Theorem dchrisum0lem1a 27458

Description: Lemma for dchrisum0lem1 27488. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem1a	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∧ (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑋))))

Proof of Theorem dchrisum0lem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13474	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) → 𝐷 ∈ ℕ)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℕ)
3	2	nnred 12165	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℝ)
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
5	4	rpregt0d 12960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋))
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋))
7	6	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
8	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ+)
9	8	rpge0d 12958	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 0 ≤ 𝑋)
10	4	rpred 12954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
11		fznnfl 13787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ≤ 𝑋)))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ≤ 𝑋)))
13	12	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ≤ 𝑋)
14	3, 7, 7, 9, 13	lemul2ad 12087	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋 · 𝑋))
15		rpcn 12921	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℂ)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
17	16	sqvald 14071	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
19	14, 18	breqtrrd 5127	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋↑2))
20		2z 12528	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
21		rpexpcl 14008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑋↑2) ∈ ℝ+)
22	4, 20, 21	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) ∈ ℝ+)
23	22	rpred 12954	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
25	2	nnrpd 12952	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℝ+)
26	7, 24, 25	lemuldivd 13003	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋↑2) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷)))
27	19, 26	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷))
28		nndivre 12191	. . . 4 ⊢ (((𝑋↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ)
29	23, 1, 28	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ)
30		flword2 13738	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷)) → (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑋)))
31	7, 29, 27, 30	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑋)))
32	27, 31	jca 511	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∧ (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11029  ℝcr 11030  0cc0 11031  1c1 11032   · cmul 11036   < clt 11171   ≤ cle 11172   / cdiv 11799  ℕcn 12150  2c2 12205  ℤcz 12493  ℤ_≥cuz 12756  ℝ⁺crp 12910  ...cfz 13428  ⌊cfl 13715  ↑cexp 13989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-rp 12911  df-fz 13429  df-fl 13717  df-seq 13930  df-exp 13990

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem1b  27487  dchrisum0lem1  27488