Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ehl2eudis0lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl2eudis0lt 47687
Description: An upper bound of the Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl2eudisval0.e 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
ehl2eudisval0.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
ehl2eudisval0.0 0 = ({1, 2} Γ— {0})
Assertion
Ref Expression
ehl2eudis0lt ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))

Proof of Theorem ehl2eudis0lt
StepHypRef Expression
1 ehl2eudisval0.e . . . . 5 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
2 ehl2eudisval0.x . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
3 ehl2eudisval0.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
4 ehl2eudisval0.0 . . . . 5 0 = ({1, 2} Γ— {0})
51, 2, 3, 4ehl2eudisval0 47686 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (𝐹𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
65adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝐹𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
76breq1d 5151 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) < 𝑅))
8 eqid 2726 . . . . . . 7 {1, 2} = {1, 2}
98, 2rrx2pxel 47672 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
108, 2rrx2pyel 47673 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ)
11 eqid 2726 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) = (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))
1211resum2sqcl 47667 . . . . . 6 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ)
139, 10, 12syl2anc 583 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ)
14 resqcl 14094 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜1) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ)
15 resqcl 14094 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜2) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜2)↑2) ∈ ℝ)
1614, 15anim12i 612 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜2)↑2) ∈ ℝ))
17 sqge0 14106 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜1) ∈ ℝ β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜1)↑2))
18 sqge0 14106 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜2) ∈ ℝ β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜2)↑2))
1917, 18anim12i 612 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜1)↑2) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜2)↑2)))
20 addge0 11707 . . . . . . 7 (((((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜2)↑2) ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ ((πΉβ€˜1)↑2) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜2)↑2))) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
2116, 19, 20syl2anc 583 . . . . . 6 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
229, 10, 21syl2anc 583 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
2313, 22resqrtcld 15370 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) ∈ ℝ)
2413, 22sqrtge0d 15373 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
2523, 24jca 511 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))))
26 rprege0 12995 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
27 lt2sq 14103 . . 3 ((((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅)) β†’ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
2825, 26, 27syl2an 595 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
2913, 22jca 511 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
3029adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
31 resqrtth 15208 . . . 4 (((((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) β†’ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))↑2) = (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
3230, 31syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))↑2) = (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
3332breq1d 5151 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2) ↔ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
347, 28, 333bitrd 305 1 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253  2c2 12271  β„+crp 12980  β†‘cexp 14032  βˆšcsqrt 15186  distcds 17215  π”Όhilcehl 25267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-refld 21498  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-nm 24446  df-tng 24448  df-tcph 25052  df-rrx 25268  df-ehl 25269
This theorem is referenced by:  inlinecirc02p  47748
  Copyright terms: Public domain W3C validator