Theorem rrvdmss 34293

Description: The domain of a random variable. This is useful to shorten proofs. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrrvv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
rrvvf.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
rrvdmss	⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ⊆ dom 𝑋)

Proof of Theorem rrvdmss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrrvv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		rrvvf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3	1, 2	rrvdm 34290	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = ∪ dom 𝑃)
4		eqimss2 4038	. 2 ⊢ (dom 𝑋 = ∪ dom 𝑃 → ∪ dom 𝑃 ⊆ dom 𝑋)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ⊆ dom 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3946  ∪ cuni 4905  dom cdm 5672  ‘cfv 6543  Probcprb 34251  rRndVarcrrv 34284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-er 8723  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-ioo 13373  df-topgen 17450  df-top 22881  df-bases 22934  df-esum 33871  df-siga 33952  df-sigagen 33982  df-brsiga 34025  df-meas 34039  df-mbfm 34093  df-prob 34252  df-rrv 34285

This theorem is referenced by: (None)