Theorem dchrisum0lem1a 27557

Description: Lemma for dchrisum0lem1 27587. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem1a	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∧ (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑋))))

Proof of Theorem dchrisum0lem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13568	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) → 𝐷 ∈ ℕ)
2	1	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℕ)
3	2	nnred 12235	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℝ)
4		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
5	4	rpregt0d 13053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋))
6	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋))
7	6	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
8	4	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ+)
9	8	rpge0d 13051	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 0 ≤ 𝑋)
10	4	rpred 13047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
11		fznnfl 13882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ≤ 𝑋)))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ≤ 𝑋)))
13	12	simplbda 503	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ≤ 𝑋)
14	3, 7, 7, 9, 13	lemul2ad 12142	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋 · 𝑋))
15		rpcn 13014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℂ)
16	15	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
17	16	sqvald 14166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
18	17	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
19	14, 18	breqtrrd 5129	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋↑2))
20		2z 12613	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
21		rpexpcl 14103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑋↑2) ∈ ℝ+)
22	4, 20, 21	sylancl 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) ∈ ℝ+)
23	22	rpred 13047	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
24	23	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
25	2	nnrpd 13045	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℝ+)
26	7, 24, 25	lemuldivd 13096	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋↑2) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷)))
27	19, 26	mpbid 234	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷))
28		nndivre 12264	. . . 4 ⊢ (((𝑋↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ)
29	23, 1, 28	syl2an 605	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ)
30		flword2 13833	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷)) → (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑋)))
31	7, 29, 27, 30	syl3anc 1392	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑋)))
32	27, 31	jca 519	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∧ (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11082  ℝcr 11083  0cc0 11084  1c1 11085   · cmul 11089   < clt 11227   ≤ cle 11228   / cdiv 11855  ℕcn 12220  2c2 12282  ℤcz 12578  ℤ_≥cuz 12849  ℝ⁺crp 13003  ...cfz 13522  ⌊cfl 13810  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-rp 13004  df-fz 13523  df-fl 13812  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem1b  27586  dchrisum0lem1  27587