MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumiflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumiflem1 27421
Description: Lemma for dchrvmasumif 27423. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasumif.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
dchrvmasumif.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.s (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrvmasumif.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
dchrvmasumif.g 𝐾 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))
dchrvmasumif.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.t (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
dchrvmasumif.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumiflem1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦, 1   π‘₯,𝑑,𝑦,𝐢   π‘˜,𝑑,𝐹,π‘₯,𝑦   π‘Ž,𝑑,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝐸,𝑑,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝐾,𝑦   π‘˜,𝑁,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑑,π‘˜,π‘₯   𝑇,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑑,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑦   𝐷,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝐿,π‘Ž,𝑑,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑑,π‘˜,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐢(π‘˜,π‘Ž)   𝐷(π‘Ž,𝑑)   𝑆(π‘Ž)   𝑇(π‘˜,π‘Ž)   1 (π‘Ž,𝑑)   𝐸(π‘˜,π‘Ž)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘˜,π‘Ž,𝑑)   𝐾(π‘₯,π‘Ž,𝑑)   𝑁(π‘Ž,𝑑)   𝑍(π‘Ž,𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumiflem1
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . 2 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 rpvmasum.l . 2 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
3 rpvmasum.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 rpvmasum.g . 2 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 rpvmasum.d . 2 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
6 rpvmasum.1 . 2 1 = (0gβ€˜πΊ)
7 dchrisum.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
8 dchrisum.n1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
9 fzfid 13962 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) ∈ Fin)
10 simpl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ πœ‘)
11 elfznn 13554 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
127adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
13 nnz 12601 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„€)
1413adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
154, 1, 5, 2, 12, 14dchrzrhcl 27165 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
1610, 11, 15syl2an 595 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
17 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
1811nnrpd 13038 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
19 ifcl 4569 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ ℝ+) β†’ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ∈ ℝ+)
2017, 18, 19syl2an 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ∈ ℝ+)
2120relogcld 26544 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) ∈ ℝ)
2211adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2321, 22nndivred 12288 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜) ∈ ℝ)
2423recnd 11264 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜) ∈ β„‚)
2516, 24mulcld 11256 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
269, 25fsumcl 15703 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
27 fveq2 6891 . . . 4 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (βŒŠβ€˜π‘š) = (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))
2827oveq2d 7430 . . 3 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) = (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))))
29 ifeq1 4528 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) = if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜))
3029fveq2d 6895 . . . . . 6 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) = (logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)))
3130oveq1d 7429 . . . . 5 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜) = ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜))
3231oveq2d 7430 . . . 4 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)))
3332adantr 480 . . 3 ((π‘š = (π‘₯ / 𝑑) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)))
3428, 33sumeq12rdv 15677 . 2 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)))
35 dchrvmasumif.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
36 dchrvmasumif.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
3735, 36ifcld 4570 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝑆 = 0, 𝐢, 𝐸) ∈ (0[,)+∞))
38 0cn 11228 . . 3 0 ∈ β„‚
39 dchrvmasumif.t . . . 4 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
40 climcl 15467 . . . 4 (seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇 β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
4139, 40syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
42 ifcl 4569 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) β†’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ β„‚)
4338, 41, 42sylancr 586 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ β„‚)
44 nnuz 12887 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
45 1zzd 12615 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
46 nncn 12242 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
48 nnne0 12268 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ β‰  0)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ β‰  0)
5015, 47, 49divcld 12012 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜) ∈ β„‚)
51 dchrvmasumif.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
52 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)))
53 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = π‘˜ β†’ π‘Ž = π‘˜)
5452, 53oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜))
5554cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜))
5651, 55eqtri 2755 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜))
5750, 56fmptd 7118 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
58 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:β„•βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5957, 58sylan 579 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6044, 45, 59serf 14019 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„‚)
6160ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„‚)
62 3re 12314 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
63 elicopnf 13446 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℝ β†’ (π‘š ∈ (3[,)+∞) ↔ (π‘š ∈ ℝ ∧ 3 ≀ π‘š)))
6462, 63mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ (3[,)+∞) ↔ (π‘š ∈ ℝ ∧ 3 ≀ π‘š)))
6564simprbda 498 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
66 1red 11237 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
6762a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ 3 ∈ ℝ)
68 1le3 12446 . . . . . . . . . . 11 1 ≀ 3
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ 1 ≀ 3)
7064simplbda 499 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ 3 ≀ π‘š)
7166, 67, 65, 69, 70letrd 11393 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ 1 ≀ π‘š)
72 flge1nn 13810 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘š) β†’ (βŒŠβ€˜π‘š) ∈ β„•)
7365, 71, 72syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘š) ∈ β„•)
7473adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (βŒŠβ€˜π‘š) ∈ β„•)
7561, 74ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
7675abscld 15407 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (absβ€˜(seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š))) ∈ ℝ)
77 simpl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ πœ‘)
78 0red 11239 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ 0 ∈ ℝ)
79 3pos 12339 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
8079a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ 0 < 3)
8178, 67, 65, 80, 70ltletrd 11396 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ 0 < π‘š)
8265, 81elrpd 13037 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
8377, 82jca 511 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+))
84 elrege0 13455 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢))
8584simplbi 497 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
8635, 85syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
87 rerpdivcl 13028 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (𝐢 / π‘š) ∈ ℝ)
8886, 87sylan 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (𝐢 / π‘š) ∈ ℝ)
8983, 88syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (𝐢 / π‘š) ∈ ℝ)
9089adantr 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (𝐢 / π‘š) ∈ ℝ)
9182relogcld 26544 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
9265, 71logge0d 26551 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (logβ€˜π‘š))
9391, 92jca 511 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (logβ€˜π‘š)))
9493adantr 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ ((logβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (logβ€˜π‘š)))
95 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (𝑆 = 0 β†’ ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 𝑆) = ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 0))
9660adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„‚)
9796, 73ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
9897subid1d 11582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 0) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))
9995, 98sylan9eqr 2789 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 𝑆) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))
10099fveq2d 6895 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 𝑆)) = (absβ€˜(seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š))))
101 2fveq3 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘š β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))
102101fvoveq1d 7436 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘š β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) = (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 𝑆)))
103 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘š β†’ (𝐢 / 𝑦) = (𝐢 / π‘š))
104102, 103breq12d 5155 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘š β†’ ((absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / 𝑦) ↔ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / π‘š)))
105 dchrvmasumif.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
106105adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
107 1re 11236 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
108 elicopnf 13446 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ β†’ (π‘š ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘š ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘š)))
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘š ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘š))
11065, 71, 109sylanbrc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ π‘š ∈ (1[,)+∞))
111104, 106, 110rspcdva 3608 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / π‘š))
112111adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / π‘š))
113100, 112eqbrtrrd 5166 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (absβ€˜(seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š))) ≀ (𝐢 / π‘š))
114 lemul2a 12091 . . . . 5 ((((absβ€˜(seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š))) ∈ ℝ ∧ (𝐢 / π‘š) ∈ ℝ ∧ ((logβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (logβ€˜π‘š))) ∧ (absβ€˜(seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š))) ≀ (𝐢 / π‘š)) β†’ ((logβ€˜π‘š) Β· (absβ€˜(seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))) ≀ ((logβ€˜π‘š) Β· (𝐢 / π‘š)))
11576, 90, 94, 113, 114syl31anc 1371 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ ((logβ€˜π‘š) Β· (absβ€˜(seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))) ≀ ((logβ€˜π‘š) Β· (𝐢 / π‘š)))
116 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 = 0 β†’ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) = π‘š)
117116fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 = 0 β†’ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) = (logβ€˜π‘š))
118117oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = 0 β†’ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜) = ((logβ€˜π‘š) / π‘˜))
119118ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜) = ((logβ€˜π‘š) / π‘˜))
120119oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘˜)))
12116adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
122 relogcl 26496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
123122adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
124123recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
125124ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ (logβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
12611adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
127126nncnd 12250 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
128126nnne0d 12284 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ π‘˜ β‰  0)
129121, 125, 127, 128div12d 12048 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘˜)) = ((logβ€˜π‘š) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜)))
130120, 129eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) = ((logβ€˜π‘š) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜)))
131130sumeq2dv 15673 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((logβ€˜π‘š) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜)))
132 iftrue 4530 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 = 0 β†’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) = 0)
133132oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = 0 β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ 0))
13426subid1d 11582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ 0) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)))
135133, 134sylan9eqr 2789 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)))
136 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜) ∈ V
13754, 51, 136fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜))
13822, 137syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜))
13957adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
140139, 11, 58syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
141138, 140eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜) ∈ β„‚)
1429, 124, 141fsummulc2 15754 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘š) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((logβ€˜π‘š) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜)))
143142adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) β†’ ((logβ€˜π‘š) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((logβ€˜π‘š) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜)))
144131, 135, 1433eqtr4d 2777 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) = ((logβ€˜π‘š) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜)))
14583, 144sylan 579 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) = ((logβ€˜π‘š) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜)))
14683, 138sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜))
14773, 44eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘š) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
14877, 11, 50syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜) ∈ β„‚)
149146, 147, 148fsumser 15700 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))
150149adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))
151150oveq2d 7430 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ ((logβ€˜π‘š) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) / π‘˜)) = ((logβ€˜π‘š) Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š))))
152145, 151eqtrd 2767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) = ((logβ€˜π‘š) Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š))))
153152fveq2d 6895 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = (absβ€˜((logβ€˜π‘š) Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))))
154122ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (logβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
155154recnd 11264 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (logβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
15683, 155sylan 579 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (logβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
157156, 75absmuld 15425 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (absβ€˜((logβ€˜π‘š) Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))) = ((absβ€˜(logβ€˜π‘š)) Β· (absβ€˜(seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))))
15891, 92absidd 15393 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (absβ€˜(logβ€˜π‘š)) = (logβ€˜π‘š))
159158oveq1d 7429 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ ((absβ€˜(logβ€˜π‘š)) Β· (absβ€˜(seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))) = ((logβ€˜π‘š) Β· (absβ€˜(seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))))
160159adantr 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ ((absβ€˜(logβ€˜π‘š)) Β· (absβ€˜(seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))) = ((logβ€˜π‘š) Β· (absβ€˜(seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))))
161153, 157, 1603eqtrd 2771 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = ((logβ€˜π‘š) Β· (absβ€˜(seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))))
162 iftrue 4530 . . . . . . . 8 (𝑆 = 0 β†’ if(𝑆 = 0, 𝐢, 𝐸) = 𝐢)
163162adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) β†’ if(𝑆 = 0, 𝐢, 𝐸) = 𝐢)
164163oveq1d 7429 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (if(𝑆 = 0, 𝐢, 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) = (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
16586recnd 11264 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
166165ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
167 rpcnne0 13016 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ ℝ+ β†’ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))
168167ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))
169 div12 11916 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0)) β†’ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) = ((logβ€˜π‘š) Β· (𝐢 / π‘š)))
170166, 155, 168, 169syl3anc 1369 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) = ((logβ€˜π‘š) Β· (𝐢 / π‘š)))
171164, 170eqtrd 2767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (if(𝑆 = 0, 𝐢, 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) = ((logβ€˜π‘š) Β· (𝐢 / π‘š)))
17283, 171sylan 579 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (if(𝑆 = 0, 𝐢, 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) = ((logβ€˜π‘š) Β· (𝐢 / π‘š)))
173115, 161, 1723brtr4d 5174 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 = 0) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) ≀ (if(𝑆 = 0, 𝐢, 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
174 dchrvmasumif.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)))
175 2fveq3 6896 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘š β†’ (seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) = (seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))
176175fvoveq1d 7436 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘š β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) = (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 𝑇)))
177 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘š β†’ (logβ€˜π‘¦) = (logβ€˜π‘š))
178 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘š β†’ 𝑦 = π‘š)
179177, 178oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘š β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦) = ((logβ€˜π‘š) / π‘š))
180179oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘š β†’ (𝐸 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)) = (𝐸 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
181176, 180breq12d 5155 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘š β†’ ((absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ↔ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))))
182181rspccva 3606 . . . . . 6 ((βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
183174, 182sylan 579 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
184183adantr 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
185 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (logβ€˜π‘Ž) = (logβ€˜π‘˜))
186185, 53oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž) = ((logβ€˜π‘˜) / π‘˜))
18752, 186oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜π‘˜) / π‘˜)))
188 dchrvmasumif.g . . . . . . . . . 10 𝐾 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))
189 ovex 7447 . . . . . . . . . 10 ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜π‘˜) / π‘˜)) ∈ V
190187, 188, 189fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΎβ€˜π‘˜) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜π‘˜) / π‘˜)))
19111, 190syl 17 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) β†’ (πΎβ€˜π‘˜) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜π‘˜) / π‘˜)))
192 ifnefalse 4536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 β‰  0 β†’ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) = π‘˜)
193192fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 β‰  0 β†’ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) = (logβ€˜π‘˜))
194193oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 β‰  0 β†’ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜) = ((logβ€˜π‘˜) / π‘˜))
195194oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝑆 β‰  0 β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜π‘˜) / π‘˜)))
196195adantl 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜π‘˜) / π‘˜)))
197196eqcomd 2733 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜π‘˜) / π‘˜)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)))
198191, 197sylan9eqr 2789 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ (πΎβ€˜π‘˜) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)))
199147adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (βŒŠβ€˜π‘š) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
200 nnrp 13009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
201200adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
202201relogcld 26544 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
203202recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
204203, 47, 49divcld 12012 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((logβ€˜π‘˜) / π‘˜) ∈ β„‚)
20515, 204mulcld 11256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜π‘˜) / π‘˜)) ∈ β„‚)
206187cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜π‘˜) / π‘˜)))
207188, 206eqtri 2755 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜π‘˜) / π‘˜)))
208205, 207fmptd 7118 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆβ„‚)
209208ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ 𝐾:β„•βŸΆβ„‚)
210 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . 9 ((𝐾:β„•βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
211209, 11, 210syl2an 595 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ (πΎβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
212198, 211eqeltrrd 2829 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
213198, 199, 212fsumser 15700 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) = (seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))
214 ifnefalse 4536 . . . . . . 7 (𝑆 β‰  0 β†’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) = 𝑇)
215214adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) = 𝑇)
216213, 215oveq12d 7432 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) = ((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 𝑇))
217216fveq2d 6895 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) βˆ’ 𝑇)))
218 ifnefalse 4536 . . . . . 6 (𝑆 β‰  0 β†’ if(𝑆 = 0, 𝐢, 𝐸) = 𝐸)
219218adantl 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ if(𝑆 = 0, 𝐢, 𝐸) = 𝐸)
220219oveq1d 7429 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (if(𝑆 = 0, 𝐢, 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) = (𝐸 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
221184, 217, 2203brtr4d 5174 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) ≀ (if(𝑆 = 0, 𝐢, 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
222173, 221pm2.61dane 3024 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) ≀ (if(𝑆 = 0, 𝐢, 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
223 fzfid 13962 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...2) ∈ Fin)
2247adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
225 elfzelz 13525 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (1...2) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
226225adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
2274, 1, 5, 2, 224, 226dchrzrhcl 27165 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
228227abscld 15407 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
229 3rp 13004 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ+
230 relogcl 26496 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜3) ∈ ℝ)
231229, 230ax-mp 5 . . . . . 6 (logβ€˜3) ∈ ℝ
232 elfznn 13554 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...2) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
233232adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
234 nndivre 12275 . . . . . 6 (((logβ€˜3) ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((logβ€˜3) / π‘˜) ∈ ℝ)
235231, 233, 234sylancr 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ ((logβ€˜3) / π‘˜) ∈ ℝ)
236228, 235remulcld 11266 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)) ∈ ℝ)
237223, 236fsumrecl 15704 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)) ∈ ℝ)
23843abscld 15407 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) ∈ ℝ)
239237, 238readdcld 11265 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)) + (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) ∈ ℝ)
240 simpl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ πœ‘)
24162rexri 11294 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ*
242 elico2 13412 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ*) β†’ (π‘š ∈ (1[,)3) ↔ (π‘š ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘š ∧ π‘š < 3)))
243107, 241, 242mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (1[,)3) ↔ (π‘š ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘š ∧ π‘š < 3))
244243simp1bi 1143 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ π‘š ∈ ℝ)
245244adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
246 0red 11239 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ 0 ∈ ℝ)
247 1red 11237 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ 1 ∈ ℝ)
248 0lt1 11758 . . . . . . . . . 10 0 < 1
249248a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ 0 < 1)
250243simp2bi 1144 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ 1 ≀ π‘š)
251250adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ 1 ≀ π‘š)
252246, 247, 245, 249, 251ltletrd 11396 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ 0 < π‘š)
253245, 252elrpd 13037 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
254240, 253jca 511 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+))
25543adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ β„‚)
25626, 255subcld 11593 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) ∈ β„‚)
257254, 256syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) ∈ β„‚)
258257abscld 15407 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) ∈ ℝ)
259254, 26syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
260259abscld 15407 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ∈ ℝ)
261238adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) ∈ ℝ)
262260, 261readdcld 11265 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) + (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) ∈ ℝ)
263237adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)) ∈ ℝ)
264263, 261readdcld 11265 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)) + (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) ∈ ℝ)
26526, 255abs2dif2d 15429 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) ≀ ((absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) + (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
266254, 265syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) ≀ ((absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) + (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
26725abscld 15407 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ∈ ℝ)
2689, 267fsumrecl 15704 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))(absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ∈ ℝ)
269254, 268syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))(absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ∈ ℝ)
2709, 25fsumabs 15771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))(absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))))
271254, 270syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))(absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))))
272 fzfid 13962 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (1...2) ∈ Fin)
273227adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
27417adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
275232adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
276275nnrpd 13038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
277274, 276ifcld 4570 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ∈ ℝ+)
278277relogcld 26544 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) ∈ ℝ)
279278, 275nndivred 12288 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜) ∈ ℝ)
280279recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜) ∈ β„‚)
281273, 280mulcld 11256 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
282281abscld 15407 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ∈ ℝ)
283272, 282fsumrecl 15704 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)(absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ∈ ℝ)
284254, 283syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)(absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ∈ ℝ)
285 fzfid 13962 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (1...2) ∈ Fin)
286254, 281sylan 579 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
287286abscld 15407 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ∈ ℝ)
288286absge0d 15415 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))))
289245flcld 13787 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘š) ∈ β„€)
290 2z 12616 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„€
291290a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ 2 ∈ β„€)
292243simp3bi 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ π‘š < 3)
293292adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ π‘š < 3)
294 3z 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ β„€
295 fllt 13795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„€) β†’ (π‘š < 3 ↔ (βŒŠβ€˜π‘š) < 3))
296245, 294, 295sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (π‘š < 3 ↔ (βŒŠβ€˜π‘š) < 3))
297293, 296mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘š) < 3)
298 df-3 12298 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
299297, 298breqtrdi 5183 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘š) < (2 + 1))
300 rpre 13006 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ ℝ+ β†’ π‘š ∈ ℝ)
301300adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ π‘š ∈ ℝ)
302301flcld 13787 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜π‘š) ∈ β„€)
303 zleltp1 12635 . . . . . . . . . . . . 13 (((βŒŠβ€˜π‘š) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘š) ≀ 2 ↔ (βŒŠβ€˜π‘š) < (2 + 1)))
304302, 290, 303sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘š) ≀ 2 ↔ (βŒŠβ€˜π‘š) < (2 + 1)))
305254, 304syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘š) ≀ 2 ↔ (βŒŠβ€˜π‘š) < (2 + 1)))
306299, 305mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘š) ≀ 2)
307 eluz2 12850 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) ↔ ((βŒŠβ€˜π‘š) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (βŒŠβ€˜π‘š) ≀ 2))
308289, 291, 306, 307syl3anbrc 1341 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))
309 fzss2 13565 . . . . . . . . 9 (2 ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) βŠ† (1...2))
310308, 309syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) βŠ† (1...2))
311285, 287, 288, 310fsumless 15766 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))(absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)(absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))))
312236adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)) ∈ ℝ)
313273, 280absmuld 15425 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· (absβ€˜((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))))
314254, 313sylan 579 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· (absβ€˜((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))))
315254, 279sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜) ∈ ℝ)
316254, 278sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) ∈ ℝ)
317 log1 26506 . . . . . . . . . . . . . 14 (logβ€˜1) = 0
318 elfzle1 13528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (1...2) β†’ 1 ≀ π‘˜)
319 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š = if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) β†’ (1 ≀ π‘š ↔ 1 ≀ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)))
320 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) β†’ (1 ≀ π‘˜ ↔ 1 ≀ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)))
321319, 320ifboth 4563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ≀ π‘š ∧ 1 ≀ π‘˜) β†’ 1 ≀ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜))
322251, 318, 321syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ 1 ≀ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜))
323 1rp 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ+
324 logleb 26524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ+ ∧ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ (1 ≀ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜))))
325323, 277, 324sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (1 ≀ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜))))
326254, 325sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (1 ≀ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜))))
327322, 326mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)))
328317, 327eqbrtrrid 5178 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ 0 ≀ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)))
329276rpregt0d 13046 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
330254, 329sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
331 divge0 12105 . . . . . . . . . . . . 13 ((((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜))) ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))
332316, 328, 330, 331syl21anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))
333315, 332absidd 15393 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (absβ€˜((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) = ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))
334333, 315eqeltrd 2828 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (absβ€˜((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) ∈ ℝ)
335235adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ ((logβ€˜3) / π‘˜) ∈ ℝ)
336228adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
337273absge0d 15415 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))))
338336, 337jca 511 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)))))
339254, 338sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)))))
340292ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ π‘š < 3)
341275nnred 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
342 2re 12308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
343342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ 2 ∈ ℝ)
34462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ 3 ∈ ℝ)
345 elfzle2 13529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (1...2) β†’ π‘˜ ≀ 2)
346345adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ π‘˜ ≀ 2)
347 2lt3 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 < 3
348347a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ 2 < 3)
349341, 343, 344, 346, 348lelttrd 11394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ π‘˜ < 3)
350254, 349sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ π‘˜ < 3)
351 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š = if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) β†’ (π‘š < 3 ↔ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) < 3))
352 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) β†’ (π‘˜ < 3 ↔ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) < 3))
353351, 352ifboth 4563 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š < 3 ∧ π‘˜ < 3) β†’ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) < 3)
354340, 350, 353syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) < 3)
355277rpred 13040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ∈ ℝ)
356 ltle 11324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) β†’ (if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) < 3 β†’ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ≀ 3))
357355, 62, 356sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) < 3 β†’ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ≀ 3))
358254, 357sylan 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) < 3 β†’ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ≀ 3))
359354, 358mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ≀ 3)
360 logleb 26524 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) β†’ (if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ≀ 3 ↔ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) ≀ (logβ€˜3)))
361277, 229, 360sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ≀ 3 ↔ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) ≀ (logβ€˜3)))
362254, 361sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜) ≀ 3 ↔ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) ≀ (logβ€˜3)))
363359, 362mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) ≀ (logβ€˜3))
364231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (logβ€˜3) ∈ ℝ)
365278, 364, 276lediv1d 13086 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) ≀ (logβ€˜3) ↔ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜) ≀ ((logβ€˜3) / π‘˜)))
366254, 365sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) ≀ (logβ€˜3) ↔ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜) ≀ ((logβ€˜3) / π‘˜)))
367363, 366mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜) ≀ ((logβ€˜3) / π‘˜))
368333, 367eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (absβ€˜((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) ≀ ((logβ€˜3) / π‘˜))
369 lemul2a 12091 . . . . . . . . . 10 ((((absβ€˜((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) ∈ ℝ ∧ ((logβ€˜3) / π‘˜) ∈ ℝ ∧ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))))) ∧ (absβ€˜((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) ≀ ((logβ€˜3) / π‘˜)) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· (absβ€˜((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ≀ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)))
370334, 335, 339, 368, 369syl31anc 1371 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· (absβ€˜((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ≀ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)))
371314, 370eqbrtrd 5164 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) ∧ π‘˜ ∈ (1...2)) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ≀ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)))
372285, 287, 312, 371fsumle 15769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)(absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)))
373269, 284, 263, 311, 372letrd 11393 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))(absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)))
374260, 269, 263, 271, 373letrd 11393 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)))
37526abscld 15407 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ∈ ℝ)
376237adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)) ∈ ℝ)
377255abscld 15407 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) ∈ ℝ)
378375, 376, 377leadd1d 11830 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)) ↔ ((absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) + (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) ≀ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)) + (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))))
379254, 378syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)) ↔ ((absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) + (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) ≀ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)) + (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))))
380374, 379mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜))) + (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) ≀ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)) + (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
381258, 262, 264, 266, 380letrd 11393 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) ≀ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)) + (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
382381ralrimiva 3141 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ (1[,)3)(absβ€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, π‘š, π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) ≀ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) Β· ((logβ€˜3) / π‘˜)) + (absβ€˜if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
3831, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 26, 34, 37, 43, 222, 239, 382dchrvmasumlem3 27419 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056   βŠ† wss 3944  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  +∞cpnf 11267  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  β„•cn 12234  2c2 12289  3c3 12290  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  β„+crp 12998  [,)cico 13350  ...cfz 13508  βŒŠcfl 13779  seqcseq 13990  abscabs 15205   ⇝ cli 15452  π‘‚(1)co1 15454  Ξ£csu 15656  Basecbs 17171  0gc0g 17412  β„€RHomczrh 21412  β„€/nβ„€czn 21415  logclog 26475  ΞΌcmu 27014  DChrcdchr 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-o1 15458  df-lo1 15459  df-sum 15657  df-ef 16035  df-e 16036  df-sin 16037  df-cos 16038  df-tan 16039  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-prm 16634  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-qus 17482  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-od 19474  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rsp 21094  df-2idl 21133  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zrh 21416  df-zn 21419  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-ulm 26300  df-log 26477  df-cxp 26478  df-atan 26786  df-em 26912  df-mu 27020  df-dchr 27153
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  27422
  Copyright terms: Public domain W3C validator