Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ehl2eudis0lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl2eudis0lt 47911
Description: An upper bound of the Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl2eudisval0.e 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
ehl2eudisval0.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
ehl2eudisval0.0 0 = ({1, 2} Γ— {0})
Assertion
Ref Expression
ehl2eudis0lt ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))

Proof of Theorem ehl2eudis0lt
StepHypRef Expression
1 ehl2eudisval0.e . . . . 5 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
2 ehl2eudisval0.x . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
3 ehl2eudisval0.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
4 ehl2eudisval0.0 . . . . 5 0 = ({1, 2} Γ— {0})
51, 2, 3, 4ehl2eudisval0 47910 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (𝐹𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
65adantr 479 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝐹𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
76breq1d 5153 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) < 𝑅))
8 eqid 2725 . . . . . . 7 {1, 2} = {1, 2}
98, 2rrx2pxel 47896 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
108, 2rrx2pyel 47897 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ)
11 eqid 2725 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) = (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))
1211resum2sqcl 47891 . . . . . 6 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ)
139, 10, 12syl2anc 582 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ)
14 resqcl 14120 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜1) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ)
15 resqcl 14120 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜2) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜2)↑2) ∈ ℝ)
1614, 15anim12i 611 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜2)↑2) ∈ ℝ))
17 sqge0 14132 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜1) ∈ ℝ β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜1)↑2))
18 sqge0 14132 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜2) ∈ ℝ β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜2)↑2))
1917, 18anim12i 611 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜1)↑2) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜2)↑2)))
20 addge0 11733 . . . . . . 7 (((((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜2)↑2) ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ ((πΉβ€˜1)↑2) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜2)↑2))) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
2116, 19, 20syl2anc 582 . . . . . 6 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
229, 10, 21syl2anc 582 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
2313, 22resqrtcld 15396 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) ∈ ℝ)
2413, 22sqrtge0d 15399 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
2523, 24jca 510 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))))
26 rprege0 13021 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
27 lt2sq 14129 . . 3 ((((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅)) β†’ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
2825, 26, 27syl2an 594 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
2913, 22jca 510 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
3029adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
31 resqrtth 15234 . . . 4 (((((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) β†’ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))↑2) = (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
3230, 31syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))↑2) = (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
3332breq1d 5153 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2) ↔ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
347, 28, 333bitrd 304 1 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5143   Γ— cxp 5670  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ↑m cmap 8843  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   ≀ cle 11279  2c2 12297  β„+crp 13006  β†‘cexp 14058  βˆšcsqrt 15212  distcds 17241  π”Όhilcehl 25330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-field 20631  df-staf 20729  df-srng 20730  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-cnfld 21284  df-refld 21541  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-nm 24509  df-tng 24511  df-tcph 25115  df-rrx 25331  df-ehl 25332
This theorem is referenced by:  inlinecirc02p  47972
  Copyright terms: Public domain W3C validator