Theorem ehl2eudis0lt 48826

Description: An upper bound of the Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 9-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl2eudisval0.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudisval0.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
ehl2eudisval0.0	⊢ 0 = ({1, 2} × {0})

Assertion

Ref	Expression
ehl2eudis0lt	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))

Proof of Theorem ehl2eudis0lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehl2eudisval0.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
2		ehl2eudisval0.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
3		ehl2eudisval0.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
4		ehl2eudisval0.0	. . . . 5 ⊢ 0 = ({1, 2} × {0})
5	1, 2, 3, 4	ehl2eudisval0 48825	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
7	6	breq1d 5099	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅))
8		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} = {1, 2}
9	8, 2	rrx2pxel 48811	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
10	8, 2	rrx2pyel 48812	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℝ)
11		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))
12	11	resum2sqcl 48806	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ)
13	9, 10, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ)
14		resqcl 14031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘1) ∈ ℝ → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
15		resqcl 14031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘2) ∈ ℝ → ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ)
16	14, 15	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ))
17		sqge0 14043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘1) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝐹‘1)↑2))
18		sqge0 14043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘2) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2))
19	17, 18	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐹‘1)↑2) ∧ 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2)))
20		addge0 11606	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝐹‘1)↑2) ∧ 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2))) → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
21	16, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
22	9, 10, 21	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
23	13, 22	resqrtcld 15325	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ)
24	13, 22	sqrtge0d 15328	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
25	23, 24	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))))
26		rprege0 12906	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
27		lt2sq 14040	. . 3 ⊢ ((((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅)) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
28	25, 26, 27	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
29	13, 22	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
31		resqrtth 15162	. . . 4 ⊢ (((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
33	32	breq1d 5099	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2) ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
34	7, 28, 33	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4573  {cpr 4575   class class class wbr 5089   × cxp 5612  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   < clt 11146   ≤ cle 11147  2c2 12180  ℝ⁺crp 12890  ↑cexp 13968  √csqrt 15140  distcds 17170  𝔼_hilcehl 25311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-rhm 20390  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-field 20647  df-staf 20754  df-srng 20755  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-cnfld 21292  df-refld 21542  df-dsmm 21669  df-frlm 21684  df-nm 24497  df-tng 24499  df-tcph 25096  df-rrx 25312  df-ehl 25313

This theorem is referenced by:  inlinecirc02p  48887