Theorem rrvf2 31701

Description: A real-valued random variable is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrrvv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
rrvvf.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
rrvf2	⊢ (𝜑 → 𝑋:dom 𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem rrvf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrrvv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		rrvvf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3	1, 2	rrvvf 31697	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
4	1, 2	rrvdm 31699	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = ∪ dom 𝑃)
5	4	feq2d 6494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋:dom 𝑋⟶ℝ ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
6	3, 5	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:dom 𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ∪ cuni 4831  dom cdm 5549  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  ℝcr 10530  Probcprb 31660  rRndVarcrrv 31693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ioo 12736  df-topgen 16711  df-top 21496  df-bases 21548  df-esum 31282  df-siga 31363  df-sigagen 31393  df-brsiga 31436  df-meas 31450  df-mbfm 31504  df-prob 31661  df-rrv 31694

This theorem is referenced by:  orvclteinc  31728