Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ehl2eudis0lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl2eudis0lt 46902
Description: An upper bound of the Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl2eudisval0.e 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
ehl2eudisval0.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
ehl2eudisval0.0 0 = ({1, 2} Γ— {0})
Assertion
Ref Expression
ehl2eudis0lt ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))

Proof of Theorem ehl2eudis0lt
StepHypRef Expression
1 ehl2eudisval0.e . . . . 5 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
2 ehl2eudisval0.x . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
3 ehl2eudisval0.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
4 ehl2eudisval0.0 . . . . 5 0 = ({1, 2} Γ— {0})
51, 2, 3, 4ehl2eudisval0 46901 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (𝐹𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
65adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝐹𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
76breq1d 5119 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) < 𝑅))
8 eqid 2733 . . . . . . 7 {1, 2} = {1, 2}
98, 2rrx2pxel 46887 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
108, 2rrx2pyel 46888 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ)
11 eqid 2733 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) = (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))
1211resum2sqcl 46882 . . . . . 6 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ)
139, 10, 12syl2anc 585 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ)
14 resqcl 14038 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜1) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ)
15 resqcl 14038 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜2) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜2)↑2) ∈ ℝ)
1614, 15anim12i 614 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜2)↑2) ∈ ℝ))
17 sqge0 14050 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜1) ∈ ℝ β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜1)↑2))
18 sqge0 14050 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜2) ∈ ℝ β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜2)↑2))
1917, 18anim12i 614 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜1)↑2) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜2)↑2)))
20 addge0 11652 . . . . . . 7 (((((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜2)↑2) ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ ((πΉβ€˜1)↑2) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜2)↑2))) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
2116, 19, 20syl2anc 585 . . . . . 6 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
229, 10, 21syl2anc 585 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
2313, 22resqrtcld 15311 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) ∈ ℝ)
2413, 22sqrtge0d 15314 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
2523, 24jca 513 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))))
26 rprege0 12938 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
27 lt2sq 14047 . . 3 ((((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅)) β†’ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
2825, 26, 27syl2an 597 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
2913, 22jca 513 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
3029adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))))
31 resqrtth 15149 . . . 4 (((((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2))) β†’ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))↑2) = (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
3230, 31syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))↑2) = (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))
3332breq1d 5119 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (((βˆšβ€˜(((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2) ↔ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
347, 28, 333bitrd 305 1 ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((πΉβ€˜1)↑2) + ((πΉβ€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4590  {cpr 4592   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   < clt 11197   ≀ cle 11198  2c2 12216  β„+crp 12923  β†‘cexp 13976  βˆšcsqrt 15127  distcds 17150  π”Όhilcehl 24771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-field 20222  df-subrg 20262  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-refld 21032  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-nm 23961  df-tng 23963  df-tcph 24556  df-rrx 24772  df-ehl 24773
This theorem is referenced by:  inlinecirc02p  46963
  Copyright terms: Public domain W3C validator