Theorem ehl2eudis0lt 49760

Description: An upper bound of the Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 9-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl2eudisval0.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudisval0.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
ehl2eudisval0.0	⊢ 0 = ({1, 2} × {0})

Assertion

Ref	Expression
ehl2eudis0lt	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))

Proof of Theorem ehl2eudis0lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehl2eudisval0.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
2		ehl2eudisval0.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
3		ehl2eudisval0.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
4		ehl2eudisval0.0	. . . . 5 ⊢ 0 = ({1, 2} × {0})
5	1, 2, 3, 4	ehl2eudisval0 49759	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
7	6	breq1d 5112	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅))
8		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} = {1, 2}
9	8, 2	rrx2pxel 49745	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
10	8, 2	rrx2pyel 49746	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℝ)
11		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))
12	11	resum2sqcl 49740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ)
13	9, 10, 12	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ)
14		resqcl 14235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘1) ∈ ℝ → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
15		resqcl 14235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘2) ∈ ℝ → ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ)
16	14, 15	anim12i 625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ))
17		sqge0 14247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘1) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝐹‘1)↑2))
18		sqge0 14247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘2) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2))
19	17, 18	anim12i 625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐹‘1)↑2) ∧ 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2)))
20		addge0 11774	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝐹‘1)↑2) ∧ 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2))) → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
21	16, 19, 20	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
22	9, 10, 21	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
23	13, 22	resqrtcld 15552	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ)
24	13, 22	sqrtge0d 15555	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
25	23, 24	jca 521	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))))
26		rprege0 13105	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
27		lt2sq 14244	. . 3 ⊢ ((((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅)) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
28	25, 26, 27	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
29	13, 22	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
31		resqrtth 15389	. . . 4 ⊢ (((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
32	30, 31	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
33	32	breq1d 5112	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2) ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
34	7, 28, 33	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4583  {cpr 4585   class class class wbr 5102   × cxp 5645  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825  ℝcr 11170  0cc0 11171  1c1 11172   + caddc 11174   < clt 11314   ≤ cle 11315  2c2 12366  ℝ⁺crp 13089  ↑cexp 14172  √csqrt 15367  distcds 17398  𝔼_hilcehl 25666

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250  ax-mulf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-rp 13090  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-clim 15622  df-sum 15821  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-subg 19294  df-ghm 19389  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-unit 20549  df-invr 20579  df-dvr 20592  df-rhm 20663  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-drng 20943  df-field 20944  df-staf 21057  df-srng 21058  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-cnfld 21640  df-refld 21872  df-dsmm 21999  df-frlm 22014  df-nm 24862  df-tng 24864  df-tcph 25451  df-rrx 25667  df-ehl 25668

This theorem is used by:  inlinecirc02p  49821