Theorem ehl2eudis0lt 50042

Description: An upper bound of the Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 9-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl2eudisval0.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudisval0.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m (0..^2))
ehl2eudisval0.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
ehl2eudisval0.0	⊢ 0 = ((0..^2) × {0})

Assertion

Ref	Expression
ehl2eudis0lt	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)) < (𝑅↑2)))

Proof of Theorem ehl2eudis0lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehl2eudisval0.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
2		ehl2eudisval0.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m (0..^2))
3		ehl2eudisval0.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
4		ehl2eudisval0.0	. . . . 5 ⊢ 0 = ((0..^2) × {0})
5	1, 2, 3, 4	ehl2eudisval0 50041	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2))))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2))))
7	6	breq1d 5116	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2))) < 𝑅))
8		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0..^2) = (0..^2)
9	8, 2	rrx2pxel 50026	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
10	8, 2	rrx2pyel 50027	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
11		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)) = (((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2))
12	11	resum2sqcl 50021	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘0) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘1) ∈ ℝ) → (((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)) ∈ ℝ)
13	9, 10, 12	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)) ∈ ℝ)
14		resqcl 14291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘0) ∈ ℝ → ((𝐹‘0)↑2) ∈ ℝ)
15		resqcl 14291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘1) ∈ ℝ → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
16	14, 15	anim12i 625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘0) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘1) ∈ ℝ) → (((𝐹‘0)↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ))
17		sqge0 14303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘0) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝐹‘0)↑2))
18		sqge0 14303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘1) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝐹‘1)↑2))
19	17, 18	anim12i 625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘0) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘1) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐹‘0)↑2) ∧ 0 ≤ ((𝐹‘1)↑2)))
20		addge0 11829	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹‘0)↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝐹‘0)↑2) ∧ 0 ≤ ((𝐹‘1)↑2))) → 0 ≤ (((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)))
21	16, 19, 20	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘0) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘1) ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)))
22	9, 10, 21	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 0 ≤ (((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)))
23	13, 22	resqrtcld 15611	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2))) ∈ ℝ)
24	13, 22	sqrtge0d 15614	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 0 ≤ (√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2))))
25	23, 24	jca 521	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)))))
26		rprege0 13160	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
27		lt2sq 14300	. . 3 ⊢ ((((√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅)) → ((√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2))) < 𝑅 ↔ ((√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
28	25, 26, 27	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2))) < 𝑅 ↔ ((√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
29	13, 22	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2))))
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2))))
31		resqrtth 15448	. . . 4 ⊢ (((((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2))) → ((√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)))↑2) = (((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)))
32	30, 31	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)))↑2) = (((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)))
33	32	breq1d 5116	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((√‘(((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)))↑2) < (𝑅↑2) ↔ (((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)) < (𝑅↑2)))
34	7, 28, 33	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝐹‘0)↑2) + ((𝐹‘1)↑2)) < (𝑅↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588   class class class wbr 5106   × cxp 5653  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   < clt 11367   ≤ cle 11368  2c2 12421  ℝ⁺crp 13144  ..^cfzo 13812  ↑cexp 14228  √csqrt 15426  distcds 17463  𝔼_hilcehl 25732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-dvr 20658  df-rhm 20729  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-drng 21009  df-field 21010  df-staf 21123  df-srng 21124  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-cnfld 21706  df-refld 21938  df-dsmm 22065  df-frlm 22080  df-nm 24928  df-tng 24930  df-tcph 25517  df-rrx 25733  df-ehl 25734

This theorem is used by:  inlinecirc02p  50102