MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem1a 26850
Description: Lemma for dchrisum0lem1 26880. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem1a (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ โ‰ค ((๐‘‹โ†‘2) / ๐ท) โˆง (โŒŠโ€˜((๐‘‹โ†‘2) / ๐ท)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜๐‘‹))))

Proof of Theorem dchrisum0lem1a
StepHypRef Expression
1 elfznn 13477 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
21adantl 483 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
32nnred 12175 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
4 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
54rpregt0d 12970 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘‹))
65adantr 482 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘‹))
76simpld 496 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
84adantr 482 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
98rpge0d 12968 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘‹)
104rpred 12964 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
11 fznnfl 13774 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ†” (๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹)))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ†” (๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹)))
1312simplbda 501 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘‹)
143, 7, 7, 9, 13lemul2ad 12102 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐ท) โ‰ค (๐‘‹ ยท ๐‘‹))
15 rpcn 12932 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
1615adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
1716sqvald 14055 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) = (๐‘‹ ยท ๐‘‹))
1817adantr 482 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) = (๐‘‹ ยท ๐‘‹))
1914, 18breqtrrd 5138 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐ท) โ‰ค (๐‘‹โ†‘2))
20 2z 12542 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
21 rpexpcl 13993 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„+)
224, 20, 21sylancl 587 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„+)
2322rpred 12964 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„)
2423adantr 482 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„)
252nnrpd 12962 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
267, 24, 25lemuldivd 13013 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐ท) โ‰ค (๐‘‹โ†‘2) โ†” ๐‘‹ โ‰ค ((๐‘‹โ†‘2) / ๐ท)))
2719, 26mpbid 231 . 2 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ((๐‘‹โ†‘2) / ๐ท))
28 nndivre 12201 . . . 4 (((๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) / ๐ท) โˆˆ โ„)
2923, 1, 28syl2an 597 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) / ๐ท) โˆˆ โ„)
30 flword2 13725 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘‹โ†‘2) / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ((๐‘‹โ†‘2) / ๐ท)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘‹โ†‘2) / ๐ท)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜๐‘‹)))
317, 29, 27, 30syl3anc 1372 . 2 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘‹โ†‘2) / ๐ท)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜๐‘‹)))
3227, 31jca 513 1 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„+) โˆง ๐ท โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ โ‰ค ((๐‘‹โ†‘2) / ๐ท) โˆง (โŒŠโ€˜((๐‘‹โ†‘2) / ๐ท)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜๐‘‹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  ...cfz 13431  โŒŠcfl 13702  โ†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem1b  26879  dchrisum0lem1  26880
  Copyright terms: Public domain W3C validator