Theorem rpgt0d 12596

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 12563	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  0cc0 10694   < clt 10832  ℝ⁺crp 12551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-br 5040  df-rp 12552

This theorem is referenced by:  rpregt0d  12599  ltmulgt11d  12628  ltmulgt12d  12629  gt0divd  12630  ge0divd  12631  lediv12ad  12652  prodge0rd  12658  expgt0  13633  nnesq  13759  bccl2  13854  sqrlem7  14777  sqrtgt0d  14941  iseralt  15213  fsumlt  15327  geomulcvg  15403  eirrlem  15728  sqrt2irrlem  15772  prmind2  16205  4sqlem11  16471  4sqlem12  16472  ssblex  23280  nrginvrcn  23544  mulc1cncf  23756  nmoleub2lem2  23967  itg2mulclem  24598  itggt0  24695  dvgt0  24855  ftc1lem5  24891  aaliou3lem2  25190  abelthlem8  25285  tanord  25381  tanregt0  25382  logccv  25505  cxpcn3lem  25587  jensenlem2  25824  dmlogdmgm  25860  basellem1  25917  sgmnncl  25983  chpdifbndlem2  26389  pntibndlem1  26424  pntibnd  26428  pntlemc  26430  abvcxp  26450  ostth2lem1  26453  ostth2lem3  26470  ostth2  26472  xrge0iifhom  31555  omssubadd  31933  sgnmulrp2  32176  signsply0  32196  sinccvglem  33297  unblimceq0lem  34372  unbdqndv2lem2  34376  knoppndvlem14  34391  taupilem1  35175  poimirlem29  35492  heicant  35498  itggt0cn  35533  ftc1cnnc  35535  bfplem1  35666  rrncmslem  35676  aks4d1p1  39766  irrapxlem4  40291  irrapxlem5  40292  imo72b2lem1  41398  dvdivbd  43082  ioodvbdlimc1lem2  43091  ioodvbdlimc2lem  43093  stoweidlem1  43160  stoweidlem7  43166  stoweidlem11  43170  stoweidlem25  43184  stoweidlem26  43185  stoweidlem34  43193  stoweidlem49  43208  stoweidlem52  43211  stoweidlem60  43219  wallispi  43229  stirlinglem6  43238  stirlinglem11  43243  fourierdlem30  43296  qndenserrnbl  43454  ovnsubaddlem1  43726  hoiqssbllem2  43779  pimrecltpos  43861  smfmullem1  43940  smfmullem2  43941  smfmullem3  43942