Theorem rrvdmss 33978

Description: The domain of a random variable. This is useful to shorten proofs. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrrvv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
rrvvf.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
rrvdmss	⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ⊆ dom 𝑋)

Proof of Theorem rrvdmss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrrvv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		rrvvf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3	1, 2	rrvdm 33975	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = ∪ dom 𝑃)
4		eqimss2 4036	. 2 ⊢ (dom 𝑋 = ∪ dom 𝑃 → ∪ dom 𝑃 ⊆ dom 𝑋)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ⊆ dom 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  ∪ cuni 4902  dom cdm 5669  ‘cfv 6536  Probcprb 33936  rRndVarcrrv 33969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-ioo 13331  df-topgen 17396  df-top 22747  df-bases 22800  df-esum 33556  df-siga 33637  df-sigagen 33667  df-brsiga 33710  df-meas 33724  df-mbfm 33778  df-prob 33937  df-rrv 33970

This theorem is referenced by: (None)