlinglem5.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)))
64	63	seqeq3d 13028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐸) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))))
65		logtayl 24616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑇) < 1) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))) ⇝ -(log‘(1 − 𝑇)))
66	14, 45, 65	syl2anc 575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))) ⇝ -(log‘(1 − 𝑇)))
67	64, 66	eqbrtrd 4862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐸) ⇝ -(log‘(1 − 𝑇)))
68		simpr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
69	68, 1	syl6eleq 2894	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
70	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))))
71		oveq1 6878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 − 1) = (𝑛 − 1))
72	71	oveq2d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑(𝑛 − 1)))
73		oveq2 6879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑇↑𝑗) = (𝑇↑𝑛))
74		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → 𝑗 = 𝑛)
75	73, 74	oveq12d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝑇↑𝑗) / 𝑗) = ((𝑇↑𝑛) / 𝑛))
76	72, 75	oveq12d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
77	76	adantl 469	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) ∧ 𝑗 = 𝑛) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
78		elfznn 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
79	78	adantl 469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
80		1cnd 10317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
81	80	negcld 10661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
82		nnm1nn0 11596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
83	81, 82	expcld 13227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
84	79, 83	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
85	14	ad2antrr 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑇 ∈ ℂ)
86	79	nnnn0d 11613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
87	85, 86	expcld 13227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝑇↑𝑛) ∈ ℂ)
88	79	nncnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℂ)
89	79	nnne0d 11347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ≠ 0)
90	87, 88, 89	divcld 11083	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑇↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
91	84, 90	mulcld 10342	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
92	70, 77, 79, 91	fvmptd 6506	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐷‘𝑛) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
93	92, 91	eqeltrd 2884	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐷‘𝑛) ∈ ℂ)
94		addcl 10300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
95	94	adantl 469	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℂ)
96	69, 93, 95	seqcl 13040	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐷)‘𝑘) ∈ ℂ)
97	62	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)))
98	75	adantl 469	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) ∧ 𝑗 = 𝑛) → ((𝑇↑𝑗) / 𝑗) = ((𝑇↑𝑛) / 𝑛))
99	97, 98, 79, 90	fvmptd 6506	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐸‘𝑛) = ((𝑇↑𝑛) / 𝑛))
100	99, 90	eqeltrd 2884	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐸‘𝑛) ∈ ℂ)
101	69, 100, 95	seqcl 13040	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐸)‘𝑘) ∈ ℂ)
102		simpll 774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝜑)
103		stirlinglem5.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)))
104	103	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))))
105	76, 75	oveq12d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
106	105	adantl 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑛) → (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
107		simpr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
108	83	adantl 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
109	14	adantr 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
110	107	nnnn0d 11613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
111	109, 110	expcld 13227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇↑𝑛) ∈ ℂ)
112	107	nncnd 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
113	107	nnne0d 11347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
114	111, 112, 113	divcld 11083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
115	108, 114	mulcld 10342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
116	115, 114	addcld 10341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
117	104, 106, 107, 116	fvmptd 6506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
118	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐷 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))))
119	76	adantl 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑛) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
120	118, 119, 107, 115	fvmptd 6506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
121	120	eqcomd 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = (𝐷‘𝑛))
122	62	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐸 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)))
123	75	adantl 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑛) → ((𝑇↑𝑗) / 𝑗) = ((𝑇↑𝑛) / 𝑛))
124	122, 123, 107, 114	fvmptd 6506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑛) = ((𝑇↑𝑛) / 𝑛))
125	124	eqcomd 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇↑𝑛) / 𝑛) = (𝐸‘𝑛))
126	121, 125	oveq12d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = ((𝐷‘𝑛) + (𝐸‘𝑛)))
127	117, 126	eqtrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐷‘𝑛) + (𝐸‘𝑛)))
128	102, 79, 127	syl2anc 575	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐷‘𝑛) + (𝐸‘𝑛)))
129	69, 93, 100, 128	seradd 13062	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) = ((seq1( + , 𝐷)‘𝑘) + (seq1( + , 𝐸)‘𝑘)))
130	1, 2, 59, 61, 67, 96, 101, 129	climadd 14581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) + -(log‘(1 − 𝑇))))
131		1rp 12046	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
132	131	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
133	132, 12	rpaddcld 12097	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑇) ∈ ℝ+)
134	133	rpne0d 12087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑇) ≠ 0)
135	31, 134	logcld 24527	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘(1 + 𝑇)) ∈ ℂ)
136	30, 14	subcld 10674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
137	13, 51	absltd 14387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑇) < 1 ↔ (-1 < 𝑇 ∧ 𝑇 < 1)))
138	45, 137	mpbid 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1 < 𝑇 ∧ 𝑇 < 1))
139	138	simprd 485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 < 1)
140	13, 139	gtned 10454	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝑇)
141	30, 14, 140	subne0d 10683	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ≠ 0)
142	136, 141	logcld 24527	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘(1 − 𝑇)) ∈ ℂ)
143	135, 142	negsubd 10680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘(1 + 𝑇)) + -(log‘(1 − 𝑇))) = ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
144	130, 143	breqtrd 4866	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
145		nn0uz 11936	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
146		0zd 11651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
147		stirlinglem5.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
148		2nn0 11572	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
149	148	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
150		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℕ0)
151	149, 150	nn0mulcld 11618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
152		nn0p1nn 11594	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑗) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
153	151, 152	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
154	147, 153	fmpti 6601	. . . . 5 ⊢ 𝐺:ℕ0⟶ℕ
155	154	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ0⟶ℕ)
156		2re 11370	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
157	156	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
158		nn0re 11564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
159	157, 158	remulcld 10352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
160		1red 10323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
161	158, 160	readdcld 10351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
162	157, 161	remulcld 10352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
163		2rp 12047	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
164	163	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
165	158	ltp1d 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 < (𝑘 + 1))
166	158, 161, 164, 165	ltmul2dd 12138	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) < (2 · (𝑘 + 1)))
167	159, 162, 160, 166	ltadd1dd 10920	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) < ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
168	147	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1)))
169		simpr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
170	169	oveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 = 𝑘) → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
171	170	oveq1d 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
172		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0)
173		2cnd 11373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
174		nn0cn 11565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
175	173, 174	mulcld 10342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
176		1cnd 10317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
177	175, 176	addcld 10341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
178	168, 171, 172, 177	fvmptd 6506	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
179		simpr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
180	179	oveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → (2 · 𝑗) = (2 · (𝑘 + 1)))
181	180	oveq1d 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
182		peano2nn0 11595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
183	174, 176	addcld 10341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
184	173, 183	mulcld 10342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
185	184, 176	addcld 10341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑘 + 1)) + 1) ∈ ℂ)
186	168, 181, 182, 185	fvmptd 6506	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
187	167, 178, 186	3brtr4d 4872	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
188	187	adantl 469	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
189		eldifi 3928	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 𝑛 ∈ ℕ)
190	189	adantl 469	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ∈ ℕ)
191		1cnd 10317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 1 ∈ ℂ)
192	191	negcld 10661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → -1 ∈ ℂ)
193	189, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
194	192, 193	expcld 13227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
195	194	adantl 469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
196	14	adantr 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑇 ∈ ℂ)
197	190	nnnn0d 11613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
198	196, 197	expcld 13227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (𝑇↑𝑛) ∈ ℂ)
199	190	nncnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ∈ ℂ)
200	190	nnne0d 11347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → 𝑛 ≠ 0)
201	198, 199, 200	divcld 11083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((𝑇↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
202	195, 201	mulcld 10342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
203	202, 201	addcld 10341	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
204	105, 103	fvmptg 6498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
205	190, 203, 204	syl2anc 575	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (𝐹‘𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
206		eldifn 3929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ 𝑛 ∈ ran 𝐺)
207		0nn0 11570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℕ0
208		1nn0 11571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℕ0
209	148, 208	num0h 11767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 = ((2 · 0) + 1)
210		oveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 0 → (2 · 𝑗) = (2 · 0))
211	210	oveq1d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 0 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 0) + 1))
212	211	eqeq2d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 0 → (1 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ 1 = ((2 · 0) + 1)))
213	212	rspcev 3501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 = ((2 · 0) + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1))
214	207, 209, 213	mp2an 675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1)
215		ax-1cn 10276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
216	147	elrnmpt 5570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℂ → (1 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1)))
217	215, 216	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 1 = ((2 · 𝑗) + 1))
218	214, 217	mpbir 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ran 𝐺
219	218	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → 1 ∈ ran 𝐺)
220		eleq1 2872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∈ ran 𝐺 ↔ 1 ∈ ran 𝐺))
221	219, 220	mpbird 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → 𝑛 ∈ ran 𝐺)
222	206, 221	nsyl 137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ 𝑛 = 1)
223		nn1m1nn 11322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 = 1 ∨ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
224	189, 223	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 = 1 ∨ (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
225	224	ord 882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (¬ 𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) ∈ ℕ))
226	222, 225	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
227		nfcv 2947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑗ℕ
228		nfmpt1 4937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑗) + 1))
229	147, 228	nfcxfr 2945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝐺
230	229	nfrn 5566	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑗ran 𝐺
231	227, 230	nfdif 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗(ℕ ∖ ran 𝐺)
232	231	nfcri 2941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)
233	147	elrnmpt 5570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1)))
234	206, 233	mtbid 315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
235		ralnex 3179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ0 ¬ 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
236	234, 235	sylibr 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ¬ 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
237	236	r19.21bi 3119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑛 = ((2 · 𝑗) + 1))
238	237	neqned 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑛 ≠ ((2 · 𝑗) + 1))
239	238	necomd 3032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
240	239	adantlr 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
241		simplr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
242		simpr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑗 ∈ ℕ0)
243	189	ad2antrr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ)
244	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
245		simpl 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
246	245	zred 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℝ)
247	244, 246	remulcld 10352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
248		0red 10325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
249		1red 10323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
250		2cnd 11373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
251	246	recnd 10350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℂ)
252	250, 251	mulcomd 10343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) = (𝑗 · 2))
253		simpr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑗 ∈ ℕ0)
254		elnn0z 11652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗))
255	253, 254	sylnib 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗))
256		nan 850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗)) ↔ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ¬ 0 ≤ 𝑗))
257	255, 256	mpbi 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ¬ 0 ≤ 𝑗)
258	257	anabss1 648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 0 ≤ 𝑗)
259	246, 248	ltnled 10466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑗))
260	258, 259	mpbird 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 < 0)
261	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
262	261	rpregt0d 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
263		mulltgt0 39672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 < 0) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑗 · 2) < 0)
264	246, 260, 262, 263	syl21anc 857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 · 2) < 0)
265	252, 264	eqbrtrd 4862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑗) < 0)
266	247, 248, 249, 265	ltadd1dd 10920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) < (0 + 1))
267		1cnd 10317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
268	267	addid2d 10519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (0 + 1) = 1)
269	266, 268	breqtrd 4866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) < 1)
270	247, 249	readdcld 10351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
271	270, 249	ltnled 10466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑗) + 1) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ ((2 · 𝑗) + 1)))
272	269, 271	mpbid 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ 1 ≤ ((2 · 𝑗) + 1))
273		nnge1 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑗) + 1))
274	272, 273	nsyl 137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
275	274	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
276		simpr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
277		simpl 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ)
278	276, 277	eqeltrd 2884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
279	278	adantll 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℕ)
280	275, 279	mtand 841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
281	280	neqned 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
282	241, 242, 243, 281	syl21anc 857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
283	240, 282	pm2.61dan 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 𝑛)
284	283	neneqd 2982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
285	284	ex 399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑗 ∈ ℤ → ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛))
286	232, 285	ralrimi 3144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ∀𝑗 ∈ ℤ ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
287		ralnex 3179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℤ ¬ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛 ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
288	286, 287	sylib 209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛)
289	189	nnzd 11743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 𝑛 ∈ ℤ)
290		odd2np1 15281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛))
291	289, 290	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑛))
292	288, 291	mtbird 316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑛)
293	292	notnotrd 130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 2 ∥ 𝑛)
294	189	nncnd 11318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 𝑛 ∈ ℂ)
295	294, 191	npcand 10678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
296	293, 295	breqtrrd 4868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → 2 ∥ ((𝑛 − 1) + 1))
297	193	nn0zd 11742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (𝑛 − 1) ∈ ℤ)
298		oddp1even 15284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑛 − 1) ↔ 2 ∥ ((𝑛 − 1) + 1)))
299	297, 298	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (¬ 2 ∥ (𝑛 − 1) ↔ 2 ∥ ((𝑛 − 1) + 1)))
300	296, 299	mpbird 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → ¬ 2 ∥ (𝑛 − 1))
301		oexpneg 15285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝑛 − 1)) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -(1↑(𝑛 − 1)))
302	191, 226, 300, 301	syl3anc 1483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -(1↑(𝑛 − 1)))
303		1exp 13108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑛 − 1)) = 1)
304	297, 303	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (1↑(𝑛 − 1)) = 1)
305	304	negeqd 10557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → -(1↑(𝑛 − 1)) = -1)
306	302, 305	eqtrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -1)
307	306	adantl 469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -1)
308	307	oveq1d 6886	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = (-1 · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
309	308	oveq1d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = ((-1 · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
310	201	mulm1d 10764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-1 · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = -((𝑇↑𝑛) / 𝑛))
311	310	oveq1d 6886	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1 · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = (-((𝑇↑𝑛) / 𝑛) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
312	201	negcld 10661	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → -((𝑇↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
313	312, 201	addcomd 10520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (-((𝑇↑𝑛) / 𝑛) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = (((𝑇↑𝑛) / 𝑛) + -((𝑇↑𝑛) / 𝑛)))
314	201	negidd 10664	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (((𝑇↑𝑛) / 𝑛) + -((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = 0)
315	311, 313, 314	3eqtrd 2843	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → ((-1 · ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) + ((𝑇↑𝑛) / 𝑛)) = 0)
316	205, 309, 315	3eqtrd 2843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran 𝐺)) → (𝐹‘𝑛) = 0)
317	117, 116	eqeltrd 2884	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
318	103	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇↑𝑗) / 𝑗))))
319		simpr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1))
320	319	oveq1d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (𝑗 − 1) = (((2 · 𝑘) + 1) − 1))
321	320	oveq2d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)))
322	319	oveq2d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (𝑇↑𝑗) = (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))
323	322, 319	oveq12d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → ((𝑇↑𝑗) / 𝑗) = ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
324	321, 323	oveq12d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) = ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
325	324, 323	oveq12d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) + ((𝑇↑𝑗) / 𝑗)) = (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
326	148	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
327		simpr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
328	326, 327	nn0mulcld 11618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
329		nn0p1nn 11594	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
330	328, 329	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
331	176	negcld 10661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
332	175, 176	pncand 10675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
333	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
334	333, 172	nn0mulcld 11618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
335	332, 334	eqeltrd 2884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) ∈ ℕ0)
336	331, 335	expcld 13227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) ∈ ℂ)
337	336	adantl 469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) ∈ ℂ)
338	14	adantr 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
339	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
340	328, 339	nn0addcld 11617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
341	338, 340	expcld 13227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
342		2cnd 11373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
343	174	adantl 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
344	342, 343	mulcld 10342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
345		1cnd 10317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
346	344, 345	addcld 10341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
347		0red 10325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
348	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
349	158	adantl 469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
350	348, 349	remulcld 10352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
351		1red 10323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
352		0le2 11390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 2
353	352	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 2)
354	327	nn0ge0d 11616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
355	348, 349, 353, 354	mulge0d 10886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (2 · 𝑘))
356		0lt1 10832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
357	356	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < 1)
358	350, 351, 355, 357	addgegt0d 10883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < ((2 · 𝑘) + 1))
359	347, 358	gtned 10454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
360	341, 346, 359	divcld 11083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
361	337, 360	mulcld 10342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
362	361, 360	addcld 10341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
363	318, 325, 330, 362	fvmptd 6506	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
364	332	adantl 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
365	364	oveq2d 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) = (-1↑(2 · 𝑘)))
366		nn0z 11662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
367		m1expeven 13126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑘)) = 1)
368	366, 367	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = 1)
369	368	adantl 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑘)) = 1)
370	365, 369	eqtrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) = 1)
371	370	oveq1d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (1 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
372	360	mulid2d 10340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
373	371, 372	eqtrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
374	373	oveq1d 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
375	360	2timesd 11538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
376	341, 346, 359	divrec2d 11087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1))))
377	376	oveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
378	374, 375, 377	3eqtr2d 2845	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((-1↑(((2 · 𝑘) + 1) − 1)) · ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) + ((𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
379	363, 378	eqtr2d 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))) = (𝐹‘((2 · 𝑘) + 1)))
380		stirlinglem5.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)))))
381	380	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1))))))
382		simpr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
383	382	oveq2d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
384	383	oveq1d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
385	384	oveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (1 / ((2 · 𝑗) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
386	384	oveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)) = (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))
387	385, 386	oveq12d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1))) = ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1))))
388	387	oveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑗) + 1)))) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
389	346, 359	reccld 11076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
390	389, 341	mulcld 10342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
391	342, 390	mulcld 10342	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))) ∈ ℂ)
392	381, 388, 327, 391	fvmptd 6506	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = (2 · ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝑇↑((2 · 𝑘) + 1)))))
393	208	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
394	334, 393	nn0addcld 11617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
395	168, 171, 172, 394	fvmptd 6506	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
396	395	adantl 469	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
397	396	fveq2d 6409	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝐺‘𝑘)) = (𝐹‘((2 · 𝑘) + 1)))
398	379, 392, 397	3eqtr4d 2849	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
399	145, 1, 146, 2, 155, 188, 316, 317, 398	isercoll2 14618	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐻) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))) ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇)))))
400	144, 399	mpbird 248	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
401	51, 13	resubcld 10740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
402	14	subidd 10662	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 − 𝑇) = 0)
403	402	eqcomd 2811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑇 − 𝑇))
404	13, 51, 13, 139	ltsub1dd 10921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 − 𝑇) < (1 − 𝑇))
405	403, 404	eqbrtrd 4862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝑇))
406	401, 405	elrpd 12079	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ+)
407	133, 406	relogdivd 24582	. 2 ⊢ (𝜑 → (log‘((1 + 𝑇) / (1 − 𝑇))) = ((log‘(1 + 𝑇)) − (log‘(1 − 𝑇))))
408	400, 407	breqtrrd 4868	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (log‘((1 + 𝑇) / (1 − 𝑇))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∨ wo 865   = wceq 1637   ∈ wcel 2158   ≠ wne 2977  ∀wral 3095  ∃wrex 3096  Vcvv 3390   ∖ cdif 3763   class class class wbr 4840   ↦ cmpt 4919  ran crn 5309   ∘ ccom 5312  ⟶wf 6094  ‘cfv 6098  (class class class)co 6871  ℂcc 10216  ℝcr 10217  0cc0 10218  1c1 10219   + caddc 10221   · cmul 10223  ℝ^*cxr 10355   < clt 10356   ≤ cle 10357   − cmin 10548  -cneg 10549   / cdiv 10966  ℕcn 11302  2c2 11352  ℕ₀cn0 11555  ℤcz 11639  ℤ_≥cuz 11900  ℝ⁺crp 12042  ...cfz 12545  seqcseq 13020  ↑cexp 13079  abscabs 14193   ⇝ cli 14434   ∥ cdvds 15199  ∞Metcxmt 19935  ballcbl 19937  logclog 24511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-inf2 8782  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295  ax-pre-sup 10296  ax-addf 10297  ax-mulf 10298

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-se 5268  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-isom 6107  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-of 7124  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-supp 7527  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-1o 7793  df-2o 7794  df-oadd 7797  df-er 7976  df-map 8091  df-pm 8092  df-ixp 8143  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-fin 8193  df-fsupp 8512  df-fi 8553  df-sup 8584  df-inf 8585  df-oi 8651  df-card 9045  df-cda 9272  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-div 10967  df-nn 11303  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-xnn0 11626  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-mod 12889  df-seq 13021  df-exp 13080  df-fac 13277  df-bc 13306  df-hash 13334  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15014  df-sin 15016  df-cos 15017  df-tan 15018  df-pi 15019  df-dvds 15200  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17947  df-cmn 18392  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-fbas 19947  df-fg 19948  df-cnfld 19951  df-top 20908  df-topon 20925  df-topsp 20947  df-bases 20960  df-cld 21033  df-ntr 21034  df-cls 21035  df-nei 21112  df-lp 21150  df-perf 21151  df-cn 21241  df-cnp 21242  df-haus 21329  df-cmp 21400  df-tx 21575  df-hmeo 21768  df-fil 21859  df-fm 21951  df-flim 21952  df-flf 21953  df-xms 22334  df-ms 22335  df-tms 22336  df-cncf 22890  df-limc 23840  df-dv 23841  df-ulm 24341  df-log 24513

This theorem is referenced by:  stirlinglem6  40772