MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdiv23d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv23d 12143
Description: Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltdiv23d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltdiv23d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
ltdiv23d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
ltdiv23d.4 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) < 𝐶)
Assertion
Ref Expression
ltdiv23d (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) < 𝐵)

Proof of Theorem ltdiv23d
StepHypRef Expression
1 ltdiv23d.4 . 2 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) < 𝐶)
2 ltdiv23d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltdiv23d.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
43rpregt0d 12082 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5 ltdiv23d.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
65rpregt0d 12082 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
7 ltdiv23 11117 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
82, 4, 6, 7syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
91, 8mpbid 222 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2145   class class class wbr 4787  (class class class)co 6794  cr 10138  0cc0 10139   < clt 10277   / cdiv 10887  +crp 12036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-rp 12037
This theorem is referenced by:  pntpbnd1a  25496  pntlemc  25506  smcnlem  27893  binomcxplemnotnn0  39082  0ellimcdiv  40400  sinaover2ne0  40598  fourierdlem30  40872
  Copyright terms: Public domain W3C validator