Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrvvf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrvvf 33044
Description: A real-valued random variable is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isrrvv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
rrvvf.1 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
rrvvf (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)

Proof of Theorem rrvvf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrvvf.1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
2 isrrvv.1 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
32isrrvv 33043 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
41, 3mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃))
54simpld 495 1 (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wral 3064   cuni 4865  ccnv 5632  dom cdm 5633  cima 5636  wf 6492  cfv 6496  cr 11050  𝔅cbrsiga 32780  Probcprb 33007  rRndVarcrrv 33040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-ioo 13268  df-topgen 17325  df-top 22243  df-bases 22296  df-esum 32627  df-siga 32708  df-sigagen 32738  df-brsiga 32781  df-meas 32795  df-mbfm 32849  df-prob 33008  df-rrv 33041
This theorem is referenced by:  rrvfn  33045  rrvdm  33046  rrvrnss  33047  rrvf2  33048  rrvadd  33052  rrvmulc  33053  dstrvprob  33071  dstfrvel  33073  dstfrvunirn  33074
  Copyright terms: Public domain W3C validator