Theorem rrvvf 34550

Description: A real-valued random variable is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrrvv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
rrvvf.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
rrvvf	⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)

Proof of Theorem rrvvf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrvvf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
2		isrrvv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3	2	isrrvv 34549	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
4	1, 3	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∪ cuni 4861  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622   “ cima 5625  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  ℝcr 11023  𝔅_ℝcbrsiga 34287  Probcprb 34513  rRndVarcrrv 34546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-ioo 13263  df-topgen 17361  df-top 22836  df-bases 22888  df-esum 34134  df-siga 34215  df-sigagen 34245  df-brsiga 34288  df-meas 34302  df-mbfm 34356  df-prob 34514  df-rrv 34547

This theorem is referenced by:  rrvfn  34551  rrvdm  34552  rrvrnss  34553  rrvf2  34554  rrvadd  34558  rrvmulc  34559  dstrvprob  34578  dstfrvel  34580  dstfrvunirn  34581