Theorem dchrisum0lem1a 26539

Description: Lemma for dchrisum0lem1 26569. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem1a	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∧ (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑋))))

Proof of Theorem dchrisum0lem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13214	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) → 𝐷 ∈ ℕ)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℕ)
3	2	nnred 11918	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℝ)
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
5	4	rpregt0d 12707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋))
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋))
7	6	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
8	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ+)
9	8	rpge0d 12705	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 0 ≤ 𝑋)
10	4	rpred 12701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
11		fznnfl 13510	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ≤ 𝑋)))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ≤ 𝑋)))
13	12	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ≤ 𝑋)
14	3, 7, 7, 9, 13	lemul2ad 11845	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋 · 𝑋))
15		rpcn 12669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℂ)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
17	16	sqvald 13789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
19	14, 18	breqtrrd 5098	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋↑2))
20		2z 12282	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
21		rpexpcl 13729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑋↑2) ∈ ℝ+)
22	4, 20, 21	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) ∈ ℝ+)
23	22	rpred 12701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
25	2	nnrpd 12699	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℝ+)
26	7, 24, 25	lemuldivd 12750	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋↑2) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷)))
27	19, 26	mpbid 231	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷))
28		nndivre 11944	. . . 4 ⊢ (((𝑋↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ)
29	23, 1, 28	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ)
30		flword2 13461	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷)) → (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑋)))
31	7, 29, 27, 30	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑋)))
32	27, 31	jca 511	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∧ (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  ...cfz 13168  ⌊cfl 13438  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem1b  26568  dchrisum0lem1  26569