Theorem rpgt0d 13194

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 13160	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  0cc0 11227   < clt 11370  ℝ⁺crp 13147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-rp 13148

This theorem is used by:  rpregt0d  13197  ltmulgt11d  13226  ltmulgt12d  13227  gt0divd  13228  ge0divd  13229  lediv12ad  13250  prodge0rd  13256  expgt0  14265  nnesq  14398  bccl2  14494  sgnmulrp2  15290  01sqrexlem7  15444  sqrtgt0d  15609  iseralt  15881  fsumlt  15996  geomulcvg  16074  eirrlem  16401  sqrt2irrlem  16445  prmind2  16889  4sqlem11  17162  4sqlem12  17163  ssblex  24777  nrginvrcn  25041  mulc1cncf  25256  nmoleub2lem2  25467  itg2mulclem  26097  itggt0  26194  dvgt0  26354  ftc1lem5  26390  aaliou3lem2  26700  abelthlem8  26796  tanord  26896  tanregt0  26897  logccv  27021  cxpgt0d  27096  cxpcn3lem  27105  jensenlem2  27345  dmlogdmgm  27381  basellem1  27438  sgmnncl  27504  chpdifbndlem2  27911  pntibndlem1  27946  pntibnd  27950  pntlemc  27952  abvcxp  27972  ostth2lem1  27975  ostth2lem3  27992  ostth2  27994  xrge0iifhom  34639  omssubadd  35002  signsply0  35250  sinccvglem  36604  unblimceq0lem  37550  unbdqndv2lem2  37554  knoppndvlem14  37569  taupilem1  38434  poimirlem29  38759  heicant  38765  itggt0cn  38800  ftc1cnnc  38802  bfplem1  38948  rrncmslem  38958  aks4d1p1  43318  aks6d1c2  43372  irrapxlem4  44025  irrapxlem5  44026  imo72b2lem1  45361  dvdivbd  47138  ioodvbdlimc1lem2  47147  ioodvbdlimc2lem  47149  stoweidlem1  47216  stoweidlem7  47222  stoweidlem11  47226  stoweidlem25  47240  stoweidlem26  47241  stoweidlem34  47249  stoweidlem49  47264  stoweidlem52  47267  stoweidlem60  47275  wallispi  47285  stirlinglem6  47294  stirlinglem11  47299  fourierdlem30  47352  qndenserrnbl  47510  ovnsubaddlem1  47785  hoiqssbllem2  47838  pimrecltpos  47923  smfmullem1  48006  smfmullem2  48007  smfmullem3  48008