Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ehl2eudis0lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl2eudis0lt 46329
Description: An upper bound of the Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl2eudisval0.e 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudisval0.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
ehl2eudisval0.0 0 = ({1, 2} × {0})
Assertion
Ref Expression
ehl2eudis0lt ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))

Proof of Theorem ehl2eudis0lt
StepHypRef Expression
1 ehl2eudisval0.e . . . . 5 𝐸 = (𝔼hil‘2)
2 ehl2eudisval0.x . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
3 ehl2eudisval0.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝐸)
4 ehl2eudisval0.0 . . . . 5 0 = ({1, 2} × {0})
51, 2, 3, 4ehl2eudisval0 46328 . . . 4 (𝐹𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
65adantr 481 . . 3 ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
76breq1d 5090 . 2 ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅))
8 eqid 2735 . . . . . . 7 {1, 2} = {1, 2}
98, 2rrx2pxel 46314 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
108, 2rrx2pyel 46315 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℝ)
11 eqid 2735 . . . . . . 7 (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))
1211resum2sqcl 46309 . . . . . 6 (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ)
139, 10, 12syl2anc 584 . . . . 5 (𝐹𝑋 → (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ)
14 resqcl 13904 . . . . . . . 8 ((𝐹‘1) ∈ ℝ → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
15 resqcl 13904 . . . . . . . 8 ((𝐹‘2) ∈ ℝ → ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ)
1614, 15anim12i 613 . . . . . . 7 (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ))
17 sqge0 13915 . . . . . . . 8 ((𝐹‘1) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝐹‘1)↑2))
18 sqge0 13915 . . . . . . . 8 ((𝐹‘2) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2))
1917, 18anim12i 613 . . . . . . 7 (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐹‘1)↑2) ∧ 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2)))
20 addge0 11524 . . . . . . 7 (((((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝐹‘1)↑2) ∧ 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2))) → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
2116, 19, 20syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
229, 10, 21syl2anc 584 . . . . 5 (𝐹𝑋 → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
2313, 22resqrtcld 15188 . . . 4 (𝐹𝑋 → (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ)
2413, 22sqrtge0d 15191 . . . 4 (𝐹𝑋 → 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
2523, 24jca 512 . . 3 (𝐹𝑋 → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))))
26 rprege0 12805 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
27 lt2sq 13912 . . 3 ((((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅)) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
2825, 26, 27syl2an 596 . 2 ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
2913, 22jca 512 . . . . 5 (𝐹𝑋 → ((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
3029adantr 481 . . . 4 ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → ((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
31 resqrtth 15026 . . . 4 (((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
3230, 31syl 17 . . 3 ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
3332breq1d 5090 . 2 ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2) ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
347, 28, 333bitrd 304 1 ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1538  wcel 2103  {csn 4564  {cpr 4566   class class class wbr 5080   × cxp 5598  cfv 6458  (class class class)co 7308  m cmap 8651  cr 10930  0cc0 10931  1c1 10932   + caddc 10934   < clt 11069  cle 11070  2c2 12088  +crp 12790  cexp 13842  csqrt 15003  distcds 17030  𝔼hilcehl 24611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1968  ax-7 2008  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2134  ax-11 2151  ax-12 2168  ax-ext 2706  ax-rep 5217  ax-sep 5231  ax-nul 5238  ax-pow 5296  ax-pr 5360  ax-un 7621  ax-inf2 9457  ax-cnex 10987  ax-resscn 10988  ax-1cn 10989  ax-icn 10990  ax-addcl 10991  ax-addrcl 10992  ax-mulcl 10993  ax-mulrcl 10994  ax-mulcom 10995  ax-addass 10996  ax-mulass 10997  ax-distr 10998  ax-i2m1 10999  ax-1ne0 11000  ax-1rid 11001  ax-rnegex 11002  ax-rrecex 11003  ax-cnre 11004  ax-pre-lttri 11005  ax-pre-lttrn 11006  ax-pre-ltadd 11007  ax-pre-mulgt0 11008  ax-pre-sup 11009  ax-addf 11010  ax-mulf 11011
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2813  df-nfc 2885  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3339  df-reu 3340  df-rab 3357  df-v 3438  df-sbc 3721  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4844  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5081  df-opab 5143  df-mpt 5164  df-tr 5198  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7265  df-ov 7311  df-oprab 7312  df-mpo 7313  df-of 7566  df-om 7749  df-1st 7867  df-2nd 7868  df-supp 8013  df-tpos 8077  df-frecs 8132  df-wrecs 8163  df-recs 8237  df-rdg 8276  df-1o 8332  df-er 8534  df-map 8653  df-ixp 8722  df-en 8770  df-dom 8771  df-sdom 8772  df-fin 8773  df-fsupp 9187  df-sup 9259  df-oi 9327  df-card 9755  df-pnf 11071  df-mnf 11072  df-xr 11073  df-ltxr 11074  df-le 11075  df-sub 11267  df-neg 11268  df-div 11693  df-nn 12034  df-2 12096  df-3 12097  df-4 12098  df-5 12099  df-6 12100  df-7 12101  df-8 12102  df-9 12103  df-n0 12294  df-z 12380  df-dec 12498  df-uz 12643  df-rp 12791  df-fz 13300  df-fzo 13443  df-seq 13782  df-exp 13843  df-hash 14105  df-cj 14869  df-re 14870  df-im 14871  df-sqrt 15005  df-abs 15006  df-clim 15256  df-sum 15457  df-struct 16907  df-sets 16924  df-slot 16942  df-ndx 16954  df-base 16972  df-ress 17001  df-plusg 17034  df-mulr 17035  df-starv 17036  df-sca 17037  df-vsca 17038  df-ip 17039  df-tset 17040  df-ple 17041  df-ds 17043  df-unif 17044  df-hom 17045  df-cco 17046  df-0g 17211  df-gsum 17212  df-prds 17217  df-pws 17219  df-mgm 18385  df-sgrp 18434  df-mnd 18445  df-mhm 18489  df-grp 18639  df-minusg 18640  df-sbg 18641  df-subg 18811  df-ghm 18891  df-cntz 18982  df-cmn 19447  df-abl 19448  df-mgp 19780  df-ur 19797  df-ring 19844  df-cring 19845  df-oppr 19921  df-dvdsr 19942  df-unit 19943  df-invr 19973  df-dvr 19984  df-rnghom 20018  df-drng 20056  df-field 20057  df-subrg 20085  df-staf 20168  df-srng 20169  df-lmod 20188  df-lss 20257  df-sra 20497  df-rgmod 20498  df-cnfld 20661  df-refld 20873  df-dsmm 21002  df-frlm 21017  df-nm 23801  df-tng 23803  df-tcph 24396  df-rrx 24612  df-ehl 24613
This theorem is referenced by:  inlinecirc02p  46390
  Copyright terms: Public domain W3C validator