Theorem rrvvf 34956

Description: A real-valued random variable is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrrvv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
rrvvf.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
rrvvf	⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)

Proof of Theorem rrvvf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrvvf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
2		isrrvv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3	2	isrrvv 34955	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
4	1, 3	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   “ cima 5658  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  ℝcr 11124  𝔅_ℝcbrsiga 34693  Probcprb 34919  rRndVarcrrv 34952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-ioo 13403  df-topgen 17529  df-top 23120  df-bases 23172  df-esum 34539  df-siga 34620  df-sigagen 34651  df-brsiga 34694  df-meas 34708  df-mbfm 34762  df-prob 34920  df-rrv 34953

This theorem is used by:  rrvfn  34957  rrvdm  34958  rrvrnss  34959  rrvf2  34960  rrvadd  34964  rrvmulc  34965  dstrvprob  34984  dstfrvel  34986  dstfrvunirn  34987