Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrvfinvima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrvfinvima 31111
Description: For a real-value random variable 𝑋, any open interval in is the image of a measurable set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isrrvv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
rrvvf.1 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
rrvfinvima (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem rrvfinvima
StepHypRef Expression
1 rrvvf.1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
2 isrrvv.1 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
32isrrvv 31104 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
41, 3mpbid 224 . 2 (𝜑 → (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃))
54simprd 491 1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2107  wral 3090   cuni 4671  ccnv 5354  dom cdm 5355  cima 5358  wf 6131  cfv 6135  cr 10271  𝔅cbrsiga 30842  Probcprb 31068  rRndVarcrrv 31101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-ioo 12491  df-topgen 16490  df-top 21106  df-bases 21158  df-esum 30688  df-siga 30769  df-sigagen 30800  df-brsiga 30843  df-meas 30857  df-mbfm 30911  df-prob 31069  df-rrv 31102
This theorem is referenced by:  orvcelel  31130  dstrvprob  31132
  Copyright terms: Public domain W3C validator