Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ehl2eudis0lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl2eudis0lt 44021
Description: An upper bound of the Euclidean distance of a point to the origin in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl2eudisval0.e 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudisval0.x 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 {1, 2})
ehl2eudisval0.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
ehl2eudisval0.0 0 = ({1, 2} × {0})
Assertion
Ref Expression
ehl2eudis0lt ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))

Proof of Theorem ehl2eudis0lt
StepHypRef Expression
1 ehl2eudisval0.e . . . . 5 𝐸 = (𝔼hil‘2)
2 ehl2eudisval0.x . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 {1, 2})
3 ehl2eudisval0.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝐸)
4 ehl2eudisval0.0 . . . . 5 0 = ({1, 2} × {0})
51, 2, 3, 4ehl2eudisval0 44020 . . . 4 (𝐹𝑋 → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
65adantr 473 . . 3 ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐹𝐷 0 ) = (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
76breq1d 4933 . 2 ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅))
8 eqid 2772 . . . . . . 7 {1, 2} = {1, 2}
98, 2rrx2pxel 44006 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
108, 2rrx2pyel 44007 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → (𝐹‘2) ∈ ℝ)
11 eqid 2772 . . . . . . 7 (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))
1211resum2sqcl 44001 . . . . . 6 (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ)
139, 10, 12syl2anc 576 . . . . 5 (𝐹𝑋 → (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ)
14 resqcl 13298 . . . . . . . 8 ((𝐹‘1) ∈ ℝ → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
15 resqcl 13298 . . . . . . . 8 ((𝐹‘2) ∈ ℝ → ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ)
1614, 15anim12i 603 . . . . . . 7 (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ))
17 sqge0 13309 . . . . . . . 8 ((𝐹‘1) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝐹‘1)↑2))
18 sqge0 13309 . . . . . . . 8 ((𝐹‘2) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2))
1917, 18anim12i 603 . . . . . . 7 (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐹‘1)↑2) ∧ 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2)))
20 addge0 10922 . . . . . . 7 (((((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘2)↑2) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝐹‘1)↑2) ∧ 0 ≤ ((𝐹‘2)↑2))) → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
2116, 19, 20syl2anc 576 . . . . . 6 (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘2) ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
229, 10, 21syl2anc 576 . . . . 5 (𝐹𝑋 → 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
2313, 22resqrtcld 14628 . . . 4 (𝐹𝑋 → (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ)
2413, 22sqrtge0d 14631 . . . 4 (𝐹𝑋 → 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
2523, 24jca 504 . . 3 (𝐹𝑋 → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))))
26 rprege0 12214 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
27 lt2sq 13306 . . 3 ((((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅)) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
2825, 26, 27syl2an 586 . 2 ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2)))
2913, 22jca 504 . . . . 5 (𝐹𝑋 → ((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
3029adantr 473 . . . 4 ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → ((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))))
31 resqrtth 14466 . . . 4 (((((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2))) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
3230, 31syl 17 . . 3 ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) = (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))
3332breq1d 4933 . 2 ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (((√‘(((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)))↑2) < (𝑅↑2) ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
347, 28, 333bitrd 297 1 ((𝐹𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝐹‘1)↑2) + ((𝐹‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  {csn 4435  {cpr 4437   class class class wbr 4923   × cxp 5398  cfv 6182  (class class class)co 6970  𝑚 cmap 8198  cr 10326  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330   < clt 10466  cle 10467  2c2 11488  +crp 12197  cexp 13237  csqrt 14443  distcds 16420  𝔼hilcehl 23680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-tpos 7688  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-sup 8693  df-oi 8761  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696  df-sum 14894  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-hom 16435  df-cco 16436  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-prds 16567  df-pws 16569  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mhm 17793  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-subg 18050  df-ghm 18117  df-cntz 18208  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-cring 19013  df-oppr 19086  df-dvdsr 19104  df-unit 19105  df-invr 19135  df-dvr 19146  df-rnghom 19180  df-drng 19217  df-field 19218  df-subrg 19246  df-staf 19328  df-srng 19329  df-lmod 19348  df-lss 19416  df-sra 19656  df-rgmod 19657  df-cnfld 20238  df-refld 20441  df-dsmm 20568  df-frlm 20583  df-nm 22885  df-tng 22887  df-tcph 23466  df-rrx 23681  df-ehl 23682
This theorem is referenced by:  inlinecirc02p  44082
  Copyright terms: Public domain W3C validator