Theorem ehl2eudis0lt 49534

Description: An upper bound of the Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 9-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl2eudisval0.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudisval0.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudisval0.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
ehl2eudisval0.0	⊢ 0 = ({1, 2} × {0})

Assertion

Ref	Expression
ehl2eudis0lt	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))

Proof of Theorem ehl2eudis0lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehl2eudisval0.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
2		ehl2eudisval0.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
3		ehl2eudisval0.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
4		ehl2eudisval0.0	. . . . 5 ⊢ 0 = ({1, 2} × {0})
5	1, 2, 3, 4	ehl2eudisval0 49533	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
6	5	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
7	6	breq1d 5118	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅))
8		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} = {1, 2}
9	8, 2	rrx2pxel 49519	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
10	8, 2	rrx2pyel 49520	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℝ)
11		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))
12	11	resum2sqcl 49514	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ)
13	9, 10, 12	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ)
14		resqcl 14167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘1) ∈ ℝ → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
15		resqcl 14167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘2) ∈ ℝ → ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ)
16	14, 15	anim12i 624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ))
17		sqge0 14179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘1) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝐹‘1)↑2))
18		sqge0 14179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘2) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2))
19	17, 18	anim12i 624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐹‘1)↑2) ∧ 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2)))
20		addge0 11709	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝐹‘1)↑2) ∧ 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2))) → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
21	16, 19, 20	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
22	9, 10, 21	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
23	13, 22	resqrtcld 15476	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ)
24	13, 22	sqrtge0d 15479	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
25	23, 24	jca 520	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))))
26		rprege0 13038	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
27		lt2sq 14176	. . 3 ⊢ ((((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅)) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
28	25, 26, 27	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
29	13, 22	jca 520	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
30	29	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
31		resqrtth 15313	. . . 4 ⊢ (((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
32	30, 31	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
33	32	breq1d 5118	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2) ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
34	7, 28, 33	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5108   × cxp 5658  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8822  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11249   ≤ cle 11250  2c2 12301  ℝ⁺crp 13022  ↑cexp 14104  √csqrt 15291  distcds 17325  𝔼_hilcehl 25554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-dvr 20490  df-rhm 20561  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-drng 20840  df-field 20841  df-staf 20953  df-srng 20954  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-cnfld 21534  df-refld 21766  df-dsmm 21893  df-frlm 21908  df-nm 24750  df-tng 24752  df-tcph 25339  df-rrx 25555  df-ehl 25556

This theorem is used by:  inlinecirc02p  49595