Theorem ehl2eudis0lt 49009

Description: An upper bound of the Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 9-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl2eudisval0.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudisval0.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
ehl2eudisval0.0	⊢ 0 = ({1, 2} × {0})

Assertion

Ref	Expression
ehl2eudis0lt	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))

Proof of Theorem ehl2eudis0lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehl2eudisval0.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
2		ehl2eudisval0.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
3		ehl2eudisval0.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
4		ehl2eudisval0.0	. . . . 5 ⊢ 0 = ({1, 2} × {0})
5	1, 2, 3, 4	ehl2eudisval0 49008	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
7	6	breq1d 5107	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅))
8		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} = {1, 2}
9	8, 2	rrx2pxel 48994	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
10	8, 2	rrx2pyel 48995	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℝ)
11		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))
12	11	resum2sqcl 48989	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ)
13	9, 10, 12	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ)
14		resqcl 14049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘1) ∈ ℝ → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
15		resqcl 14049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘2) ∈ ℝ → ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ)
16	14, 15	anim12i 614	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ))
17		sqge0 14061	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘1) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝐹‘1)↑2))
18		sqge0 14061	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘2) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2))
19	17, 18	anim12i 614	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐹‘1)↑2) ∧ 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2)))
20		addge0 11628	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝐹‘1)↑2) ∧ 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2))) → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
21	16, 19, 20	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
22	9, 10, 21	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
23	13, 22	resqrtcld 15343	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ)
24	13, 22	sqrtge0d 15346	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
25	23, 24	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))))
26		rprege0 12923	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
27		lt2sq 14058	. . 3 ⊢ ((((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅)) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
28	25, 26, 27	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
29	13, 22	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
31		resqrtth 15180	. . . 4 ⊢ (((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
33	32	breq1d 5107	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2) ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
34	7, 28, 33	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4579  {cpr 4581   class class class wbr 5097   × cxp 5621  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8765  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   ≤ cle 11169  2c2 12202  ℝ⁺crp 12907  ↑cexp 13986  √csqrt 15158  distcds 17188  𝔼_hilcehl 25342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12908  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-ghm 19144  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-drng 20666  df-field 20667  df-staf 20774  df-srng 20775  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-cnfld 21312  df-refld 21562  df-dsmm 21689  df-frlm 21704  df-nm 24528  df-tng 24530  df-tcph 25127  df-rrx 25343  df-ehl 25344

This theorem is referenced by:  inlinecirc02p  49070