MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem1a 25744
Description: Lemma for dchrisum0lem1 25774. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem1a (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∧ (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑋))))

Proof of Theorem dchrisum0lem1a
StepHypRef Expression
1 elfznn 12786 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) → 𝐷 ∈ ℕ)
21adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℕ)
32nnred 11501 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℝ)
4 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
54rpregt0d 12287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋))
65adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋))
76simpld 495 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
84adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ+)
98rpge0d 12285 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 0 ≤ 𝑋)
104rpred 12281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
11 fznnfl 13080 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ → (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑋)))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑋)))
1312simplbda 500 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷𝑋)
143, 7, 7, 9, 13lemul2ad 11428 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋 · 𝑋))
15 rpcn 12249 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℂ)
1615adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
1716sqvald 13357 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
1817adantr 481 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
1914, 18breqtrrd 4990 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋↑2))
20 2z 11863 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
21 rpexpcl 13298 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑋↑2) ∈ ℝ+)
224, 20, 21sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) ∈ ℝ+)
2322rpred 12281 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
2423adantr 481 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
252nnrpd 12279 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℝ+)
267, 24, 25lemuldivd 12330 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋↑2) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷)))
2719, 26mpbid 233 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷))
28 nndivre 11526 . . . 4 (((𝑋↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ)
2923, 1, 28syl2an 595 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ)
30 flword2 13033 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷)) → (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑋)))
317, 29, 27, 30syl3anc 1364 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑋)))
3227, 31jca 512 1 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∧ (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   · cmul 10388   < clt 10521  cle 10522   / cdiv 11145  cn 11486  2c2 11540  cz 11829  cuz 12093  +crp 12239  ...cfz 12742  cfl 13010  cexp 13279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem1b  25773  dchrisum0lem1  25774
  Copyright terms: Public domain W3C validator