Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrvfinvima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrvfinvima 31607
Description: For a real-value random variable 𝑋, any open interval in is the image of a measurable set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isrrvv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
rrvvf.1 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
rrvfinvima (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem rrvfinvima
StepHypRef Expression
1 rrvvf.1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
2 isrrvv.1 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
32isrrvv 31600 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
41, 3mpbid 233 . 2 (𝜑 → (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃))
54simprd 496 1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wral 3135   cuni 4830  ccnv 5547  dom cdm 5548  cima 5551  wf 6344  cfv 6348  cr 10524  𝔅cbrsiga 31339  Probcprb 31564  rRndVarcrrv 31597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-ioo 12730  df-topgen 16705  df-top 21430  df-bases 21482  df-esum 31186  df-siga 31267  df-sigagen 31297  df-brsiga 31340  df-meas 31354  df-mbfm 31408  df-prob 31565  df-rrv 31598
This theorem is referenced by:  orvcelel  31626  dstrvprob  31628
  Copyright terms: Public domain W3C validator