Theorem rrvf2 34905

Description: A real-valued random variable is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrrvv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
rrvvf.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
rrvf2	⊢ (𝜑 → 𝑋:dom 𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem rrvf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrrvv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		rrvvf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3	1, 2	rrvvf 34901	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
4	1, 2	rrvdm 34903	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = ∪ dom 𝑃)
5	4	feq2d 6693	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋:dom 𝑋⟶ℝ ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
6	3, 5	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:dom 𝑋⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4874  dom cdm 5663  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℝcr 11116  Probcprb 34864  rRndVarcrrv 34897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-ioo 13394  df-topgen 17520  df-top 23103  df-bases 23155  df-esum 34484  df-siga 34565  df-sigagen 34596  df-brsiga 34639  df-meas 34653  df-mbfm 34707  df-prob 34865  df-rrv 34898

This theorem is used by:  orvclteinc  34933