Theorem rpgt0d 13005

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpgt0 12971	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  0cc0 11075   < clt 11215  ℝ⁺crp 12958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-rp 12959

This theorem is referenced by:  rpregt0d  13008  ltmulgt11d  13037  ltmulgt12d  13038  gt0divd  13039  ge0divd  13040  lediv12ad  13061  prodge0rd  13067  expgt0  14067  nnesq  14199  bccl2  14295  01sqrexlem7  15221  sqrtgt0d  15386  iseralt  15658  fsumlt  15773  geomulcvg  15849  eirrlem  16179  sqrt2irrlem  16223  prmind2  16662  4sqlem11  16933  4sqlem12  16934  ssblex  24323  nrginvrcn  24587  mulc1cncf  24805  nmoleub2lem2  25023  itg2mulclem  25654  itggt0  25752  dvgt0  25916  ftc1lem5  25954  aaliou3lem2  26258  abelthlem8  26356  tanord  26454  tanregt0  26455  logccv  26579  cxpgt0d  26654  cxpcn3lem  26664  jensenlem2  26905  dmlogdmgm  26941  basellem1  26998  sgmnncl  27064  chpdifbndlem2  27472  pntibndlem1  27507  pntibnd  27511  pntlemc  27513  abvcxp  27533  ostth2lem1  27536  ostth2lem3  27553  ostth2  27555  sgnmulrp2  32768  xrge0iifhom  33934  omssubadd  34298  signsply0  34549  sinccvglem  35666  unblimceq0lem  36501  unbdqndv2lem2  36505  knoppndvlem14  36520  taupilem1  37316  poimirlem29  37650  heicant  37656  itggt0cn  37691  ftc1cnnc  37693  bfplem1  37823  rrncmslem  37833  aks4d1p1  42071  aks6d1c2  42125  irrapxlem4  42820  irrapxlem5  42821  imo72b2lem1  44165  dvdivbd  45928  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  stoweidlem1  46006  stoweidlem7  46012  stoweidlem11  46016  stoweidlem25  46030  stoweidlem26  46031  stoweidlem34  46039  stoweidlem49  46054  stoweidlem52  46057  stoweidlem60  46065  wallispi  46075  stirlinglem6  46084  stirlinglem11  46089  fourierdlem30  46142  qndenserrnbl  46300  ovnsubaddlem1  46575  hoiqssbllem2  46628  pimrecltpos  46713  smfmullem1  46796  smfmullem2  46797  smfmullem3  46798